第2章1节+经典控制理论

1、1 12.1 自动控制系统的数学模型2.2 控制系统的时域分析2.3 控制系统根轨迹方法2.4 控制系统的频率响应2 23知识要点：数学模型及常见的系统。：微分方程的建立及线性化。：借助拉氏变换，给出系统传递函数。掌握方块图的建立及化简：控制系统的分析方法32.1 系统建模本节中若干概念的相互关系实际物理或化学系统4用微分方程表达或描述用传递函数表示用方框图表示并求解涉及到零极点概念求微分方程的解拉氏变换2.1 系统建模数学模型系统分析基本概念 数学模型：描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式。 建模目的：分析和设计控制系统是首要工作（或基础工作）。 自控系统的组成可以是电气的、机械

2、的、液压或气动的等等，然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。通过数学模型来研究自控系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性运动规律。 52.1 系统建模建模方法6解析法（机理模型）：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律，列出各变量之间的数学关系式； 实验法（实验建模 ）：对系统施加典型测试信号（脉冲、阶跃或正弦信号），记录系统的时间响应曲线或频率响应曲线，从而获得系统的传递函数或频率特性；应用于较难获得解析模型的系统对象。2.1 系统建模7例2.1 如图表示一个弹簧质量阻尼器系统。F(t)为一作用在运动部件上的外加作用力，系统产生的位移为y(t)，运动部件质量用

3、m表示，f为阻尼器的阻尼系数， k为弹簧的弹性系数。要求写出系统在外力F(t)作用下的微分方程式。 选择F(t)为系统的输入，y(t)为系统的输出。 列出原始方程式。根据牛顿第二定律，有： 22d( )( )( )dkfyF tF tF tmt式中 Ff(t)阻尼器阻力； Fk(t)弹簧力，在忽略弹簧质量的情况下d ( )( )dfy tF tft( )( )kf tky t解：2.1 系统建模8Fk(t)和Ff(t)为中间变量，消去中间变量，整理得 22d( )d ( )( )( )ddy ty tmfky tF ttt方程两边同时除以 k 22d( )d ( )1( )( )ddmy tf

4、y ty tF tktktk令ffTk2mmTk则有222d( )d ( )1( )( )ddmfy ty tTTy tF tttk2.1 系统建模9例2.2 RLC电路 设回路电流为i(t)，由基尔霍夫定律写出回路方程为：( )1( )( )( )1( )( )rcdi tu tLi tRi tdtCu ti t dtC22( )( )( )( )cccrd u tdu tLCRCu tu tdtdt确定元件的输入、输出 Input： ur(t) Output: uc(t) 消去中间变量i(t)，得到描述网络输入输出关系的微分方程为：解：2.1 系统建模直流电动机是控制系统中常见的控制对象，

5、工作实质是将输入的电能转换为机载能，拖动负载运动。10例2.3 RLC电路写出电枢控制直流电动机的微分方程。要求电枢电压ua(t)为输入量，电动机转速m(t)为输出量。解：( )( )( )aaaaaadi tutLR itEdt电枢回路电压平衡方程：电磁转矩方程：电动机轴上的转矩平衡方程：( )( )mmaMtC it( )( )( )( )mmmmmcdtJftMtMtdt2.1 系统建模( )( )( )( )ammaammeammeammemmacR JCRR fC CR fC CR fC CdttutMtdt忽略电感La，有1122( )( )()()( )( )( )( )mmam

6、amamammemcmaaacdtdtL JL fR JR fC CtdtdtdMtC utLR Mtdt电机时间常数 电机传动系数电枢电阻Ra与转动惯量Jm都很小时，两式可消去。消去上式中的中间变量ia(t)、Ea及Mm既可得到要求的微分方程：2.1 系统建模归纳：列写控制系统微分方程的一般步骤根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用，确定其输入量和输出量；分析元件工作中所遵循的物理规律或电、化学规律，列写相应的微分方程；消去中间变量，得到输出量与输入量之间关系的微分方程，即数学模型。 确定输入输出量列写相应微分方程微分方程消去中间变量整理标准形式2.1 系统建模12 通过以上实例（例2.1

7、、例2.2）可以看出，虽然各系统的物理性质不同，但其微分方程结构相似，即为系统的相似性。13定义： 线性定常系统的传递函数为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与系统输入量的拉氏变换之比。所谓零初始条件是指1）输入量在t0时才作用在系统上，即在 时系统输入及各项导数均为零；2）输入量在加于系统之前，系统为稳态，即在 时系统输出及其所有导数项为零。 0t 0t11101110( )( )( )mmmmnnnnb sbsbsbC sG sR sa sasa sa)()(dd)(dd)(dd)()(dd)(dd)(dd0111101111trbtrtbtrtbtrtbtcatctatctatctamm

8、mmmmnnnnnn2.1 传递函数14为什么要转换为传递函数： 传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且还可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响 以后面章节中的系统分析需采用频率法和根轨迹法，均以传递函数为基础展开。2.1 传递函数15 性质 :传递函数是复变量 s 的有理真分式函数，具有复变函数的性质，分子多项式的次数 m 低于或等于分母多项的次数 n ，所有系数均为实数；传递函数表征了系统本身的动态特性。（传递函数只取决于系统本身的结构参数，而与输入和初始条件等外部因素无关.）只能描述线性定常系统与单输入单输出系统，不能表征内部所有状态的特征。传递函数与微分方程有相通性，可经简

9、单置换而转换（拉氏变换的简单方法，即将各阶导数用相应阶次的复变量 s 代替）； 传递函数 G(s) 的拉氏反变换是系统的单位脉冲响应 g(t).只能反映零初始条件下输入信号引起的输出，不能反映非零初始条件引起的输出。服从不同动力学规律的系统可有同样的传递函数。1. 传递函数有一定的零、极点分布图与之对应，因此传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能。2.1 传递函数16 传递函数的物理意义: 在零初始条件下，系统的输出的拉氏变换为： 则系统的输出为： 由于单位脉冲输入信号的拉氏变换为： 所以，单位脉冲输入信号作用下系统的输出的拉氏变换为： )()()(sRsGsC)()()()(11sR

10、sGLsCLtc1)()(tLsR)()(sGsC2.1 传递函数17故系统的输出为：也是单位脉冲输入信号下系统的输出g(t)，从而可知，系统传递函数的拉氏反变换即为单位脉冲输入信号下系统的输出。 因此，系统在单位脉冲输入信号下的输出完全描述了系统动态特性，所以也是系统的数学模型，通常称为脉冲响应函数。 问题：在系统不能采用解析方法时，能否只根据系统脉冲响应确定系统模型？11( ) ( ) ( )( )c tLC sLG sg t2.1 传递函数18例2.5 RLC电路22( )( )( )( )cccrd u tdu tLCRCu tu tdtdt已解出系统微分方程，试写其传递函数。)()(

11、)()(2sUsUsRCsUsULCsrccc 11)()()(2 RCsLCssUsUsGrc解: 零初始条件下取拉氏变换：传递函数：)()()(sUsURCsLCsrc122.1 传递函数19191. 传递函数的零点与极点 传递函数最常用的形式是下列有理分式形式 传递函数的分母多项式 N(s)称为系统的特征多项式， N(s)=0称为系统的特征方程，N(s)=0的根称为系统的特征根或极点。 分母多项式的阶次定义为系统的阶次。对于实际的物理系统，多项式N(s)、M(s)的所有系数为实数，且分母多项式的阶次 n高于或等于分子多项式的阶次m，即 nm。10111011( )( )( )( )( )

12、mmmmnnnnb sbsbsbC sM sG sR sa sa sasaN s2.1 传递函数2. 传递函数的表示形式传递函数的两种表达式：1. 零极点表达式： 其中Kg为传递系数；2. 归一化（时间常数）表达式： 其中K为系统传递系数的静态放大系数。20101112101112()()()( )()()()mmmmmgnnnnnb sbsbsbszszszG sKa sa sasaspspsp12201112221220111222(1)(21)( )(1)(21)mmmmnnnnb sbsbsbsssG sKa sa sasaTsT sTs 2.1 传递函数21 3. 零点、极点图 上页

13、中传递函数的零极点表达式可如下表示： nm11()( )()miigniiszG sKsp 式中 zi(i=1,2,m)称为系统的零点； pi(i=1,2,n)为系统的极点；Kg=b0/a0 为系统的根轨迹增益。 系统零点、极点的分布决定了系统的特性，因此，可以画出传递函数的零极点图，直接分析系统特性。在零极点图上，用“ ”表示极点位置，用“ ”表示零点。2.1 传递函数22举例，传递函数 该系统的零极点图如图所示：)1)(1)(3()2)(1(2685422)(232jsjssssssssssG2.1 传递函数231. 比例环节: 输出量无滞后，按比例复现输入量 KsRsCsG)()()(电

14、位器2.1 传递函数242. 惯性环节 该环节含有储能元件，典型惯性环节的微分方程为一阶常微分方程，其特点是当系统输入有阶跃变化时，系统输出是由零逐渐跟上，如图所示。(a)为系统的输入变化，(b)为系统的输出响应。输出按单调指数规律上升.R1C1 rut1( )i t( )( )( ),( ( ), ( ),)( )( )( )( )1( )( )1crdc tTc tr tdtc tUr tUTCRTsC sC sR sC sG sR sTs2.1 传递函数253. 积分环节 输出量与输入量对时间的积分成正比( )( )1( )( )( )( )( )dc tC sTr tTsC sR tG

15、 sdtR sTs积分原理电路2.1 传递函数264. 微分环节输出量与输入量的导数成正比K0UrUcR1( )( )( )( )( )( )( )dr tC sc tTC sTsR sG sTsdtR s微分原理电路2.1 传递函数275. 振荡环节（二阶环节） 该环节存在两个储能元件，且所储两种能量可以互相转换，故动态过程表现出振荡特性22222( )1( )( )212cnrnnUsG sUsT sT sss LRC rut cut2.1 传递函数28 2222222221212nnnd c tdc tTTc tr tdtdtG sT sT sss ：无阻尼自然振荡频率 ：阻尼比n2.1

16、 传递函数296. 延滞环节延滞时间（死区时间）输出量相对于输入量滞后一个恒定时间sesGtrtc )()()(2.1 传递函数30 一个不可分割的装置或元件可能含有若干典型环节。 例如：无源网络( ),()1TsG sTRCTs 一含有K=T的比例环节，时间常数为 T 的惯性环节，以及微分环节 s；其动态性能是其中所含全部典型环节共同变换的结果。 同一元部件，若选择不同的输入量和输出量，将由不同的典型环节组成。2.1 传递函数31 微分方程、传递函数等数学模型，都是用纯数学表达式来描述系统特性，不能反映系统中各元部件对整个系统性能的影响。 定义: 由具有一定函数关系的环节组成的，并标明信号流

17、向的系统的方框图，称为系统的结构图。 结构图又称为方框图、方块图等，既能描述系统中各变量间的定量关系，又能明显地表示系统各部件对系统性能的影响。 方框图是从具体系统中抽象出来的数学图形，主要是为了研究系统的运动特性而不是研究它的具体结构。 2.1 方框图32方框（环节） 方框表示对信号进行数学变换。方框中写入元部件或系统的传递函数。系统输出的象函数等于输入的象函数乘以方框中的传递函数或者频率特性。信号线 信号线是带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁边标记信号的时间函数或象函数。这里的信号引出与测量信号一样，不影响原信号，所以也称为测量点.( ),( )u t U sG(s)( ),(

18、)u t U s( ),( )c t C s方框图常用部件2.1 方框图33综合点（比较点） 比较点表示对两个以上的信号进行加减运算，“”表示相加，“”表示相减，进行相加或相减的量应具有相同的量纲单位 。分支点（引出点） 引出点表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同。( ),( )u t U s( ),( )u t U s( ),( )u t U s( ), ( )r tR s( )( )( )( )u tr tU sR s方框图常用部件2.1 方框图34写出控制系统各元部件的微分方程；对各元件的微分方程进行拉氏变换，画出各元件的方框图和比较点；从与系统输入量有

19、关的比较点开始，依据信号流向，把各元部件的结构图连接起来。例2.6 绘制 RC 电路方框图 ) s (IR) s (U) s (U11cr sC) s (I) s (U11c 2.1 方框图35方框图的特点方框图是方块图与微分方程（传函）的结合。一方面它直观反映了整个系统的原理结构（方块图优点），另一方面对系统进行了精确的定量描述（每个信号线上的信号函数均可确定地计算出来）；能更直观地表示系统中各环节的功能和相互关系、信号流向、环节对系统的影响；结构图最重要的作用：计算整个系统的传函；方框图流向是单向不可逆；对同一系统，其结构图具有非唯一性；简化也具有非唯一性。但得到的系统传函是确定唯一的；结

20、构图中方块实际元部件，因为方框可代表多个元件的组合，甚至整个系统。2.1 方框图36 为了便于系统分析和设计，常常需要对系统的复杂的结构图作等价变换，或者通过变换使系统结构图简化，求取系统的总传递函数。因此，结构图变换是控制理论的基本内容。等效变换的原则 结构图的变换应按等效原则进行。所谓等效，即对结构图的任一部分进行变换时，变换前后输入输出的数学关系保持不变。结构图的基本组成形式串联连接并联连接反馈连接2.1 方框图37 G s C s R s C s G s C s R s G s C s1. 分支点的移动前移后移2.1 方框图382. 相加点（综合点）的移动 在系统结构图简化的过程中，有

21、时为了便于进行方框的串联、并联或者反馈连接的计算，需要移动比较点或引出点的位置。前移后移Q G s C s 1 G s2.1 方框图39要点注意： 对综合点和分支点进行移动位置，消除交叉回路。但在移动中一定要注意以下几点：必须保持移动前后信号的等效性； 相邻综合点可以互相换位和合并； 相邻分支点可以互相换位；1. 综合点和分支点之间一般不宜交换位置。 2.1 方框图403. 等效变换原则串联连接的等效变换 传递函数的串联连接，其等效传递函数为这些传递函数的积。 上述结论可以推广到多个传递函数的串联，即n个传递函数依次串联的等效传递函数，等于n个传递函数的乘积。 1Gs 2Gs R s U s

22、C s 12Gs Gs R s C s 121212,( )U sG s R sC sGs U sC sG s Gs R sG s R sG sG s Gs 1G s 2G s R s 12.nG s G sG s R s C s nG s C s2.1 方框图41并联连接的等效变换 传递函数的并联连接，其等效传递函数为这些传递函数的和。 上述结论可以推广到多个传递函数的并联，即n个传递函数并联的等效传递函数，等于n个传递函数的和。 12GsG s R s C s 1122121212,CsG s R sCsGs R sG sCsCsG sGsR sG sG sGs 12.nGsGsGs R s C s 1Gs 2Gs R s 1Cs 2Cs C s nGs 3Cs 1Gs 2Gs R s 1C s 2C s C s2.1 方框图4. 交换或合并比较原则42 13123132C sE sR sR sR sR sR sR sR s 以上相加节点在方框图中能否交换合并，需要根据方框图的前向和反馈通路状况决定。2.1 方框图435. 内反馈线消除原则 ,11BC sG s E sB sH s C sE sR sB sC sG sR sH s C s