第19讲-归纳推理和类比推理

1、 “推理与证明推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式推理一般包括们学习和生活中经常使用的思维方式推理一般包括合情推理和演绎推理在本章中，我们将通过对已学合情推理和演绎推理在本章中，我们将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法学证明的基本方法, ,包括直接证明的方法（如分析法、包括直接证明的方法（如分析法、综合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如反证综合法、数学归纳

2、法）和间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。养成言之有理、论证有据的习惯。推理推理合情推理合情推理演绎推理演绎推理归纳推理归纳推理特殊到一般特殊到一般类比类比推理推理特殊到特殊特殊到特殊三段论三段论一般到特殊一般到特殊本节知识结构本节知识结构第19讲 归纳推理与类比推理（统称合情推理）新课标人教新课标人教A A版高中数学选修版高中数学选修2-22-2The High School Attached to Lanzhou UniversityThe High School Attached

3、to Lanzhou University归纳推理引例归纳推理引例歌德巴赫猜想的提出过程：歌德巴赫猜想的提出过程： 3710，31720，131730，1037，20317，30131763+3， 83+5， 105+5， 125+7， 一个偶数（不小于一个偶数（不小于6 6）总可以表示成两个）总可以表示成两个 奇质数之和；奇质数之和； 迄今没有发现反例迄今没有发现反例. .147+7，165+11， ， 1 00029+971，1.归纳推理的定义归纳推理的定义: 由某类事物的部分对象具有某些特征由某类事物的部分对象具有某些特征, ,推推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推出该类事物的全部对

4、象都具有这些特征的推理理, ,或者由个别事实概括出一般结论的推理或者由个别事实概括出一般结论的推理, ,称为称为归纳推理归纳推理( (简称归纳简称归纳).). 简言之简言之, ,归纳推理是归纳推理是由部分到整体、由特殊由部分到整体、由特殊到一般到一般的推理。的推理。练练1:1:观察下图观察下图, ,可以发现可以发现1+3+(2n1)=n21+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52， 检验猜想检验猜想。 提出带有规律性的结论，即提出带有规律性的结论，即猜想猜想； 对有限的资料进行观察、分析、对有限的资料进行观察、分析、归纳归纳整理；整理；小

5、结：归纳推理的一般步骤小结：归纳推理的一般步骤类比推理引例类比推理引例火星上是否有生命火星上是否有生命？ 由两类对象具有某些类似特征，和其中一类由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为些特征的推理称为类比推理（简称类比）类比推理（简称类比）2.类比推理的定义类比推理的定义 简言之，类比推理是由简言之，类比推理是由特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理 发发明行星三大明行星三大运动运动定律的定律的开开普勒普勒曾说类曾说类比比推理是自然奧妙的推理是自然奧妙的参与者参与者和自己最好和自己最好的老的老师师 数学

6、家波利亚曾指出数学家波利亚曾指出“类比是一个伟大的引类比是一个伟大的引路人路人, ,求解立体几何往往有赖于平面几何的类比求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题问题.”.”3 34 4V V = = R R3 32 2S = 4RS = 4R r2C2rSa bab ab ab 112233(,) a bab ab ab 112233(,) aaaaR 123(,)()a b ababab 1 12 23 3 a b abab abR 11 2233/,() ababa ba b 1 12 23 30若若 ， 则则 aa a a123( , , )bb b b123( , , )abab ab

7、1122(,)1122abab ab(,)aaaR 12(,)()a ba ba b1 122 a bab abR 1122/,()aba ba b1 1220若若 ， 则则 12aa a (,)bb b12(,)2212|aaa 222123|aaaa 例例2 类比平面内直角三角形的勾股定理类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间试给出空间 中四面体性质的猜想中四面体性质的猜想 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；征，从而得出一个猜想； 检验猜想。检验猜想。小结：类比推理的一般步骤小结：类比推理的一般步骤. . 合情推理合情推理 归纳推理归纳推理和和类比推理类比推理统称为统称为合情推理合情推理。通俗地说，通俗地说，合情推理是指合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理的推理。 合情推理的意义合情推理的意义 数学研究中，得到一个新结论之前