工程塑性理论方法

1、8 塑性成形解析方法塑性成形解析方法8.1 塑性成形问题解的概念塑性成形问题解的概念8.2 基本方程的简化基本方程的简化8.3 应力边界条件与速度边界条件应力边界条件与速度边界条件8.4 主应力法主应力法8.5 滑移线场理论滑移线场理论8.6 上限法上限法8.1 塑性成形问题解的概念塑性成形问题解的概念塑性成形问题的解包括变形体内部的塑性成形问题的解包括变形体内部的:应力分布应力分布ij应变分布应变分布ij或应变速率分布；或应变速率分布；位移分布位移分布uij或位移速度分布。或位移速度分布。 塑性加塑性加工解析工解析 解析内容解析内容 变形功、力矩变形功、力矩 载荷、载荷、 应力分布应力分布

2、应变分布应变分布 位移分布位移分布 温度分布温度分布 界面处：界面处： 应力分布应力分布 温度分布温度分布 相对滑移相对滑移 速度分布速度分布预测结果预测结果产品尺寸精度产品尺寸精度硬度分布硬度分布残余应力分布残余应力分布晶粒度晶粒度显微组织显微组织 缺陷及位置缺陷及位置成形极限成形极限 优化优化材质材质形状形状变形温度变形温度变形速度变形速度变形程度变形程度润滑剂润滑剂工具的布置工具的布置工程设计工程设计产品最产品最佳设计佳设计 弹性变形问题：弹性变形问题：15个方程个方程应力平衡微分方程：应力平衡微分方程：3个个几何方程：几何方程： 6个个应力应变关系：应力应变关系： 6个个未知数：未知数

3、：应力分量应力分量ij：6个个应变分量应变分量ij：6个个位移分量位移分量ui： 3个个弹塑性变形问题：弹塑性变形问题：16个方程个方程应力平衡微分方程：应力平衡微分方程：3个个几何方程：几何方程： 6个个应力应变关系：应力应变关系： 6个个屈服准则：屈服准则： 1个个未知数：未知数：应力分量应力分量ij： 6个个应变分量应变分量ij： 6个个位移分量位移分量ui： 3个个比例系数比例系数： 1个个刚塑性变形问题：刚塑性变形问题：17个方程个方程应力平衡微分方程：应力平衡微分方程：3个个几何方程：几何方程： 6个个应力应变关系：应力应变关系： 6个个屈服准则：屈服准则： 1个个体积不变条件：体

4、积不变条件： 1个个未知数：未知数：应力分量应力分量ij：6个；应变分量个；应变分量ij：6个个位移分量位移分量ui： 3个；比例系数个；比例系数： 1个个平均应力平均应力m：1个个因此，从形式上看，在一定的应力边因此，从形式上看，在一定的应力边界条件、速度边界条件下，是可以求界条件、速度边界条件下，是可以求出塑性加工问题解的。由此所得到的出塑性加工问题解的。由此所得到的解就是精确解，也可以说，满足上述解就是精确解，也可以说，满足上述十六或十七个方程，同时在边界上满十六或十七个方程，同时在边界上满足应力边界条件和速度边界条件的解足应力边界条件和速度边界条件的解就是精确解。就是精确解。显而易见，

5、在体积不变条件下，为了求解显而易见，在体积不变条件下，为了求解塑性加工问题的精确解，需要联解十七个塑性加工问题的精确解，需要联解十七个方程，而且塑性加工时的边界条件通常是方程，而且塑性加工时的边界条件通常是应力和速度的混合边界条件，即在一部分应力和速度的混合边界条件，即在一部分边界上已知应力而速度未知，在另一部分边界上已知应力而速度未知，在另一部分边界上应力未知而速度已知，因此，求解边界上应力未知而速度已知，因此，求解塑性加工问题的精确解是非常困难的，甚塑性加工问题的精确解是非常困难的，甚至是不可能的。至是不可能的。为了适应工程上的需要，常常放松精为了适应工程上的需要，常常放松精确解的部分条件

6、，仅要求满足其中的确解的部分条件，仅要求满足其中的一部分条件，由此所得到的解，称为一部分条件，由此所得到的解，称为近似解。近似解。 运动许可条件：应变几何方程、体积不运动许可条件：应变几何方程、体积不变条件和速度边界条件；变条件和速度边界条件；静力许可条件：应力平衡微分方程、屈静力许可条件：应力平衡微分方程、屈服准则和应力边界条件。服准则和应力边界条件。上限解：如果在求解时，仅要求满足应变上限解：如果在求解时，仅要求满足应变几何方程、体积不变条件和速度边界条件几何方程、体积不变条件和速度边界条件（运动许可条件），而对静力许可条件不（运动许可条件），而对静力许可条件不预考虑，所得到的解。上限解是

7、精确解的预考虑，所得到的解。上限解是精确解的上限；上限； 下限解：如果在求解时，仅要求满足应力下限解：如果在求解时，仅要求满足应力平衡微分方程、屈服准则和应力边界条件平衡微分方程、屈服准则和应力边界条件（静力许可条件）（静力许可条件） ，而对运动许可条件，而对运动许可条件不预考虑，不预考虑， 所得到的解。下限解是精确所得到的解。下限解是精确解的下限。解的下限。运动许可条件静力许可条件塑性加工问题的解精确解近似解上限解下限解运动许可条件静力许可条件变形几何方程体积不变条件速度边界条件平衡方程屈服准则应力边界条件运动许可条件运动许可条件静力许可条件静力许可条件塑性加工问题的解精确解近似解上限解下限

8、解运动许可条件静力许可条件变形几何方程体积不变条件速度边界条件平衡方程屈服准则应力边界条件塑性加工塑性加工问题的解问题的解精确解精确解近似解近似解上限解上限解下限解下限解运动许运动许可条件可条件静力许静力许可条件可条件变形几何方程变形几何方程体积不变条件体积不变条件速度边界条件速度边界条件平衡方程平衡方程屈服准则屈服准则应力边界条件应力边界条件求近似解的方法很多，其所追求的目求近似解的方法很多，其所追求的目标是尽量采用简单的数学处理方法，标是尽量采用简单的数学处理方法，从多个上限解中求得最小的上限解，从多个上限解中求得最小的上限解，从多个下限解中求得最大的下限解，从多个下限解中求得最大的下限解

9、，如果一个问题的上限解和下限解相等，如果一个问题的上限解和下限解相等，这个解就是精确解。这个解就是精确解。 未定参数未定参数变形功和载荷变形功和载荷真实解真实解8.2 基本方程的简化基本方程的简化8.2.1 平面应变问题平面应变问题8.2.2 平面应力问题平面应力问题8.2.3 轴对称问题轴对称问题塑性加工过程是非常复杂的，求精确塑性加工过程是非常复杂的，求精确解困难，求近似解也不易，因此，目解困难，求近似解也不易，因此，目前只有某些特殊的情况或对实际问题前只有某些特殊的情况或对实际问题进行一些简化才能求解。进行一些简化才能求解。通常的处理方法是将变形过程简化为通常的处理方法是将变形过程简化为

10、:平面问题（平面应变问题、平面应平面问题（平面应变问题、平面应力问题）；力问题）；轴对称问题；轴对称问题；或者是两者的组合。或者是两者的组合。由此可使塑性变形的基本方程大为简由此可使塑性变形的基本方程大为简化，便于求解塑性加工问题。化，便于求解塑性加工问题。 8.2.1 平面应变问题平面应变问题当变形体内各点的位移分量与某一坐当变形体内各点的位移分量与某一坐标轴无关，并且沿该坐标轴方向上的标轴无关，并且沿该坐标轴方向上的位移分量为零时，则将这一变形过程位移分量为零时，则将这一变形过程称为平面应变问题。称为平面应变问题。假设变形体内各点沿假设变形体内各点沿z坐标轴方向上坐标轴方向上的位移分量为零

11、，则有的位移分量为零，则有0,zyyxxduyxduduyxdudu将上式代入几何方程式将上式代入几何方程式(6-106)，可得，可得0)()(21,)(,)(xzzxzyyzzxyyxxyyyxxdddddyduxduddydudxdud由应力应变关系式，可得由应力应变关系式，可得minmax21210myxzxzzxzyyzzyxyxyxzyxm2123131由上式可知，由上式可知，z永远为中间主应力，永远为中间主应力，并且是一个不变量。并且是一个不变量。最大切应力为：最大切应力为：minmaxmax21 k当主应力顺序已知时当主应力顺序已知时 321minmaxmax21 k31max2

12、1 k3121mzminmax21mz由此可见，对于平面应变问题，变形由此可见，对于平面应变问题，变形体内任一点的应力状态都可以用平均体内任一点的应力状态都可以用平均应力和最大切应力来表示。应力和最大切应力来表示。 kkmmm321平面应变状态下的应力平衡微分平面应变状态下的应力平衡微分方程方程 00yxyxyxyyxx屈雷斯加屈服准则为屈雷斯加屈服准则为 321sk231米塞斯屈服准则为米塞斯屈服准则为:22244kxyyx22222222626kszxyzxyxzzyyxyxz218.2.2 平面应力问题平面应力问题当变形体内所有应力分量与某一坐标当变形体内所有应力分量与某一坐标轴无关，在

13、与该坐标轴垂直平面上的轴无关，在与该坐标轴垂直平面上的所有应力分量为零，则这种应力状态所有应力分量为零，则这种应力状态称为平面应力状态。这种塑性加工问称为平面应力状态。这种塑性加工问题称为平面应力问题。题称为平面应力问题。假设无关轴为假设无关轴为z轴，则根据平面应力轴，则根据平面应力问题的定义有，平面应力状态下的应问题的定义有，平面应力状态下的应力张量为力张量为00000yyxxyxij应力平衡微分方程为应力平衡微分方程为00yxyxyxyyxx022223222221xyyxyxxyyxyx00000yyxxyxij屈雷斯加屈服准则为屈雷斯加屈服准则为ssskkk2221221米塞斯屈服准则

14、为米塞斯屈服准则为222122213ks2221323222162ks平面应变状态平面应变状态mm221221或纯剪切状态纯剪切状态0321、8.2.3 轴对称问题轴对称问题如果变形体的几何形状、物理性质以如果变形体的几何形状、物理性质以及外载荷都对称于某一坐标轴，通过及外载荷都对称于某一坐标轴，通过该坐标轴的任一平面都是对称面，则该坐标轴的任一平面都是对称面，则变形体内的应力、应变、位移也对称变形体内的应力、应变、位移也对称于此坐标轴，这类变形问题称为轴对于此坐标轴，这类变形问题称为轴对称问题。称问题。对于轴对称问题，由于变形体为旋转对于轴对称问题，由于变形体为旋转体，所以，采用圆柱坐标系分

15、析问题体，所以，采用圆柱坐标系分析问题更为方便。假设对称轴为更为方便。假设对称轴为z轴，在轴轴，在轴对称应力状态下，由于其对称性，旋对称应力状态下，由于其对称性，旋转体的每个子午面转体的每个子午面(通过通过z轴的平面，轴的平面，即即平面平面)始终保持平面，并且各子午始终保持平面，并且各子午面之间的夹角保持不变，所以沿面之间的夹角保持不变，所以沿坐坐标方向上的位移分量为零。标方向上的位移分量为零。zrdududuzrduduzzrr,0,zuruzuurzuruurruurrururzrzzrzzzzzrrrrrr2112111210)()(21,)(,)(zrzrzrzzrrrddxduzdu

16、dzdudrdudrdudrrzz 0因此，子午面上的应力因此，子午面上的应力永远是主应永远是主应力，这样，在轴对称应力状态下的应力，这样，在轴对称应力状态下的应力张量可写成如下形式，即力张量可写成如下形式，即ijrrzzrz0000在轴对称应力状态下，应力平衡在轴对称应力状态下，应力平衡微分方程式微分方程式(6-61)可简化成如下形可简化成如下形式，即式，即 000rzrrzrrzzrzrzrr屈雷斯加屈服准则为屈雷斯加屈服准则为 srzszsrkkk222米塞斯屈服准则为米塞斯屈服准则为 222222626kszrrzzr对于某些特殊情况，例如当对于某些特殊情况，例如当 r222233ks

17、zrzr8.3 应力边界条件与速度边界条件应力边界条件与速度边界条件在塑性加工过程中，变形体边界面上在塑性加工过程中，变形体边界面上有外力的作用，其中部分边界上的外有外力的作用，其中部分边界上的外力是已知的，而另一部分边界上的外力是已知的，而另一部分边界上的外力是未知的，应力边界条件描述了边力是未知的，应力边界条件描述了边界两侧的内力与外力之间的联系。界两侧的内力与外力之间的联系。 ijxxyxzyxyyzzxzyznmlSnmlSnmlSzyzxzzzyyxyyzxyxxxSSSSxyz2222NxyzS lS mS n222NNS1222nmljijilSjijilT在应力边界条件中，最常

18、见的是在应力边界条件中，最常见的是摩擦边界条件摩擦边界条件自由边界条件自由边界条件准边界条件。准边界条件。8.3.1.1摩擦边界条件摩擦边界条件在塑性加工过程中，根据变形体与工具的在塑性加工过程中，根据变形体与工具的接触表面之间的润滑状态的不同，可以将接触表面之间的润滑状态的不同，可以将摩擦分为三种类型，即：摩擦分为三种类型，即：干摩擦干摩擦边界摩擦边界摩擦流体摩擦。流体摩擦。干摩擦：是变形体与工具之间的接触干摩擦：是变形体与工具之间的接触表面上不存在任何外来的介质，即变形表面上不存在任何外来的介质，即变形体和工具表面上的微凸体直接接触所产体和工具表面上的微凸体直接接触所产生的摩擦；生的摩擦；

19、边界摩擦：当变形体与工具的接触表面边界摩擦：当变形体与工具的接触表面之间存在一薄薄的润滑层，其厚度约为之间存在一薄薄的润滑层，其厚度约为10-6mm左右，此时变形体和工具表面上左右，此时变形体和工具表面上的微凸体不能直接接触，但仍能相互嵌入，的微凸体不能直接接触，但仍能相互嵌入，由此所产生的摩擦；由此所产生的摩擦；流体摩擦：当变形体与工具接触表面之流体摩擦：当变形体与工具接触表面之间的润滑层较厚，使二者完全被润滑层隔间的润滑层较厚，使二者完全被润滑层隔开，此时的润滑状态称为流体润滑，由此开，此时的润滑状态称为流体润滑，由此产生的摩擦，是润滑层之间的内摩擦。产生的摩擦，是润滑层之间的内摩擦。在塑

20、性加工过程中，变形体与工具的接触在塑性加工过程中，变形体与工具的接触面上不可避免地存在摩擦，摩擦力的方向面上不可避免地存在摩擦，摩擦力的方向与接触面的切线方向一致，并与变形体质与接触面的切线方向一致，并与变形体质点运动方向相反，阻碍质点的流动。单位点运动方向相反，阻碍质点的流动。单位接触面上的摩擦力称为摩擦切应力。接触面上的摩擦力称为摩擦切应力。摩擦切应力是作用在边界面上的外力，它摩擦切应力是作用在边界面上的外力，它与内力之间的联系，可由式与内力之间的联系，可由式(8-21)来描述。来描述。jijilTnmlTnmlTnmlTzyzxzzzyyxyyzxyxxx为了求解塑性加工问题，摩擦边界条

21、件必为了求解塑性加工问题，摩擦边界条件必须预先确定。但是，塑性加工过程中的摩须预先确定。但是，塑性加工过程中的摩擦是非常复杂的问题，其影响因素也是非擦是非常复杂的问题，其影响因素也是非常多的，例如材料性质、接触表面的物理常多的，例如材料性质、接触表面的物理和化学特性、变形温度、变形速度、加载和化学特性、变形温度、变形速度、加载特性以及变形区几何学等。特性以及变形区几何学等。因此，目前还不可能从理论上给出一个描因此，目前还不可能从理论上给出一个描述摩擦力分布规律的精确表达式。通常是述摩擦力分布规律的精确表达式。通常是采用一些简化的模型来进行解析。由于塑采用一些简化的模型来进行解析。由于塑性加工过

22、程是在较高的温度和较高的压力性加工过程是在较高的温度和较高的压力下进行的，是不易形成流体润滑的，因此，下进行的，是不易形成流体润滑的，因此，常用的摩擦模型有两种。常用的摩擦模型有两种。 （1）库仑摩擦模型）库仑摩擦模型该模型用库仑摩擦定律来描述变形体与工该模型用库仑摩擦定律来描述变形体与工具接触表面之间的摩擦，即接触表面上任具接触表面之间的摩擦，即接触表面上任一点的摩擦切应力与正压应力成正比。其一点的摩擦切应力与正压应力成正比。其表达式为表达式为nf摩擦切应力；摩擦系数；接触表面上的正压应力摩擦切应力；摩擦系数；接触表面上的正压应力对于一定的工具和变形物体，当接触对于一定的工具和变形物体，当接

23、触表面与温度不变时，可假设摩擦系数表面与温度不变时，可假设摩擦系数为常数，与变形速度无关。摩擦系为常数，与变形速度无关。摩擦系数数通常根据实验来确定，除摩擦系通常根据实验来确定，除摩擦系数外，为了确定变形体与工具接触表数外，为了确定变形体与工具接触表面之间的摩擦切应力，还需要知道接面之间的摩擦切应力，还需要知道接触表面上的正压应力分布。触表面上的正压应力分布。snfkminmaxmaxnf由屈雷斯加屈服准则：由屈雷斯加屈服准则： ks25 . 0max由米塞斯屈服准则：由米塞斯屈服准则： ks3577. 031max（2）常摩擦力模型）常摩擦力模型mkf摩擦切应力；摩擦因子（摩擦切应力；摩擦因

24、子（0m1）；最大切应力）；最大切应力接触表面上任一点的摩擦切应力接触表面上任一点的摩擦切应力与正压应力无关，与变形体的剪与正压应力无关，与变形体的剪切屈服强度成正比。对于一定的切屈服强度成正比。对于一定的工具和变形物体，当接触表面与工具和变形物体，当接触表面与温度不变时，可假设摩擦因子温度不变时，可假设摩擦因子m为为常数，与变形速度无关。常数，与变形速度无关。 当当m0时，时，f=0，为无摩擦的理想，为无摩擦的理想状态；状态；当当m=1时，时，f=k，称为最大摩擦力，称为最大摩擦力条件条件在热塑性变形时，通常采用最大摩擦在热塑性变形时，通常采用最大摩擦力条件。采用常摩擦力模型不需要预力条件。

25、采用常摩擦力模型不需要预先已知接触表面上的正压应力分布，先已知接触表面上的正压应力分布，因此，在使用上是比较方便的。因此，在使用上是比较方便的。8.3.1.2自由边界条件自由边界条件将裸露的、不与任何物体相接触的边界面将裸露的、不与任何物体相接触的边界面称为自由边界面，处于自由边界面上的变称为自由边界面，处于自由边界面上的变形体不受任何约束力的作用，大气压力可形体不受任何约束力的作用，大气压力可以忽略不计，因此，在自由边界面上的正以忽略不计，因此，在自由边界面上的正应力和切应力均为零，即自由边界条件为应力和切应力均为零，即自由边界条件为n=n=0。8.3.1.3准边界条件准边界条件在塑性变形过程中，在变形体内部某在塑性变形过程中，在变形体内部某些区域的界面上也有规定的力，例如些区域的界面上也有规定的力，例如对称面上的切应力必须为零；对称面上的切应力必须为零；塑性流动区与刚性区或死区界面上塑性流动区与刚性区或死区界面上的切应力等于剪切屈服强度的切应力等于剪切屈服强度k。这些界面虽然不是变形体的自然边界，这些界面虽然不是变形体的自然边界，但是，当以变形体内某一部分作为研但是，当以变形体内某一部分作为研究对象时