运动学方程建立

1、4 机器人运动学和动力学机器人运动学和动力学v1对一给定的操作机，已知杆件几何参数和关节对一给定的操作机，已知杆件几何参数和关节角矢量角矢量 其中其中n是自由度数，求操作机末端执行器相对于参是自由度数，求操作机末端执行器相对于参考坐标系的位置和姿态。考坐标系的位置和姿态。v2已知操作机杆件的几何参数，给定操作机末端已知操作机杆件的几何参数，给定操作机末端执行器相对于参考坐标系的期望位置和姿态（位执行器相对于参考坐标系的期望位置和姿态（位姿），操作机能否使其末端执行器达到这个预期的姿），操作机能否使其末端执行器达到这个预期的位姿？如能达到，那么操作机有几种不同形态可满位姿？如能达到，那么操作机有

2、几种不同形态可满足同样的条件？足同样的条件？4.建立机器人连杆坐标系建立机器人连杆坐标系4.1.1连杆参数和关节参数连杆参数和关节参数v一连杆描述一连杆描述v连杆连杆i-1是由关节轴线是由关节轴线vi-1和和i的公法线长度的公法线长度ai-1和夹角和夹角i-1所规定的。所规定的。vai-1 ：连杆连杆i-1的长度的长度vi-1：连杆连杆i-1的扭角的扭角,指指向从轴线向从轴线i-1绕公法线转绕公法线转至轴线至轴线i例题二二.连杆连接的描述连杆连接的描述v中间连杆中间连杆两条公法线两条公法线ai-1与与ai之间的之间的距离距离di称为这两条连杆之称为这两条连杆之间的间的偏置偏置；ai-1与与ai

3、之间的夹角之间的夹角i又称又称为两条连杆之间的为两条连杆之间的关节角关节角。 di和和i都带正负号。都带正负号。连杆长度连杆长度ai-1恒为正，扭角恒为正，扭角i-1可正可负可正可负v首、末连杆首、末连杆v对于运动链两端，按习惯约定：对于运动链两端，按习惯约定：v若关节若关节1为转动关节，则为转动关节，则1是可变的是可变的,称为关节变量称为关节变量,规定规定1=0为连杆为连杆1的零位的零位.习惯约定习惯约定d1=0.v若关节若关节1为移动关节，则为移动关节，则d1是可变的是可变的,称为关节变量称为关节变量,规定规定d1=0为连杆为连杆1的零位的零位.习惯约定习惯约定1=0.v上面约定对于关节上

4、面约定对于关节6同样适用。同样适用。4.1.2连杆坐标系、齐次矩阵表示法连杆坐标系、齐次矩阵表示法v一.连杆坐标连杆坐标系系v与基座固接的与基座固接的坐标系记为坐标系记为0,与连杆与连杆i固接的固接的坐标系记为坐标系记为i.4.1.2连杆坐标系、齐次矩阵表示法连杆坐标系、齐次矩阵表示法v一.连杆坐标连杆坐标系系v与基座固接的与基座固接的坐标系记为坐标系记为0,与连杆与连杆i固接的固接的坐标系记为坐标系记为i.v(各坐标的定义各坐标的定义)v二二.连杆坐标系规定的连杆参数连杆坐标系规定的连杆参数v根据所设定的连杆坐标系根据所设定的连杆坐标系,相应的连杆参数定相应的连杆参数定义如下义如下:v三三.

5、齐次矩阵表示法齐次矩阵表示法(D-H表示法表示法)v连杆坐标系连杆坐标系i相对于相对于i-1的变换的变换 称为连杆变称为连杆变换。换。v连杆变换连杆变换 可以看成是坐标系可以看成是坐标系i经四个子变换经四个子变换得到的。得到的。v因为这四个变换都是相对于因为这四个变换都是相对于动坐标动坐标系描述的，系描述的，按按“从左到右从左到右”的原则，得：的原则，得：4.2机器人运动学方程机器人运动学方程v表示机器人操作机或机械手每个杆件表示机器人操作机或机械手每个杆件(连杆连杆)在在空间相对于空间相对于绝对绝对坐标系或相对于坐标系或相对于机座机座坐标系坐标系的位置及方向的方程称为机器人运动学方程的位置及

6、方向的方程称为机器人运动学方程v它是它是n个关节变量个关节变量 的函数，表示末的函数，表示末端连杆坐标系端连杆坐标系n相对于基坐标系相对于基坐标系0的描述，的描述，v根据各关节位置传感器的输出，得到各关节根据各关节位置传感器的输出，得到各关节 变量变量 的的 的值，即可求出的值，即可求出v上式称为上式称为运动学方程运动学方程v手爪坐标系手爪坐标系vZ轴接近矢量轴接近矢量avY轴方位矢量轴方位矢量ovX轴法向矢量轴法向矢量n n=oav手爪的方位由旋转矩阵手爪的方位由旋转矩阵R所规定所规定v手爪的位姿由四个矢量手爪的位姿由四个矢量n，o，a，p来描述，记来描述，记为为4.2.1运动学方程的建立运

7、动学方程的建立v把各个连杆变换矩阵相乘把各个连杆变换矩阵相乘,便得到便得到PUMA560的手臂的手臂变换矩阵变换矩阵:v它是关节变量它是关节变量 的函数的函数.最后,求出六个连杆之积:v为了校核所得结果的正确性，计算当为了校核所得结果的正确性，计算当v手臂变换矩阵手臂变换矩阵 的值，计算结果为：的值，计算结果为：4.2.2运动学方程反解运动学方程反解vPUMA560运动方程运动方程v （4.5） (4.5)两边两边v (4.6)v今矩阵方程（今矩阵方程（4.6）两端的元素（）两端的元素（2，4）对）对应相等应相等,得得:v (4.7) v再令矩阵方程（再令矩阵方程（46）两端的元素（）两端的元

8、素（1，4）和）和v（3，4）分别对应相等，得两方程：）分别对应相等，得两方程：v (4.10)v式式(4.7)与与(4.10)的平方和为的平方和为:v (4.11)用三角变换求用三角变换求 3 3v (4.5)v (4.12)v令令(4.12)两边元素两边元素(1.3)和和(3.3)分别对应相等分别对应相等: 将式（将式（4.5）求逆解时注意运用以下方法求逆解时注意运用以下方法v1.等号两端的矩阵中对应元素相等等号两端的矩阵中对应元素相等v2.利用矩阵方程进行递推利用矩阵方程进行递推v3.利用三角方程等技巧进行置换利用三角方程等技巧进行置换v4.对增根的处理对增根的处理v要获得显式解要获得显

9、式解,只有满足下列两个充只有满足下列两个充分条件之一分条件之一(Piepe准则准则)v1.三个相邻关节的轴交于一点三个相邻关节的轴交于一点v2.三个相邻关节的轴相互平行三个相邻关节的轴相互平行4.2.3运动学反解的讨论运动学反解的讨论v1.无解无解:机器人无法达到的空间机器人无法达到的空间v2.单解单解:机器人可达空间机器人可达空间,手部唯一地只有一个手部唯一地只有一个方向可达方向可达v3.重解重解:机器人灵活工作空间机器人灵活工作空间,手部有两个或两手部有两个或两个以上方位达到的空间个以上方位达到的空间v机器人在存在重解的情况下机器人在存在重解的情况下,应选其中最满意应选其中最满意的一组解的

10、一组解:v1.行程最短行程最短,大关节少动大关节少动,小关节多动小关节多动v2.功率最省功率最省v3.受力最好受力最好v4.回避障碍回避障碍v反解数目与连杆长度非零的数目之间关系反解数目与连杆长度非零的数目之间关系4.3机器人的雅可比矩阵机器人的雅可比矩阵(Jacobian)v研究研究操作空间速度操作空间速度与与关节空间速度关节空间速度之间之间的线性映射关系的线性映射关系雅可比矩阵（简称雅雅可比矩阵（简称雅可比）可比）, ,也用来表示两空间之间力的传也用来表示两空间之间力的传递关系。递关系。v关节空间关节空间所有关节矢量所有关节矢量q q构成的空间构成的空间v操作空间操作空间末端手爪的位姿末端

11、手爪的位姿在直角坐标空在直角坐标空间中的描述间中的描述. .4.3.1雅可比矩阵的定义雅可比矩阵的定义v操作速度与关节速度的线性变换，可以看成操作速度与关节速度的线性变换，可以看成是从是从关节空间关节空间向向操作空间操作空间运动速度的传动比。运动速度的传动比。操作臂的运动方程操作臂的运动方程v代表操作空间代表操作空间 与关节空间与关节空间 之间的位移关之间的位移关系。将上式两边对时间系。将上式两边对时间 t 求导，即得出求导，即得出v例例1.图中平面二杆件操作机图中平面二杆件操作机,其末端执行器的其末端执行器的空间位置空间位置(x,y)与关节变量（与关节变量（12）的关系如）的关系如下。下。v

12、例例2 .如图所示，为了实现平面如图所示，为了实现平面2R机械手末端机械手末端沿沿x0轴以轴以1m/s的速度运动，求相应的关节速的速度运动，求相应的关节速度度v得到与末端速度得到与末端速度 相应的关节速度相应的关节速度反解为反解为:4.3.2雅可比矩阵的应用雅可比矩阵的应用v1.速度的变换速度的变换v2.微分运动微分运动v3.误差分析误差分析v4.刚度和变形刚度和变形v5.奇异形位和灵活度奇异形位和灵活度v6.力雅可比力雅可比v机器人与外界环境相互作用时机器人与外界环境相互作用时,在接触处要产生在接触处要产生力力f和和力矩力矩n,统称为统称为末端广义（操作）力矢量末端广义（操作）力矢量v在静止

13、状态下，广义操作力矢量在静止状态下，广义操作力矢量F应与各关节的驱动应与各关节的驱动力（或力矩）相平衡。力（或力矩）相平衡。n个关节的驱动力（或力矩）个关节的驱动力（或力矩）组成的组成的n维矢量维矢量v 称为关节力矢量称为关节力矢量v利用虚功原理，可以导出关节力矢量利用虚功原理，可以导出关节力矢量 与相与相应的广义操作力矢量应的广义操作力矢量F之间的关系。之间的关系。v令各关节的虚位移为令各关节的虚位移为 ；末端执行器相应；末端执行器相应的虚位移为的虚位移为D。v所谓虚位移，是满足机械系统几何约束的无所谓虚位移，是满足机械系统几何约束的无限小位移。限小位移。v虚功虚功:力在虚位移上的功力在虚位

14、移上的功v各关节所作的虚功之和各关节所作的虚功之和v与末端执行器所作的虚功与末端执行器所作的虚功v应该相等应该相等(总的虚功为零总的虚功为零),即即v 雅可比矩阵雅可比矩阵 J（q）既可当成是从关节空间）既可当成是从关节空间向操作空间的向操作空间的速度传递速度传递的线性关系，也可看的线性关系，也可看成是成是微分运动微分运动转换的线性关系，即转换的线性关系，即v把把 代入代入 v 得得4.4机器人动力学机器人动力学v4.4.1 概述概述v1.从控制理论的观点看从控制理论的观点看,机器人是一种极其复杂的动机器人是一种极其复杂的动力学耦合系统力学耦合系统.v2.动力学方程是指作用于机器人各机构的力、

15、力矩动力学方程是指作用于机器人各机构的力、力矩（广义力）与其位置、速度、加速度关系的方程式。（广义力）与其位置、速度、加速度关系的方程式。v3.动力学问题分为两类问题动力学问题分为两类问题:v正问题正问题:根据关节驱动力矩或力根据关节驱动力矩或力,计算操作臂的计算操作臂的运动（关节位移、速度和加速度）运动（关节位移、速度和加速度）v逆问题：逆问题：已知轨迹运动对应的关节位移、速已知轨迹运动对应的关节位移、速度和加速度，求出所需要的关节驱动力矩或度和加速度，求出所需要的关节驱动力矩或力力v4.4.2动力学方程介绍动力学方程介绍v4.4.3机器人动力学正问题机器人动力学正问题v机器人动力学正问题研

16、究机器人手臂在关节机器人动力学正问题研究机器人手臂在关节力矩作用下的力矩作用下的动态响应动态响应.其主要内容是如何建其主要内容是如何建立机器人手臂的动力学方程立机器人手臂的动力学方程.建立机器人手臂建立机器人手臂的动力学方程的方法有的动力学方程的方法有牛顿牛顿-欧拉法欧拉法和和拉格朗拉格朗日法日法等等.v1.牛顿牛顿-欧拉方程欧拉方程v在考虑速度与加速度影响的情况下，作用在机器人在考虑速度与加速度影响的情况下，作用在机器人手臂杆手臂杆i上的力和力矩如图所示。上的力和力矩如图所示。根据力、力矩平衡原理根据力、力矩平衡原理v (4.13)v (4.14)v式式(4.13)为牛顿方程为牛顿方程,(4.14)为欧拉方程为欧拉方程.v其中其中Ii为杆为杆i绕其质心的惯性张量：绕其质心的惯性张量：v 惯性力惯性力v 惯性力矩惯性力矩v 陀螺力矩陀螺力矩v可以解出表示关节位移与关节力间关系可以解出表示关节位移与关节力间关系的机器人封闭动力学方程的机器人封闭动力学方程:v此方程右边首项为惯性力项，第此方程右边首项为惯性力项，第2项来源于哥项来源于哥氏力和离心力，第氏力和离心力，第3