第3章(力偶系)

1、 中南大学土木建筑学院力学系中南大学土木建筑学院力学系 Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University 一、平面中力对点之矩一、平面中力对点之矩力对点之矩：力使刚体绕点（矩心）转动效应的度量。力对点之矩：力使刚体绕点（矩心）转动效应的度量。 OABMFFhSO()2 平面中力对点之矩的正负规平面中力对点之矩的正负规定：力使刚体绕点逆时针转为正，定：力使刚体绕点逆时针转为正，顺时针转为负。顺时针转为负。 第三章第三章 力偶系力偶系3-1 3-1

2、力对点之矩矢力对点之矩矢-+二、力对点之矩矢二、力对点之矩矢 1.1.力对点之矩矢的定义力对点之矩矢的定义 空间问题中引用力对点之空间问题中引用力对点之矩矢矩矢度量力使刚体绕某点的转度量力使刚体绕某点的转动效应。动效应。定义：定义：力对点之矩矢等于矩心到力作用点的矢径力对点之矩矢等于矩心到力作用点的矢径与力的矢量积。与力的矢量积。 O()MFrF ()sin( ,)2OABFrFh= SOMFr F力矩矢的力矩矢的大小大小（转动效应的强度）（转动效应的强度）力矩矢的力矩矢的方向方向：方位：力与矩心所确定平面的法向方位：力与矩心所确定平面的法向 指向：右手螺旋法则判定指向：右手螺旋法则判定（定位

3、矢量）（定位矢量）2. 2. 力对点之矩矢的解析表达式力对点之矩矢的解析表达式xyzrijkxyzFFFFij+k()OxyzxyzFFF ijkMFrF()()()zyxzyxyFzFzFxFxFyFijk( )( )( )OxOyOzM FiM FjM Fk()OxyzxyzFFF ijkMFrF()OMF的的解析表达式解析表达式3.3.力对点之矩矢的基本性质力对点之矩矢的基本性质 力对点之矩矢服从矢量合成法则。力系对刚体产力对点之矩矢服从矢量合成法则。力系对刚体产生的绕点的转动效应可用一个力矩矢度量，等于各力生的绕点的转动效应可用一个力矩矢度量，等于各力对点之矩矢的矢量和。对点之矩矢的矢

4、量和。OO1O2OnO()()()()MMFMFMFMF 4.4.合力矩定理合力矩定理ORO1O2OnO()()()()()MFMFMFMFMF 平面力系合力对平面内任一点之矩等于各分力对同平面力系合力对平面内任一点之矩等于各分力对同一点之矩的代数和。一点之矩的代数和。R12nFFFF + + +ORR()MFrF 12nrFrFrF 12n()rFFF O1O2On()()()MFMFMF O()MF 例：例：求图所示力求图所示力F 对对A 点之矩。点之矩。 解：解：将力将力F 分解两垂直的力分解两垂直的力Fx 、Fy ，由合力矩定理可得，由合力矩定理可得 AAA()()()cossinxy

5、MFMFMFFbFa 一、力对轴之矩的定义一、力对轴之矩的定义 力对轴之矩等于力在垂直于该轴平面上的投影对力对轴之矩等于力在垂直于该轴平面上的投影对轴与平面交点之矩。轴与平面交点之矩。 力对轴之矩是代数量，判断正负由右手螺旋法则力对轴之矩是代数量，判断正负由右手螺旋法则确定，拇指指向与轴的正向一致为正，反之为负。确定，拇指指向与轴的正向一致为正，反之为负。3-2 3-2 力对轴之矩力对轴之矩 力与轴相交或力与轴平行时，力对轴之矩为零。力与轴相交或力与轴平行时，力对轴之矩为零。hFFMFMxyxyOz)()( (3) (3) 合力对任一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代合力对任一轴之矩等于各分力对

6、同一轴之矩的代数和。数和。二、力对轴之矩的二、力对轴之矩的解析表达式解析表达式 xxxyzMMM-zF + yF()()()yzFFFyyyzxMMM-xF +zF()()()zxFFFzzzxyMMM-yF +xF()()()xyFFF MO()()xxMFF yMO()()yMFF zMO()()zMFF 力对点之矩矢在通过该点之轴上的投影等于力对该轴之矩。力对点之矩矢在通过该点之轴上的投影等于力对该轴之矩。O()MFzyxzyxyF - zFzF - xFxF - yF()()()ijkOOO()()()xyzMFiMFjMFkyzM-zF + yF()xF yzxM-xF +zF()F

7、 zxyM-yF +xF()F 三、力对点之矩与力对轴之矩的关系三、力对点之矩与力对轴之矩的关系()()()()MMMOxyzMFF iF jF k xyzMMM222O()()()()MFFFFO( )cos()( )xOMFMFMi，( )cos()( )yOOMFMFMj，OO( )cos()( )zMFMFMk，力对点之矩矢可表示为力对点之矩矢可表示为力对点之矩矢的方向力对点之矩矢的方向 力对点之矩矢的大小力对点之矩矢的大小 通过计算力对轴之矩实现通过计算力对轴之矩实现计算力对点之矩矢计算力对点之矩矢 例例 已知已知:P=2000N, C点在Oxy平面内求：力求：力P对点O的矩。 60

8、cos45cos60sin45cos45cos45sinPPPPPPPPyxxyz解解：将力向坐标轴方向分解；（二次投影法）( )()()()6( 5)06 cos45 sin605 cos45 cos6038.2(N m)zzxzyzzxyMMMMPPPP PPPP( )()()()0066 sin4584.8(N m)xxxxyxzzMMMMPP PPPP( )()()()0055 sin4570.7(N m)yyxyyyzzMMMMPP PPPP求力对轴的矩( )84.870.738.2OMPijk 例例 试求力F对OD之矩。F=10kN，各边长分别为20cm、30cm、40cm。解：解

9、：由于力对由于力对OD之力臂不是很明之力臂不是很明了，故先求出力对了，故先求出力对O点之矩矢，再点之矩矢，再将其投影到将其投影到OD上去上去 MO(F)OD = MOD(F)MO(F) = 0.410i = 4i kNm371. 085.532040302020cos222ODAO( ) = ( )cos4 0.3711.485 N.mODOMMkFF力偶：作用于刚体上力偶：作用于刚体上等值、反向、平行而不共线等值、反向、平行而不共线的两的两个力组成的力系，记为（个力组成的力系，记为（ ）3-3 3-3 力偶矩矢力偶矩矢 力偶只能使物体产生转动，不能使物体产生移动力偶只能使物体产生转动，不能使

10、物体产生移动。力偶不能与一个力等效，力和力偶是静力学中两个基本元素。力偶不能与一个力等效，力和力偶是静力学中两个基本元素。力偶作用面、力偶臂力偶作用面、力偶臂d d,F F 力偶矩矢的大小：力偶矩矢的大小：| |M| = | = |rABF| = | = Fd ；力偶；力偶矩矢的方位矩矢的方位：力偶作用面的法向；力偶矩矢指向：右手力偶作用面的法向；力偶矩矢指向：右手螺旋法则确定。螺旋法则确定。BAMrF 平面力偶系，各力偶矩矢量互相平行，用标量表平面力偶系，各力偶矩矢量互相平行，用标量表示力偶矩的大小和转向，逆时针转为正，反之为负。示力偶矩的大小和转向，逆时针转为正，反之为负。 力偶矩矢的解析

11、表示式：力偶矩矢的解析表示式：M = Mx i + My j + Mz k力偶对物体的转动效应用力偶对物体的转动效应用力偶矩矢力偶矩矢M 来度量。来度量。一、力偶的等效条件一、力偶的等效条件 力偶矩矢等效条件是两个力偶矩矢相等。力偶矩矢等效条件是两个力偶矩矢相等。 二、力偶的性质二、力偶的性质 力偶不能与一个力等效，力偶不能与一个力平衡。力偶不能与一个力等效，力偶不能与一个力平衡。3-4 3-4 力偶的等效条件和性质力偶的等效条件和性质1.1.力偶的性质一力偶的性质一MFMFOO()() ABrFrF ABrFrFAB()rrFrFMBA 力偶中的两个力对任一点之矩之和与矩心位置无关，力偶中的

12、两个力对任一点之矩之和与矩心位置无关，恒等于力偶矩矢量。恒等于力偶矩矢量。2.2.力偶的性质二力偶的性质二FF 保持力偶矩矢量的大小和方向不变，可改变力保持力偶矩矢量的大小和方向不变，可改变力偶中的力和力偶臂，不改变对刚体的作用效应。偶中的力和力偶臂，不改变对刚体的作用效应。 力偶在其作用平面内可任意转移或移到另一平力偶在其作用平面内可任意转移或移到另一平行平面，不改变对刚体作用效应。行平面，不改变对刚体作用效应。3. 3. 力偶的性质三力偶的性质三力偶在同一刚体内是一自由矢量力偶在同一刚体内是一自由矢量力偶系合成为一合力偶，合力偶的力偶矩矢等于各分力偶系合成为一合力偶，合力偶的力偶矩矢等于各

13、分力偶的力偶矩矢之矢量和。力偶的力偶矩矢之矢量和。 BAMrFBA34()rFFBA3BA4rFrF12MMR12nMMMMM 3-5 3-5 力偶系的合成力偶系的合成222R()()()xyzMMMMRRcos()xMMiM ，RRcos()yMMjM ，RRcos()zMMkM ，合合力偶矩矢的大小力偶矩矢的大小 合合力偶矩矢的方向力偶矩矢的方向 平面力偶系的合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。平面力偶系的合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。R12nMMMMM 例：例： 三力偶如图示，已知三力偶如图示，已知 N, 力偶臂力偶臂d1=200mm， N，力偶臂力偶臂d2=300mm ， N，力偶臂力偶

14、臂d3=180mm，求其合力偶矩。求其合力偶矩。11100FF22120FF3380FF解：解：三个分力偶的力偶矩大小为：三个分力偶的力偶矩大小为：202 . 01001M363 . 01202M4 .1418. 0803MN.mN.mN.m7.2cos(, )0.1360,52.9520cos(, )0.3777,52.9548.5cos(, )0.916052.95xRRyRRzRRMMiMMMjMMMkMRx3sin307.2 xMM = MRy120 yMM = MRz23cos3048.5 zMM = MM根据合力偶矩矢在某一坐标轴上的投影等于各分力偶矩矢根据合力偶矩矢在某一坐标轴上

15、的投影等于各分力偶矩矢在同一坐标轴上的投影之代数和，有：在同一坐标轴上的投影之代数和，有：N.mN.mN.m合力偶矩矢合力偶矩矢MR的大小和方向余弦分别为：的大小和方向余弦分别为： 222222RRRR7.22048.552.95xyzMMMMN.m 力偶系作用下刚体平衡的充分且必要条件：合力偶矩力偶系作用下刚体平衡的充分且必要条件：合力偶矩矢等于零，即力偶系矢等于零，即力偶系n 个力偶矩矢的矢量和等于零。个力偶矩矢的矢量和等于零。 0M 力偶系平衡的充分且必要条件是各力偶矩矢在直角坐力偶系平衡的充分且必要条件是各力偶矩矢在直角坐标系各轴上投影的代数和分别等于零。标系各轴上投影的代数和分别等于

16、零。3-6 3-6 力偶系的平衡条件力偶系的平衡条件0 xM 0yM 0zM 平面力偶系平衡的充分且必要条件是力偶矩代数和为零。平面力偶系平衡的充分且必要条件是力偶矩代数和为零。空间力偶系的空间力偶系的平衡方程平衡方程 例：例：三铰拱三铰拱 AC 的部分上作用有力偶，其力偶矩为的部分上作用有力偶，其力偶矩为 M 。已知。已知两个半拱的直角边成正比，即两个半拱的直角边成正比，即 a : b = c : a ，不计三铰拱自重，求，不计三铰拱自重，求A、B 两点的约束力。两点的约束力。解：解：各杆受力图如图，由几何关系可得各杆受力图如图，由几何关系可得FA、FC垂直于垂直于AC 。建立平衡方程。建立

17、平衡方程 22A0MFab解得：解得： 0:M A22MFab BCCA22MFFFFab 例：例：图示机构，套筒图示机构，套筒A 穿过摆杆穿过摆杆 O1B ，用销子连接在曲柄，用销子连接在曲柄OA上，已知长为上，已知长为 a ，其上作用有力偶，其上作用有力偶 M1 。在图示位置。在图示位置=30o ，机，机械能维持平衡。不计各杆自重及摩擦械能维持平衡。不计各杆自重及摩擦，试求在摆杆试求在摆杆 O1B 上所加力上所加力偶的力偶矩偶的力偶矩 M2 。解：解：以杆以杆O1B 为研究对象，受力图如图，建立平衡方程为研究对象，受力图如图，建立平衡方程 0:M 210AMFO A 以曲柄以曲柄OA 和套筒为研究对象，对于曲柄和套筒力偶只能和套筒为研究对象，对于曲柄和套筒力偶只能与力偶平衡，故力与力偶平衡，故力FA 、FO 必构成力偶。受力图如图，建立平必构成力偶。受力图如图，建立平衡方程衡方程 o1Asin300MFOA解得：解得： 214MM 0: