山东省青岛市2015届高三3月统一质量检测数学(理)(解析版)

1、2015年山东省青岛市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）（2015青岛一模）设i为虚数单位，复数等于（） A 1+i B 1i C 1i D 1+i【考点】： 复数代数形式的乘除运算【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值【解析】： 解：=故选：D【点评】： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题2（5分）（2015青岛一模）设全集I=R，集合A=y|y=log2x，x2，B=x|y=，则（） A AB B AB=A C AB= D A（IB）【考点

2、】： 集合的包含关系判断及应用【专题】： 计算题；集合【分析】： 化简集合A，B，即可得出结论【解析】： 解：由题意，A=y|y=log2x，x2=（1，+），B=x|y=1，+），AB，故选：A【点评】： 本题考查集合的包含关系判断及应用，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集3（5分）（2015青岛一模）如图是某体育比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（） A 5和1.6 B 85和1.6 C 85和0.4 D 5和0.4【考点】： 茎叶图；众数、中位数、平均数【专题】： 图表型【分析】

3、： 根据均值与方差的计算公式，分布计算出所剩数据的平均数和方差分即可【解析】： 解：根据题意可得：评委为某选手打出的分数还剩84，84，84，86，87，所以所剩数据的平均数为=85，所剩数据的方差为（8485）2+（8485）2+（8685）2+（8485）2+（8785）2=1.6故选B【点评】： 本题考查茎叶图、平均数和方差，对于一组数据通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，方差，它们分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题4（5分）（2015青岛一模）“nN*，2an+1=an+an+2”是“数列an为等差数列”的（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C

4、 充要条件 D 即不充分也不必要条件【考点】： 必要条件、充分条件与充要条件的判断；等差数列的性质【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： 由2an+1=an+an+2，可得an+2an+1=an+1an，可得数列an为等差数列；若数列an为等差数列，易得2an+1=an+an+2，由充要条件的定义可得答案【解析】： 解：由2an+1=an+an+2，可得an+2an+1=an+1an，由n的任意性可知，数列从第二项起每一项与前一项的差是固定的常数，即数列an为等差数列，反之，若数列an为等差数列，易得2an+1=an+an+2，故“nN*，2an+1=an+an+2”是“数列an为等差数列”

5、的充要条件，故选C【点评】： 本题考查充要条件的判断，涉及等差数列的判断，属基础题5（5分）（2015青岛一模）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（） A 2 B C D 3【考点】： 简单空间图形的三视图【专题】： 计算题；空间位置关系与距离【分析】： 根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可【解析】： 解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V=3x=3故选D【点评】： 由三视图正确恢复原几何体是解题的关键6（5分）（2015青岛一模）已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5=0，双曲线的一个焦点在直线l上，则

6、双曲线的方程为（） A =1 B =1 C =1 D =1【考点】： 双曲线的标准方程【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 由已知得，由此能求出双曲线方程【解析】： 解：双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5=0，双曲线的一个焦点在直线l上，解得a=2，b=，双曲线方程为=1故选：A【点评】： 本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用7（5分）（2015青岛一模）设m，n是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（） A 若m，n，mn，则 B 若m，n，mn，则 C 若m，n，mn，则 D 若m，n，mn，则【考点

7、】： 平面与平面之间的位置关系【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： 利用线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理即可判断出答案【解析】： 解：选择支C正确，下面给出证明证明：如图所示：mn，m、n确定一个平面，交平面于直线lm，ml，lnn，l，l，故C正确故选C【点评】： 正确理解和掌握线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理是解题的关键8（5分）（2015青岛一模）函数y=4cosxe|x|（e为自然对数的底数）的图象可能是（） A B C D 【考点】： 函数的图象【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 先验证函数y=4cosxe|x|是否具备奇偶性，排除

8、一些选项，在取特殊值x=0时代入函数验证即可得到答案【解析】： 解：函数y=4cosxe|x|，f（x）=4cos（x）e|x|=4cosxe|x|=f（x），函数y=4cosxe|x|为偶函数，图象关于y轴对称，排除BD，又f（0）=y=4cos0e|0|=41=3，只有A适合，故选：A【点评】： 本题主要考查函数的图象，关于函数图象的选择题，通常先验证奇偶性，排除一些选项，再代特殊值验证，属于中档题9（5分）（2015青岛一模）对于函数y=sin（2x），下列说法正确的是（） A 函数图象关于点（，0）对称 B 函数图象关于直线x=对称 C 将它的图象向左平移个单位，得到y=sin2x的图

9、象 D 将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的倍，得到y=sin（x）的图象【考点】： 函数y=Asin（x+）的图象变换；正弦函数的图象【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： A，将x=代入可得y0，故不正确；B，将x=代入可得：y=1，由正弦函数的图象和性质可知正确；C，求出平移后的函数解析式即可判断D，求出平移后的函数解析式即可判断【解析】： 解：A，将x=代入可得：y=sin（2×）=1，故不正确；B，将x=代入可得：y=sin（2×）=1，由正弦函数的图象和性质可知正确；C，将它的图象向左平移个单位，得到y=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，故不正确；D

10、，将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的倍，得到函数y=sin（4x）的图象，故不正确故选：B【点评】： 本题考查正弦函数的对称性、周期性，考查综合分析与应用能力，属于中档题10（5分）（2015青岛一模）已知点G是ABC的外心，是三个单位向量，且2+=，如图所示，ABC的顶点B，C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，O是坐标原点，则|的最大值为（） A B C 2 D 3【考点】： 向量的加法及其几何意义【专题】： 平面向量及应用【分析】： 根据题意，得出：G是BC的中点，ABC是直角三角形，且斜边BC=2；点G的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧；OA经过BC的中点G时，|取得最大值

11、为2|【解析】： 解：点G是ABC的外心，且2+=，点G是BC的中点，ABC是直角三角形，BAC是直角；又是三个单位向量，BC=2；又ABC的顶点B、C分别在x轴和y轴的非负半轴上移动，点G的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧；又|=1，OA经过BC的中点G时，|取得最大值，最大值为2|=2故选：C【点评】： 本题考查了平面向量的加法与减法的几何意义与应用问题，是基础题目二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11（5分）（2015青岛一模）已知函数f（x）=tanx+sinx+2015，若f（m）=2，则f（m）=4028【考点】： 函数奇偶性的性质【专题】： 函数的性质及应用【分析

12、】： 根据解析式得出f（x）+f（x）=4030，f（m）+f（m）=4030，即可求解【解析】： 解：函数f（x）=tanx+sinx+2015，f（x）=tanxsinx+2015，f（x）+f（x）=4030，f（m）+f（m）=4030，f（m）=2，f（m）=4028故答案为：4028【点评】： 本题考查了函数的性质，整体运用的思想，属于容易题，难度不大12（5分）（2015青岛一模）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是132；【考点】： 程序框图【专题】： 图表型；算法和程序框图【分析】： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，i的值，当i=10时，不满足条件i11，退出循

13、环，输出s的值为132【解析】： 解：模拟执行程序框图，可得i=12，s=1满足条件i11，s=12，i=11满足条件i11，s=132，i=10不满足条件i11，退出循环，输出s的值为132故答案为：132【点评】： 本题主要考查了程序框图和算法，依次正确写出每次循环得到的s，i的值是解题的关键，属于基本知识的考查13（5分）（2015青岛一模）设a=12（3x22x）dx，则二项式（ax2）6展开式中的第6项的系数为24【考点】： 定积分；二项式系数的性质【专题】： 导数的概念及应用；二项式定理【分析】： 先根据定积分的计算法则求出a的值，再根据二项式展开式的通项公式求出第6项的系数【解析

14、】： 解：a=12（3x22x）dx=（x3x2）|=4，（ax2）6=（4x2）6，Tk+1=，T6=T5+1=4x3，=24x3，展开式中的第6项的系数为24，故答案为：24【点评】： 本题考查了定积分的计算法则和根据二项式展开式的通项公式，属于与基础题14（5分）（2015青岛一模）若目标函数z=kx+2y在约束条件下仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是（4，2）【考点】： 简单线性规划【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出k的取值范围【解析】： 解：作出不等式对应的平面区域，由z=kx+2y

15、得y=x+，要使目标函数z=kx+2y仅在点B（1，1）处取得最小值，则阴影部分区域在直线z=kx+2y的右上方，目标函数的斜率大于x+y=2的斜率且小于直线2xy=1的斜率即12，解得4k2，即实数k的取值范围为（4，2），故答案为：（4，2）【点评】： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法根据条件目标函数仅在点（1，1）处取得最小值，确定直线的位置是解决本题的关键15（5分）（2015青岛一模）若X是一个集合，是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：X属于，属于；中任意多个元素的并集属于；中任意多个元素的交集属于则称是集合X上的一个拓扑已知集合X=a，b，

16、c，对于下面给出的四个集合：=，a，c，a，b，c；=，b，c，b，c，a，b，c；=，a，a，b，a，c；=，a，c，b，c，c，a，b，c其中是集合X上的拓扑的集合的序号是【考点】： 集合的包含关系判断及应用【专题】： 压轴题；新定义【分析】： 根据集合X上的拓扑的集合的定义，逐个验证即可：ac=a，c，a，ba，c=a，b，c，因此都不是；满足：X属于，属于；中任意多个元素的并集属于；中任意多个元素的交集属于，因此是，从而得到答案【解析】： 解：=，a，c，a，b，c；而ac=a，c，故不是集合X上的拓扑的集合；=，b，c，b，c，a，b，c，满足：X属于，属于；中任意多个元素的并集属于

17、；中任意多个元素的交集属于因此是集合X上的拓扑的集合；=，a，a，b，a，c；而a，ba，c=a，b，c，故不是集合X上的拓扑的集合；=，a，c，b，c，c，a，b，c满足：X属于，属于；中任意多个元素的并集属于；中任意多个元素的交集属于因此是集合X上的拓扑的集合；故答案为【点评】： 此题是基础题这是考查学生理解能力和对知识掌握的灵活程度的问题，重在理解题意本题是开放型的问题，要认真分析条件，探求结论，对分析问题解决问题的能力要求较高三、解答题：本大题共6小题，共75分请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）（2015青岛一模）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已

18、知，b=3（）求角B；（）若sinA=，求ABC的面积【考点】： 余弦定理；正弦定理【专题】： 解三角形【分析】： （I）利用正弦定理与余弦定理即可得出；（II）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角形的面积计算公式即可得出【解析】： 解：（），a2b2=acc2，B（0，），（）由b=3，得a=2，由ab得AB，从而，故，ABC的面积为【点评】： 本题考查了正弦定理与余弦定理、正弦定理、两角和差的正弦公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17（12分）（2015青岛一模）某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学

19、院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：学院 机械工程学院 海洋学院 医学院 经济学院人数 4 6 4 6（）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；（）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为，求随机变量的概率分布列和数学期望【考点】： 离散型随机变量及其分布列；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量的期望与方差【专题】： 概率与统计【分析】： （）从20名学生随机选出3名的方法数为，选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为，由此利用等可能事件概率计算公式能求出这3名学生中任意两个均不属于同一学院

20、的概率（）可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的概率分布列和数学期望【解析】： （本小题满分12分）解：（）从20名学生随机选出3名的方法数为，选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为：（4分）所以（6分）（）可能的取值为0，1，2，3，（10分）所以的分布列为 0 1 2 3P 所以（12分）【点评】： 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意排列组合知识的合理运用18（12分）（2015青岛一模）如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1底面 ABCD，底面ABCD是直角梯形，ADBC，BAD=90&

21、#176;，AD=AA1=3，BC=1，E1为A1B1中点（）证明：B1D平面AD1E1；（）若ACBD，求平面ACD1和平面CDD1C1所成角（锐角）的余弦值【考点】： 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【专题】： 空间位置关系与距离；空间角【分析】： （）连结A1D交AD1于G，四边形ADD1A1为平行四边形，从而B1DE1G，由此能证明B1D平面AD1E1（）以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面ACD1的一个法向量和平面CDD1C1的一个法向量，由此利用向量法能求出平面ACD1和平面CDD1C1所成角（锐角）的余弦值【解析

22、】： （本小题满分12分）（）证明：连结A1D交AD1于G，因为ABCDA1B1C1D1为四棱柱，所以四边形ADD1A1为平行四边形，所以G为A1D的中点，又E1为A1B1中点，所以E1G为A1B1D的中位线，从而B1DE1G（4分）又因为B1D平面AD1E1，E1G平面AD1E1，所以B1D平面AD1E1 （5分）（）解：因为AA1底面ABCD，AB面ABCD，AD面ABCD，所以AA1AB，AA1AD，又BAD=90°，所以AB，AD，AA1两两垂直（6分）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系设AB=t，则A（0，0，0），B

23、（t，0，0），C（t，1，0），D（0，3，0），C1（t，1，3），D1（0，3，3）从而，因为ACBD，所以，解得（8分）所以，设是平面ACD1的一个法向量，则即令x1=1，则（9分）又，设是平面CDD1C1的一个法向量，则即令x2=1，则（10分），平面ACD1和平面CDD1C1所成角（锐角）的余弦值（12分）【点评】： 本小题考查空间中直线与平面的位置关系、空间向量的应用等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想19（12分）（2015青岛一模）已知数列an是等差数列，Sn为an的前n项和，且a10=19，S10=100；数列bn对任

24、意nN*，总有b1b2b3bn1bn=an+2成立（）求数列an和bn的通项公式；（）记cn=（1）n，求数列cn的前n项和Tn【考点】： 数列的求和；等差数列的前n项和【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： （1）由题意和等差数列的前n项和公式求出公差，代入等差数列的通项公式化简求出an，再化简b1b2b3bn1bn=an+2，可得当n2时b1b2b3bn1=2n1，将两个式子相除求出bn；（2）由（1）化简cn=（1）n，再对n分奇数和偶数讨论，分别利用裂项相消法求出Tn，最后要用分段函数的形式表示出来【解析】： 解：（）设an的公差为d，则a10=a1+9d=19，解得a1=1，d=2

25、，所以an=2n1（3分）所以b1b2b3bn1bn=2n+1当n=1时，b1=3，当n2时，b1b2b3bn1=2n1两式相除得因为当n=1时，b1=3适合上式，所以（6分）（）由已知，得则Tn=c1+c2+c3+cn=（7分）当n为偶数时，=（9分）当n为奇数时，=（11分）综上：（12分）【点评】： 本题考查数列的递推公式，等差数列的通项公式、前n项和公式，裂项相消法求数列的和，以及分类讨论思想，考查化简、计算能力，属于中档题20（13分）（2015青岛一模）已知椭圆C：+y2=1与直线l：y=kx+m相交于E、F两不同点，且直线l与圆O：x2+y2=相切于点W（O为坐标原点）（）证明：

26、OEOF；（）设=，求实数的取值范围【考点】： 椭圆的简单性质【专题】： 方程思想；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： （）由直线l与圆O相切，得圆心到直线l的距离d=r，再由直线l与椭圆C相交，得出E、F点的坐标关系，从而证明OEOF；（）根据直线l与圆O相切于点W，以及OEOF，得出=的坐标表示，求出的取值范围【解析】： 解：（）因为直线l与圆O相切，所以圆x2+y2=的圆心到直线l的距离d=，；（2分）由，得：（1+2k2）x2+4kmx+2m22=0；设E（x1，y1），F（x2，y2），则，；（4分）所以所以OEOF；（6分）（）直线l与圆O相切于W，；（8分）由（）知x1x2+y1y2=0，x1x2=y1y2，即；从而，即，；（12分）因为x1，所以，2（13分）【点评】： 本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了直线与圆相切的应用问题，考查了方程思想的应用问题，是综合性题目21（14分）（20