函数的定义域与求法讲解

1、一、 函数的定义域与求法例题：1、 求下列函数的定义域3、已知函数y=lg(mx2-4mx+m+3)的定义域为R，数m的取值围解析：利用复合函数的定义域进行分类讨论    当m=0时，则mx2-4mx+m+3=3， 原函数的定义域为R；    当m0时，则 mx2-4mx+m+30，         m0时，显然原函数定义域不为R；         m0，且(-4m)2-4m(

2、m+3)<0 时，即m，原函数定义域为R，     所以当m0,1) 时，原函数定义域为R4、求函数y=log2x + 1 (x4) 的反函数的定义域解析：求原函数的值域    由题意可知，即求原函数的值域，     x4,  log2x2    y3     所以函数y=log2x + 1 (x4) 的反函数的定义域是3，+)5、 函数f(2x)的定义域是-1，1，求f(log2x)的定义域解析：由题意可知2

3、-12x21        f(x)定义域为1/2，2        1/2log2x2   2x4所以f(log2x)的定义域是2,4二、 函数的值域与求法：配方法；零点讨论法；函数图象法；利用求反函数的定义域法；换元法；利用函数的单调性和有界性法；分离变量法例题：求下列函数的值域     解析：1、利用求反函数的定义域求值域先求其反函数：f-1(x)=(3x+1)/(x-2) ，其中x2， 由其反函数的

4、定义域，可得原函数的值域是yyR|y2 2、利用反比例函数的值域不等于0由题意可得， 因此，原函数的值域为1/2,+) 4、利用分离变量法和换元法设法2xt，其中t0，则原函数可化为y=(t+1)/(t-1)   t=(y+1)/(y-1) y>1或y<-1 5、利用零点讨论法    由题意可知函数有3个零点-3，1，2，     当x<-3 时，y=-(x-1)-(x+3)-(x-2)=-3x         y&g

5、t;9     当-3x<1 时，y=-(x-1)+(x+3)-(x-2)=-x+6     5<y9     当1x<2 时，y=(x-1)+(x+3)-(x-2)=x+4        5y<6     当x 2时，y=(x-1)+(x+3)+(x-2)=3x         y6 

6、0;   综合前面四种情况可得，原函数的值域是5,+) 6、利用函数的有界性三、 函数的单调性与应用例题：2、设a0且a1，试求函数y=loga(4+3x-x2)的单调递增区间解析：利用复合函数的单调性的判定     由题意可得原函数的定义域是（，），     设u=4+3x-x2 ，其对称轴是 x=3/2 ，  所以函数u=4+3x-x2 ，在区间（，3/2 上单调递增；在区间3/2 ，4）上单调递减    a时，y=logau 在其定义域为增

7、函数，由 xuy ，得函数u=4+3x-x2 的单调递增区间（，3/2 ，即为函数y=loga(4+3x-x2) 的单调递增区间    a时，y=logau 在其定义域为减函数，由 xuy ，得函数u=4+3x-x2 的单调递减区间3/2 ，4），即为函数y=loga(4+3x-x2)的单调递增区间3、已知y=loga(2-ax) 在0，1上是x 的减函数，求a的取值围。解析：利用复合函数的单调性的判定   由题意可知，a设ug(x)=2ax，则g(x)在，上是减函数，且x=时，g(x)有最小值umin=2-a 又因为ug(x)2ax

8、，所以， 只要 umin=2-a则可，得a又y=loga(2-ax) 在0，1上是x 减函数，ug(x)在，上是减函数，即xuy ，所以y=logau是增函数，故a综上所述，得a2、已知f(x)的定义域为（，），且在其上为增函数，满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1 ，试解不等式f(x)+f(x-2)<3 解析：此题的关键是求函数值所对应的自变量的值 由题意可得，f(4)=f(2)+f(2)=2 ，3=2+1=f(4)+f(2)=f(4×2)=f(8) 又f(x)+f(x-2)=f(x2-2x) 所以原不等式可化成f(x2-2x)<f(8) 所以原不等式的解集

9、为x|2<x<4四、函数的奇偶性与应用例题：解析：利用作和差判断由题意可知，函数的定义域是R，设x为R任意实数，     即，f(x) = -f(x) ，原函数是奇函数利用作商法判断 由题意可知，函数的定义域是R，设x为R任意实数，（）f(x) 的图象关于直线x=1对称，    f1-(1-x)f1+(1-x) ，xR ，即f(x) f(2-x) ，    又 f(x)在R上为偶函数， f(-x)f(x)f(2-x)f(2+x)     f(x)是周期的

10、函数，且2是它的一个周期五、 函数的周期性与应用例题：1、 求函数 y = |sinx|+|cosx|的最小正周期解析：利用周期函数的定义       y = |sinx|+|cosx|=|-sinx|+|cosx| =|cos(x + /2)|+|sin(x + /2)|     即对于定义域的每一个x，当x增加到(x + /2)时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是/2 3、 求函数y=sin3x+tan(2x/5) 的最小正周期解析：最小公倍数法和公式法，    （设f(x)、g(x) 是定义在公共集合上的两上三角周期函数，T1、T2分别是它们的周期，且T1T2，则f(x)± g(x) 的最小正周期等于T1、T2的最小公倍数）（注：分数的最小公倍数 = 分子的最小公倍数/分母的最大公约数）由题意可知，sin3x的周期是T1= 2/3，tan(2x/5)的周期是T2=5/2，原函数的周期是T=10/1 =10 4、 求函数y=|tanx|的最小正周期解析：利用函数的图象求函数的周期    函数y=|tanx|的简图如