第5节连续型随机变量的概率密度

1、上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回2.5 2.5 连续随机变量的概率密度连续随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回2.42.4 连续随机变量连续随机变量.(2)取这些值时对应的概率给出X;) 1 (的全部取值列出X:述离散随机变量那样，对于连续随机变量 X是试验的基事件0 xX ,本事件,但在实际的试验中.)2(的发生无法检验该事件是否真发生的概率极小；事件)1 (0 xX 规定：因此,. 0)(0 xXP无法像前面描的分布时描述连续随机变量,X上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回 概率密度函数的定

2、义概率密度函数的定义2.62.6 连续随机变量的概率密度连续随机变量的概率密度设 是连续型随机变量， 是实数， . X0 xxxxxXxPx)(lim0则称此极限为 在 处的概率密度概率密度. Xx: )(xf记作xxxXxPxfx)(lim)(0如果存在，上的平均概率分布密度在区间为随机变量称比值xxxXxxxXxP,)(上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回xxxXxPxfx)(lim)() 1 (0 xxFxxFx)()(lim0.)()()()2(xdxxfxXPxF 概率密度函数与分布函数的关系概率密度函数与分布函数的关系);(xF2.62.6 连续随机变量的概率密度

3、连续随机变量的概率密度上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回., 02,cos21)(其它；xxxf).(xFX的分布函数求解：2.62.6 连续随机变量的概率密度连续随机变量的概率密度,2时当 x; 0)()(xdxxfxF,22时当x xdxxfxF)()(;2sin1xxdxxfdxxf22)()( xxdx2cos21上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回.2, 1;22,2sin1;2, 0)(xxxxxF xdxxfxF)()(. 1时，当2x xdxxfdxxfdxxf2222)()()( 于是2.62.6 连续随机变量的概率密度连续随机变量的概率

4、密度上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回. 0)(xf即，密度函数的图形(分布曲线)位于 轴上方.xX. 1)(dxxfba 概率密度函数的性质概率密度函数的性质,内区间ba则. 1)(dxxf2.62.6 连续随机变量的概率密度连续随机变量的概率密度上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回.)()(2121dxxfxXxPxx 用概率密度求概率用概率密度求概率则x)(xfO1x2x12()P xXx2.62.6 连续随机变量的概率密度连续随机变量的概率密度上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回例例2设连续随机变量X的概率密度.,1)(2xxAx

5、f求：常数A的值；随机变量X落在区间 1 ,0内的概率；随机变量X的分布函数.解：根据概率密度的性质，有, 112dxxA即. 112AxdxA(1)(3)(2)(1)2.62.6 连续随机变量的概率密度连续随机变量的概率密度上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回由此得.1A随机变量X的概率密度为.,)1(1)(xxxf2于是,所求概率120(01)(1)dxPXx.25. 041(3)(2)随机变量X的分布函数xxdxxF)1()(2)2(arctan1x.arctan121x)Cauchy(分布柯西2.62.6 连续随机变量的概率密度连续随机变量的概率密度上一页下一页概率论

6、与数理统计教程（第四版）目录结束返回1,02( )05(1)2XAxxf xAX例3设随机变量 的概率密度为：其他3确定常数 ； （2） 求X的分布函数； （3） 求P(220201(1)( )1(1)120( ) 0102( )( )(1)42( ) 1xxf xdxAxdxAxF xxF xf t dtAtdtxxxF x 解由，得，解得（2）当时，当时，当时，上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回252233220,01( ),0241,2351(3)()( )(1)2216xF xxxxxPXf x dxAxdx所以(1)4,0( ),011,111,23()3xxXA

7、exF xBxA exA BXP X例设连续型随机变量的分布函数为：求（：）的值； （ ） 的概率密度；（ ）上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回连续函数，所以是定义知，）由连续型随机变量的（解)(1xF0011lim()lim()lim()lim()xxxxFxFxFxFx0011lim( )lim( )lim( )lim( )1xxxxAF xF xBBF xF xA 即12AB解得上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回(1)(1)(1)11(2)0( );22101,( )0;2111,( )1.221,02( )0,011,12xxxxxxxf xee

8、xf xxf xeeexf xxex当时 ，当时当时所以上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回1111(3)()1()1( )3332P XP XF上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回2.62.6 连续随机变量的概率密度连续随机变量的概率密度小小 结结 1. 概率密度函数是描述连续型随机变量概率分布的最常用的工具. 2. 概率密度函数的性质:非负性,规范性. 4. 利用密度函数计算概率的公式： 3. 概率密度与分布函数的关系.)()(dxxfbXaPba上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回2.6 2.6 连续随机变量的密度函数连续随机变量的密度函数),()( ),( xfxfxfX且的密度函数为设随机变量. )(, , )(有则对任意实数的分布函数是aXxF;)(1)()(0adxxfaFA;)(21)()(0adxxfaFB; )()()(aFaFC. 1)(2)()(aFaFD思考题思考题上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回2.6 2.6 连续随机变量的密度函