第一章质点力学

1、（ ）上海师范大学 数理学院上海师范大学上海师范大学 数理学院数理学院上课时间上课时间: : 2009 2009学年下学期学年下学期 每周星期一（每周星期一（6 6，7 7，8 8节）节） 1 1：30-1530-15：4545上课地点上课地点: : 教学楼四教教学楼四教A-402A-402教室教室主讲教师主讲教师: : 胡志娟胡志娟 E-mail: 预备知识预备知识: : 普通力学普通力学+ +高等数学高等数学理论力学理论力学：两个深化两个面向两个深化两个面向 方法上方法上: 严谨的数学描述严谨的数学描述普通力学数学应用深化普通力学数学应用深化 理论体系上：经典力学理论体系上：经典力学普通力

2、学基础上的理论深化普通力学基础上的理论深化面向中学物理教学与应用；面向中学物理教学与应用；面向学科发展前沿的知识与扩充。面向学科发展前沿的知识与扩充。讲课学时讲课学时（17周）：周）：（共（共19周，复习考试周，复习考试2周周） 51学时；其中：放假学时；其中：放假6 学时。学时。学分：学分：3学分学分学习成绩：学习成绩： 平时成绩平时成绩20期中期中10+期末期末70%=100%平时作业平时作业: 1. 习题习题 （周衍柏理论力学）（周衍柏理论力学）考试方式：考试方式：期中、末考试闭卷期中、末考试闭卷第一章：质点力学（第一章：质点力学（12学时）学时）第二章：质点组力学（第二章：质点组力学（

3、6学时）学时）第三章：刚体力学（第三章：刚体力学（12学时）学时）第四章：非惯性系动力学（第四章：非惯性系动力学（3学时）学时）第五章：分析力学（第五章：分析力学（10学时）学时）复复 习：习：2课时课时学习内容（学习内容（52学时）：学时）：绪绪 言言Nature and natures law lay hid in night； God said: let Newton be! And all was light！自然和自然规律为黑暗自然和自然规律为黑暗所蒙蔽，上帝说，让所蒙蔽，上帝说，让牛顿来！一切遂臻光牛顿来！一切遂臻光明！明！物质层次物质层次线度线度重要运动形式重要运动形式相互作用能

4、量相互作用能量重要研究科学重要研究科学宇宇 观观10108 8m m天体运动天体运动1010-15-15焦耳焦耳宇宙学、天体宇宙学、天体物理物理 宏宏 观观1010-1-110103 3m m机械运动机械运动1010-14-141010-7-7焦焦耳耳经典力学、理经典力学、理论力学论力学 亚宏观亚宏观1010-6-61010-3-3m m热运动热运动1010-7-71010-5-5焦焦耳耳热学、统计物热学、统计物理理 原子原子1010-10-101010-9-9m m电磁运动电磁运动1010-2-210105 5焦耳焦耳电磁学、原子电磁学、原子物理物理核和亚核和亚 核核1010- 1 4- 1

5、 41010- -1313m m核运动核运动10107 710108 8焦耳焦耳核物理、高能核物理、高能物理物理夸克夸克1010101111焦耳焦耳粒子物理、色粒子物理、色动物理动物理 一、理论力学研究对象一、理论力学研究对象 物理学是研究物质性质、结构、运动规律的科学。世界物质可物理学是研究物质性质、结构、运动规律的科学。世界物质可分为不同层次、不同运动级别，因而有相应的主要研究科学：分为不同层次、不同运动级别，因而有相应的主要研究科学： 理论力学理论力学是研究宏观物体低速机械运动是研究宏观物体低速机械运动( (即一个物体相对另即一个物体相对另一个物体发生位移变化一个物体发生位移变化) )规

6、律的科学。规律的科学。机械运动机械运动指物体的位形随时间变化。包括指物体的位形随时间变化。包括: :平动、转动、流动、平动、转动、流动、变形、静止等。变形、静止等。根据研究对象性质分：质点力学、刚体力学、连续介质力学根据研究对象性质分：质点力学、刚体力学、连续介质力学（流体弹性、塑性）（流体弹性、塑性）（近年来，连续生命现象中力学问题也越近年来，连续生命现象中力学问题也越来越受到重视，从而形成了来越受到重视，从而形成了“生物力学生物力学”这样的分支）这样的分支）二、理论力学研究方法二、理论力学研究方法总结实验规律，总结实验规律， 建立物理模型，建立物理模型， 提出合理假设，提出合理假设， 数学

7、演译、数学演译、逻辑推理逻辑推理 ， 探讨规律，探讨规律， 实验验证实验验证 。理论力学与普通物理的力学不同点是：理论力学与普通物理的力学不同点是：逻辑推理、数学演译逻辑推理、数学演译更强。主要数学要求是：微积分和解常系数微分方程。更强。主要数学要求是：微积分和解常系数微分方程。理论力学主要研究：质点、质点组、刚体。理论力学主要研究：质点、质点组、刚体。 理论力学分为理论力学分为矢量力学矢量力学（即牛顿力学）和（即牛顿力学）和分析力学分析力学两大部分。两大部分。 矢量力学矢量力学是以是以牛顿运动定律为基础牛顿运动定律为基础，从分析质量和物体受，从分析质量和物体受力情况，由此探讨物体的机械运动规

8、律。在矢量力学中，涉及力情况，由此探讨物体的机械运动规律。在矢量力学中，涉及的量多数是矢量，如力、动量、动量矩、力矩、冲量等。力是的量多数是矢量，如力、动量、动量矩、力矩、冲量等。力是矢量力学中最关键的量。矢量力学中最关键的量。三、理论力学的内容结构三、理论力学的内容结构 分析力学分析力学以以达朗伯原理为基础达朗伯原理为基础，从分析质量和质量系能量情，从分析质量和质量系能量情况，由此探讨物体机械运动规律。分析力学中涉及的量多数是况，由此探讨物体机械运动规律。分析力学中涉及的量多数是标量，如动能、势能、拉格朗日函数、哈密顿函数等。动能和标量，如动能、势能、拉格朗日函数、哈密顿函数等。动能和势能是

9、最关键的量。势能是最关键的量。 我国我国墨翟（前墨翟（前468-382468-382）学派著作）学派著作墨经墨经有重心、力有重心、力 的的 概念。概念。“力，形之奋也力，形之奋也”。古希腊。古希腊亚里士多德亚里士多德（前（前 384 384 322322）“力是维持速度的原因力是维持速度的原因”。四、发展简史四、发展简史：阿基米德阿基米德 ( (公元前公元前287-287-前前212),212),古希腊伟大的古希腊伟大的数学家、力学家。后人对阿基米德给以极高数学家、力学家。后人对阿基米德给以极高的评价，常把他和的评价，常把他和I. I.牛顿、牛顿、C.F.C.F.高斯并列为有高斯并列为有史以来

10、三个贡献最大的数学家。他的生平没史以来三个贡献最大的数学家。他的生平没有详细记载，但关于他的许多故事却广为流有详细记载，但关于他的许多故事却广为流传。据说他确立了力学的杠杆定律之后，曾传。据说他确立了力学的杠杆定律之后，曾发出豪言壮语：发出豪言壮语：“给我一个立足点，我就可给我一个立足点，我就可以移动这个地球！以移动这个地球！”Zhaozhou Bridge, apply the structure of low arc, built in Sui dynastyEarthquake detection instrument,apply the theory of inertia force.

11、 Produced by Zhangheng, In DongHan dynasty.Ligneous tower , Shanxi province, built in 1056.It is the earliest higher tower which use wood as the main material.Implies the basic theory of equilibrium and the carrying capacity of materials.牛顿力学的建立：在牛顿力学的建立：在哥白尼哥白尼( (日心说日心说) )推翻了推翻了托勒玫托勒玫的地心说，的地心说， 和在和

12、在第谷布拉赫第谷布拉赫积累的天文观察资料基础上积累的天文观察资料基础上, ,开普勒开普勒发现了发现了 行星三定律行星三定律总结万有引力定律，总结万有引力定律，牛顿牛顿总结了三定律，总结了三定律， 16871687自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理。 分析力学分析力学: :（17881788）拉格朗日力学拉格朗日力学建立建立( (至此认为力学天衣至此认为力学天衣 无缝无缝) ) 近代力学：近代力学：1919世纪末世纪末2020世纪初出现了经典力学无法解释的世纪初出现了经典力学无法解释的 矛盾。矛盾。 1 1）高速（与）高速（与c c比）：相对论（比）：相对论（爱因斯坦爱因斯坦）；）； 2 2）

13、微观粒子：）微观粒子： 量子力学（量子力学（薛定格薛定格）；）； 3 3）纳米技术：）纳米技术：0.10.1100nm100nm尺度起关键作用。尺度起关键作用。( (原子直径原子直径 1010-10-10, , 人头发人头发1010-4-4, , 人人10100 0 (1 (1纳米纳米=10=10-9-9米）米） 10-1610-1410-1210-1010-810-610-210-4100102m质子直径质子直径氢原子直径氢原子直径人头发直径人头发直径人人纳米器件纳米器件MEMSMEMS典型人造器件典型人造器件 准确认真掌握基本概念（理论推导易掩盖物理实质），准确认真掌握基本概念（理论推导易

14、掩盖物理实质）， 作为一门专业课，学习理论力学务必在以下三个方面达到要作为一门专业课，学习理论力学务必在以下三个方面达到要求；准确地理解基本概念；熟悉基本定理和公式，并能在正确求；准确地理解基本概念；熟悉基本定理和公式，并能在正确条件下会用；最后学会处理一些理论力学的一些基本问题。条件下会用；最后学会处理一些理论力学的一些基本问题。 通过钻研例题习题，使认识逐步深化通过钻研例题习题，使认识逐步深化 参考书：朱照宣，梁昆淼，胡惠玲，肖士参考书：朱照宣，梁昆淼，胡惠玲，肖士珣珣，梁昆淼等理力，梁昆淼等理力 用途用途：四四. . 如何学习理论力学如何学习理论力学 成绩评定采用成绩评定采用100100

15、分制，分制，6060分为及格线，平时成分为及格线，平时成绩占绩占30%30%，期末考试占，期末考试占70%70%。 平时成绩：主要以平时作业完成情况、实验报告、平时成绩：主要以平时作业完成情况、实验报告、课堂纪律和回答问题情况以及中期考查情况综合定量课堂纪律和回答问题情况以及中期考查情况综合定量评定。评定。 作业成绩：缺交一次作业扣作业成绩：缺交一次作业扣2 2分；迟交作业一次分；迟交作业一次扣扣1 1分；欠作作业分；欠作作业1 1题扣题扣0.50.5分；分； 2020分扣完为止。分扣完为止。 点到：（迟到点到：（迟到一一次扣次扣2 2分，旷课三次以上平时成分，旷课三次以上平时成绩为绩为0 0

16、分）分） 奖励分：鼓励大家根据所学知识撰写小论文，论奖励分：鼓励大家根据所学知识撰写小论文，论文有一定新意，奖励文有一定新意，奖励5 5分；论文能发表在省级刊物，分；论文能发表在省级刊物，奖励奖励1010分；论文能发表在核心期刊，奖励分；论文能发表在核心期刊，奖励2020分。分。五五. .评估体系评估体系第一章第一章 质点力学质点力学第一章第一章 质点力学质点力学 1.1 1.1 运动的描述运动的描述一、参考系与坐标系一、参考系与坐标系1. 1. 参照系：参照系：为研究物体的运动需要选定某物作为参考标准为研究物体的运动需要选定某物作为参考标准 （参照物），在其上作不共面的三条直线为一框（参照物

17、），在其上作不共面的三条直线为一框 架与参照物固连，这框架可代表参考物架与参照物固连，这框架可代表参考物 称参考系（立场）。称参考系（立场）。注：注： 参照物是有限大小，但定上框架后，框架可延长到无参照物是有限大小，但定上框架后，框架可延长到无 穷远，可见参照系可理解为参照物固连的整个空间；穷远，可见参照系可理解为参照物固连的整个空间； 观察者是站在参照系的观察点上；观察者是站在参照系的观察点上； 不特别说明都以地球为参照系。不特别说明都以地球为参照系。2 2坐标系：坐标系：参照系确定后，在参照系上选择适宜的坐标系，参照系确定后，在参照系上选择适宜的坐标系， 便于用数学方式描述质点在空间的相对

18、位置（方法）便于用数学方式描述质点在空间的相对位置（方法） 在有的情况下，可能只有参照系，而不一定有真实的参照物在有的情况下，可能只有参照系，而不一定有真实的参照物例如，设想从地球中心出发，引出三根线，指向三个恒星这个标例如，设想从地球中心出发，引出三根线，指向三个恒星这个标架的原点架的原点(三条线的交点三条线的交点)与地心与地心起运动，标架的三根轴方向不变，起运动，标架的三根轴方向不变，为地心参照系但是并不存在真实的为地心参照系但是并不存在真实的参照物参照物，它和地心参考系标架相，它和地心参考系标架相固连地球本身在地心参考系中绕某一根固定轴固连地球本身在地心参考系中绕某一根固定轴(由地心指向

19、北极星由地心指向北极星附近的一个点附近的一个点)旋转，每旋转，每86146秒秒(一个恒星日一个恒星日)转过转过2弧度以后我们弧度以后我们就只提参照系，而不提参照物了一般工程技术问题中，如果不特就只提参照系，而不提参照物了一般工程技术问题中，如果不特别声明，总是选取地球作为参照系别声明，总是选取地球作为参照系 (1) (1) 质点：理想模型，有一定质量的几何点（物体形状可忽质点：理想模型，有一定质量的几何点（物体形状可忽 略，物体作平动）略，物体作平动）kzj yi xr直角坐标系直角坐标系: : 3 3质点及位置的描述质点及位置的描述 极坐标极坐标:柱坐标柱坐标:球坐标球坐标:自然坐标：如铁路

20、。自然坐标：如铁路。(2)(2) 位置描述：位置描述： 质点相对某参照系的位置，可由位矢质点相对某参照系的位置，可由位矢 r 确定确定; 坐标描述：坐标描述：yxzPOr二、运动学方程及轨道二、运动学方程及轨道1. 1. 运动方程运动方程: :)()()(tzztyytxx坐标表示法：直角坐标坐标表示法：直角坐标当质点运动时当质点运动时 r=r(t) 称为质点的运动的方程，称为质点的运动的方程，它是时间它是时间 t 的单值连续函数。是确定点的的单值连续函数。是确定点的位置随位置随时间的变化规律的数学表达式。时间的变化规律的数学表达式。yxzOr 描述运动的数学方法有三种：描述运动的数学方法有三

21、种：矢量表示法（几何表示法）：矢量表示法（几何表示法）：坐标表示法（分量表示法）；坐标表示法（分量表示法）；自然表示法（内蕴表示法）；自然表示法（内蕴表示法）；)(trr二、运动学方程及轨道二、运动学方程及轨道1. 1. 运动方程运动方程: :2. 2. 轨道：轨道：质点运动过程中在空间描述出的连续曲线质点运动过程中在空间描述出的连续曲线, , 运动学方程中消去运动学方程中消去 t t 得轨道方程。得轨道方程。 ( (直线运动、曲线运动直线运动、曲线运动) )()(ttrr极坐标极坐标( (平面运动平面运动) ) 三、位移、速度、加速度三、位移、速度、加速度1. 1. 位移位移 ： 质点由质点

22、由A A经经t t 到到B B 则则 称质点在时间称质点在时间t t 内的位移内的位移 注意注意: : 位移是矢量；位移是矢量； 位移与路径不同位移与路径不同 时时, , ABrtrttr)()(0tdsr rvdtvdtvat 0lim3. 3. 加速度：加速度：rdtrdtrvt0lim2. 2. 速度：速度：dtdststrvtt00limlim大小大小: : 方向：沿该曲线的切线指向运动的一方。方向：沿该曲线的切线指向运动的一方。yxzAOBrr(t)r(t+t) 1.2 1.2 速度、加速度分量表示式速度、加速度分量表示式一、直角坐标系：一、直角坐标系：kzjyixr1. 1. 速度

23、速度: :kvjvivkzjyixkdtdzjdtdyidtdxdtrdvzyxyvzvxvyzx,分量式分量式: :222|zyxvv大大 小小: :方向余弦方向余弦: :vvvvvvzyxcos,cos,cos2. 加速度加速度:kzj yi xkdtdvjdtdvidtdvdtvdazyx kajaiazyxzayaxazyx 222|zyxaa 例题例题1. 1. 求椭圆规尺上求椭圆规尺上M M点的轨道方程、速度和加速度点的轨道方程、速度和加速度 yxcBOrAM(x,y)ba解解: : 1)1)选择参照系选择参照系, ,坐标系坐标系12222aybx消去参数消去参数得轨道方程得轨道方

24、程: :sincosaybx速度分量速度分量: :cbaybayxxBBBBsin)(cos)(0, 0sin)(bac)(sin)(sin,cot)(sin)(cosbaacbaacygbabcbabcxcossinaybx2)2)写出写出M M点的坐标点的坐标22222cot gbabacyxvM0sin1)(sin)(csc)(csc)(22222ybabcbacbabcbabcx 3224221)(xbacbyxaaM 小结小结:1) :1) 参照系，坐标系（立场和方法）参照系，坐标系（立场和方法） 2 2）已知）已知r=r(t), 求求v, a 3) 3) 已知已知a, v, 求运动

25、求运动 r=r(t)二、平面极标系：二、平面极标系：当质点作平面运动时，可用直角坐当质点作平面运动时，可用直角坐标系，但有时选平面极坐标方便。标系，但有时选平面极坐标方便。如：行星的运动。如：行星的运动。i为径向单位矢为径向单位矢, , 沿径向沿径向; ;j横向单位矢横向单位矢, ,垂直于径向并指向垂直于径向并指向增加的方向增加的方向. .质点运动方程质点运动方程: : )()(titrri ri ri rdtdv)(速度速度: :dtjddtid,1. 1.先求先求: : j i P rx j i j i 1|iii0di d |ii d方向沿方向沿jjdi djjdtddti d)(),(

26、ttrr j i P r O 极轴极轴极径极径idtjd同理可得同理可得: :2. 2. 速度分量式速度分量式: :jvivjri ri ri rvrrvr: : 速度径向分量，称为径向速度，是矢径量值速度径向分量，称为径向速度，是矢径量值 变变 化产生的。化产生的。rv: :速度横向分量，称为横向速度，是矢径方向变化产生的。速度横向分量，称为横向速度，是矢径方向变化产生的。2222)(|rrvvvr大小大小: :3. 3. 加速度分量式加速度分量式: :jaiajrrirrirjrjrirjrjrjririrvrar )2()(222jaiajrrirrar )2()(2 rra2：加速度横

27、向分量，称为横向加速度。：加速度横向分量，称为横向加速度。 是横向速度量值变化产生的，是横向速度量值变化产生的， 是径向速度方是径向速度方向变化产生的。向变化产生的。 rr rkzi rkzrR4. 4. 推广到柱坐标推广到柱坐标: :kzjri rRvkzjrrirra )2()(2 yx zPOr R2 rrar：加速度径向分量，称为径向加速度。：加速度径向分量，称为径向加速度。 是径是径 向速度量值变化产生的。向速度量值变化产生的。 是横向速度方是横向速度方 向变化产生的。向变化产生的。2rr 例例2. 2. 已知一质点的运动方程为已知一质点的运动方程为: :avbterct,求解解:

28、:rbrvcrcervctrjrbicrvrbcrbecrractr)(22222 jbci rbca2)(22bcrrra22 三、自然坐标系：三、自然坐标系： yxPO0-+n1. 1. 自然坐标自然坐标: : 当质点沿曲线运动时，在曲线上选当质点沿曲线运动时，在曲线上选一点一点O O为起点，规定一正向为弧坐标为起点，规定一正向为弧坐标的正向（如弧长增加的方向），则质的正向（如弧长增加的方向），则质点的位置由运动方程点的位置由运动方程 s s= =s s( (t t) ) 描述。描述。规定：规定：为切向单位矢，沿轨道切线并指向为切向单位矢，沿轨道切线并指向s s增加的方向。增加的方向。 n

29、为法向单位矢，沿轨道上该点法线指向为法向单位矢，沿轨道上该点法线指向 s s 的凹侧。的凹侧。 ( (, n ) )构成平面自然坐标系。构成平面自然坐标系。jisincos2. 2.jijincossin)2(sin)2(cosndtdnjidtd)cossin(3. 3. 速度速度sdtdsdtrdvdtdsv 表示速度在切线的投影，表示速度在切线的投影，0dtds表示沿弧坐标正向表示沿弧坐标正向, ,0dtds表示沿弧坐标反向表示沿弧坐标反向, ,4. 4. 加加 速度速度 nvsssdtvda 2dtdvsa 描述速度大小随时间的变化率描述速度大小随时间的变化率2van描述速度方向随时间

30、的变化率描述速度方向随时间的变化率ddsdtdsvadsdvvdtdsdsdvdtdvan,yy 232)1 (5. 5. 密切面密切面: : 曲线上无限靠近的两点的切线构成的平面叫做该曲线上无限靠近的两点的切线构成的平面叫做该 点的密切面点的密切面. . d在密切面内在密切面内，n 与与 d同向同向，故故 n 在密切面内在密切面内, , 所以所以 a 在密切面内在密切面内， n 为主法线方向单位矢为主法线方向单位矢,定义定义: b= n 垂直于密切面垂直于密切面, , 称为副发线方向单位矢称为副发线方向单位矢(, n , b)构成空间正交自然坐标系。构成空间正交自然坐标系。bonvdtdva

31、2其分解完全取决于曲线的形状，与选取的坐标系无关其分解完全取决于曲线的形状，与选取的坐标系无关, , 称称为为内禀方程。内禀方程。补充：质点运动的球坐标描述补充：质点运动的球坐标描述 球坐标系基矢满足球坐标系基矢满足eeereeer0rreeeeee球坐标系中的基矢不是常矢量球坐标系中的基矢不是常矢量, , 应该把矢量沿应该把矢量沿质点所处位置的基矢，质点所处位置的基矢，“就地就地”进行正交分解进行正交分解. . 质点的运动学方程质点的运动学方程 ：)(),()()(ttetrtrrrtrtrvt0limdderererrsinterererrtsinlim0球坐标系中的加速度公式可按矢量导数

32、定义求导得出球坐标系中的加速度公式可按矢量导数定义求导得出, , 但比较复杂但比较复杂, , 将在将在后面用分析力学的方法导出后面用分析力学的方法导出. . 例例3. 3. 已知质点沿螺旋线运动已知质点沿螺旋线运动, ,:.44cos2,4sin2avtztytx求25320320,4cos32,4sin325444sin8,4cos82222222nnavaadtdvazyxaztytxzyxvztytx 解解: :32222222222)()()(1:zyxz zyyxxzyxzyx 亦可例例4. 4. 质点由质点由y2=2px的正焦弦的正焦弦(p/2,p)以以v v出发出发, , 求到达

33、正焦弦的另一端时的速率求到达正焦弦的另一端时的速率. . 已知已知, , a=-2kandtdkvddsdtdsvkvkdtdvkaan22222即由解解: : 建立弧坐标建立弧坐标, , 自然坐标系自然坐标系n(p/2,p)(p/2,-p)2121)(2124/7, 4/51tan, 1tan,tan)(2lnln221221kkvuuevggpydxdyguevkuvkdvdvkdvdv 1.3 1.3 平动参照系平动参照系一一 时间与空间时间与空间 小车以较低的速度小车以较低的速度 沿水平轨道先后通过点沿水平轨道先后通过点 A A 和点和点 B B . . 地面上人测得车通过地面上人测得

34、车通过 A A、B B 两点间的距两点间的距离和时间与车上的人测量结果相同离和时间与车上的人测量结果相同 . .vvBA 在两个相对作直线运动的参考系中，在两个相对作直线运动的参考系中， 时间的测量时间的测量是绝对的，空间的测量也是绝对的，是绝对的，空间的测量也是绝对的， 与参考系无关，与参考系无关， 时间和长度的的绝对性是经典力学或牛顿力学的基础时间和长度的的绝对性是经典力学或牛顿力学的基础 . .相对运动相对运动运动具有相对性运动具有相对性球作曲线运动球垂直往返如何变换？如何变换？物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系二二 相对运动相对运动 1.3 1

35、.3 平动参照系平动参照系物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系二二 相对运动相对运动zz*yyxxuoo0tp pu vv速度变换速度变换utrtrDrr位移关系位移关系 rP质点在相对作匀速直线运动的两个坐标系中的位移质点在相对作匀速直线运动的两个坐标系中的位移tuuxxy yz ztto orQQS 系系 系系 ) (zyxO)(OxyzSD p 1. 31. 3平动参照系平动参照系不同参照系下研究不同参照系下研究p p点的运动的关系点的运动的关系: : jiAror jiOrrrrrrr00其中：其中：vdtrdr 为为P P对静系对静系S S的速

36、度，的速度，称为称为p p点的点的绝对速度绝对速度。vdtrdr 为为P P对动系对动系SS的速度，称为的速度，称为P P点的点的相对速度相对速度; ;00vr为动系对为动系对S S的速度的速度, , 称为称为牵连速度牵连速度; ;0vvv三、绝对速度、相对速度、牵连速度绝对速度、相对速度、牵连速度说明说明: P: P点同时参与两个运动点同时参与两个运动; ; P P点对点对SS的运动的运动, P, P点被点被SS带动着一起以带动着一起以v v0 0 的运的运动动例例5: 5: 某人以某人以4km/h向东前进向东前进, , 感觉风从正北吹来感觉风从正北吹来, ,以以8km/h向东向东 前进前进

37、, , 感觉风从东北吹来感觉风从东北吹来, , 求风速和风向求风速和风向. .解解: : 1) 1) 先确定是相对运动问题先确定是相对运动问题, , 一个被考察的质点和两个坐相一个被考察的质点和两个坐相 对运对运 动的参考系动的参考系 2) 2) 确定动系和静系确定动系和静系vvPv绝对速度相对速度风质点人动系地静系,:,:0ivjvvivjvviv 22228400ivjvivjvivvvv 222284:0由 北北东东4iv8ivvjivvvvvvyx44222284 解得例例6: 6: vvv0:由选取极坐标选取极坐标, , 得得sin12cvvvcvvvororr20:)(:cvvvr

38、人拉绳的径向绝对速度未知相对速度牵连速度解解: :Ac2c1dkrdrccrddrcdtdrcdtdrsin1,sin,sin1212)2/(tanlntantan2/cos2/sin2sinlnCgkggdkdkdkrkkkkkkkkggrrggrrgrgrgrCCgrrrttantan,tantanlnlntanlnlntanlnlntanlnlntanlnln,0000000000000时二、绝对加速度、相对加速度、牵连加速度绝对加速度、相对加速度、牵连加速度a 为为P P对静系对静系S S的加速度，称为的加速度，称为P P点的绝对加速度。点的绝对加速度。a为为P P对隽隽系对隽隽系SS

39、的加速度，称为的加速度，称为P P点的相对加速度点的相对加速度; ;a0 为动系对为动系对S S的加速度的加速度, , 称为牵连加速度称为牵连加速度; ;SS对对S S作匀加速直线运作匀加速直线运动动0vvv由由0aaa得得: :50作业_P761 - 41 - 61- 111- 17 1.4 1.4 质点运动定律质点运动定律1. 1. 第一定律是第二定律所不可缺少的前提第一定律是第二定律所不可缺少的前提, , 因为第一定律为整个因为第一定律为整个力学体系选定了一类特殊的参考系力学体系选定了一类特殊的参考系-惯性参考系惯性参考系着重明确着重明确:注：注：地球自转在赤道附近产生的加速度约为地球自

40、转在赤道附近产生的加速度约为3 10-2m/s2 地球绕太阳公转产生的加速度约为地球绕太阳公转产生的加速度约为6 10-3 m/s2力的独立作用原理力的独立作用原理牛牛 顿顿 三三 定定 律律完完 整整 的的 牛牛 顿顿 力力 学学 理理 论论 体体 系系牛顿力学：牛顿力学：牛顿三定律为基础的动力学理论和牛顿的万牛顿三定律为基础的动力学理论和牛顿的万有引力定律（引力理论）有引力定律（引力理论）. . 一般工程问题，地球可以看作惯性参考系一般工程问题，地球可以看作惯性参考系; ;如果物体运动的尺如果物体运动的尺度很大，问题精确度要求很高度很大，问题精确度要求很高, ,应当考虑地球自转的影响应当考

41、虑地球自转的影响, ,可取地可取地心为惯性参考系心为惯性参考系; ; 在分析行星的运动时在分析行星的运动时, ,地心本身作公转地心本身作公转, ,必须取必须取日心参考系日心参考系. . 太阳本身在银河系的加速度大约是太阳本身在银河系的加速度大约是3 3 1010-10-10米米/ /秒秒2 2, ,一一般来说可以不用考虑了般来说可以不用考虑了, ,可以认为足够精确的了可以认为足够精确的了. . 目前最好的实用惯性系目前最好的实用惯性系, 是以选定的是以选定的1 535颗恒星的平均静止位颗恒星的平均静止位形作为基准的参考系形作为基准的参考系 FK4系系3. 3. 牛顿第三定律牛顿第三定律 两个质

42、点间的作用力和反作用力总是同时成对出现两个质点间的作用力和反作用力总是同时成对出现, , 大小相大小相等等, , 方向相反方向相反, , 作用在同一条直线上作用在同一条直线上. . 2. 2. 第二定律中的质量是惯性质量第二定律中的质量是惯性质量, ,与万有引力中的质量相比与万有引力中的质量相比, ,近年近年来的实验结果已经证实相差不到来的实验结果已经证实相差不到1010-12-12. . 爱因斯坦把引力质量等于爱因斯坦把引力质量等于惯性质量作为广义相对论的基本公设惯性质量作为广义相对论的基本公设. .4. 4. 力的独立作用原理力的独立作用原理: : 如果一个质点同时受多个力的作用如果一个质

43、点同时受多个力的作用, , 这些力各自产生的动力这些力各自产生的动力学效果不受其他力存在的影响学效果不受其他力存在的影响. . mFa11mFa22mFann naaaa21namamamam21inFFFF21),(trrFrmi 力的独立作用原理指出力的独立作用原理指出, , 力不可以是加速度的函数力不可以是加速度的函数. . 5. 5.经典力学中的力经典力学中的力 1 1）在牛顿力学中）在牛顿力学中, , 力由牛顿第二定律定义力由牛顿第二定律定义. . 牛顿第二、第三牛顿第二、第三定律指出定律指出: : 力是物体间的相互作用力是物体间的相互作用, , 力的动力学效果是使受力质力的动力学效

44、果是使受力质点产生加速度点产生加速度. . 2 2）万有引力定律）万有引力定律: : 任何两质点间均存在相互作用引力任何两质点间均存在相互作用引力, , 方向方向沿两质点连线沿两质点连线, , 大小为大小为: : 221/rmGmF 3 3）经典力学中其他常见的力：重力；弹簧弹性力；柔软绳）经典力学中其他常见的力：重力；弹簧弹性力；柔软绳的张力；刚性线或面的支撑力；刚性线或面的摩擦力；洛伦兹的张力；刚性线或面的支撑力；刚性线或面的摩擦力；洛伦兹力；质点在流体中受流体阻力力；质点在流体中受流体阻力. .6. 6.力学相对性原理和经典力学时空观力学相对性原理和经典力学时空观 （1 1）力学相对性原

45、理）力学相对性原理 : 对任何惯性系，力学运动规律完全相对任何惯性系，力学运动规律完全相同同.或者说，对力学运动规律而言，一切惯性系都是等价的或者说，对力学运动规律而言，一切惯性系都是等价的. （2 2）经典力学时空观）经典力学时空观: : 经典力学中认为时间和空间都是均匀经典力学中认为时间和空间都是均匀的、各向同性的；时间和空间是互相独立的；空间距离和时间的、各向同性的；时间和空间是互相独立的；空间距离和时间间隔是绝对的，和参考系的选取无关，不因参考系的运动而变间隔是绝对的，和参考系的选取无关，不因参考系的运动而变化化.经典力学时空观又称绝对时空观经典力学时空观又称绝对时空观. （3 3）伽

46、利略变换）伽利略变换 :伽利略变换是力学相对性原理和经典力学伽利略变换是力学相对性原理和经典力学时空观的集中体现时空观的集中体现ovvvovvvaattzzyytvxxo或或ttzzyytvxxo7. 7.牛顿力学的特点牛顿力学的特点 古希腊几何学在牛顿身上有重大影响古希腊几何学在牛顿身上有重大影响, ,自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理一书的结构是以欧几里德的一书的结构是以欧几里德的几何原本几何原本为样本的为样本的. . 现代牛顿现代牛顿力学也遵循这种思路力学也遵循这种思路, , 而形成而形成“公理化公理化” ” 的模式的模式. . “西方科学的发展是以两个伟大成就为基础的，那就是：希西方

47、科学的发展是以两个伟大成就为基础的，那就是：希腊哲学家发明的腊哲学家发明的形式逻辑体系形式逻辑体系(在欧几里德几何学中在欧几里德几何学中)以及以及(在文在文艺复兴时期艺复兴时期)发现通过发现通过系统的实验系统的实验可能找出因果关系。可能找出因果关系。” 爱因斯坦爱因斯坦8. 8.牛顿力学的适用范围：牛顿力学的适用范围：低速、宏观和弱引力低速、宏观和弱引力矢量力学矢量力学几何关系几何关系牛顿力学：质点、确定性的牛顿力学：质点、确定性的. . 1.5 1.5 质点运动微分方程质点运动微分方程一、微分方程建立一、微分方程建立1. 1. 自由质点的运动自由质点的运动 限制质点运动的条件称为约束，不受约

48、束作用的质点称为限制质点运动的条件称为约束，不受约束作用的质点称为 自由质点。自由质点。) ,(),;(为已知且为合力FtrrFrm 1) 1) 直角坐标系直角坐标系: :tzyxzyxFzmtzyxzyxFymtzyxzyxFxmzyx, 三个二阶常微分方程构成微分方程组，给出初始条件：三个二阶常微分方程构成微分方程组，给出初始条件： 可解得质点的运动规律。可解得质点的运动规律。orrrrt,0时2)2)平面极坐标平面极坐标: : 若质点在若质点在xOy平面上运动平面上运动: :yxFymFxm ),(2),(trrFrrmtrrFrrmr 或或2. 2. 非自由质点的约束运动非自由质点的约

49、束运动 若质点被限制在某一曲线或曲面上运动若质点被限制在某一曲线或曲面上运动, ,该曲线或曲面称该曲线或曲面称为为约束约束, , 其方程为其方程为约束方程约束方程, , 约束对质点的作用力为约束力约束对质点的作用力为约束力( (约束反力约束反力), ),约束力是待定的约束力是待定的, ,取决于约束本身的性质取决于约束本身的性质, ,质点的质点的运动状态及其质点受主动力的情况运动状态及其质点受主动力的情况, ,只靠约束力不能引起质只靠约束力不能引起质点的运动点的运动, ,故称故称约束力为被动力约束力为被动力. .一般采用自然坐标系一般采用自然坐标系.RFrm 主质点运动的约束微分方程：质点运动的

50、约束微分方程：1) 1) 光滑约束，约束力在轨道的法平面内光滑约束，约束力在轨道的法平面内)3(0)2()1 (2bbnnRFRFvmFdtdvm(1)(1)式求出运动规律式求出运动规律,(2),(2)和和(3)(3)解出约束力解出约束力, ,方便之处在于方便之处在于运动规律和约束力可分开求解运动规律和约束力可分开求解. . b R F n2) 2) 非光滑约束非光滑约束)3(0)2()1 (2bbnnRFRFvmRFdtdvm22222bnbnNRRRRRRRR4 4个方程个方程4 4个未知数个未知数, ,可解可解一、运动微分方程求解一、运动微分方程求解 两类基本问题：两类基本问题： 1)1

51、)已知运动求力已知运动求力 2)2)已知力求运动，解微分方程，为理论力学主要已知力求运动，解微分方程，为理论力学主要 课题。课题。 解体步骤：解体步骤：1 1）作图，受力分析）作图，受力分析; ; 2 2）写出方程，选坐标系投影）写出方程，选坐标系投影; ; 3 3）积分求解，分析解的物理意义）积分求解，分析解的物理意义. .设设沿沿x轴的轴的电场强度为：电场强度为： tEExcos0电子所受的力则为：电子所受的力则为： teEeEFxcos0根据牛顿运动定律，电子运动的微分方程为：根据牛顿运动定律，电子运动的微分方程为： teEdtdvmdtxdmcos0221. 1. 力仅是时间的函数力仅

52、是时间的函数, , F=F(t)例例: :研究自由电子在沿研究自由电子在沿x x轴的振荡轴的振荡电场电场中的运动中的运动teEdtdvmdtxdmcos022设起始条件是：当t = 0 时， 0vv 上式积分一次得：tmeEmeEvvsinsin000 振荡项振荡项与电场具有相同的角频率 ，且与初始条件无关。非振荡项非振荡项与起始条件有关，对波的传播特性无贡献，只能影响波到达的前沿位置。 tmeEtmeEvmeExxcossincos2000200上式积分一次得：0 xx 设起始条件是：当t = 0 时， tmeEmeEvvsinsin000dtdxv 讨论讨论: :该问题与无线电波在高密度自

53、由电子的电离层中传播类似该问题与无线电波在高密度自由电子的电离层中传播类似1) 1) 为振荡项为振荡项, ,电子在电场的作用下的受迫振动电子在电场的作用下的受迫振动, , 产生产生 电磁波电磁波, ,对电磁波的传播有贡献对电磁波的传播有贡献; ;2) 2) 其余部分描述电子的匀速直线运动其余部分描述电子的匀速直线运动, , 对电磁波的传播没有贡对电磁波的传播没有贡 献献, ,仅给出电子的细致运动仅给出电子的细致运动; ;3) 3) 可以证明可以证明( (在高频下在高频下) )电离层中电离层中: :)cos(020tmeE1),(112rreerecvnmne相速为电极化率为电子密度 因此因此,

54、 ,任何入射到电离层的电磁波都可以折回到地面任何入射到电离层的电磁波都可以折回到地面, ,当当11时时e e0, 0, 即即, ,微波可以通过电离层微波可以通过电离层. .2. 2. 力仅是速度的函数力仅是速度的函数 F=F(v)1) 1) 研究质点重力场中考虑阻力的运动研究质点重力场中考虑阻力的运动概述：普物中忽略阻力概述：普物中忽略阻力( (零级近似零级近似): ):2/cos2tan2/sincos:220220020000gthyxvggygttvytvx自由落体抛体 但速度较大时，阻力不能忽略。空气阻力比较复杂但速度较大时，阻力不能忽略。空气阻力比较复杂, , 阻力的阻力的大小与物体的大小有关。详细研究是腔外弹道学大小与物体的大小有关。详细研究是腔外弹道学. . 一级近似一级近似, , 抛体视为质点抛体视为质点, , 阻力阻力R=-bvgmvbgmRdtvdm运动方程运动方程: :mgbvdtdvmbvdtdvmyyxx投影方程投影方程: :(1)(2) yxPOmgRvtmbxxxxxtmbxxxxevdtdxvvCvvteCvCtmbvdtmbvdv001011,0lnln时)4()1)()(:00tbmgebmgvbmxbmgebmgvdtdyvtmbytmbyy类似地)3()1(0,0:002020tmbxxtmbxe