理论力学10—动能定理2

1、例例4 卷扬机如图卷扬机如图, 鼓轮在常力偶鼓轮在常力偶M的作用下将圆的作用下将圆柱上拉。已知鼓轮的半径为柱上拉。已知鼓轮的半径为R1, 质量为质量为m1, 质量质量分布在轮缘上分布在轮缘上; 圆柱的半径为圆柱的半径为R2, 质量为质量为m2, 质质量均匀分布量均匀分布。设斜坡的倾角为。设斜坡的倾角为a a, 圆柱只滚不滑。圆柱只滚不滑。系统从静止开始运动系统从静止开始运动, 求圆柱中心求圆柱中心C经过路程经过路程s 时的速度。时的速度。(P213 10-24)解解: 以系统为研究对象以系统为研究对象, 受力如图。系受力如图。系统在运动过程中所有力所作的功为统在运动过程中所有力所作的功为sgm

2、RsMWasin2112系统在初始及终止两状态系统在初始及终止两状态的动能分别为的动能分别为01T2221121324CTJm va aFNFsm2gm1gFOxFOyMOC其中其中2111Jm R11CvR于是于是)32(42122mmvTC由由1212WTT得得sgmRsMmmvCasin0)32(421212解之得解之得)32()sin(221112mmRsgRmMvCaa aFNFsm2gm1gFOxFOyMOC2221121324CTJm v例例5 已知：已知： m ，r, f ， 。求均质圆盘往下作。求均质圆盘往下作纯滚动纯滚动时盘心的加速度。时盘心的加速度。CFNmgvCFs解：

3、取系统为研究对象，画受解：取系统为研究对象，画受力图。假设圆盘中心向下产生力图。假设圆盘中心向下产生位移位移 s 时速度达到时速度达到vC。s10T 力的功：力的功：sin12mgsW由动能定理得由动能定理得sin0432mgsmvC2243CmvT sin32ga 等式两边同时对时间等式两边同时对时间t求导求导，解得：，解得：课堂练习课堂练习 在对称连在对称连杆的杆的A点作用一铅垂点作用一铅垂方向的常力方向的常力F，开始，开始时系统静止，如图。时系统静止，如图。求连杆求连杆OA运动到水运动到水平位置时的角速度。平位置时的角速度。设连杆长均为设连杆长均为l, 质量质量均为均为m, 均质圆盘质均

4、质圆盘质量为量为m1, 半径为半径为r，且作纯滚动。且作纯滚动。Oa aAFB解解:设连杆设连杆OA运动到运动到水平位置时的角速水平位置时的角速度为度为 ，此时，此时B端端为杆为杆AB的速度瞬的速度瞬心心，由于，由于OAAB，所以杆所以杆AB的角速的角速度也为度也为 ，而轮，而轮B的角速度为零。的角速度为零。OAB vAOa aAFB初瞬时的动能为初瞬时的动能为01T总动能为总动能为22222222211221 11 11()()2 32 33OBTJJmlmlmlOAB vA系统受力如图所示，在运动过系统受力如图所示，在运动过程中所有的力所作的功为程中所有的力所作的功为122(sin)sin

5、2() sinlWmgFlmgF laaa2210() sin3mlmgF la解得解得3()sinmgFlmaOa aAFBmgmgFsFNm1gFOxFOy1212WTT由由得得例例6 重重P1=60 N、长、长24 cm的均质杆的均质杆AB在在B处用处用光滑铰链与重光滑铰链与重P2=150 N的均质圆盘铰接。的均质圆盘铰接。 系系统由图示位置无初速地释放。求系统经过最低统由图示位置无初速地释放。求系统经过最低位置位置B点时的速度。点时的速度。解：（解：（1）取圆盘为研究对象）取圆盘为研究对象( ) 0 BM F 0 0BBBJaa00B圆盘作平移。圆盘作平移。（2）用动能定理求速度）用动

6、能定理求速度22222121BAvgPJT221222163213121BBBvgPPvgPvgP112122(cos60 )(cos60 )()(cos60 )222PllWPP llPll 2112TTW 2121230()(cos60 )62BPPPvPllg代入数据，得代入数据，得m/s 58. 1Bv取整个系统研究。初始时取整个系统研究。初始时T1=0 ，最低位置时：最低位置时：（3）讨论）讨论:如果圆盘与杆完全如果圆盘与杆完全焊接焊接在一起，如何求解在一起，如何求解?此时圆盘将与杆一起绕此时圆盘将与杆一起绕A轴作定轴转动。轴作定轴转动。121212(cos60 )(cos60 )2

7、2()(cos60 )2llWPP llPPll 22212ATJ2221221132APPPJlrlggg与前面一样与前面一样10.4 功率功率功率方程功率方程机械效率机械效率1. 功功 率率力的功率力的功率力所作之功对时间的变化率力所作之功对时间的变化率dWPt力的功率等于切向力与其作用点速度的标量积。力的功率等于切向力与其作用点速度的标量积。dWPt或者或者作用在转动刚体上的力的功率等于力对转作用在转动刚体上的力的功率等于力对转轴的矩与刚体转动角速度的标量积。轴的矩与刚体转动角速度的标量积。tddFvtr= FF vddMMt2. 功功 率率 方方 程程质点系动能定理的微分形式质点系动能

8、定理的微分形式diTW等式两边同除以等式两边同除以dtdddiiWTPtt质点系动能对时间的一阶导数等于作用在系统上质点系动能对时间的一阶导数等于作用在系统上所有力的功率之代数和。所有力的功率之代数和。 功率方程功率方程无用有用输入PPPtTdd输入P有用P无用P 输入功率输入功率 有用功率，输出功率有用功率，输出功率 无用功率，损耗功率无用功率，损耗功率3. 机机 械械 效效 率率有效功率输输入入功功率率n21对于多级传动，系统的总效率对于多级传动，系统的总效率ddTPt有用有效功率例例 7 车床电动机的功率车床电动机的功率P输入5.4 kW 。传动。传动零件之间的磨擦损耗功率为输入功率的零

9、件之间的磨擦损耗功率为输入功率的30 。工件的直径工件的直径d100 mm。求转速。求转速n =42 r/min 和和 n =112 r/min 的允许最大切削力。的允许最大切削力。解：车床正常工作时，工件匀速旋转，动能无解：车床正常工作时，工件匀速旋转，动能无变化变化d0dTt无用输入有用PPP5.4kWP输入 其中其中70%3.78kWPP输入有用当当 n = 42 r/min 时时kN1917783420.160.F当当 n = 112 r/min 时时kN4567832110.160.F切削力切削力F 与工件在切削力作用点的速度与工件在切削力作用点的速度v 同向同向230dnPF vF

10、vF有用=60PFdn有用例例8 图示系统中，均质圆盘图示系统中，均质圆盘A、B各重各重P，半径半径均为均为R，两盘中心线为水平线，两盘中心线为水平线， 盘盘A上作用矩为上作用矩为M(常量常量)的一力偶，重物的一力偶，重物D重重Q。问重物下落高问重物下落高度度h时的速度与加速度。时的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸绳重不计，绳不可伸长，盘长，盘B作纯滚动，作纯滚动，初始时系统静止初始时系统静止)解：取系统为研究对象解：取系统为研究对象12WMQh01T2222113 224OABCQTvJm vg2222211322 24ABQPPvRRggg2(87 )16vTQPgAvR/h R2BvR

11、2112TTW 由2(87 )0() 16vMQPQ hgR将将动能定理表达式动能定理表达式两边同时对时间两边同时对时间t求导得：求导得：87ddd2() ()16dddQPvMhhvQvgtRttPQgQRMa78)/(8(/)487M RQ hgvQP例例9 如图如图, 重物重物A和和B通过通过动滑轮动滑轮D和定滑轮和定滑轮C而运而运动。如果重物动。如果重物A开始时向开始时向下的速度为下的速度为v0, 试问重物试问重物A下落多大距离下落多大距离, 其速度增其速度增大一倍。设重物大一倍。设重物A和和B的的质量均为质量均为m, 滑轮滑轮D和和C的的质量均为质量均为M, 且为均质圆且为均质圆盘。

12、重物盘。重物B与水平面间的与水平面间的动摩擦系数为动摩擦系数为f, 绳索不绳索不能伸长能伸长, 其质量忽略不计。其质量忽略不计。DABCv0解解: 取整个系统进行分析取整个系统进行分析, 则运动初瞬时的动能为则运动初瞬时的动能为2012ATmvDAB2v0Cv02220021 1()()2 2CCCvTMrMvr22001(2)22BTmvmv2107104ABCDMmTTTTTv2034DTMv系统受力如图所示系统受力如图所示, 设重物设重物A下降下降h高度时高度时, 其速度增其速度增大一倍。在此过程中大一倍。在此过程中, 所有所有的力所作的功为的力所作的功为122(12)WmghMghf

13、mghMfm hg由由1212WTT得得203(710 )(1 2)4Mm vMfm hg解得解得203(710 )4(1 2)vMmhg MfmDABCmgMgMgmgFNFdFOyFOx速度增大一倍时的动能为速度增大一倍时的动能为220(710 )TMm v2107104MmTv例例10 行星齿轮传动机构，行星齿轮传动机构， 放在放在水平面内水平面内。 动齿轮半径动齿轮半径r ，重，重P，视为均质圆盘，曲柄重视为均质圆盘，曲柄重P1 ，长为长为l ，作用一力偶，矩为，作用一力偶，矩为M(常量常量)，曲柄由静，曲柄由静止开始转动，求曲柄的角速度止开始转动，求曲柄的角速度 (以转角以转角 的函

14、数的函数表示表示) 和角加速度。（例和角加速度。（例9-9）12WM01T212212212 2 2121321grPvgPglPTrlrvlv111 , 22122222121292)( 4 )(26lgPPrlgrPlgPglPT解：取整个系统为研究对象解：取整个系统为研究对象 根据动能定理得根据动能定理得 01292221MlgPPPPgMl92321 将上将上 式对式对t 求导数，得求导数，得 21)92(6lPPgMa例例11 图示机构，均质杆质量为图示机构，均质杆质量为m10 kg， 长度长度为为l60 cm，两端与不计重量的滑块铰接，滑，两端与不计重量的滑块铰接，滑块可在光滑槽内滑动块可在光滑槽内滑动, 弹簧刚度系数为弹簧刚度系数为k360 N/m。在图示位置，系统静止，弹簧的伸长为。在图示位置，系统静止，弹簧的伸长为20 cm。然后无初速释放，求当杆到达铅垂位置。然后无初速释放，求当杆到达铅垂位置时的角速度。时的角速度。30BAC30 cm解解: 以系统为研究对象以系统为研究对象, 则运动初瞬时的动能为则运动初瞬时的动能为01T当杆运动到铅垂位置时当杆运动到铅垂位置时, 其速度其速度瞬心为杆端瞬心为杆端B, 设此时杆的角速设此时杆的角速度为度为 , 则系统的动能为则系统的动能为222222211 1()22