北理工0608年历年真题讲解自动化

1、一、北京理工大学2006 年自动理论试题一、根轨迹（25 分）1反馈系统如图 1，其中G(s) =) 。为简便起见，图中用 R 表示 r(t)的 Laplace 变换 R(s)。其余的符号和以后的图均采用这种(s s + 2简便记法。（1） 设Gc (s) = K ,画出根轨迹图；（2） 确定 K 的值，使闭环系统-p阶跃响应的最大超调量为M p = e。计算相应的上升时间tr ；(s) = Kca (Ts +1) 使最大超调量M= 3p8（3）设计器G保持不变，上升时间为t，并使闭环系统尽可能地简单。caTs +1pr图 1：反馈系统（30 分）二、状态空间第 1 页 共 51 页 。 x

2、= Ax + Bu考（1） y = Cx + Du- a0 00A = 10- a先设01 1- a2 （）证明：若 f (s) = s3 + a s2 + a s + a = (s - l )(s - l )2 ,其中l l ，则可通过状态空间中的线性变换 x = Tx ，将状态空间表（1）2101212变为 。 x = Ax + Bu（2） y = Cx + Dul100 A = J = 01 l其中 0l2 20ll1211T = 0102l2 T 可取为1l00l0 222A = 10 （）设01-1求eJt和e At 。B = 1 1 0T ,C = 001（）A 同（），第 2 页

3、 共 51 页系统的可控性和可观测性。不可控或不可观测，确定不可控或不可观测的模态；（）A,B,C 同（），D=0， x(0) = 1-1 01T , x(t)是状态方程在初态 x(0)下的解，证明 xT (0)x(t ) = 3e-tu(t ),t 0 ，并解释这个结果。-1001000010 0 A = 0 （）又设 0 0-1B,C,D 待定。若要通过状态反馈u(t) = Kx(t)配置系统的极点，至少需要几个的变量（即 B 至少要有几个线性无关的列向量）？请说明理由。若要通过状态反馈u(t) = Kx(t)使闭环系统渐近，至少需要几个的变量？请说明理由。（25 分）三、频率响应分析考虑

4、图 2 所示的系统，其中Gc (s),G1(s)和G2 (s)均为最小相位系统，其渐近对数幅频特性曲线如图 3，H(s)=1。图 2：由三个最小相位环节的反馈系统第 3 页 共 51 页图 3：渐近对数幅频特性曲线（1） 确定开环传递函数G0 (s) = Gc (s)G1 (s)G2 (s)H (s)并画出其渐近对数幅频和相频特性曲线（要求按图 3 中的（2） 画出 Nyquist 曲线G0 ( jw )；两张对数坐标纸）；（3）由 Nyquist 曲线确定使闭环系统的 K 值，并用根轨迹；（4）求 K=1 和 K=2 时的稳态误差和度误差。（25 分）四、非线性系统第 4 页共 51 页系统

5、的方框图如图 4 所示，其中D = D = D = 1，M = M = 1，K = 1，所有的非线性特性均关于原点中心对称， G(s) = s + 1 。123231s 2自激振荡，请计算输出 y(t) 的画出负倒特性曲线和线性部分G(s)的 Nyquist 图，以此分析系统是否自激振荡及其性；如果振幅和频率。图中死区、饱和特性和继电特性等非线性环节的描述函数分别为：p2 DD D2KN (X ) = ， X D- arcsin 1 1p 1 1 11 22 DD D2KN (X ) = ， X D 2 arcsin 2 2 2 2p22 D4M D4MN (X ) =1 - 3 -j3 3

6、， X D3 3 pX3pX 2X图 4：具有非线性特性的反馈系统五、离散系统（25 分）第 5 页 共 51 页考虑如图 5 所示的直流电机速度系统，ZOH 表示零阶保持器。设模拟被控对象的传递函数如下：261714.877Gp (s) = (s + 297.456)(s + 879.844)数字器由微处理器实现，其脉冲传递函数为+ KRT z +1D(z) = K2 z -1 P式中， T = 0.001s、KP =1和KR = 295.276图 5：直流电机速度系统的框图（1）求数字系统的开环和闭环脉冲传递函数；（2）整个系统的性；（3）当w d 为阶跃函数时，求数字系统在采样时刻的输出

7、响应；（4）重新设计数字器 D(z)，使数字系统对常用函数的 z-变换表：阶跃输入具有最小拍输出响应。1z1s + azz - e-aT1s 2Tz(z -1)2；sz -1六、Lyapunov性（20 分）6 页 共 51 页第设非线性系统的数学描述如下：。 。-1 = 0（）写的状态方程；（）（）的所有平衡点；每一个平衡点在 Lyapunov 意义下的性，并阐明理由。2007 年自动理论试题（每小题 10 分，共 60 分一、选择填空1 采样系统的特征方程为 D(z) = z 2 + (2K -1.75)z + 2.5 = 0 ，使系统（a） K 2.63（b） 0 0的 K 值是（）（d

8、）不这样的 K 值。z 3 + 2z 2 + 2()( )2 采样系统的输出 y kT 的z - 变换为Yz =，则前四个采样时刻的输出为（）z 3 - 25z 2 + 0.6z（a） y(0) = 0, y(T ) = 27, y(2T ) = 47, y(3T ) = 60.05（b） y(0) = 1, y(T ) = 27, y(2T ) = 674.4, y(3T ) = 16845.8第 7 页 共 51 页（c） y(0) = 1, y(T ) = 27, y(2T ) = 647, y(3T ) = 660.05（d） y(0) = 1, y(T ) = 647, y(2T )

9、 = 47, y(3T ) = 27103s-域的传递函数为G(s) =，T 为采样周期。经采样后 z-域的脉冲传递函数G(z) 是（）s s + 2)(s + 6)(（a） G(z) = 5z- 5z5z+6 z -14 z - e-6T12 z - e-T（b） G(z) = 5zz5z-+6 z -1z - e-6T12 z - e-T（c） G(z) = 5z- 5z5z+6 z -14 z - e-2T12 z - e-6T（d） G(z) = 1zz+ 5z-6 z -1z - e-2T6 z - e-6T线性系统的斜坡响应为 y(t ) = t - 4 + 4e-t 4 ，则该系

10、统的4阶跃响应为，该系统的传递函数为。最小相位系统的开环对数幅频特性如图 1，则该系统的速度误差系数 Kv =，度误差系数 Ka =。5第 8 页 共 51 页图 1：折线对数幅频特性6非线性系统的一个平衡态 xe 位于不的极限环内，该极限环内没有其它极限环。下述说法正确的是（）。（a） xe 是不平衡态。（b） xe 是平衡态，以极限环内的点为初始状态的运动轨迹都趋于 xe 。（c） xe 是平衡态，以极限环外的点为初始状态的运动轨迹都趋于 xe 。（d）上述说法都不对，根本无法判定 xe 是否。（20 分）二、根轨迹第 9 页 共 51 页s + b s(s - a)反馈系统如图 2，其中

11、G(s) =，a 0，b 0 为待定参数。为简便起见，图中用 R 表示 r(t)的 Laplace 变换 R(s)。其余的符号和均采用这种简便记法。（1）设Gc (s) = K 0 ,已知根轨迹的分离点和汇合点分别是 1 和-3。确定参数 a 和 b 并画出根轨迹图；（2）确定根轨迹和虚轴的交点并由此确定使闭环系统的 K 值。（3）说明在的前提下该反馈系统和标准的阶跃响应在快速性和超调量两方面有何不同。图 2：反馈系统三、状态空间（20 分） 。( ) = Ax(t )+ bu(t ) x t考y(t ) = cT x(t )+ du(t )其中 A R33 ,b,c R3 , d Rt) =

12、 00T ；（）设u(t) = 0 ，已知： 若x (0) = 1 00 ,则x (T-te11若x2 (0) = 1 1 0 ,则x (t) = eT-t2若x3 (0) = 1 1 1 ,则x (t ) = eT-t30T ；etet + tetet T ，且x (t)(t)x (t)= eAt (0)x1233第 10 页 共 51 页确定状态转移矩阵e At 和系统矩阵 A。（）设l100 b1 A = 01 ，b = b ，cT = ccc l 0l2 2 2123b3 0，以及(A，cT )的可观测性和ccl l ，确定(A，b)的可控性和b ，b ，b 的c 的。12123123

13、（20 分）四、频率法1系统，其中G(s) =), a 0 。考虑图 2 所示的(s s - a器Gc (s) = Kc 都不（1）用 Nyquist性判据证明闭环系统对任何比例。（2）设Gc (s) = Kc (1+ts) 为 PD器。用 Nyquist 判据确定使闭环系统的 Kc和t 的值。五、离散系统（20 分）离散系统的状态空间表为x(k +1) = Ax(k )+ bu(k )y(k ) = cT x(k )其中010- 2.250 A = 01 ，b = 00 1T ，cT = - 0.250 1- 0.5- 3第 11 页 共 51 页（）系统的性。（）令u(k ) = r(k

14、)+ f T x(k )，求状态反馈阵 f 使闭环系统的极点为-0.5，0.5，0。六、Lyapunov性（10 分）设非线性系统的数学描述如下：。 。y + y+ sin py = 0（）写的状态方程；（）的所有平衡点；（）每一个平衡点在 Lyapunov 意义下的性，并阐明理由。2008 年自动理论试题一：选择填空（每小题 10 分，共 50 分）K (z 2 + 2z)1. 离散时间系统的闭环传递函数为T (z) =，以下结论正确的是（）:z 2 + 0.2z - 0.5(a)对任意有限的 K 值系统都是的。(b)当且仅当-0.5K 是的。(c)对所有 K 值系统都是不的。第 12 页

15、共 51 页(d) 当 -0.5K 0 ,当 K (0, K0 ) 时闭环系统(c)。(d)对任意的 K0 闭环系统都。13. 具有非线性特性的负反馈系统，其前向通道中线性部分的频率特性曲线G( jw) 和非线性负倒特性-如图 2。图中箭头指N ( X )向分别为 X 和增加的方向。下述结论中正确的是( ):(a) M1 和M 2 两点都是系统的自激振荡状态。第 13 页 共 51 页(b)BC 段是系统的状态。X XM 是系统12(c)的状态。(d)上述说法都不对。第 14 页 共 51 页4. 若两个系统具有完全相同的根轨迹图，则两系统具有相同的开环传递函数(对，错)和相同的闭环传递函数(

16、对，错)。5. 开环最小相位系统的对数幅频特性向右移 4 倍频程，则闭环系统的调节时间将（增加，不变，减小） ，超调量将（增加，不变，减小） ，稳态误差（增加，不变，减小），抗高频噪声干扰的能力将（增强，不变，减弱） 。二、根轨迹（20 分）1反馈系统如图 3，其中G(s) =，a 0 ，b 0 为待定参数。为简便起见，图中用 R 表示 r(t)的 Laplace变换 R(s)。(s - 1)(s 2 + as + b)其余的符号亦采用这种简便记法。已知 K 为某一正数时，闭环系统的极点为-1，-1，-1。（i）确定参数 a 和 b 并由此确定 G(s)的另外两个极点。（ii）确定根轨迹的分离

17、点和汇合点、根轨迹的渐近线以及根轨迹与虚轴的交点并画出根轨迹图。（iii）确定使闭环系统的 K 值。图 3负反馈三、状态空间法第 15 页 共 51 页 x&(t) = Ax(t) + bu(t)考（1）y(t) = c x(t) + du(t)T-2-12-2-40其中， A = 00 , b = 0 10 1= 1-1 1 , d = 0cT的传递函数G(s) = Y (s) ，(i)系统的性。U (s)(ii)系统的状态可控性和可观测性。(iii) 能否通过状态反馈u(t) = kT x 将闭环极点配置在-2，-3 和-4？ 若能，求出k T ；若不能，请说明理由。四、频率法a(s -1

18、)(as2 + b s +1)，a 0 ， b 0 为待定参数。已知G( j2) = -0.05 。考虑图 3 所示的系统，其中G(s) =(i) 确定参数和并做出G(s) 的 Nyquist 曲线。(ii) 用 Nyquist 判据确定时闭环系统的 K 值范围。五、采样系统（15 分）第 16 页 共 51 页1- e-TsK阶跃函数，T , K,a 正的常数。考虑图 1 所示的采样系统，其中G0 (s) =为零阶保持器，Gp (s) = s(s + a) ，输入信号r(t) 为s（i）写出上述系统的闭环脉冲传递函数。（ii）设T = 1s ， K = 1,a = 1，计算采样输出c(0),

19、 c(1), c(2), c(3) 。已知：Z 1 =z, Z 1 =z, Z 1 =Tz s z -1 s + a z - e-aT2(z -1)2 s六、Lyapunov性设非线性系统的数学描述如下：x2 + x1 22321其中b 为常数。的状态方程 x = f (x) ，证明系统有唯一的平衡状态（i）写x= 0Txe,1e,2x T ，研究系统平衡态xxT 的（ii）取候选 Lyapunov 函数V (x Qx性及其与的，其中 Q 可选为正定对1212e,1e,2第 17 页 共 51 页角矩阵。七、描述函数分析20负反馈系统的前向通道为如图 4 所示的 Hammerstein 模型，

20、其中线性环节的传递函数为G(s) =，非线性环节为有滞s(0.1s +1)环的继电非线性。已知滞环继电非线性环节的描述函数为24Mh4hMN ( X ) = p1- X-j p X 2其中M =1。确定继电器参数 h，使得自激振荡频率w 20rad / s ，自激振荡幅值 X 0.7 。图四 Hammerstein 模型二、2006 年第 18 页 共 51 页K一、解：（1）系统的开环传函G0 (s) =()s s + 2绘制根轨迹的步骤如下:开环极点 p1 = 0 ， p2 = -2数目 n=2；无零点系统有两条根轨迹，分别起始于 p1，p2 ，终止于无穷远处。实轴上根轨迹段为(- 2，

21、0)；渐近线与实轴夹角为ja = 90 ；渐近线与实轴交点为s = 0 - 2 = -1；a21 +1= 0由 dd + 2 分离点d = -1由以上计算得到的参数，得根轨迹：第 19 页 共 51 页-zp21-z 2= e-p z = 0.707M= e（2）由p2KF(s) =闭环传递函数为s2 + 2s + K2z wn = 2K = 2K = w2由w n=2 nz= 22= p - b= 3 p上升时间tr4w1- z 2np - b2= 3p ，得到w = 2 2（3）要保持M 不变，即z =，结合t =prn2w1- z 28n s + 1 c T K由题意得， G (s) =

22、c1Tas + s + 1 c T K 1s(s + 2)开环传递函数G (s) = G (s)G(s) =0c1Tas +为使闭环系统尽可能简单，取 1T= 2，即T = 0.5 ,此时G (s) =Kc02 s s + a 第 20 页 共 51 页K = w = 828(s + 2)s + 4cn，所以G (s) =由2zw = 4 a = 0.5= 2cen二、解：（） x = Tx ，则 x = T -1x 代人（1）可得 。-1Tx = AT x + Bu x = TAT x + TBu-1-1y = CT -1x + Duy = CT -1x + Du 。x = Ax + Bu令

23、 A = TAT -1B =TBC = CT,即可得到-1 y = Cx + Du1lll2- a00010l200 11012l2 ， A = 1由T = 0- a，计算得 A = J = 011 11ll0 0l22- a0 2 2 2lel1t00el2t00tel2t1 eJtlJ = 0=01（）2el2t 0l002 - a0 00 00010A = 10 相当于（）中的 A = 1有a = a = 0a = 10- a0-101 0121- a2 -1111,即l = -1l = 0 ，此时T = 00则 f (s) = s3 + s2 =s ()2s +111200第 21 页

24、 共 51 页A 可通过非奇异阵 T 化为约当阵，即TAT -1 = J 。所以1-1 e-t01-11-111011t011- e-t0 01t 0e At = T -1e JtT = 000 = 0 00111e-t 0000e-t + t -1100rankU = rankBABA2 B= rank 110 = 2 -1 时，即 K1.2 时，Nyquist 曲线不包围（-1，j0）点，即 N=0，由于 P=0，Z=0，所以闭环系统。使系统的 K 值范围是：0 K 1.2第 25 页 共 51 页2）用根轨迹：()K * (s + 0.5)+1(K10K ) K 2s KG0 ( )s

25、=* =s2 (s +1)(0.2s +1)s2 (s +1)(s + 5)绘制根轨迹步骤如下：开环极点 p1 = p2 = 0 p3 = -1 ， p4 = -5数目 n=4;开环零点 z = -0.5 ，数目 m=1。系统有 4 条根轨迹。实轴上根轨迹段为(-， - 5)， (-1， - 0.5)；渐近线与实轴夹角为j = 3 ， p ；ap= -1- 5 + 0.5 = -1.83 ；渐近线与实轴交点为sa3与虚轴的交点： D(s) = s4 + 6s3 + 5s2 + K *s + 0.5K *s 4s350.5K *K *1630 - K *2*s0.5K6K (12 - K * )

26、*s1s030 - K *0.5K *K * =12 时， 3s2 + 6 = 0 得对应的w = 2与虚轴的交点是 2第 26 页 共51 页根据以上参数地根轨迹图如下：由根轨迹图可知，当0 K * 12 ，即0 K 3。（3）在的前提下，该反馈系统和标准相比，系统的阶跃响应更快，而超调量增加。三、解：（）由题意，得e= x (t )x (t )(0)-1x (t )At12331-1e-te-t et 00et0e-t111= 0et + tet 01 0e-t00 1et0 = 0tet 0et - e-t-10et000100= et + tet = 01。系统矩阵 A = F(t )

27、00 01t =0ett =0（）由于 A 为约当阵，且不同特征值对应不同的约当块。所以要使(A，b)可控，需满足b1 0，b3 0 ；第 35页 共 51 页要使(A，c )可观测，需满足c 0，c 0 ；T12K四、解：（1）当Gc (s) = Kc 时，开环传递函数G0 (s) =c) ，(s s - a为非最小相位系统（不能按原来的规则画 Nyquist 曲线）。首先求出G0 ( jw )得G ( jw) = - Kcw +jaKcw(w 2 + a2 )0KcaK= -+ jc()w 2 + a2w w 2 + a21）可看出与负实轴无交点；2） w 0+时，G ( jw) = -

28、Kc + j ；0a23） w +时，G0 ( jw) 0 -180 ；Nyquist 曲线G0 ( jw )如下：第 36 页 共 51 页从图中可看出，N=0，又已知 P=1，所以 Z=1，即系统有右半平面的根，所以闭环系统对任何比例器Gc (s) = Kc 都不。(s) = Kc (1+ts)（2）当G (s) = K (1+ts) 时，开环传递函数Gs(s - a)cc0首先求出G0 ( jw )得Kc - w(1+ at )+ j(a -tw )2G0 ( jw ) =w(w 2 + a2 )= - Kc (1+ at ) +Kc (a -tw )2w 2 + a2j w(w 2 + a2 )第 37 页 共 51 页at1）与负实轴的交点：令ImG ( jw) = 0 ，得w =0Re G