第三部分第三章：二维随机变量的联合概率分布双份

1、第三部分概率论与数理统计第三章二维随机变量的联合概率分布考试内容随机变量的联合分布函数，离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布和条件分布，连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度，随机变量的独立性和相关性，常见二维随机变量的联合分布，两个及两个以上随机变量简单函数的概率分布。考试要求1理解随机变量的联合分布函数的概念和基本性质；2理解随机变量的联合分布的概念、性质及两种基本形式：离散型联合概率分布和连续型联合概率密度，掌握两个随机变量的联合分布的边缘分布和条件分布；3理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握离散型和连续性随机变量独立的条件，理解随机变量的不相关与独立性的关系；4掌握二维

2、均匀分布和二维正态分布，理解其中参数的概率意义。5会根据两个随机变量的联合概率分布求其函数的概率分布，会根据多个独立随机变量的概率分布求其函数的概率分布。 命题特点本章一般出计算题，近年来二元函数的分布比一元的分布考得更多一些。 内容综述一、多维随机变量的概念二维随机变量：随机试验E的样本空间为，设和是定义在上的随机变量，由它们构成的一个向量，叫做二维随机向量或二维随机变量（若有个定义在上的随机变量，由它们构成的维向量叫做维随机向量或维随机变量）二、二维随机变量的联合分布函数、联合概率密度的概念与性质1. 联合分布函数：分布函数的基本性质：1）是关于x或y的非减函数，即对于固定的y，若x1x2

3、，则F（x1，y）F（x2，y）；对于固定的x，若y1y2，则F（x，y1）F（x，y2）2）01且 ；3）对每个变量右连续，即，4）根据概率可加性，对于如图任意2. 二维离散型和连续型随机变量的分布：1）二维离散型随机变量：如果二维随机变量的所有可能的值是有限对或可列无限多对，则称是离散型的随机变量其分布律（联合分布律）为，满足：；2）二维连续型随机变量：如果对于二维随机变量的分布函数，存在非负函数，使对于任意实数有，则称为连续型的随机变量，函数称为的（联合）概率密度满足：； 在的连续点处有；随机点落在平面区域内的概率为三、二维随机变量的边缘分布与联合分布的关系1. 边缘分布函数，；2二维离

4、散型随机变量的边缘律及分布函数 ， ；3二维连续型随机变量的边缘概率密度，(联合分布可唯一确定边缘分布，反之未必成立!) 四、了解二维随机变量的条件分布 ( 这几年考试内容明显增多 )1. 条件分布函数称为在条件下的条件分布函数；称为在条件下的条件分布函数2离散型随机变量的条件分布律称为在条件下的条件分布函数；称为在条件下的条件分布函数3连续型随机变量的条件概率密度称为在条件下的条件概率密度；称为在条件下的条件概率密度(注意与第一章中条件概率的计算作比较)五、理解随机变量独立性的概念(相关性)若对于所有，有，即，则称随机变量和是相互独立的相对离散型，和相互独立的充分必要条件是：，即；相对连续型

5、，和相互独立的充分必要条件是：应熟练应用随机变量的独立性进行概率计算(注意独立与相关的联系与区别)六、掌握求两个随机变量的函数的分布 ( 离散的仍是表上作业法，连续的熟悉下面的几种类型 )1两个随机变量和的分布，即的分布；当和相互独立时，（称为卷积公式）2及的分布和相互独立时，1）的分布：；2）的分布：七、重点与难点1 重点：二维随机变量的概念，二维随机变量的联合分布函数、分布律、概率密度、独立性、条件概率和边缘分布，二维随机变量的函数的分布及概率密度，特别是、的分布2 难点：已知联合概率密度求联合分布函数、条件概率；已知（,）的分布求、的分布3 一些说明：联合分布函数与联合概率密度中的常数常

6、由及的各个性质来确定求联合分布函数时，首先要定出联合概率密度，再根据的条件及随机变量所满足的不等式等，正确的画出二重积分区域，将二重积分化为累次积分去计算题型一：求二维随机变量的概率分布题型二：有关条件分布问题题型三：随机变量的独立性题型四：二维随机变量函数的分布及概率的计算题型一：求二维随机变量的概率分布离散的情形：例1一个箱子里装有12只开关，其中2只是次品，现随机地抽取两次，每次只取一只，考虑两种试验：（1）有放回抽样；（2）不放回抽样，以X、Y分别表示第1次和第2次取出的次品数，试分别就（1）、（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律解：因为X和Y的取值都是0和1，故(X，Y)的取值为(

7、0,0)、（0,1）、（1,0）、（1,1）.而取这些值的概率要按放回、不放回抽样两种情况考虑.（1）有放回抽样，由乘法定理得，类似可得：；（2）不放回抽样，由乘法定理得，类似可得：；X和Y的联合分布律为 XY0 101 XY0 101 例22001年设某班车起点站上客人数服从参数为的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为，且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有个乘客的条件下，中途有人下车的概率；（2）二维随机变量(X，Y)的概率分布解：（1）是一个条件概率，即当 X= 时，Y=的概率：， 由于下车与否相互独立，Y服从二项分布。 所以 ； （2）。例32004年设

8、为随机事件，且，令： 求：（1）二维随机变量(X，Y)的概率分布；（2）X与Y的相关系数解：（1） 易见 (X，Y) 的取值为 (0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)，相应概率为 ， (联合分布列表略) （2） 由联合分布可得边缘分布： ， 于是可得：， 所以 。例42009年，三（23）袋中有1个红球，2个黑球与3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一个球. 以X，Y，Z分别表示两次取球所得的红球、黑球与白球的个数.（1） 求PX1Z0；（2） 求二维随机变量（X，Y）的概率分布.解：（1）；（2）X可取0，1，2；Y可取0，1，2，共有九种可能性：其联合分布为， XY01209/

9、366/361/36112/364/36024/3600 如果是有放回呢，应如何考虑？（1）；（2） X只可取0，1；Y可取0，1，2，共有六种可能性：，例5设二维随机变量（X，Y）的概率密度为（1）求系数c；（2）求边缘概率密度解： （1）由 所以有； （2），例61998年设平面区域D由曲线及直线所围成，二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，则关于X的边缘概率密度在处的值为 。解： 首先求联合概率密度。由于区域D的面积为：， ( 区域D为： )所以联合密度为： 再求边缘概率密度 ，所以。题型二：有关条件分布问题称为在条件下的条件分布函数；称为在条件下的条件分布函数离散型：连续型：

10、例1已知（X，Y）的联合分布律为 YX01201/41/80101/3021/601/8试求在Y1的条件下，X的条件分布律.解：第一步，先求Y的边缘分布律：Y012P5/1211/241/8所以：；第二步，再求各条件概率：，于是在条件Y1下，X的分布律是：X0123/118/110例2设维随机变量X在区间（0,1）上服从均匀分布，在条件下，随机变量Y在区间上服从均匀分布，求：（1）随机变量X，Y的联合概率密度；（2）Y的概率密度；（3）概率解：（1）X的概率密度为：，在条件下， Y在区间上服从均匀分布，所以条件密度为：当时，联合分布密度为： ，而在其它点处，所以 ；（2）Y的概率密度为：；（3

11、）概率 .例32009年，三（22）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为，（1）求条件概率密度（2）求条件概率解： （1）由定义知：，先求边缘密度：.从而（2），而Y的边缘密度为：，所以：。例42010年设二维随机变量（X，Y）的概率密度为，求常数A及条件概率密度解： 利用正态分布的概率密度积分为1计算A。( 凑 ) 即 ， ， 所以 ；又 ； 所以 .题型三：随机变量的独立性，离散：，；连续：例1设随机变量X与Y相互独立且有相同分布， ，则下列各式成立的是（）A ； B ； C ； D .解：考察（A）：所以选（A）. YX0100.4a1b0.1例22005，一（6）设随机变量X与Y的概率

12、分布如表，已知随机事件，独立，则 A ； B ； C ； D .解：由联合分布律性质：，；再利用独立性讨论：所以: 所以：，所以选（B）.例32007，一（10）设随机变量（X，Y）服从二维正态分布，且X与Y不相关，分别表示X，Y的分布密度，则在条件下，X的概率密度为（ ）A； B ； C； D .解：注意不相关与独立的关系；独立一定不相关；但在一般情况下，不相关未必独立；例外：在二维正态分布下，不相关独立。所以本题中：答案选A。 例42003，四设随机变量X和Y都服从正态分布，且X与Y不相关，则（ ）AX与Y一定独立； B （X，Y）服从二维正态分布； CX与Y未必独立； D X+Y服从一维

13、正态分布.解：由于不知（X，Y）的联合分布是否为二维正态分布，所以不能从X与Y不相关来判定X与Y是否独立! 相反，如果X与Y独立，则B，D均成立。答案选C。 例5二维随机变量（X，Y）的分布密度求（1）X与Y边缘概率密度；（2）X，Y是否独立解：（1）如图， 当时，故有（），当时，有（）； （2）显然，所以X和Y不是相互独立的例52008年，三（22）设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为，Y的概率密度为，记，（1） 求；（2） 求Z的概率密度.解：（1）；（2）设Z的分布函数为，Z的取值范围是，当时，；当时，；当时，所以即Z满足区间（1,2）上的均匀分布.例62012，一（7）设随机变量X

14、与Y相互独立，且分别服从参数为1和4的指数分布，则（ ）A B C D 解：由独立性可知，联合密度等于边缘密度的乘积：所以。题型四：二维随机变量函数的分布及概率的计算例1已知随机变量X和Y的联合分布为（X, Y）（0, 0）（0, 1）（1, 0）（1, 1）（2, 0）（2, 1）P0.100.150.250.200.150.15试求：（1）X的边缘分布；（2）XY的概率分布解：由已知条件可得 XY012p.j00.100.250.150.5010.150.200.150.50pi.0.250.450.301所以（1）X的边缘分布为X012P0.25 0.45 0.30（2）XY可取值：0，

15、1，2，3，当XY0时，当XY1，以此类推，可得XY的概率分布为XY0123P0.10 0.40 0.350.15例2设随机变量X、Y相互独立，其概率密度分别为 ， ，求Z=XY的概率密度解：因为随机变量X、Y相互独立，利用卷积公式可得（作变量代换，令，可得） 例3设随机变量X、Y相互独立，而且X在（0，1）上均匀分布，Y在（0，2）上均匀分布，求Z1=maxX，Y，Z2=minX，Y的概率密度解：由已知，X、Y相互独立，且，；，；则有（1）；从而的概率密度为；（2）同理可得，例41999年设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布和，则 ( ) A B C D 解：注意到，则有，由正态分

16、布的几何图形与性质可知，选（B）.例52001，十二设二维随机变量（X，Y）的联合分布是正方形上的均匀分布，试求随机变量的概率密度。解：注意联合密度为：， 以 表示随机变量U的分布函数， 显然，当 时，； 当 时，； 当 时，则； 所以 例62002年假设随机变量U在区间-2，2上服从均匀分布，随机变量求（1）X，Y的联合分布；（2）D（X+Y）.解：（1）首先考查X，Y的可能取值： 再求出概率：，；， 所以联合分布为：； （2），的概率分布分别为： 所以 ， 。例72003，十二设随机变量X与Y相互独立，其中X的概率分布为，而Y的概率密度为，求随机变量的概率密度。解：注意本题中两个随机变量一

17、个是离散的，一个是连续的，由于X只能取两个值，常用全概率公式求之。设表示随机变量Y的分布函数，由全概率公式： ，所以 。例82005，三（22）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为求（1）（X，Y）的边缘概率密度；（2）Z = 2X - Y的概率密度；（3）。解：由联合求边缘，求函数分布密度，求条件概率。 （1）当时， 所以 同理：时，；所以 （2）先求Z的分布函数： 当时，； 当时， ； 当时，； 从而 所以 （3） ， 而 ， 所以：。例92006年，一（5）假设随机变量X，Y相互独立，且均服从区间0，3上的均匀分布，则= 。解： 。例102007，三（23）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为求（1）；（2）Z = X +Y的概率密度；解：（1）略（2）同上题解法，注意分段： 当时，；当时，； 当时，