第七章无穷级数(1)ppt

1、1第七章第七章 无穷级数无穷级数( 1 )2 公元前五世纪公元前五世纪,以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(Zeno)用他用他的无穷、连续以及部分和的知识的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著名的悖论：引发出以下著名的悖论： 如果让阿基里斯如果让阿基里斯(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟和乌龟之间举行一场赛跑之间举行一场赛跑,让乌龟在阿基里斯前头让乌龟在阿基里斯前头1000米开始米开始,假定阿假定阿基里斯能够跑得比乌龟快基里斯能够跑得比乌龟快10倍倍,也永远追不上乌龟也永远追不上乌龟.齐诺的理论齐诺的理论依据是：当比赛开始的时候依

2、据是：当比赛开始的时候,阿基里斯跑了阿基里斯跑了1000米米,此时乌龟仍此时乌龟仍然前于他然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个米；当阿基里斯跑了下一个100米时米时,乌龟仍然前于乌龟仍然前于他他10米米, 如此分析下去如此分析下去, ,显然阿基里斯离乌龟越来越近显然阿基里斯离乌龟越来越近, ,但却是永远但却是永远也追不上乌龟的也追不上乌龟的. .这个结论显然是这个结论显然是荒谬荒谬的的, ,但奇怪的是但奇怪的是, ,这种推理这种推理在逻辑上却没有任何毛病在逻辑上却没有任何毛病. .那么那么, ,问题究竟出在哪儿呢？问题究竟出在哪儿呢？ 齐诺悖论齐诺悖论阿基里斯与乌龟阿基里斯与乌龟3第一节第一

3、节 常数项无穷级数的概念和性质常数项无穷级数的概念和性质 无穷级数是高等数学的一个重要组成部分无穷级数是高等数学的一个重要组成部分, ,它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具计算的一种工具. . 一、无穷级数的概念一、无穷级数的概念 计算圆的面积计算圆的面积R正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积1a21aa 正正 形的面积形的面积n23 naaa 21naaaA 21即即41 1、级数的定义：、级数的定义： nnnuuuuu3211 (常数项常数项)无穷级数无穷级数 niinnuuuuS121级数的级数的前前 n

4、项部分和数列项部分和数列,11uS ,212uuS ,3213uuuS ,21nnuuuS 一般项一般项52 2、级数的收敛与发散：、级数的收敛与发散：对对于于级级数数 1nnu, ,如如果果它它的的前前 n 项项部部分分和和数数列列nS收收敛敛 如如果果数数列列nS没没有有极极限限, ,则则称称该该无无穷穷级级数数发发散散. . 即即 SSnn lim, , Sunn 1定义定义(设极限为设极限为S ) , 则称则称该该无穷级数无穷级数收敛收敛, , 且称且称 S 为该为该级数级数的的和和，并，并记为记为 6若若级级数数 1nnu收收敛敛，则则其其部部分分和和nS可可以以看看作作 1nnu的

5、的近近似似值值， 因此称因此称 111nmmnmmnnnnuuuSSR为这个级数的为这个级数的余项余项， 并并称称|nR为为用用nS去去代代替替 S 所所产产生生的的误误差差(或或余余项项) Sunn 17解解)12)(12(1 nnun, )121121(21 nn)12()12(1531311 nnSn)121121(21)5131(21)311(21 nn)1211(21 n.21, 且且和和为为级级数数收收敛敛,)(21 n例例1 1讨论无穷级数讨论无穷级数 )12()12(1531311nn的收敛性的收敛性. . 8讨论讨论级数级数 1)11ln(nn的敛散性的敛散性. . nnln

6、) 1ln( , 所所以以 解解例例2 2)11ln(nun )1ln( nnnSnln) 1ln(2ln3ln1ln2ln n所以级数发散所以级数发散. . 9解解，如果如果1 q12 nnaqaqaqaS，qaqan 1,1|时时当当 q0lim nnqqaSnn 1lim,1|时时当当 q nnqlim nnSlim收敛收敛发散发散例例3 3 讨论等比级数讨论等比级数( (几何级数几何级数) ) 1211nnnaqaqaqaaq)0( a的收敛性的收敛性. . 10，如如果果1| q,1时时当当 q,1时时当当 q naSn 发散发散 aaaa级级数数变变为为,lim 不不存存在在nnS

7、 发散发散 综上所述综上所述, ,qa 1 发发散散当当收收敛敛当当时时时时,1|,1|11qqaqnn 1211nnnaqaqaqaaq)0( a11 公元前五世纪公元前五世纪,以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(Zeno)用他用他的无穷、连续以及部分和的知识的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著名的悖论：引发出以下著名的悖论： 如果让阿基里斯如果让阿基里斯(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟和乌龟之间举行一场赛跑之间举行一场赛跑,让乌龟在阿基里斯前头让乌龟在阿基里斯前头1000米开始米开始,假定阿假定阿基里斯能够跑得比乌龟快基里

8、斯能够跑得比乌龟快10倍倍,也永远也追不上乌龟也永远也追不上乌龟.齐诺的理齐诺的理论依据是：当比赛开始的时候论依据是：当比赛开始的时候,阿基里斯跑了阿基里斯跑了1000米米,此时乌龟此时乌龟仍然前于他仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个米；当阿基里斯跑了下一个100米时米时,乌龟仍然前乌龟仍然前于他于他10米米, 如此分析下去如此分析下去, ,显然阿基里斯离乌龟越来越近显然阿基里斯离乌龟越来越近, ,但却是永远但却是永远也追不上乌龟的也追不上乌龟的. .这个结论显然是这个结论显然是荒谬荒谬的的, ,但奇怪的是但奇怪的是, ,这种推理这种推理在逻辑上却没有任何毛病在逻辑上却没有任何毛病. .

9、那么那么, ,问题究竟出在哪儿呢？问题究竟出在哪儿呢？ 齐诺悖论齐诺悖论阿基里斯与乌龟阿基里斯与乌龟12 如果我们从级数的角度来分析这个问题如果我们从级数的角度来分析这个问题, ,齐诺的这个悖论齐诺的这个悖论就会不攻自破就会不攻自破. . 设设乌乌龟龟的的速速度度为为v, ,则则阿阿基基里里斯斯的的速速度度为为1 10 0v, ,他他跑跑完完1 10 00 00 0米米所所化化的的时时间间为为vv100101000 , ,在在这这段段时时间间里里, ,乌乌龟龟又又爬爬了了100100 vv米米, , 阿阿基基里里斯斯为为跑跑完完这这段段路路又又花花费费时时间间vv1010100 , ,此此时时

10、乌乌龟龟又又在在他他前前面面1 10 0 米米处处, , ,依依次次类类推推, ,阿阿基基里里斯斯需需要要追追赶赶的的全全部部路路程程为为 101001000这这是是一一个个公公比比为为1101 q的的几几何何级级数数, ,易易求求得得它它的的和和为为 ，91111191000010111000 13也也就就是是说说, ,如如果果赛赛程程比比这这个个距距离离短短, ,则则乌乌龟龟胜胜；如如果果赛赛程程恰恰好好等等于于这这个个距距离离, ,则则双双方方平平分分秋秋色色； 否否则则, ,阿阿基基里里斯斯就就要要在在距距离离起起点点911111处处追追上上并并超超过过乌乌龟龟. . ，9111119

11、1000010111000 14把把循循环环小小数数232323. 0表表示示成成分分数数 解解例例4 4232323. 0 32100231002310023(公公比比为为1001的的等等比比级级数数,收收敛敛) 1001110023 .9923 15二、收敛级数的基本性质二、收敛级数的基本性质设设 k是是非非零零常常数数, 则则级级数数 1nna与与级级数数 1nnak具具有有相相同同的的敛敛散散性性，且且当当 1nna收收敛敛时时，等等式式 11nnnnakak成成立立 性质性质1证证设设级级数数 1nna收收敛敛, 且且Sann 1, 又又设设 1nna与与 1nnak的的部部分分和和

12、分分别别为为nnS 及及， niinak1 niiak1,nSk nnnnSk limlim ,limSkSknn 16 niinak1 niiak1,nSk nnnnSk limlim ,limSkSknn 所所以以级级数数 1nnak收收敛敛，且且 11nnnnakak 反反之之，若若 1nnak收收敛敛（0 k） ， 则则 111nnnnaakk也也收收敛敛 17设设级级数数 1nna、 1nnb及及 1)(nnnba的的部部分分和和分分别别为为nnnBA 及及,， 如果级数如果级数 1nna、 1nnb都收敛都收敛, ,则则 1)(nnnba .)(111 nnnnnnnbaba也收敛

13、也收敛, ,且有且有性质性质2证证且且 ,lim,limBBAAnnnn niiinba1)( niiniiba11nn lim)(limnnnBA ,limlimBABAnnnn .)( 111 nnnnnnnbaba此此即即,nnBA 18说明：说明：( (1 1) ) 不不能能由由 1)(nnnba收收敛敛推推出出 1nna、 1nnb收收敛敛； ( (2 2) ) 若若 1nna收收敛敛, ,而而 1nnb发发散散, ,则则 1)(nnnba必必发发散散. . 证证假假设设 1)(nnnba收收敛敛, , 由由 nnnnabab )(, , 而而已已知知 1nna收收敛敛, , 由由上

14、上述述性性质质得得 1nnb收收敛敛, , 矛盾矛盾. .所以所以 1)(nnnba 发散发散. . 19性质性质3 去掉、添加或改变级数中的有限项去掉、添加或改变级数中的有限项, ,不会影不会影响它的敛散性响它的敛散性. . 这是因为，这是因为，去掉、添加或改变级数中的有限项去掉、添加或改变级数中的有限项后所得数列的部分和数列与原级数的部分和数列只后所得数列的部分和数列与原级数的部分和数列只相差一个常数，所以具有相同的敛散性。相差一个常数，所以具有相同的敛散性。注意：注意：原原级数级数若若收敛收敛，则，则改变级数中的有限项改变级数中的有限项后，后，一般要改变它的和一般要改变它的和. .20性

15、质性质4若若级级数数 1nna收收敛敛, ,则则必必有有0lim nna. . 证证,1 nnnSSa)(limlim1 nnnnnSSaSS .0 1limlim nnnnSS设设 1nna的的部部分分和和数数列列为为nS，且且SSnn lim， 此此定定理理说说明明，0lim nna是是级级数数 1nna收收敛敛的的必必要要条条件件. . 21说明说明：1 1、如果级数的一般项不趋于零、如果级数的一般项不趋于零, ,则级数发散；则级数发散； 1)1(4332211nnn例例如如 级数级数发散；发散；,0na所以所以,1|na n2cos8cos4cos2cos ，再再如如,012cosli

16、m n 级数级数发散。发散。若若级级数数 1nna收收敛敛, ,则则必必有有0lim nna. . 222 2、必要条件不充分：、必要条件不充分：若若0lim nna, ,级数却不一定收敛级数却不一定收敛. . 再举一个重要例子：再举一个重要例子： 11312111nnn , , 01lim nn, ,但但级级数数是是否否收收敛敛? ? 如如 1)11ln(nn: : , )(0)11ln( nn 但级数发散。但级数发散。 调和级数调和级数 23讨论讨论nnnSSnn2121112 nn2 ）（nnnSS 2limSS ,0 ,210 便有便有于是于是矛盾，矛盾， 11312111nnn ,

17、, 调和级数调和级数 ,21 假设调和级数收敛，其和为假设调和级数收敛，其和为 S ，所以级数发散。所以级数发散。241 1. . 0)4531(nnn 649 . . 例例5 5 判断下列级数的敛散性：判断下列级数的敛散性： 因为因为,310 nn 041nn都收敛，都收敛， 故原级数收敛，故原级数收敛，解解且和为且和为 0)4531(nnn 0041531nnnn41153111 252 2. . 11005110321nn 3 3. . n21614121 1121nn收敛；收敛；发散。发散。例例5 5 判断下列级数的敛散性：判断下列级数的敛散性： 26第二节第二节 正项级数及其判别法正

18、项级数及其判别法 1 1、定义：、定义：，中中各各项项均均有有如如果果级级数数01 nnnaa这种级数称为这种级数称为正项级数正项级数. .2 2、正项级数收敛的充要条件：、正项级数收敛的充要条件：定理定理一、正项级数的收敛问题一、正项级数的收敛问题 正正项项级级数数收收敛敛的的充充分分必必要要条条件件是是它它的的部部分分和和数数列列nS有有上上界界. . 这这是是因因为为0 na, ,所所以以nS单单调调不不减减, ,因因此此它它有有极极限限当当且且仅仅当当它它有有上上界界. . 27且且), 2, 1( nbann, 证明证明,1 nkknaA设设, nnba .1也收敛也收敛从而从而 n

19、na均均为为正正项项级级数数，和和设设 11nnnnba则则 ( (1 1) ) 若若 1nnb收收敛敛, ,则则 1nna收收敛敛； ( (2 2) ) 若若 1nna发发散散，则则 1nnb发发散散. . 定理定理,1 nkknbB, nnBA (1)(1), 2 , 1( n因因为为 1nnb收收敛敛，所所以以nB有有上上界界 M， , MBAnn 所所以以nA也也有有上上界界 M， 二、比较判别法二、比较判别法28(2)是是(1)的等价命题的等价命题. 从某项起从某项起, ,恒有恒有nnbka , ,)0( k. . 注注：定理的条件可放宽为：定理的条件可放宽为： 且且), 2, 1(

20、 nbann, 证明证明均均为为正正项项级级数数，和和设设 11nnnnba则则 ( (1 1) ) 若若 1nnb收收敛敛, ,则则 1nna收收敛敛； ( (2 2) ) 若若 1nna发发散散，则则 1nnb发发散散. . 定理定理二、比较判别法二、比较判别法29判判断断级级数数 121sinnn的的收收敛敛性性. . 因为因为 nn2121sin0 , , 而而 121nn收收敛敛, , 解解例例1 1所以原级数收敛所以原级数收敛. . , |sin|xx Rx 30讨讨论论 p- -级级数数 11npn 的的收收敛敛性性( (0 p) ). . oyx)1(1 pxyp1234当当1

21、 p时时, , 而而调调和和级级数数 11nn发发散散, , 当当1 p时时, ,用用积积分分判判别别法法： 当当nxn 1时时, ,ppxn11 , , nnppnxn1d1 nnpxx1d 解解例例2 2，nnp11 故原级数发散；故原级数发散； 于是有于是有 31故故当当1 p时时, , 11npn收收敛敛. . nnppnxn1d1 nnpxx1d 所以所以 nkkkpnkpxxk212d11xxnpd11 )11(111 pnp,11 p于是于是,11111 pkSnkpn32总总结结: : 发发散散收收敛敛 10 1 11ppnnp 重要参考级数：重要参考级数：几何级数几何级数,

22、, p- -级数级数, , 调和级数调和级数. .比较：比较： 发散发散收敛收敛，10 1 d11ppxxp33因因为为nn111 , , 而而 21nn发发散散, , （但（但 211nn如何？）如何？） 因因为为22111nn , , 而而 121nn收收敛敛, , （但但 2211nn如如何何？） 解解例例3 3 211nn例例4 4 1211nn解解所以原级数发散。所以原级数发散。所以原级数收敛。所以原级数收敛。nn2111 22211nn 34设设N ，当当Nn 时时，恒恒有有0 na、0 nb，则则 (1) 若若 0lim cbannn，则则正正项项级级数数 1nna与与 1nnb

23、同同敛敛散散； (2) 若若0lim nnnba，则当，则当 1nnb收敛时，收敛时， 1nna也收敛；也收敛； (3) 若若 nnnbalim，则则当当 1nnb发发散散时时， 1nna也也发发散散. 比较判别法的极限形式：比较判别法的极限形式：证略证略35而而 21nn发散发散, , 例例5 5 111nn，1111lim nnn例例6 6 2211nn，1111lim22 nnn例例7 7 1211nnn，1111lim2 nnnn例例8 8 12)11ln(nn，11)11ln(lim22 nnn所以原级数发散。所以原级数发散。收敛收敛发散发散收敛收敛36常用等价无穷小：常用等价无穷小

24、：,0时时当当x,sinxx,)1ln(xx ,tanxx)0(1)1 ( xx,1exx ,21cos12xx ,arcsinxx,arctanxx37例例9 9解解设设常常数数0 p, ,试试判判别别级级数数 11lnnppnn的的敛敛散散性性。 111lnlim pppnnnn所所以以原原级级数数当当1 p时时收收敛敛，当当10 p 时时发发散散。 例例1010 1)cos1(nn 21)cos1(limnnn 221)(21limnnn ,22 解解0,)1ln( xxx0,21cos12 xxx所以原级数收敛。所以原级数收敛。而级数而级数 321nn收敛收敛， 38例例1111解解,

25、21)1e (lim2 nnn而级数而级数 31nn发散，发散， 0,1e xxx所以原级数发散。所以原级数发散。 32)1e (nn39例例1212解解2/321lnlimnnnn 而级数而级数 32/31nn收敛，收敛， 所以原级数收敛。所以原级数收敛。 22lnnnn2/1lnlimnnn ,0 40而而 131nn收敛收敛, , 例例1313 131nnn，13131lim nnnnnnnn3131lim nnnn 33limnnn311lim nnn3lim xxx3lim 3ln31limxx .0 .1 所以原级数收敛。所以原级数收敛。41讨讨论论 21nnan的的敛敛散散性性)

26、0( a. . ( (1 1) ) 当当1 a时时, , 而而 21nna收收敛敛, , ( (2 2) ) 当当10 a时时, , 例例1414解解，111lim nnnaan,111lim nannn所以原级数收敛。所以原级数收敛。所以原级数发散。所以原级数发散。42试试证证：均均收收敛敛与与设设正正项项级级数数,11 nnnnvu证证 11均均收收敛敛，与与 nnnnvu, )1(212nununn , )(21nnnnvuvu 收收敛敛。 1 nnnu例例1515，收收敛敛 121 nn由基本不等式由基本不等式，收收敛敛且且已已知知 1 nnu.1收敛收敛 nnnvu, )( 1收收敛

27、敛nnnvu 也也收收敛敛。收收敛敛， 11nnnnnnuvu43三、比值判别法三、比值判别法 (达朗贝尔达朗贝尔 DAlembert 判别法判别法) 设设 1nna是是正正项项级级数数, , 若若 nnnaa1lim, ,则则 （1 1）当当1 时时，级级数数收收敛敛； （2 2）当当1 时时，级级数数发发散散； （3 3）当当1 时时，此此法法不不能能确确定定级级数数收收敛敛性性. . ,11发发散散级级数数 nn,112收收敛敛级级数数 nn1 证略证略. .44!1)!1(1limlim 1nnaannnn 因为因为11lim nn0 例例16 16 判别级数下列级数的敛散性判别级数下

28、列级数的敛散性 1! 1 )1(nn 12 )2(nnnnnaannnnnn221limlim 11 因因为为nnn1lim21 所以级数收敛所以级数收敛. .解解解解,1 21 ,1 所以级数收敛所以级数收敛. .45nnnnnnnnnnnnaa! 3)1(! )1(3limlim 111 因为因为nnnnn)1(3lim e3 1! 3 )3(nnnnn所以级数发散所以级数发散. .解解,1 nnn)11(3lim nnnnnnnnnnnnaa! 2)1(! )1(2limlim 111 因为因为nnnnn)1(2lim e2 1! 2 )4(nnnnn所以级数收敛所以级数收敛. .解解n

29、nn)11(2lim ,1 461)11(12lim nnnnn 解解练习：练习： 11! )1(nnnn12! )1()1(! )2(lim nnnnnnnnnnaa1lim e1 所以级数收敛所以级数收敛. .,1 47nnnnnnnnnnnnaa! e)1(! )1(elimlim111 nnnnn)1(elim ee 1! e )5(nnnnn收敛？收敛？解解,1 nnn)11(elim nnnnnnaa)1(e1 nn)11(e ,1 , 1nnaa 故通项不趋于故通项不趋于0， 所以级数发散所以级数发散 48实实际际上上, ,且且和和为为21 S. . 1)12)(12(1 )6(

30、nnn解解)32)(12()12)(12(limlim1 nnnnaannnn所以用比值法无法判断所以用比值法无法判断. .用比较法用比较法, ,，411)12)(12(1lim2 nnnn,1 而级数而级数 121nn收敛，收敛， 所以原级数收敛。所以原级数收敛。( (看第七页）看第七页）49假假设设0 , ,讨讨论论 11npnn 的的收收敛敛性性. . （1 1）若若1 , ,则则级级数数收收敛敛； （2 2）若若1 , ,则则级级数数发发散散； （3 3）若）若1 , , 原原级级数数为为 111npn, , 所所以以1 p时时收收敛敛, , 1 p时时发发散散. . 例例1717解解

31、nppnnnnnnnaa 11)1(limlim11 1)1(1lim ppnnn ， ,1111lim ppnnn50设设 1nna是正项级数是正项级数, , 如果如果 nnnalim, ,则则 根值判别法根值判别法 (柯西柯西Cauchy判别法判别法)： （1 1）当当1 时时，级级数数收收敛敛； （2 2）当当1 时时，级级数数发发散散； （3 3）当当1 时时，此此法法不不能能确确定定级级数数收收敛敛性性. . 证略证略. .51例例1818解解12limlim nnannnn21 1)12(nnnn，1 所以级数收敛所以级数收敛. . 例例1919 112)13(nnnn解解nnnn

32、nnnna12)13(limlim 91 ，1 所以级数收敛所以级数收敛. . 52 12nnn例例2020所以级数收敛所以级数收敛. .解解2limlimnnnnnna ,121 nnn limxxx1lim xxxlnlime xx1lime .1e0 53第三节第三节 任意项级数审敛法任意项级数审敛法 一、交错级数的收敛性判别法一、交错级数的收敛性判别法 定义：定义：正、负项相间的级数称为正、负项相间的级数称为交错级数交错级数. .nnna 11)1(定理定理( (莱布尼茨判别法莱布尼茨判别法) ) )0( na其中其中（1 1）1 nnaa, ,即即na单单调调减减少少； （2 2）0

33、lim nna, , 则则交交错错级级数数 11)1(nnna收收敛敛, , 且且其其和和1aS ，级级数数的的 称称莱布尼茨莱布尼茨型级数型级数 如果交错级数如果交错级数 满足条件满足条件nnna 11) 1(余余项项nR的的绝绝对对值值1| nnaR 54即即2mS有有上上界界, , 故故2mS收收敛敛, , 记记 SSmm 2lim, , 显显然然有有1uS . . 而而 12212 mmmaSS, , 所以所以 SSnn lim, 且且其其和和1aS . . , )()()(21243212mmmaaaaaaS 证证所以所以2mS单调单调不不减减； 另一方面另一方面, , mmmmaa

34、aaaaaaS21222543212)()()( ,1a 由条件由条件(2)可知可知, ,lim12SSmm 即原级数收敛即原级数收敛, , 而而余余项项nR仍仍是是一一个个莱莱布布尼尼茨茨型型级级数数，所所以以有有1| nnaR 由条件由条件(1)可知可知, ,212kkaa 55 注意：注意：莱布尼兹判别法所给的条件只是交错级数收敛的莱布尼兹判别法所给的条件只是交错级数收敛的充分条件，而非必要条件充分条件，而非必要条件. . nnna 11)1()0( na定理定理( (莱布尼茨判别法莱布尼茨判别法) )（1 1）1 nnaa, ,即即na单单调调减减少少； （2 2）0lim nna,

35、, 则则交交错错级级数数 11)1(nnna收收敛敛, , 且且其其和和1aS ，级级数数的的 如果交错级数如果交错级数 满足条件满足条件nnna 11) 1(余余项项nR的的绝绝对对值值1| nnaR 56 n1单调减少单调减少, , 且且 01lim nn, , 111)1(npnn 例例1 1解解这是交错级数这是交错级数, , 由由莱布尼茨莱布尼茨定理知，级数收敛。定理知，级数收敛。一般地，一般地，称为交错称为交错 p - - 级数级数. 当当0 p时时， ,01lim1 pnpnn单单调调减减少少且且所以级数收敛。所以级数收敛。证证明明级级数数 111)1(nnn收收敛敛。 57例例2

36、 2解解这是交错级数这是交错级数, , 证证明明级级数数 1ln)1(nnnn收收敛敛。 由由莱布尼茨莱布尼茨定理，定理，级数收敛级数收敛. .设设xxxfln)( , , ,ln1)(2xxxf 从从3 x开开始始, ,0)( xf, , 即即)(xf单单调调下下降降, , 所所以以数数列列 nnln的的单单调调减减少少； nnnlnlim xxxlnlim xx1lim ,0 58判别级数判别级数 21)1(nnnn的收敛性的收敛性. . 解解,1)( xxxf设设)2( x,1)(单单调调减减少少故故函函数数 xxxf1limlim nnannn又又, 0 由莱布尼茨定理知级数收敛由莱布

37、尼茨定理知级数收敛.所所以以数数列列 1nn单单调调减减少少, , 例例3 32)1(2)1()( xxxxf则则,0 59二、任意项级数的二、任意项级数的绝对收敛绝对收敛与与条件收敛条件收敛定义：定义：正项和负项任意出现的级数称为正项和负项任意出现的级数称为任意项级数任意项级数. .例例如如, , 1211)1(nnn绝绝对对收收敛敛, , 而而 111)1(nnn条件收敛条件收敛. . 定定义义 若若 1|nna收收敛敛, ,则则称称 1nna绝绝对对收收敛敛； 若若 1|nna发散发散, , 但但 1nna收敛收敛, ,则称则称 1nna条件收敛条件收敛. . 60若若 1nna绝绝对对

38、收收敛敛, ,则则 1nna本本身身也也收收敛敛. . 证明证明定理：定理：, |2|0nnnaaa 如如果果级级数数 1nna绝绝对对收收敛敛，即即 1|nna收收敛敛， 则则 1|2nna也也收收敛敛， 由由比比较较判判别别法法得得正正项项级级数数 1)| (nnnaa收收敛敛 , |)| ( nnnnaaaa 而而由由级级数数性性质质知知，级级数数 1nna收收敛敛 61上定理的作用：上定理的作用： 任意项级数任意项级数正项级数正项级数( (1 1) ) 定定理理不不可可逆逆, , 如如 111) 1(nnn收收敛敛, , 但但 11nn发散发散; ; ( (2 2) ) 若若 1|nn

39、a发发散散, , 不能推出不能推出 1nna发散发散, , 但但如如果果是是用用比比值值判判别别法法或或根根值值判判别别法法判判定定 1|nna发发散散, , 则直接可以断定则直接可以断定 1nna发散，发散， 从从而而 na也也不不趋趋向向于于零零. . 说明：说明：一般项一般项 |na不趋向于零不趋向于零, , 这是因为它们的依据是这是因为它们的依据是 如上例；如上例； 62因因为为221sinnnn , , 而而 121nn收收敛敛, , 例例4 4 判定下列级数是绝对收敛、条件收敛或发散判定下列级数是绝对收敛、条件收敛或发散. . 12sin )1(nnn 解解故原级数绝对收敛故原级数绝对收敛. . 12)11(31)1( )2(nnnnn解解nnn