立体图形的认识,及计算整理和复习

1、六年级数学（下）整理和复习图形与几何立体图形的认识及计算整理和复习整理教师：刘新民一、基础知识整理（一）长方体和正方体的特征。1. 长方体和正方体的异同。（1）相同点：它们都有6个面，12条棱和8个顶点。（2）不同点。长方体的6个面一般都是长方形（特殊的情况下有2个相对的面是正方形），相对的面完全相同，相对的棱的长度相等，从上、下、左、右、前、后看一般都是长方形，特殊情况下看到的可能是正方形。边长高正方体的6个面都是完全相同的正方形；12条棱的长度都相等，从上、下、左、右、前、后看到的都是长方形。宽长2. 长、宽、高的意义。相交于同一顶点的三条棱的长度分别叫长方体的长、宽、高，12条棱分成长、

2、宽、高3组，每组4条，如果用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高，那么长方体的棱长总和可以表示为4（a+b+h）；正方体是长、宽、高都相等的特殊的长方体，如果用a表示正方体的边长，那么正方体的棱长总和可以表示为12a。（二）正方体的平面展开图及特点。1. 正方体的平面展开图的形式形式一：上面有1个正方形，中间有4个正方形，下面有1个正方形，这样的展开图可以折叠成正方体，相同的颜色是它的相对面。如下图所示称作（1、4、1）型展开图形式二：上面有2个正方形，中间有3个正方形，下面有1个正方形，这样的展开图可以折叠成正方体，相同的颜色是它的相对面。如下图所示称为（2、3、1）形展开图形式三：上、中、

3、下各有2个正方形，这样的展开图可以折叠成正方体，相同的颜色是它的相对面。如下图所示称为（2、2、2）形展开图形式四：仅有2行，每行有3个正方形，这样的展开图可以折叠成正方体，相同的颜色是它的相对面。如下图所示称为（3、3）形展开图2. 正方体平面展开图的特点：（1）当我们从正方体的某个顶点出发，最多只能观察到三个面，这三个面中必包括三组相对面中的各一个，且两个相对的面不能被同时看到。 （2）平面展开图形中的每一个正方形至少有一边与其他正方形相连。 （3）正方体的平面展开图中一个公共顶点处最多只能出现三个正方形，与一个正方形相邻的正方形最多只能有四个。 （4）正方体中原来处于相对位置上的两个面，

4、展开后的正方形无公共顶点和公共边；反之，有公共顶点或公共边的两个正方形折叠成正方体后，必成为相邻面，不可能成为相对面。注意：凡是出现“田”字形、“凹”字形、五连长链和六连长链均不是正方体的平面展开图。3. 巧记正方体展开图的儿歌。 中间4个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便。 两两相连各错一，三个两排一对齐。要找两个相对面，切记相隔一个面。（三）圆柱和圆锥的特征。1. 圆柱的特征。高（1）圆柱有3个面，上、下两个底面是大小相同的圆，侧面是个曲面。底面（2）圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高。它有无数条高。（3）圆柱沿侧面上的高展开后是长方形或正方形（底面周长和高相等）。（4

5、）以长方形或正方形的一条边为轴旋转一周形成圆柱，该边就是圆柱的半径。（5）从上、下看是个圆，从侧面看是个长方形或正方形（底面直径和高相等）。高2. 圆锥的特征。（1）圆锥有2个面，它的底面是圆，侧面是曲面。底面（2）圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高，圆锥只有一条高。（3）以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周形成圆锥，该直角边就是圆锥的高，另一条直角边就是圆锥底面的半径。（4）从上面看，会看到 ，从下面看，会看到一个圆，从侧面看，会看到一个等腰三角形或等边三角形（三边等于圆锥底面的直径）。（四）立体图形的表面积和体积1. 表面积：一个立体图形所有面的面积总和，叫做它的表面积，又叫它的全面积

6、。2. 体积：一个立体图形所占空间的大小叫做它的体积。3. 立体图形的侧面积、表面积和体积的计算公式。（1）立体图形的侧面积计算公式长方体的侧面积=（长×高+宽×高）×2=（长+宽）×2×高=底面周长×高，如果用C表示底面周长，用S表示侧面积，用h表示高，那么长方体的侧面积用字母表示为S=Ch。正方体的侧面积=边长×边长×4，如果用S表示侧面积，用a表示边长，那么正方体的侧面积用字母可表示为S=4a²。圆柱的侧面积=底面周长×高，如果用S表示圆柱的侧面积，用r表示底面半径，用h表示圆柱的高，那么

7、圆柱的侧面积用字母可表示为S=2rh。（2）立体图形的表面积计算公式长方形的表面积=（长×宽+宽×高+长×高）×2，如果用字母S表示长方体的表面积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高，那么长方体的表面积用字母可表示为S=（ab+bh+ah）×2。正方体的表面积=边长×边长×6，如果用字母S表示正方体的表面积，用a表示正方体的边长，那么正方体的表面积用字母可表示为S=6a²。圆柱的表面积=侧面积+底面积×2，若果用S表示圆柱的表面积，r表示底面半径，h表示高，那么圆柱的表面积用字母可表示为S=2rh+2

8、r²=2r（h+r）。（3）立体图形的体积计算公式。长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，如果用字母V表示长方体的体积，用a、b、h分别表示它的长、宽、高，用S表示它的底面积，那么长方体的体积可表示为V=abh=Sh。正方体的体积=棱长×棱长×棱长=底面积×高，如果用字母V表示正方体的体积，用a表示它的棱长，用h表示正方体的高，那么正方体的体积用字母可表示为V=a³=Sh。圆柱的体积=底面积×高，如果用字母V表示圆柱的体积，用r表示底面半径，用h表示高，那么圆柱的体积用字母可表示为V=r²h。圆

9、锥的体积=底面积×高×，如果用字母V表示圆锥的体积，用r表示底面半径，用h表示高，那么圆锥的体积用字母可表示为V=r²h。（4）圆柱与圆锥之间的关系。一个圆锥的体积是和它等底等高的圆柱体积的；反过来，一个圆柱的体积是和它等底等高的圆锥体积的3倍。（5）体积和容积的异同。不同点a. 意义不同：物体所占空间的大小，叫做物体的体积；一个容器所能容纳的物体的体积。b. 测量方法不同：求物体的体积是从该物体的外面来测量长、宽、高；求物体的容积是从该物体的内部来测量长、宽、高。c. 单位名称不同：体积单位一般用立方米、立方分米、立方厘米，计算液体的体积一般用升或毫升；容积一般

10、就用体积单位，盛放液体的容器，求容积时要用升或毫升。相同点：计算公式相同，长（正）方体的体（容）积=长×宽×高=底面积×高；圆柱的体（容）积=底面积×高；圆锥的体（容）积=底面积×高×。二、例题精讲例1、一个游泳池的长是80m，宽是60m，深是2.5m，在它的四周和底部抹水泥，如果每平方米需要水泥6，一共需要水泥多少千克？这个游泳池最多可以装水多少立方米？分析与解答：这道题要求乙共需要多少千克的水泥，由于每平方米需要水泥6，所以应该先求出抹水泥的面积是多少平方米，即（80+60）×2×2.5+80×60=

11、5500（平方米），那么一共需要水泥5500×6=33000（）；求这个游泳池最多可以装水多少立方米，就是求这个游泳池的体积，即80×60×2.5=12000（m³） 。例2、做下面这个水桶大约需要多少平方分米的铁皮？（得数保留整数）分析与解答：需要多少平方米的铁皮，就是求水桶的表面积，因为水桶无盖dm3.84dm，所以它的表面积应该是底面积与侧面积的和，再用“进一法”求这个数的近似数，它的侧面积为3.14×4×3.8=47.728（dm²），底面积为3.14×（）²=12.56（dm²），那么

12、共需要铁皮47.728+12.5661（平方分米）。例3、把一个底面直径为4，高是9的圆锥形铅锤完全浸没在住满水的底面周长是25.12的圆柱形容器中，当铅锤从水中取出后，容器中的水面下降了几厘米？分析与解答：由题意可知，当铅锤从水中取出后，容器中水面下降的体积就是圆锥形铁锤的体积，即容器中水面下降的体积=×3.14×（）²×9=37.68（²） ，容器的底面积为3.14×（）²=50.24（²），故容器中的水面下降的高为37.68÷50.24=0.75（厘米）。例4、把一根长1m，底面直径是2dm的圆柱形

13、钢材截成4段，表面积增加了多少？分析与解答：把它截成4段，是将它截了4-1=3（次），而每次都要增加两个底面，3次增加2×3=6（个）底面，所以表面积增加了3.14×（）²×6=18.84（dm²）。AA例5、把直角三角形ABC沿BC边和AB边分别旋转一周，得到两个圆锥（如下图），哪个圆锥的体积大？A4CB（2）（1）C3CB3分析与解答：如果以BC为轴旋转一周，得到如图（1）所示的圆锥，那么这个圆锥的半径为4，高为3，则该圆锥的体积为×3.14×4²×3=50.24（³）如果以AB为轴旋转一周

14、，得到如图（2）所示的圆锥，那么这个圆锥的半径为3，高为4，则该圆锥的体积为×3.14×3²×4=31.68（³）。总结：在以直角三角形的直角边为轴旋转形成的圆锥中，以较短的直角边为轴旋转而成的圆锥的体积比较大。三、精练考题1. 填空。（1）一个正方体的棱长总和是60，那么它的表面积是（ ）²，体积是（ ）³。（2）用一根72长的铁丝做成一个长方体框架（接头处不计），已知长、宽、高的比是3:2:1，这个长方体框架最大的一个面的面积是（ ）²。（3）把一个高为18的圆锥形容器盛满水，将这些水全部倒入和圆锥形容器等底的

15、圆柱形容器里，水的高度是（ ）。（4）一个圆柱的侧面展开图是正方形，已知它的底面周长是31.4，它的体积是（ ）。（5）一个圆柱，如果把它的高截短3，表面积就减少12.56²它的底面半径是（ ），体积减少了（ ）³。2. 选择。（1）一个正方体法棱长扩大到原来的3倍，它的体积就扩大到原来的（ ）倍。A. 3 B. 9 C. 6 D. 27（2）把一个圆柱形木料加工成一个和它等底等高的圆锥，体积比原来减少了（ ）A. B. C. D. 2倍（3）将一个长方体从中间切开后得到两个正方体，其中一个正方体的表面积是12²，那么原来这个正方体的表面积是（ ）²。A

16、. 36 B. 30 C. 28 D. 203. 解决问题。（1）从一个长方体上截下一个体积是18dm³的小长方体后，还剩下一个棱长为3dm的正方体。原来这个长方体的表面积是多少？（2）把一个高是6dm的圆柱的底面分成若干个相同的小扇形，然后把这个圆柱沿着小扇形切开，拼成一个与它等底等高的近似长方体。这个长方体的表面积比圆柱增加了48dm²，求圆柱的体积。0.8（3）一个保温杯从外面测量的尺寸如下图所示，保温杯壁的厚度是0.8，内部高度为18.这个保温杯能容纳多少毫升水？（得数保留整数）7A（4）如右图，ABCD是直角梯形。（单位：）以AB为轴，将梯形绕这个轴旋转一周，6D得到一个立体图形，它的体积是多少？3BC3以CD为轴，将梯形绕这