南京工业大学高等数学Ch11-1-2-3

1、第十一章第十一章积分学积分学 定积分二重积分三重积分定积分二重积分三重积分积分域积分域 区间区间 平面区域空间区域平面区域空间区域 曲线积分曲线积分曲线段曲线段曲面区域曲面区域曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 第一节第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 AB一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧

2、长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占假设曲线形细长构件在空间所占弧段为弧段为AB , 其线密度为其线密度为),(zyx “大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 求极限求极限” kkkks ),( 可得可得 nk 10lim M为计算此构件的质量为计算此构件的质量,ks1kMkM),(kkk 1.例子例子: 曲线形构件的质量曲线形构件的质量采用采用设设 是空间中一条有限长的是空间中一条有限长的光滑曲线光滑曲线,义在义在 上的一个上的一个有界函数有界函数, kkkksf ),( 都存在都存在,),(zyxf 上上对对弧长的曲线积分弧长的曲线积分,记作记作 szyxfd),

3、(若通过对若通过对 的的任意分割任意分割局部的局部的任意取点任意取点, 2.定义定义是是定定),(zyxf若若“乘积和式极限乘积和式极限”则称此极限为函数则称此极限为函数在曲线在曲线或或第一类曲线积分第一类曲线积分.),(zyxf称为称为被积函数被积函数， 称为称为积分弧段积分弧段 .曲线形构件的质量曲线形构件的质量 szyxMd),( nk 10lim ks1kMkM),(kkk 和对和对如果如果 L 是是 xoy 面上的曲线弧面上的曲线弧 ,kknkksf ),(lim10 Lsyxfd),(如果如果 L 是闭曲线是闭曲线 , 则记为则记为.d),( Lsyxf则定义对弧长的曲线积则定义对

4、弧长的曲线积分为分为思考思考:(1) 若在若在 L 上上 f (x, y)1, ?d 表示什么表示什么问问 Ls(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否否! 对弧长的曲线积分要求对弧长的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中但定积分中dx 可能为负可能为负.3. 性质性质 szyxfd ),()1( szyxfkd),()2(（k 为常数为常数) szyxfd),()3( 由由 组成组成) 21, sd)4( l 为曲线弧为曲线弧 的长度的长度),(zyxg szyxfd),(szyxgd),( szyxfkd),(l 21d),(d),(szyx

5、fszyxfszyxgszyxfzyxgzyxfd),(d),(),(),()5( ，则则若若MlszyxfmlMzyxfm d),(),()6(，则，则若若lfszyxfzyxf),(d),(),(),()7( ，使使得得上上连连续续，则则一一定定存存在在在在若若szyxfszyxfd),(d),( 特别地特别地 tttttfsdyxfLd)()()(, )(),(22二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路基本思路:计算定积分计算定积分转转 化化定理定理:),(yxf设设且且)()( tty上的连续函数上的连续函数,证证:是定义在光滑曲线弧是定义在光滑曲线弧则曲线积

6、分则曲线积分),(:txL ,d),(存存在在 Lsyxf求曲线积分求曲线积分根据定义根据定义 kknkksf ),(lim10 Lsyxfd),(, ,1kkktt 点点),(kk tttskkttkd)()(122 ,)()(22kkkt nk 10lim Lsyxfd),(kkkt )()(22 )(, )(kkf 连连续续注注意意)()(22tt 设各分点对应参数为设各分点对应参数为),1 ,0(nktk 对应参数为对应参数为 则则,1kkktt nk 10lim kkkt )()(22 )(, )(kkf xyo Lsyxfd),(tttttfd)()()(),(22 说明说明:,

7、0, 0)1( kkts因此积分限必须满足因此积分限必须满足! (2) 注意到注意到 22)(d)(ddyxs tttd)()(22 x因此上述计算公式相当于因此上述计算公式相当于“换元法换元法”. 因此因此xdydsd如果曲线如果曲线 L 的方程为的方程为),()(bxaxy 则有则有 Lsyxfd),(如果方程为极坐标形式如果方程为极坐标形式:),()(: rrL则则syxfL d),( )sin)(,cos)(rrf推广推广: 设空间曲线弧的参数方程为设空间曲线弧的参数方程为)()(, )(),(: ttztytx则则 szyxfd),(ttttd)()()(222 xx d)(12 d

8、)()(22rr baxxf) )(,( )(),(, )(tttf例例1. 计算计算,d Lsx其中其中 L 是抛物线是抛物线2xy 与点与点 B (1,1) 之间的一段弧之间的一段弧 . 解解:)10(:2 xxyL Lsxd 10 xxxd)2(12 xxxd41102 10232)41(121 x)155(121 上点上点 O (0,0)1Lxy2xy o)1 , 1(B例例2. 计算计算,dsxIL 其中其中L为双纽线为双纽线)0()()(222222 ayxayx解解: 在极坐标系下在极坐标系下它在第一象限部分为它在第一象限部分为)40(2cos:1 arL利用对称性利用对称性 ,

9、 得得sxILd41 4022d)()(cos4 rrr 402dcos4 a222a ,2cos:22 arL yox例例3. 计算曲线积分计算曲线积分 ,d)(222 szyx其中其中 为螺旋为螺旋的一段弧的一段弧.解解: szyxd)(222 20222)()sin()cos(tktatattkakad2022222 02322223 tktaka)43(3222222kaka tktatad)cos()sin(222 )20(,sin,cos ttkztaytax线线例例4. 计算计算,d2sx 其中其中 为球面为球面 2222azyx 被平面被平面 所截的圆周所截的圆周. 0 zyx

10、解解: 由对称性可知由对称性可知sx d2 szyxsxd)(31d2222 sa d312 aa 2312 332a sy d2 sz d2 d d s例例5. 计算计算,d)(222szyxI 其中其中 为球面为球面22yx 解解: , 1141)21(21:22 zxyx: 20 2)sin2( 2)cos2( 2)sin2( 18d22920 I d2 cos221 z. 1的的交交线线与与平平面面 zx292 z化为参数方程化为参数方程 21cos2 x sin2 y则则例例6. 计算半径为计算半径为 R ,中心角为中心角为2的圆弧的圆弧 L 对于它的对对于它的对称轴的转动惯量称轴的

11、转动惯量I (设线密度设线密度 = 1). 解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图,R xyoLsyILd2 d)cos()sin(sin2222 RRR dsin23 R 0342sin22 R)cossin(3 R则则 )(sincos: RyRxL例例7. 有一半圆弧有一半圆弧 cosRx ),0( 其线密度其线密度 ,2 解解: cosdd2RskFx dcos2Rk sindd2RskFy dsin2Rk RRoxy 0dcos2RkFx 0dsin2RkFy 0cossin2 RkRk4 0sincos2 RkRk 2 故所求引力为故所求引力为),(yx,sin Ry 求它对原点处单

12、位质量质点的引力求它对原点处单位质量质点的引力. RkRkF 2,4 内容小结内容小结1. 定义定义kkknkksf ),(lim10 szyxfd),(2. 性质性质kknkksf ),(lim10 Lsyxfd),( szyxgzyxfd),(),()1( 21d),(d),(d),()2(szyxfszyxfszyxf),(21组组成成由由 ls d)3( l 曲线弧曲线弧 的长度的长度) Lszyxfd),( ),(为常数为常数 szyxgLd),( 3. 计算计算 对光滑曲线弧对光滑曲线弧, )( , )(, )(: ttytxL Lsyxfd),( 对光滑曲线弧对光滑曲线弧, )(

13、)(:bxaxyL Lsyxfd),( baxxf) )(,( ),()(: rrL Lsyxfd),( )sin)(,cos)(rrf 对光滑曲线弧对光滑曲线弧tttd)()(22 xx d)(12 d)()(22rr )(),(ttf一一、 填填空空题题: :1 1、 已已知知曲曲线线形形构构件件L的的线线密密度度为为),(yx , ,则则L的的质质量量M= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；2 2、 Lds= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；3 3、 对对_ _ _ _ _ _ _ _ _的的曲曲线线积积分分与与曲曲线线的

14、的方方向向无无关关；4 4、 Ldsyxf),(= = dtttttf)()()(),(22中中要要求求 _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二二、 计计算算下下列列求求弧弧长长的的曲曲线线积积分分: : 1 1、 Lyxdse22, ,其其中中L为为圆圆周周222ayx , ,直直线线xy 及及x轴轴在在第第一一象象限限内内所所围围成成的的扇扇形形的的整整个个边边界界；练习题练习题 2 2、 yzdsx2, ,其其中中L为为折折线线ABCD, ,这这里里DCBA, 依依次次为为点点( (0 0, ,0 0, ,0 0) ), ,( (0 0, ,0 0, ,2 2) ), ,( (1

15、1, ,0 0, ,2 2) ), ,( (1 1, ,3 3, ,2 2) )； 3 3、 Ldsyx)(22, ,其其中中L为为曲曲线线 )cos(sin)sin(costttaytttax )20( t； 4 4、计计算算 Ldsy, ,其其中中L为为双双纽纽线线 )0()()(222222 ayxayx . .三三、设设螺螺旋旋形形弹弹簧簧一一圈圈的的方方程程为为taxcos , ,taysin , ,ktz , ,其其中中 20t, ,它它的的线线密密度度222),(zyxzyx , ,求求: : 1 1、它它关关于于Z轴轴的的转转动动ZI惯惯量量； 2 2、它它的的重重心心 . .

16、练习题答案练习题答案一、一、1 1、 Ldsyx),( ； 2 2、的弧长的弧长L； 3 3、弧长；、弧长； 4 4、 . .二、二、1 1、2)42( aea； 2 2、9 9； 3 3、)21(2232 a； 4 4、)22(22 a. .三、三、)43(32222222kakaaIz ； 2222436kaakx ； 2222436kaaky ； 22222243)2(3kakakz . .第二节第二节一、对坐标的曲线积分的概念一、对坐标的曲线积分的概念 与性质与性质二、二、 对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系 对坐标的

17、曲线积分对坐标的曲线积分 一、一、 对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1. 引例引例: 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用设一质点受如下变力作用在在 xoy 平面内从点平面内从点 A 沿光滑曲线弧沿光滑曲线弧 L 移动到点移动到点 B, ABLxy求移求移 cosABFW “大化小大化小” “常代变常代变”“近似和近似和” “取极限取极限”变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功解决办法解决办法:动过程中变力所作的功动过程中变力所作的功W.ABFABF),(, ),(),(yxQyxPyxF 1 kMkMABxy1) “大化大化小小”.2) “常代变

18、常代变”L把把L分成分成 n 个小弧段个小弧段,有向小弧段有向小弧段kkMM1),(kkyx 近似代替近似代替, ),(kk 则有则有kkkkkkyQxP ),(),( 所做的功为所做的功为,kW F 沿沿kkMM1kkkkkMMFW1),( ),(kkF nkkWW1则则用有向线段用有向线段 kkMM1kkMM1上任取一点上任取一点在在kykx3) “近似和近似和”4) “取极限取极限” nkW1 kkkkkkyQxP ),(),( nkW10lim kkkkkkyQx)P),(,( (其中其中 为为 n 个小弧段的最大长度个小弧段的最大长度)2. 定义定义. 设设 L 为为xoy 平面内从

19、平面内从 A 到到B 的一条的一条有向光滑有向光滑弧弧,若对若对 L 的的任意分割任意分割和在局部弧段上和在局部弧段上任意取点任意取点, 都存在都存在,在有向曲线弧在有向曲线弧 L 上上对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分, LyyxQxyxPd),(d),( kkkxP ),( kkkyQ ),( nk 10lim 则称此极限为函数则称此极限为函数或或第二类曲线积分第二类曲线积分. 其中其中, ),(yxPL 称为称为积分弧段积分弧段 或或 积分曲线积分曲线 .称为称为被积函数被积函数 , 在在L 上定义了一个上定义了一个向量函数向量函数极限极限),(, ),(),(yxQyxPyxF 记作记作

20、),(yxF),(yxQ LxyxPd),(,),(lim10 nkkkkxP LyyxQd),(,),(lim10 nkkkkyQ 若若 为空间曲线弧为空间曲线弧 , 记记称为对坐标称为对坐标 x 的曲线积分的曲线积分;称为对坐标称为对坐标 y 的曲线积分的曲线积分.若记若记, 对坐标的曲线积分也可写作对坐标的曲线积分也可写作)d,(ddyxs LLyyxQxyxPsFd),(d),(d),(, ),(, ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxF zzyxRyzyxQxzyxPsFd ),(d ),(d ),(d)d,d,(ddzyxs 类似地类似地, 3. 性质性质(1) 若若 L 可

21、分成可分成 k 条有向光滑曲线弧条有向光滑曲线弧),1(kiLi LyyxQxyxPd),(d),( kiLiyyxQxyxP1d),(d),(2) 用用L 表示表示 L 的反向弧的反向弧 , 则则 LyyxQxyxPd),(d),( LyyxQxyxPd),(d),(则则 定积分是第二类曲线积分的特例定积分是第二类曲线积分的特例.说明说明: 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法定理定理:),(, ),(yxQyxP设设在有向光滑弧在有向光滑弧 L 上有定义且上有定义且L 的参数方程为的参数方程

22、为 )()(tytx ,: t则曲线积分则曲线积分 LyyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t )(t td)(),(ttQ 连续连续,证明证明: 下面先证下面先证 LxyxPd),(tttPd )(),( )(t 存在存在, 且有且有对应参数对应参数设分点设分点根据定义根据定义ix,it),(ii 点点,i 由于由于1 iiixxx)()(1 iitt iit )( LxyxPd),(tttPd )(),( niiiP10)(, )(lim iit )( niiiP10)(, )(lim iit )( )(t LxyxPd),( niiiixP10),(lim 对应参数对应参

23、数连连续续所所以以)(t 因为因为L 为光滑弧为光滑弧 ,同理可证同理可证 LyyxQd),(tttQd )(),( )(t 特别是特别是, 如果如果 L 的方程为的方程为,:),(baxxy 则则 xxxQxxPbad )(,)(, )(x LyyxQxyxPd),(d),(对空间光滑曲线弧对空间光滑曲线弧 :类似有类似有zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),( )(t )(t )(t )(, )(),(tttP ,:)()()( ttztytx)(, )(),(tttQ )(, )(),(tttR td 例例1. 计算计算,d Lxyx其中其中L 为沿抛物线为沿抛物线xy 2

24、解法解法1 取取 x 为参数为参数, 则则OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxddd xxxd)(0154d21023 xxyyyyxyxLd)(d2112 xy xy 解法解法2 取取 y 为参数为参数, 则则11:,:2 yyxL54d2114 yy从点从点xxxd10 的一段的一段. )1,1()1,1(BA到到 )1 , 1(B)1, 1(Aoyx例例2. 计算计算其中其中 L 为为,:, 0aaxy yBAoaax(1) 半径为半径为 a 圆心在原点的圆心在原点的 上半圆周上半圆周, 方向为逆时针方向方向为逆时针方向;(2) 从点从点 A

25、( a , 0 )沿沿 x 轴到点轴到点 B ( a , 0 ). 解解: (1) 取取L的参数方程为的参数方程为,d2xyL 0:,sin,costtaytax xyLd2ttadsin22033 32a (2) 取取 L 的方程为的方程为 xyLd2ta202sin ttad)sin( 132 334a aaxd00 则则则则yxo例例3. 计算计算,dd22yxxyxL 其中其中L为为(1) 抛物线抛物线 ;10:,:2 xxyL(2) 抛物线抛物线 ;10:,:2 yyxL(3) 有向折线有向折线 .:ABOAL解解: (1) 原式原式22xx xx d4103 (2) 原式原式yyy

26、222 yy d5104 (3) 原式原式 yxxyxOAdd22 102d)002(xxx1 )0, 1(A)1 , 1(B2xy 10(xxxd)22 10(yyd)4 yxxyxABdd22 10d)102(yy1 1 2yx 例例4. 设在力场设在力场作用下作用下, 质点由质点由沿沿 移动到移动到),(kRB 20),(00RA.)(AB2解解: (1)zzyxxydddttkR 2022d)(2) 的参数方程为的参数方程为kttzyRx 20:,0, ABzzyxxyddd ktt 20dBAzyx试求力场对质点所作的功试求力场对质点所作的功.;,sin,cos)(tkztRytRx

27、1)(222Rk 222k 其中其中 为为),(zxyF sFWdsFWdozyx例例5. 求求,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI其中其中,2122 zyxyx从从 z 轴正向看为顺时针方向轴正向看为顺时针方向.解解: 取取 的参数方程的参数方程,sin,costytx):(sincos022 tttz 20Itttcos)sincos22( tttttd )sin)(cossin(costt d)cos41(220 )sin)(cos2(tt 2 三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系 设有向光滑弧设有向光滑弧 L 的起点为的起点为A，终点为，终点为B，其参数，其参数方程

28、为方程为 )()(tytx 其起点其起点A对应的参数为对应的参数为 ，终点终点B对应的参数为对应的参数为 (不妨不妨设设 0 ) 内存在原函内存在原函数数 , 并求出它并求出它. 证证: 令令2222,yxxQyxyP 则则)0()(22222 xyQyxxyxP由由定理定理 2 可知存在原函数可知存在原函数 ),()0, 1(22dd),(yxyxxyyxyxu xx1d0)0(arctan xxy yyxyx022d)0 ,(x)0 , 1(),(yxoxy)0 ,( x)0 , 1(),(yx ),()0, 1(22dd),(yxyxxyyxyxu yyy021dyxyyarctan1a

29、rctanarctan yxarctan2 xyxxy122d或或), 1 (y)0(arctan xxyoxy)0 ,( x)0 , 1(),(yx判别判别: P, Q 在某单连通域在某单连通域D内有连续一阶偏导数内有连续一阶偏导数,xQyP Dyx ),(为全微分方程为全微分方程 则则求解步骤求解步骤:方法方法1 凑微分法凑微分法;方法方法2 利用积分与路径无关的条件利用积分与路径无关的条件.1. 求原函数求原函数 u (x, y)2. 由由 d u = 0 知通解为知通解为 u (x, y) = C .*三、全微分方程三、全微分方程使使若若存存在在),(yxuyyxQxyxPyxud),

30、(d),(),(d 则称则称0d),(d),( yyxQxyxP为为全微分方程全微分方程.),(yxyxO例例9. 求解求解0d)33(d)35(222324 yyyxyxxyyxx解解: 因为因为 yP236yyx ,xQ 故这是全微分方程故这是全微分方程. , 0, 000 yx取取则有则有xxyxuxd5),(04 yyyxyxyd)33(0222 5x 2223yx 3yx 331y 因此方程的通解为因此方程的通解为Cyyxyxx 332253123)0 ,(x法法1（全微分全微分）0d)33(d)35(222324 yyyxyxxyyxx求求解解法法2(偏积分法偏积分法) 此全微分方

31、程的通解为此全微分方程的通解为 yu ,)(2yy Cyxu ),(xu , 则有则有)(d)35(),(324yxyyxxyxu 待待定定，)()(233225yyyxyxx 两边对两边对 y 求导得求导得yu 由由得得与与比较得比较得331)(yy 取取因此方程的通解为因此方程的通解为Cyyxyxx 33225312332435yyxx 22233yyxyx )(3322yyxyx 例例10. 求解求解0d1d)(2 yxxxyx解解:21xyP 这是一个全微分方程这是一个全微分方程 .用凑微分法求通解用凑微分法求通解. 将方程改写为将方程改写为0ddd2 xxyyxxx即即 , 0d21

32、d2 xyx故原方程的通解为故原方程的通解为 021d2 xyx或或Cxyx 221,xQ 思考思考: 如何解方程如何解方程?0dd)(3 yxxyx这不是一个全微分方程这不是一个全微分方程 ,12x就化成例就化成例10 的方程的方程 .,0),( yx 使使0d),(),(d),(),( yyxQyxxyxPyx 为全微分方程为全微分方程,),(yx 则则称称在简单情况下在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到可凭观察和经验根据微分倒推式得到为原方程的为原方程的积分因子积分因子.但若在方程两边同乘但若在方程两边同乘注注:若存在连续可微函数若存在连续可微函数 积分因子积分因子.1.公式

33、法公式法:,)()(xQyP xQxQyPyP ，两边同除两边同除 xQyPyPxQ lnln求解不容易求解不容易特殊地特殊地:;.有关时有关时只与只与当当xa , 0 y ,dxdx ;.有有关关时时只只与与当当yb )(1lnxQyPQdxd )(xf .)()( dxxfex , 0 x ,dydy )(1lnyPxQPdyd )(yg .)()( dyygey 2.观察法观察法:)(ddd)1 yxyx )(ddd)2 xyyxyx)(ddd)3 yyxx)(2122yx )(ddd)42 yyxxyyx)(ddd)52 xyxxyxy )(ddd)6 yxyxxyyxln)(ddd)

34、722 yxyxxyyxarctan)(ddd)822 yxyyxx22yx 积分因子积分因子不一定唯一不一定唯一 .0dd yxxy例如例如, 对对可取可取,1xy 221yx ,12y ,12x 凭观察凑微分得到凭观察凑微分得到),(yx 常选用的积分因子有常选用的积分因子有.,1,1,1,12222222等等xyyxyxyxxyx .0)()3(22的通解的通解求微分方程求微分方程 dyxyxdxyxy解解,1)(1xxQyPQ dxxex1)( .x 例例11则原方程为则原方程为, 0)()3(2322 dyyxxdxxyyx, 0)()3(2322 dyyxxdxxyyx)(332x

35、dyydxxydyxydxx )(21(23xyyxd , 0 原方程的通解为原方程的通解为.)(2123Cxyyx (公式法公式法)可积组合法可积组合法.0)1(ln2222的的通通解解 dyyyxydxxy解解将方程左端重新组合将方程左端重新组合,有有, 01)ln2222 dyyydyxydxxy（,1),(yyx 易易知知, 01)ln2(22 dyyydyyxydxx则则. 0)1(31)ln(2322 ydyxd即即原方程的通解为原方程的通解为.)1(31ln2322Cyyx 可积组合法可积组合法例例12 求微分方程求微分方程内容小结内容小结1. 格林公式格林公式 LyQxPdd2

36、. 等价条件等价条件在在 D 内与路径无关内与路径无关.yPxQ 在在 D 内有内有yQxPuddd yxyPxQDdd LyQxPdd对对 D 内任意闭曲线内任意闭曲线 L 有有0dd LyQxP在在 D 内有内有设设 P, Q 在在 D 内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数, 则有则有全微分方程全微分方程1.设设, )56,4(),(grad42234yyxxyxyxu ).,(yxu求求提示提示: ),(dyxuxxyxd)4(34 yyyxd)56(422 ),(yxuyox),(yx)0 ,(xxxxd04 yyyxyd)56(0422 C 551x 322yx Cy 5xxyx

37、d)4(34 yyyxd)56(422 ),()0,0(yxC 思考与练习思考与练习 CCCDyxoaaC 2. 设设 C 为沿为沿 yxaxyxaxxayCd)ln(2d22222 222ayx 从点从点), 0(a依逆时针依逆时针), 0(a 的半圆的半圆, 计算计算解解: 添加辅助线如图添加辅助线如图 ,利用格林公式利用格林公式 .原式原式 =321a aayayd)ln2( D222xaya 222xay yxdd C到点到点3.设设f(t)具有一阶连续导数，且满足具有一阶连续导数，且满足f (0)=2， f(0)=1，又积分又积分 Lyyxfxyxfd)(d)(在全平面上与路径无关，

38、试确定在全平面上与路径无关，试确定f(t)。 ,0)1 ,0(,1 FCF4. 已知曲线积分已知曲线积分与路径无关与路径无关, 其中其中求由求由确定的隐函数确定的隐函数解解: 因积分与路径无关因积分与路径无关 , 故有故有xFxFxsincos xFxyFysinsin 即即因此有因此有dcosdsin ),(yxxxyyxFL 0),( yxF. )(xfy xyFFyxtan xyytan 10 xyxycos1 xsec sin),(cos),(xyyxFyxyxFx y一一、 填填空空题题: :1 1、 设设闭闭区区域域D由由分分段段光光滑滑的的曲曲线线L围围成成, ,函函数数),(,

39、 ),(yxQyxP及及在在D上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数, ,则则有有 DdxdyyPxQ)(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；2 2、 设设D为为 平平 面面 上上 的的 一一 个个 单单 连连 通通 域域 , , 函函 数数),(, ),(yxQyxP在在D内内有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数, ,则则 LQdyPdx在在D内内与与路路径径无无关关的的充充要要条条件件是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _在在D内内处处处处成成立立；3 3、 设设D为为由由分分段段光光滑滑的的曲曲线线L所所围围成成的的闭闭区区域域, ,其其面面积积为为 5 5, ,又又),(yxP及及),(yxQ在在D上上有