材料科学导论-第一章晶体学基础3

1、 1.6 晶面指数及晶面间距晶面指数及晶面间距现在广泛使用的用来表示晶面指数的密勒指数是由现在广泛使用的用来表示晶面指数的密勒指数是由英国晶体学家英国晶体学家W.H.MillerW.H.Miller于于19391939年提出的。年提出的。 1 1、确定确定晶面指数晶面指数的具体步骤如下：的具体步骤如下：1 1）以各晶轴点阵常数为度量单位）以各晶轴点阵常数为度量单位, ,求出晶面与三晶轴的截距求出晶面与三晶轴的截距m,n,pm,n,p；2 2）取上述截距的倒数）取上述截距的倒数1/m,1/n,1/p1/m,1/n,1/p；3 3）将以上三数值简为比值相同的三）将以上三数值简为比值相同的三个最小简

2、单整数个最小简单整数, ,即即其中其中e e为为m,n,pm,n,p三数的最小公倍数三数的最小公倍数,h,k,l,h,k,l为简单整数；为简单整数；4.4.将所得指数括以圆括号将所得指数括以圆括号, (hkl, (hkl) )即为即为密勒指数密勒指数。111:hklhklmnpeeexyz1 1）如果晶面通过原点）如果晶面通过原点, ,可将坐标适当平移可将坐标适当平移, ,再求截距。再求截距。晶面在晶轴上的相对截距系数越大晶面在晶轴上的相对截距系数越大, ,则在晶面指数中与该晶则在晶面指数中与该晶轴相应的指数越小。轴相应的指数越小。2 2）如果晶面平行于晶轴）如果晶面平行于晶轴, ,则晶面指数

3、为。则晶面指数为。3)3)如果晶面与某一晶轴的负端相交如果晶面与某一晶轴的负端相交, ,即在某晶轴的晶面指数即在某晶轴的晶面指数上方加一横线。如上方加一横线。如 表示该晶面与表示该晶面与x x轴的截距为负值。轴的截距为负值。4)4)如果晶面相互平行如果晶面相互平行, ,其指数相同其指数相同, ,如如(hkl(hkl) )与与 代表相代表相同的晶面。同的晶面。5 5）等效晶面族：）等效晶面族： 通常用通常用hklhkl 表示对称性联系的一组晶面表示对称性联系的一组晶面, ,它们称为等效晶面族。例如它们称为等效晶面族。例如, ,)( klh110: (110), (110), (110), (11

4、0), (101), (101), (101), (101), (011), (011), (011), (011)2 2、几点说明、几点说明)(lkh晶面晶面(hkl(hkl) )中相邻的两个晶面之间的垂直距离中相邻的两个晶面之间的垂直距离( (晶面间距晶面间距) )用用d d表示表示, ,这个这个d d值是表示由值是表示由(hkl(hkl) )规定的平面族中相邻两个平面规定的平面族中相邻两个平面之间的垂直距离。当点阵常数之间的垂直距离。当点阵常数a a、b b、c c、已知时已知时, , 即可用下列公式算出：即可用下列公式算出： 22 2222 222222sinsinsindV h b

5、ck a cl a b22(coscoscos )hkabc22(coscoscos )kla bc1222(coscoscos)hlab c12222(1 coscoscos2coscoscos )Vabc3 3、晶面间距、晶面间距单斜晶系：dsin(h2/a2k2sin2/b2l2/c22hlcos/ac)-1/2正交晶系：dh2/a2k2/b2l2/c2-1/2四方晶系：d(h2k2)/a2l2/c2-1/2六方晶系：d4(h2hkk2)/3a2l2/c2-1/2立方晶系：222hkladhkl 1.6 晶面指数及晶面间距晶面指数及晶面间距范例范例:abcm/lm/km/h画出晶面（10

6、0），（110），（111），（201），（211），（321）abc（100）画出晶面（100），（110），（111），（201），（211），（321）abc画出晶面（100），（110），（111），（201），（211），（321）abc画出晶面（100），（110），（111），（201），（211），（321）abc画出晶面（100），（110），（111），（201），（211），（321）abc画出晶面（100），（110），（111），（201），（211），（321）abc（200）、（333）等是否存在？具有公因子的晶面不存在 1.7 晶向指数晶向指数1、确定晶向指数的

7、步骤如下：、确定晶向指数的步骤如下： 过原点作一平行于该晶向的直线；过原点作一平行于该晶向的直线； 求出该直线上任一点的坐标求出该直线上任一点的坐标(以以a,b,c为单位为单位)； 把这三个坐标值之比化为最小整数比把这三个坐标值之比化为最小整数比,如如u:v:w; 将所得的指数括以方括号将所得的指数括以方括号u v w。 点阵中穿过若干结点的直线方向称为晶向，晶向指数用记号u v w表示。2、晶向指数的说明、晶向指数的说明1 1）平行于）平行于x x轴的晶向指数为轴的晶向指数为100100 平行于平行于y y轴的晶向指数为轴的晶向指数为010010 平行于平行于z z轴的晶向指数为轴的晶向指数

8、为001001 2 2）某一指数为负值时，在该指数上加一横线）某一指数为负值时，在该指数上加一横线u v wu v w 3)3)相互平行的晶向具有相同的指数，相互平行的晶向具有相同的指数，但但100100和和100100是一条线上的两个指向相反的方向，不能同等看待是一条线上的两个指向相反的方向，不能同等看待4 4）uvw 表示由对称性联系的一系列等同晶向，组成晶相族表示由对称性联系的一系列等同晶向，组成晶相族指数看特征，正负看走向指数看特征，正负看走向面心立方晶胞中的一些晶向及其指数面心立方晶胞中的一些晶向及其指数立方晶系一些重要的晶向指数立方晶系一些重要的晶向指数求求EFOEOHODOGOC

9、OBOA立方晶系：立方晶系：100,010,001等属于等属于晶向族晶向族其他晶系（如正交晶系）：其他晶系（如正交晶系）：100,010,001不是等同晶向不是等同晶向3、晶带、晶带 在晶体中如果许多晶面同时平行于一个轴向在晶体中如果许多晶面同时平行于一个轴向, ,前前者总称为一个者总称为一个晶带晶带, ,后者为后者为晶带轴晶带轴。 如立方晶体中如立方晶体中(100),(010),(110),(210),(100),(010),(110),(210),和和(120)(120)等晶面同时和等晶面同时和001001晶向平行，因此这些晶面构成了晶向平行，因此这些晶面构成了一个以一个以001001为晶

10、带轴的晶带。为晶带轴的晶带。 晶带中的每一个晶面称为晶带中的每一个晶面称为晶带面晶带面。用晶带轴的晶。用晶带轴的晶向指数代表该晶带在空间的位置，称为晶带符号。向指数代表该晶带在空间的位置，称为晶带符号。4、晶带定律、晶带定律晶带轴晶带轴uvwuvw与该晶带的晶面与该晶带的晶面(hkl)(hkl)之间存在之间存在以下关系（即以下关系（即某晶面属于某晶带的条件）：某晶面属于某晶带的条件）：huhukvkvlwlw0 0；晶带轴方向指数可由该晶带中两组已知不平行的晶晶带轴方向指数可由该晶带中两组已知不平行的晶面指数定出面指数定出: :（h1 k1 l1h1 k1 l1），（），（h2 k2 L2)h

11、2 k2 L2)u=k1l2-k2l1; v=l1h2-l2h1;w=h1k2-h2k1u=k1l2-k2l1; v=l1h2-l2h1;w=h1k2-h2k1同属于两个晶带的晶面指数同属于两个晶带的晶面指数, ,可由这两个晶带轴指可由这两个晶带轴指数定出数定出:u1 v1 w1,u2 v2 w2:u1 v1 w1,u2 v2 w2h=v1w2-v2w1; k=w1u2-w2u1; l=u1v2-u2v1h=v1w2-v2w1; k=w1u2-w2u1; l=u1v2-u2v1 1.8 六方晶系晶面指数和晶向指数六方晶系晶面指数和晶向指数六方晶系的晶面指数和晶向指数可以用两种指数来表示：六方晶

12、系的晶面指数和晶向指数可以用两种指数来表示：1、密氏指数密氏指数2、密布氏密布氏(Miller-Bravais）指数）指数密氏指数采用三轴坐标系密氏指数采用三轴坐标系(a1,a2,c)，晶面指数和晶向指数的，晶面指数和晶向指数的求法与以前求法与以前相似相似密布氏指数采用四轴坐标系密布氏指数采用四轴坐标系(a1, a2, a3, c),其中，其中，a1, a2, a3轴在同轴在同一平面上一平面上,轴间夹角均为轴间夹角均为120 , 且都与且都与c轴垂直。轴垂直。六方晶系指数六方晶系指数六方晶系的晶向指数和六方晶系的晶向指数和晶面指数同样可以应用晶面指数同样可以应用上述方法标定，这时取上述方法标定

13、，这时取a1，a2，c为晶轴，而为晶轴，而a1轴与轴与a2轴的夹角为轴的夹角为120度，度，c轴与轴与a1，a2轴相垂直。轴相垂直。但这种方法标定的晶面但这种方法标定的晶面指数和晶向指数，不能指数和晶向指数，不能显示六方晶系的对称性，显示六方晶系的对称性，同类型同类型 晶面和晶向，其晶面和晶向，其指数却不相雷同，往往指数却不相雷同，往往看不出他们的等同关系。看不出他们的等同关系。3、六方晶系晶面指数标定六方晶系晶面指数标定根据六方晶系的对称特点，对六方晶系采用根据六方晶系的对称特点，对六方晶系采用a1，a2，a3及及c四个晶轴，四个晶轴，a1，a2，a3之间的夹角均为之间的夹角均为120度，这样，度，这样，其晶面指数就以其晶面指数就以(h k i l）四个指数来表示。）四个指数来表示。 根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超过三根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超过三个。前三个指数中只有两个是独立的，它们之间存在以个。前三个指数中只有两个是独立的，它们之间存在以下关系：下关系：i ( h + k ) 。六方晶系一些晶面的指数六方晶系一些晶面的指数4、六方晶系晶向指数标定六方晶系晶向指数标定六方晶系晶向指数的表示六方晶系晶向指数的表示方法方法(c轴与图面垂直轴与图面垂直)