第七章应力状态与应变状态分析强度理论

1、 71、2 应力状态的概念应力状态的概念73 平面应力状态分析平面应力状态分析解析法解析法74 平面应力状态分析平面应力状态分析图解法图解法75 三向应力状态研究三向应力状态研究应力圆法应力圆法78 复杂应力状态下的应力复杂应力状态下的应力 - - 应变关系应变关系 （广义虎克定律广义虎克定律）79 复杂应力状态下的应变能密度复杂应力状态下的应变能密度710 强度理论概述强度理论概述711 四种常用的强度理论四种常用的强度理论1 1、单元体、单元体：单元体构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。单元体的性质a、平行面上，应力均布； b、平行面上，应力相等。如果一点

2、的某个单元体的六个面的应力确定，那么该点的其它截面的应力也就确定了，所以该单元体的应力状态就可以代表该点的应力状态。一、一点的应力状态：一、一点的应力状态：过一点有无数的截面，不同截面上的应力不同，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）xyzs s xs sz s s yt txys syt tx y t ty x s sxxy7、2 应力状态的概念及实例应力状态的概念及实例t tzx原始单元体（已知单元体）：原始单元体（已知单元体）：例例1 1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。 PPAAs sxs sx

3、MPxyzBCs sxs sxBt txzCt txyt tyx2 2、主单元体、主面、主应力、主单元体、主面、主应力：主单元体(Principal bidy)： 各侧面上剪应力均为零的单元体。主平面(Principal Plane)： 剪应力为零的截面。主应力(Principal Stress ）： 主面上的正应力。主应力排列规定：按代数值大小，321ssss s1 1s s2 2s s3 3xyzs sxs sys szMPaMPaMPa10,0,5321sss三向应力状态（ ThreeDimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。二向应力状态（

4、Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态，也叫平面应力状态。平面应力状态。单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。A1s1sA1s1s2s2sA1s1s2s3s3s2s2sA1s1s2s等价等价3 3、剪应力互等定理（、剪应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress):): 过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的剪应力分量,则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相离。xytx 表示面的外法线方向（第一个下标）y 表示应力方向（第二个下标）x

5、yzs s xs sz s s ytxyyxt例例2 薄壁圆筒的内压力薄壁圆筒的内压力为为 p , 内直径为内直径为 D ，厚度为，厚度为 t。二、二向应力状态实例二、二向应力状态实例 -薄壁圆筒容器 ( ) 的应力状态20tDp（a）Dyzt（b）n(d)nnpP横截面上的应力横截面上的应力 s(c)nn研究对象研究对象tpD4s04 , 02pDDtXs42DpP ltp yO(g)N=tlN FR纵截面上正应力纵截面上正应力02 , 0 DlptlYstpD2 sPDdDlpldspFRsin22sin20 dds=d*D/2A2s2s1s3s3s1sPAA2s2s1s3s3s1s三、三

6、向应力状态实例三、三向应力状态实例 1、滚珠轴承中，滚珠与外圈接触点处的应力状态2、三轴拉压规定：s 拉应力为正； t 绕研究对象顺时针转为正； 从x到n逆时针为正。一、任意斜截面上的应力一、任意斜截面上的应力图1xys sxt txys syOns sytxys sxs s t t xyOtn图2tyxxxsxsxsxsyxttxyts73 平面应力状态分析平面应力状态分析解析法解析法tsssss2sin2cos22xyyxyxtsst2cos2sin2xyyx考虑剪应力互等和三角变换，得：0sindcosdsindcosd , 0tstsAAAAXyxx0cosdsindcosdsind

7、, 0tstsAAAAYxyy设：斜截面面积为dA，由分离体平衡得：tssscossin2sincos22xyyx)sin(coscossincossin22tsstxyyxns sytxys sxs s t t xyOtn图2tyxxExample 1. Determine normal and shearing stresses on the inclined plane when .30MPa30 ,MPa10yxss30 ,MPa20 ,MPa20ttyxxytsssss2sin2cos2230 xyyxyx MPa32. 260sin2060cos2301023010tsst2cos

8、2sin230 xyyx MPa33. 160cos2060sin23010解:MPa10MPa30MPa20MPa20030s030t(compression)(clockwise)02cos22sin:000tsssxyyxdd令二、极值应力二、极值应力yxxysst22tg0和两个极值：）、（由此得两个驻点：2000002cos2sin2此时tsstxyyx ）2222xyyxyxm inm axt ts ss ss ss ss ss s （tsssss2sin2cos22xyyxyx就是主平面和极值应力就是主应力，)2(00 xys sxt txys syO3s1s主主单元体单元体s

9、smaxmax在剪应力相对的项限内，且偏向于在剪应力相对的项限内，且偏向于s sx 及及s sy大的一侧。大的一侧。极值极值剪应力剪应力0dd:1t令xyyxtss22tg1222x yyxminmaxt ts ss st tt t ）（01045 , 4面成即极值剪应力面与主平xys sxt txys syO3s1s主主单元体单元体tsst2cos2sin2xyyx例例2 分析受扭构件的破坏规律。解：确定危险点并画其原 始单元体求极值应力0yxssPnxyWMtt223122xyyxyxtssssss）（tt2xyt txyCt tyxMCxyOt txyt tyx破坏分析ttsstt22m

10、inmax2xyyx）（tssts321; 0;4522tg00sstyxxy0022tg11tssxyyx扭转时切断低碳钢MPa200;MPa240:ssts的螺旋面拉断。扭转时沿与轴线成灰口铸铁45MPa300198 MPa,175120:bLbts低碳钢铸铁74 平面应力状态分析平面应力状态分析图解法图解法tssttsssss2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx一、应力圆（一、应力圆（ Stress Circle）xys sxt txys syOs syt txys sxs s t t xyOtn2222)2cos2sin2()2sin2cos2(2tssttsss

11、ssxyyxxyyxyx）（2222)2()2(xyyxyxtsstsssRadius: 22)2(xyyxRtssCenter:)0 ,2(yxCss圆心Mohrs Circle此方程曲线为圆应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：Otto Mohr引入）2222)2cos2sin2()2sin2cos2(2tssttsssssxyyxxyyxyx）（222)(Rbts Without loss of generality, let0, 0 xyyxtss二、应力圆的画法二、应力圆的画法D(sy ,tyx) s tOCD(sx ,txy)t txyxs ss syt tyxt txyxs ss sy

12、t tyxt txyxs ss syt tyx22)()2(2222yxxyyxOBOAOCADCACDsstssBAxs建立应力坐标系，如下图所示，建立应力坐标系，如下图所示，( (注意选好比例尺）注意选好比例尺）在在坐标系内画出点坐标系内画出点D( (s s x，t txy)和和D (s sy，t tyx) DD与与s s 轴的交点轴的交点C便是圆心。便是圆心。以以C为圆心，以为圆心，以CD为半径画圆为半径画圆应力圆应力圆注意：注意： 单元体内任意斜面上的应力都对应着应力圆上的一个点单元体内任意斜面上的应力都对应着应力圆上的一个点)22cos(0CEOCCFOCOF2sin2sin2cos

13、2cos00CDCDOCstssss2sin2cos22xyyxyxD(s sy ,t tyx) s tOCD(s sx ,t txy)t txyxs ss syt tyxt txyxs ss syt tyxt txyxss syt tyxBAxsnF2E20 x x2sin2cos2cos2sin)22sin(00CDCDCEFEottss2cos2sin2xyyxPoint E ),(tsD(s sy ,t tyx) s tOCD(s sx ,t txy)t txyxs ss syt tyxt txyxs ss syt tyxt txyxss syt tyxBAxsnF2E20s sxt

14、txys syxyOns s t t Os s t t CA(s sx ,t txy)B(s sy ,t tyx)x2 nD( s s , t t 三、单元体与应力圆的对应关系三、单元体与应力圆的对应关系 面上的面上的应力应力( (s s ，t t ) 应力圆上某一点应力圆上某一点的的( (s s ，t t ) 面的法线旋转方向面的法线旋转方向 应力圆的半径旋转应力圆的半径旋转方向相同方向相同两面夹角两面夹角 两半径夹角两半径夹角2 ；且转向；且转向一致。一致。max22minmax222tsstssssssyxxyyxyxROC）（半径四、从应力圆上读出极值应力四、从应力圆上读出极值应力22

15、minmax2xyyxRtsstt）（半径OCs s t t A(s sx ,t txy)B(s sy ,t tyx)x2 1 1mintmaxt2 0 0s s1s s2s s3Example 1. The plane stressed state is shown in figure. Determinate and their directions.maxminmax3213030,tttssstsSolution:MPa40,MPa40,MPa30,MPa90yxxyyxttss(1) Construct a Mohrs circleMPa602yxOCss1 .533040arctg

16、arctg20CAADMPa5030402222CAADR30MPa90MPa40MPa40MPayx30D(sy ,tyx)stOCD(sx ,txy)A 20(2) Determine and 30s30t9 .66)602(1800MPa4 .409 .66cos3060cos30sROCMPa0 .409 .66sin30sin30tRMPa1050602ROCs(3) Determine and their direction maxminmax321,tttsssMPa11050601ROCs30MPa90MPa40MPa40MPayx30D(sy ,tyx)stOCD(sx ,t

17、xy)A20E60F1s2sxMPa50MPa502min1maxRCGRCGttMPa552/ )(31maxsst03s30MPa90MPa40MPa40MPayx30D(sy ,tyx)stOCD(sx ,txy)A20E60F1s2sG1G2；MPa102ROCs(3) Determine and their direction maxminmax321,tttsss；MPa1101ROCsx30MPa90MPa40MPa40MPayx26.61s2s30MPa90MPa40MPa40MPayx18.44 .18456 .261 .533040arctgarctg2maxmaxmax0

18、stsCAADD(sy ,tyx)stOCD(sx ,txy)A20E60F1s2sG1G236.8xs s1 1在剪应力相对的项限内，且偏向于在剪应力相对的项限内，且偏向于s sx 及及s sy大的一侧。大的一侧。s s3例例3 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)4532532595150ABs s 1s s2解：主应力坐标系如图AB的垂直平分线与s 轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆0s s1s s2BAC2s0s s t t (MPa)(MPa)O20MPa)325,45(B)325,95(A在坐标系内画出点s s3s s1s s2BAC2s0s s

19、 t t (MPa)(MPa)O20MPa主应力及主平面如图020120321sss3004532532595150s s 10s s2ABzzxyIbQStzxIMys12345P1P2q如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），其上M、Q0，试确定截面上各点主应力大小及主平面位置。单元体：223122xyxxtssss）（三、梁的主应力及其主应力迹线三、梁的主应力及其主应力迹线s s1 15 51 1s s3 33 32 24 4Qs s1 15 51 1s s3 3s s3 33 3s s1 1452 2s s1 1s s3 30s s3 34 4s s1 10s sA2D2D1CA1Ot

20、t20s st tD2D1CD1O20= 90s sD2A1Ot t20CD1A2s s1 15 51 1s s3 33 32 24 4梁的主应力迹线梁的主应力迹线（Stress Trajectories)： 主应力方向线的包络线曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。实线表示拉主应力迹线,虚线表示压主应力迹线。qs s1s s3s s3s s1y11截面截面22截面截面33截面截面44截面截面ii截面截面nn截面截面bcd75 三向应力状态研究三向应力状态研究应力圆法应力圆法xyzs s2s s1s s31s2s3sst1 1、空间应力状态、空间应力状态2 2、三向应

21、力分析、三向应力分析弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。图图a图图b整个单元体内的最大剪应力为：t tmax231maxssts s2s s1xyzs s31s2s3sst例例4 求图示单元体的主应力和最大剪应力。（MPa）解：由单元体图知：y z面为主面501s建立应力坐标系如图，画应力圆和点s1,得:825058321sss34maxt5040 xyz3010 (M Pa)s s （M Pa ）t t ABCABs s1s s2s s3t tmaxMPa50MPa502min1maxRCGRCGttMPa552/ )(31maxsst0

22、3s30MPa90MPa40MPa40MPayx30D(sy ,tyx)stOCD(sx ,txy)A20E60F1s2sG1G2；MPa102ROCs(3) Determine and their direction maxminmax321,tttsss；MPa1101ROCsmax77 复杂应力状态下的应力复杂应力状态下的应力 - - 应变关系应变关系 （广义虎克定律广义虎克定律）一、单拉下的应力一、单拉下的应力-应变关系应变关系ExxsxyEsxzEs二、纯剪的应力二、纯剪的应力-应变关系应变关系Gxyxyt 0zxyzxyxyzs sxxyzt t x y1、 广义虎克定律广义虎克定

23、律 2、体应变、体应变三、复杂状态下的应力三、复杂状态下的应力 - - 应变关系应变关系依叠加原理,得:zyxzyxxEEEEssssss1 xyzs szs syt txys sx满足各向同性、小变形、线弹性，则只与有关，只与有关。xsyszsExsEysEzsExsEysEzsExsEysEzs)(xx-direction)(yy-direction)(zz-direction xzyyEsss1yxzzEsss1GxyxytGyzyztGzxzxtxzyyEsss1yxzzEsss1zyxxEsss1 xyzs szs syt txys sx广义胡克定律广义胡克定律四、平面状态下的应力四

24、、平面状态下的应力- -应变关系应变关系:xyxyGtyxxEs21xyyEs210zxyzztts四、主应力四、主应力 - - 主应变关系主应变关系s s1s s3s s2主应力与主应变主应力与主应变方向一致方向一致32111sssE13221sssE12331sssE0zxyzxy主应力。代入上式即可求得三个算求得，（直角应变花）测量计三个主应变可用应变片五、体积变化与应力之间的关系五、体积变化与应力之间的关系321aaaV32132133221111)1 ()1 ()1 (aaa aaaV）（3211VVV体应变：体积应变与应力分量间的关系:s s1s s3s s2a1a2a3)(21

25、zyxEsss)(21321Esss称坐标变换不变量有zyxssssss321)(31321ssssm平均应力mEs）（213 13221sssE12331sssE32111sssE0zxyzxy7 78 8 复杂应力状态下的应变能密度复杂应力状态下的应变能密度332211212121sssv)(31321ssssms s2s s3s s 1图图 a图图 cs s3 -s sms s 1-s sms s2-s sm312321232221221sssssssssEs sm图图 bs sms sm)(13211sssE)(13122sssE)(12133sssE体积改变能密度体积改变能密度vV形

26、状改变畸变能密度形状改变畸变能密度vddVvvv21323222161ssssssEvd:为能单元体形状改变的应变图dvc即畸变能，也称形状改变比能或歪形能。图图 cs s3 -s sms s 1-s sms s2-s sms sm图图 bs sms sm,213mmVvs:为能单元体体积改变的应变图Vvb23212)(6212)21 (3ssssEEvmVmmEEssss211321dVvvv312321232221221sssssssssEVdvvv例例9 用能量法证明三个弹性常数间的关系。Gv2212tt纯剪单元体的比能为：纯剪单元体比能的主应力表示为：312321232221221ss

27、sssssssEvtttt)(002)(02122E21tE12EGt txyAs1s32212ttEG一、失效的概念与分类一、失效的概念与分类材料的力学行为使构件丧式正常功能的现象构件失效失效分类失效分类:常温、静载屈服（塑性）屈服（塑性）断裂（脆性）断裂（脆性）710 强度理论的概念强度理论的概念smax= sxj= sbsmax= sxj= ss2、复杂应力状态下强度理论强度理论二、强度理论二、强度理论(是关于是关于“构件发生强度失效起因构件发生强度失效起因”的假说的假说)强度条件强度条件： njxsssmax711 四种常用的强度理论及其相当应力四种常用的强度理论及其相当应力一、最大拉

28、应力（第一强度）理论：一、最大拉应力（第一强度）理论： 认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到单向拉伸的强度极限时，构件就断了。1、破坏判据：0)( ; 11 s ss ss sb2、强度准则： 0)( ; 11 s ss ss s3、实用范围：实用于破坏形式为脆断脆断的构件。 二、最大伸长线应变（第二强度）理论：最大伸长线应变（第二强度）理论： 认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大伸长线应变达到单向拉伸试验下的极限应变时，构件就断了。1、破坏判据：0)( ; 11 b2、强度准则：3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。 EEbs ss ss s s s 32111 b

29、s ss ss s s s 321 s ss ss s s s 321三、最大剪应力（第三强度）理论：三、最大剪应力（第三强度）理论： 认为构件的屈服是由最大剪应力引起的。当最大剪应力达到单向拉伸试验的极限剪应力时，构件就破坏了。1、破坏判据：st tt t max3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。 sst ts ss ss st t 2231maxss ss ss s 312、强度准则： s ss ss s 31四、形状改变比能（第四强度）理论：四、形状改变比能（第四强度）理论： 认为构件的屈服是由形状改变比能引起的。当形状改变比能达到单向拉伸试验屈服时形状改变比能时，构件就破坏了。

30、1、破坏判据：dsdvvmax2、强度准则3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。 21323222161ssssssEvdssssssss21323222121 s ss ss ss ss ss ss s 213232221212s222261000061sssEEvssds五、强度条件的统一形式五、强度条件的统一形式强度条件可统一写作强度条件可统一写作： ss rs sr 称为称为相当应力相当应力s s1s s2s s3s srs sr第第4强度理论强度理论形状改变形状改变比能理论比能理论 第第1强度理论强度理论最大拉应最大拉应力理论力理论第第2强度理论强度理论最大伸长最大伸长线应变理论

31、线应变理论11r 3212ssssr第第3强度理论强度理论最大剪应最大剪应力理论力理论313r 213232221421sssssssr第一类强度理论第一类强度理论（脆断破坏的（脆断破坏的 理论）理论）第二类强度理论第二类强度理论（屈服失效的（屈服失效的 理论）理论）强度理论的分类及名称强度理论的分类及名称相当应力表达式相当应力表达式 ssr2132322214)()()(21sssssssr11ssr)(3212ssssr313sssrA.冰的强度较铸铁高；B.冰处于三向受压应力状态；C.冰的温度较铸铁高；D.冰的应力等于零。sss313sssr0强度理论的应用强度理论的应用一、强度计算的步

32、骤：一、强度计算的步骤：1、外力分析：确定所需的外力值。2、内力分析：画内力图，确定可能的危险面。3、应力分析：画危面应力分布图，确定危险点并画出单元体， 求主应力。4、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力，然后进行 强度计算。二、强度理论的选用原则：依破坏形式而定。二、强度理论的选用原则：依破坏形式而定。1 1、脆性材料、脆性材料：通常使用第一或第二强度理论；3、简单变形时：一律用与其对应的强度准则。如扭转，都用：2 2、塑性材料、塑性材料：当3 3大于等于零时（三向拉伸三向拉伸）用第一理论； t tt t max4、破坏形式还与温度、变形速度等有关！当3小于零而1大于零时，使用莫尔理论。 当1小于等于零时（三向压缩三向压缩）用第三或第四理论其它应力状态时，使用第三或第四理论。MPa7 .351 . 07000163tnWTMPa37. 6101 . 050432sAP22minmax)2(2tsssMPa7 .35)237. 6(237. 6393222MPa32, 0,MPa39321sss ss1解：危险点A的应力状态如图：例例1 直径为d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm,P=50kN, 为铸铁构件，s=40MPa,试用