清华电磁感应2

1、172 动生电动势动生电动势 由于导体作切割磁感应线的运动而产生的感应电动势。由于导体作切割磁感应线的运动而产生的感应电动势。(1) 特例特例导体棒在匀强磁场中的运动：导体棒在匀强磁场中的运动： BVAB每一电子所受磁力为：每一电子所受磁力为：BVqfm mf因此电子向下漂移，电荷重新分布，因此电子向下漂移，电荷重新分布，形成内部的非静电性场形成内部的非静电性场 kEkE电子受内部非静电性电场力作用：电子受内部非静电性电场力作用：keEqf ef平衡时，电动势达到稳定，有：平衡时，电动势达到稳定，有： emff )(稳稳定定BVEk 导体内相当于一个导体内相当于一个B端电势高的电源，端电势高的

2、电源，等等 效效BA具有电源电动势具有电源电动势;i BVABmf+kEef等等 效效BAi 可见：可见：非静电性场强：非静电性场强：BVEk 非静电力：非静电力：BVqfm 由电动势定义有：由电动势定义有： )(d内内部部lEkAB )(d内部内部lqfm )(d)(内部内部lBVlBVd VBl(2) 一般情况：一般情况： BAABlBVd)( 为导体为导体AB中中 的运动速度；的运动速度； Vld为为 处的磁场；处的磁场； Bld为沿导体由为沿导体由AB的任意线元的任意线元 ld,0 AB 电动势方向：电动势方向：AB ，等效为：等效为：AB,0 AB 电动势方向：电动势方向：BA ，等

3、效为：等效为：ABBVEk 例例1：铜棒：铜棒OA长为长为 L=50cm ，在方向为，在方向为 的匀强磁场的匀强磁场B=0.01T 中沿逆时针中沿逆时针 方向绕其一端的轴方向绕其一端的轴O 转动，角速度转动，角速度 为为 =100 /s 。 求求：(1) 棒中动生电动势的大小和方向；棒中动生电动势的大小和方向； (2) 若是半径若是半径 R=50cm 的圆铜盘以的圆铜盘以 上述角速度转动，求：盘心与上述角速度转动，求：盘心与 边缘间的电势差。边缘间的电势差。 BAO解：解：(1) 棒中动生电动势的大小和方向棒中动生电动势的大小和方向 取图示微元，取图示微元，方向方向:OA ;其速率为：其速率为

4、：lV BAOldlV则此微元上的动生电动势为：则此微元上的动生电动势为：lBVid)(d 则则OA上的动生电动势为：上的动生电动势为： AoilBVd)( cosd AolBl221lB V39. 0 负号说明方向为负号说明方向为: A O ，即即: O点电势高。点电势高。若是半径若是半径 R=50cm 的圆铜盘以上述角速度转动，求盘心与边的圆铜盘以上述角速度转动，求盘心与边缘间的电势差。缘间的电势差。可视为无数根可视为无数根OA并联而成此圆盘。并联而成此圆盘。则盘心与边缘间的电势差为：则盘心与边缘间的电势差为： AoUUV39. 0例例2：有一半圆形金属导线在匀强磁场中作切割磁感应线的匀速

5、运有一半圆形金属导线在匀强磁场中作切割磁感应线的匀速运 动。已知磁感应强度动。已知磁感应强度B 、半径、半径R 、运动速度、运动速度 V (水平向右水平向右) 求：导线中的动生电动势。求：导线中的动生电动势。 BVabR解：解：连接连接ab使构成闭合回路。使构成闭合回路。tmbaadd 0 baba ablBVd)()2(RVB RBV2 方向：方向：abld d bailBVd)( cosd)90sin(RVB 22 RBV2 方向：方向：ab例例3：发电机原理。一匀强磁场中有一面积为：发电机原理。一匀强磁场中有一面积为S 的矩形线圈的矩形线圈ABCD， 以垂直于磁场的中心线以垂直于磁场的中

6、心线OO为轴匀速转动，角速度为为轴匀速转动，角速度为 。设。设 t=0 的初始时刻线圈平面与磁场方向垂直的初始时刻线圈平面与磁场方向垂直(其外法线与磁场方其外法线与磁场方 向的夹角：向的夹角： 0=0)。 求：求：ABCD 中的动生电动势。中的动生电动势。 GOO ABCDB1l2l解：解：n VV lBVid)( ADiDCiCBiBAi ddddlBVd)( 0d i DCBAlBVlBVd)(d)()sin(sin11 VBlVBl sin21VBl RV 2/2l 0 tt tBlli sin2212 tBlli sin2212 GOO ABCDB1l2ln VVtlBl sin21

7、tBS sin t sin0 tmidd tBSd)cos(d tBSddsin tdd t tBSi sin t sin0 173.1 感生电动势和感生电场感生电动势和感生电场 由磁场变化而引起的感应电动势由磁场变化而引起的感应电动势设产生感生电动势的非静电性场强为设产生感生电动势的非静电性场强为涡涡E由电动势的定义：由电动势的定义： LilEd涡涡 法拉第电磁感应定律：法拉第电磁感应定律：tmidd tlEmLiddd 涡涡 SSBt)d(dd SStBd SLiStBlEdd涡涡 SLiStBlEdd涡涡 说明：说明： S是以是以 L 为边界的任一曲面为边界的任一曲面。S的法线方向应与等

8、式左边的曲线的法线方向应与等式左边的曲线 L的积分方向成右手螺旋关系。的积分方向成右手螺旋关系。SLS 是电磁场基本方程之一。是电磁场基本方程之一。说明变化的磁场可以产生电场。说明变化的磁场可以产生电场。 某一段细导线内的感生电动势：某一段细导线内的感生电动势： bailEd涡涡 与与 构成左旋关系。构成左旋关系。 涡涡EtB 涡涡EtB 感生电动势的成因仅仅是由于磁场的变化引起的。感生电动势的成因仅仅是由于磁场的变化引起的。麦克斯韦提出：麦克斯韦提出：A. 电流电流(变化的电荷变化的电荷) 可以在空间激发磁场；可以在空间激发磁场；B. 当空间的磁场变化时，会激发出一种电场。当空间的磁场变化时

9、，会激发出一种电场。但：这种电场是一种非静电性场但：这种电场是一种非静电性场感生电场对处于其中的电荷也有力的作用，感生电场对处于其中的电荷也有力的作用，但：这个力是一种非静电性力但：这个力是一种非静电性力感生电动势就是感生电场力在导体中搬运电荷做功的结果。感生电动势就是感生电场力在导体中搬运电荷做功的结果。麦克斯韦提出：麦克斯韦提出：感生电动势就是感生电场力在导体中搬运电荷做功的结果。感生电动势就是感生电场力在导体中搬运电荷做功的结果。从场的观点看，场的存在与否与空间中是否存在导体回路无关从场的观点看，场的存在与否与空间中是否存在导体回路无关 SLiStBlEdd涡涡 感生电动势所反映的物理实

10、质是：感生电动势所反映的物理实质是：变化的磁场会在空间中激发电场变化的磁场会在空间中激发电场感生电场感生电场涡涡E又称涡旋电场，又称涡旋电场， 是由变化的磁场在其周围空间激发的。是由变化的磁场在其周围空间激发的。由由激发激发由由激发激发0d lELE是有势场是有势场( (无旋场无旋场) ) 可以引入电势概念可以引入电势概念 LSStBlEdd涡涡涡涡E是涡旋场是涡旋场( (无势场无势场) ) 不能引入电势概念不能引入电势概念 SqSE01d 是发散场，有源场是发散场，有源场 EE线线 永不闭合永不闭合 涡涡E线线 永远闭合永远闭合 0d SSE涡涡涡涡E是涡旋场，无源场是涡旋场，无源场 EqF

11、 涡涡涡涡EqF 磁场不变，闭合电路的整磁场不变，闭合电路的整体或局部在磁场中体或局部在磁场中闭合回路的任何部分都不闭合回路的任何部分都不动，动，由于由于B的变化引起的变化引起回路中回路中 m变化变化 ，由洛仑兹力对运动电荷作由洛仑兹力对运动电荷作用而产生电动势用而产生电动势变化磁场在它周围空间激发变化磁场在它周围空间激发涡旋电场，涡旋电场，由感生电场力对，由感生电场力对电荷作功而产生电动势电荷作功而产生电动势 BABAlBVd 其方向由其方向由 决定决定 BV SiStBlEdd涡涡 其方向由其方向由 的积分方向决定的积分方向决定 沿沿涡涡Eld由于由于S的变化引起的变化引起 回路中回路中

12、m变化变化 例例1：图示为一半径为：图示为一半径为R 的密绕长直螺线管的截面，管内有均匀磁的密绕长直螺线管的截面，管内有均匀磁 场场B，方向为，方向为 。当此磁场以。当此磁场以 的变化率增加时，求空间的变化率增加时，求空间 各点涡旋电场的分布。各点涡旋电场的分布。tBddRo B解：解：在螺线管内，在螺线管内， tBBdd及及呈轴对称分布呈轴对称分布 SStBlEdd涡涡则涡旋电场的分布也具有轴对称性，则涡旋电场的分布也具有轴对称性，涡旋电场线为一系列同心圆，涡旋电场线为一系列同心圆，且同一圆上的各点场强大小相等，方向与此圆相切，且同一圆上的各点场强大小相等，方向与此圆相切，与与构成左旋关系，

13、构成左旋关系， 又：又：涡涡EtB 故：涡旋电场方向如图。故：涡旋电场方向如图。涡涡ERo B作以作以O为心，为心，r为半径的圆为环路。为半径的圆为环路。r r R ,r此环路所围面的磁通为：此环路所围面的磁通为：2RBm tBRrEdd22 涡涡tBrREdd22 涡涡且：涡旋电场方向为各点在同心圆上的逆时针切向。且：涡旋电场方向为各点在同心圆上的逆时针切向。例例2：有一匀强磁场分布在一圆柱形区域内，已知：有一匀强磁场分布在一圆柱形区域内，已知：h 、 L ，且：，且：0 tB，方向如图。，方向如图。求：求：CD上的感生电动势。上的感生电动势。 tB BhL CDo解：解： LilEd涡涡

14、tBrE 2涡涡lEdd 涡涡 涡涡Er cosd2ltBr hr cosltBhd2 LCDltBhd2 tBhL 21电动势的方向由电动势的方向由C指向指向Dldl tB BhL CDo连接连接OC、OD，构成回路，构成回路OCDO OCDOilEd涡涡 ODDCCOlElElEddd涡涡涡涡涡涡 lEd涡涡0 CD OCDO所围面积为：所围面积为：hLS21 OCDO内的磁通为：内的磁通为： cos21hLBm tmiCDdd tBhL 21方向由方向由C指向指向D例例3：一个半径为：一个半径为 R=100cm 的空间内充满磁感应强度为的空间内充满磁感应强度为 的均匀的均匀 磁场，方向为

15、磁场，方向为 ，且其大小以，且其大小以 100Gs/s 的恒定速率减小。现的恒定速率减小。现 有一等腰梯形金属框有一等腰梯形金属框 ABCD 放在图示位置。已知：放在图示位置。已知：AB=R , CD=R/2 ，AD、BC沿径向。沿径向。 求：各边的感应电动势及金属框的总电动势。求：各边的感应电动势及金属框的总电动势。Bo BRABCD解：解： LilEd涡涡 由于磁场的变化率方向为由于磁场的变化率方向为 ，可判断：，可判断：感生电场的方向为顺时针方向感生电场的方向为顺时针方向ADCBA在此圆形区域内：在此圆形区域内：tBrEdd2 涡涡在在AB上取一线元上取一线元,dlld相应各量如图。相应

16、各量如图。涡涡Er BAABlEd涡涡 BAltBr cosddd2 h coscos rh 22)2/(1RRr 231Rr o BRABCDld涡涡Er h BAABltBr cosddd2rh cos231Rr BAABlRrtBrd)231(dd2 BAltBRddd43tBRdd432 )10100(14342 V10243 负号说明：方向为负号说明：方向为BA同理：同理： DCCDlEd涡涡 V102163 方向为方向为CD0 BCAD 线框上的总电动势：线框上的总电动势： ABCDAlEd涡涡 V1021633 o BRABCD涡涡E此梯形的高为：此梯形的高为：3tan)2(21

17、 RRh h3 R43 通过梯形通过梯形ABCDA的磁通量为：的磁通量为： cos43)2(21 RRRBmtmidd tBRdd16332 )10100(163342 RV101632 例例4：一通电的长直导线：一通电的长直导线：i = I0sin t ，其旁放有一滑动边可沿长，其旁放有一滑动边可沿长 直导线方向以匀速率直导线方向以匀速率V 移动的矩形线框。初始时刻移动的矩形线框。初始时刻(t=0)，滑，滑 动边与对边动边与对边(静止边静止边)重合，各尺寸关系如图。重合，各尺寸关系如图。 求：任意时刻的感应电动势。求：任意时刻的感应电动势。ABVidb解：解：L建立图示建立图示or 轴，轴，

18、or设在设在t 时刻，时刻，i 0 。在此刻：在此刻：电流在线框处的磁场分布：电流在线框处的磁场分布：riB 20 方向：方向： B 回路绕向：回路绕向：设为顺时针，即：其法向为设为顺时针，即：其法向为 如图，在线框中取微元如图，在线框中取微元dr ，rdrnrlsdd: 则则l电流在线框处的磁场分布：电流在线框处的磁场分布：riB 20 方向：方向： nrlsdd orABVidbLB rdrl Vt 此刻通过线框的磁通：此刻通过线框的磁通： sBmd 0cosdsB rlrid20 bdddbdl i ln20 dbdtIVt ln2sin00 tmidd )cos(sinln200tttdbdIV 且当：且当： i 0时，时， i方向与回路正绕向一致，为顺时针。方向与回路正绕向一致，为顺时针。orABVidbLB rdrlVt 设在设在t 时刻，时刻，i 0 。回路绕向：设为顺时针，回路绕向：设为顺时针，即：其法向为即：其法向为 lBVd