电路理论第17次课

1、Chapter 8 Coupled Inductors and Ideal Transformer1内容：内容：一、耦合电感的伏安关系；一、耦合电感的伏安关系；二、同名端的意义；二、同名端的意义；三、根据同名端列写电路方程。三、根据同名端列写电路方程。教学要求：教学要求：1、理解耦合电感的伏安关系和同名端的意义；、理解耦合电感的伏安关系和同名端的意义；2、了解耦合系数；、了解耦合系数；3、正确列写电路方程；、正确列写电路方程；4、理解空芯变压器的基本方程，初、次级等效电路；、理解空芯变压器的基本方程，初、次级等效电路；5、理解反射阻抗的性质；、理解反射阻抗的性质；6、掌握空芯变压器电路的分析方

2、法；、掌握空芯变压器电路的分析方法；作业：作业：P216 8-3 8-4 8-7.210.1 10.1 互感互感 耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。的电路问题的分析方法是非常必要的。3自感电压自感电压线性电感元件线性电感元件iL iutiLudd (self-indu

3、ctance coefficient)自感系数自感系数复习复习i+-u )()(tLit 41i+-1u11 N1N2 s1 21总磁通总磁通漏磁通漏磁通耦合磁通耦合磁通（主磁通）（主磁通） 11 = 21 + s1Y Y11= L1i1 11在线圈在线圈1(匝数匝数 N1 )产生磁链产生磁链 ：Y Y11= N1 11自感磁链自感磁链 21在线圈在线圈 2(匝数匝数 N2 )产生磁链：产生磁链：Y Y21= N2 21 互感磁链互感磁链 Y Y21= M21i1当线圈周围无铁磁物质当线圈周围无铁磁物质(空心线圈空心线圈)时，时，Y Y11、Y Y21与与i1成正比。成正比。 (mutual

4、inductance coefficient)。为自感系数，单位亨为自感系数，单位亨称称，H)( 11111LiL (self-inductance coefficient)定义：定义： 为线圈为线圈1对线圈对线圈2的互感系数，单位的互感系数，单位 亨亨 (H)12121iM 1. 互感互感5总磁通总磁通漏磁通漏磁通耦合磁通耦合磁通（主磁通）（主磁通）2i2u+-22 N1N2 s2 12 22 = 12 + s2Y Y22= L2i2 22在线圈在线圈2(匝数匝数 N2 )产生磁链产生磁链 Y Y22= N2 22 12在线圈在线圈 1(匝数匝数 N1 )产生磁链产生磁链 Y Y12= N1

5、 12Y Y12= M12i2当线圈周围无铁磁物质当线圈周围无铁磁物质(空心线圈空心线圈)时，时，Y Y22、Y Y12与与i2成正比。成正比。为为自自感感系系数数，单单位位亨亨称称，H)( 22222LiL 定义：定义： 为线圈为线圈2对线圈对线圈1 的互感系数，单位的互感系数，单位 亨亨 (H)21212iM 61i2i11 22 N1N2 s1 21 12线圈线圈1总磁链总磁链 1= 11 + 12Y Y11= L1i1Y Y21= M21i1Y Y22= L2i2Y Y12= M12i2线圈线圈2总磁链总磁链 2= 22 + 21212111iMiL 121222iMiL 自感磁链自感

6、磁链互感磁链互感磁链7 从能量角度可以证明，对于线性电感从能量角度可以证明，对于线性电感 M12=M21=M 互感系数互感系数 M 只与两个线圈的几何尺寸、匝数只与两个线圈的几何尺寸、匝数 、 相互位置相互位置 和周围的介质磁导率有关，如其他条件不变时，有和周围的介质磁导率有关，如其他条件不变时，有M N1N2 （L N2） 2. 互感的性质互感的性质8k 表示两个线圈磁耦合的紧密程度。表示两个线圈磁耦合的紧密程度。全耦合全耦合: s1 = s2=021defLLMk 即即 11= 21 ， 22 = 121 , , , 2122121122121121212212222211111 k LL

7、MLLMM iNMiNMiNLiNLk 1。 3. 耦合系数耦合系数 (coupling coefficient)k：一般一般情况存在漏磁情况存在漏磁即即 11 21 ， 22 12 212LLM K=11 1 全耦合全耦合松耦合松耦合紧耦合紧耦合铁芯变压器铁芯变压器空芯变压器空芯变压器9产生互感电压产生互感电压产生自感电压产生自感电压互感电压互感电压变化变化 i1变化变化 1 1变化变化 21参考方向参考方向i1 2 1右手右手e2 1右手右手u2 1一致一致 dddd :12121tiMte 互互感感电电压压 dd 121tiMu i1 21+-+-u2 1e2 110Y Y11= L1i

8、1Y Y21= M21i1Y Y22= L2i2Y Y12= M12i2自感磁链自感磁链互感磁链互感磁链212111iMiL 121222iMiL MMM 2112互感互感1i+-1u2i2u+-11 22 N1N2 s1 21 12当当i1、u11、u21方向与方向与 符合右手螺旋时，根据电磁感应符合右手螺旋时，根据电磁感应定律和楞次定律：定律和楞次定律： dddd dddd : dddddddd21212121212121222222111111tiMtutiMtutiLtutiLtu 互感电压互感电压自感电压：自感电压：11dtdiMdtdiLu2111 dtdiMdtdiLu1222

9、212111iMiL 121222iMiL dtdu MMM 2112自感磁链自感磁链互感磁链互感磁链互感互感2111IMjILjU1222IMjILjUMjZM 互阻抗互阻抗1i+-1u2i2u+-11 22 N1N2 s1 21 12121i2i+-2u1 2 1u+-2111MiiL 1222MiiL dtdiMdtdiLu2111 dtdiMdtdiLu1222 例例1、 列写各线圈电流与电压的关系（列写各线圈电流与电压的关系（VCR）。）。1i+-1u2i2u+-11 22 21 122111MiiL 1222MiiL dtdiMdtdiLu2111 dtdiMdtdiLu1222

10、2111IMjILjU1222IMjILjU13具有互感的线圈两端的电压包含自感电压和互感电具有互感的线圈两端的电压包含自感电压和互感电压。表达式的符号与参考方向和线圈绕向有关。压。表达式的符号与参考方向和线圈绕向有关。对自感电压，当对自感电压，当u, i 取关联参考方向，取关联参考方向，u、i与与 符合符合右螺旋定则，其表达式为右螺旋定则，其表达式为 dddd dd 111111111tiLtNtu i1u11上式说明，对于自感电压由于电压电流为同一线圈上的，上式说明，对于自感电压由于电压电流为同一线圈上的，只要参考方向确定了，其数学描述便可容易地写出，可只要参考方向确定了，其数学描述便可容

11、易地写出，可不用考虑线圈绕向。对线性电感，用不用考虑线圈绕向。对线性电感，用u,i描述其特性，描述其特性，当当u,i取关联方向时，符号为正；当取关联方向时，符号为正；当u,i为非关联方向时，符为非关联方向时，符号为负号为负。14对互感电压，因产生该电压的电流在另一线圈上，要对互感电压，因产生该电压的电流在另一线圈上，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。这在电路分析确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。这在电路分析中显得很不方便。中显得很不方便。+u11+u21i1 11 0N1N2-+u31N3 s1212113131d dddiuMtiuMt引入同名端可以解决这个问题。引入同名端可以解决

12、这个问题。1. 同名端同名端：当两个电流分别从两个线圈的对应端子流入：当两个电流分别从两个线圈的对应端子流入 ，其所，其所产生的磁场相互加强时，则这两个对应端子称为同名端。产生的磁场相互加强时，则这两个对应端子称为同名端。* 同名端表明了线圈的相互绕法关系。同名端表明了线圈的相互绕法关系。15+u11+u21i1 11 0N1N2-+u31N3 s1212113131d dddiuMtiuMt* 参考极性参考极性 当当 时，实际极性时，实际极性 0dd1 ti+u11+u21- u31 +当当 时，时，自感电压与互感电压实际极性自感电压与互感电压实际极性 相同的一端为同名端。相同的一端为同名端

13、。0dd1 ti161i2i+-2u1 2 .1u+-(1)假定：若假定：若i10,i20产生的自磁通与互磁通方向一致，产生的自磁通与互磁通方向一致，则则i1 和和i2的流入端为同名端。的流入端为同名端。21 12 ab cda与与c， b与与da与与d， b与与c为同名端；为同名端；为异名端。为异名端。.abcdM2. 确定同名端的方法：确定同名端的方法：例例 确定线圈的同名端。确定线圈的同名端。172. 确定同名端的方法：确定同名端的方法：(1) 当两个线圈中电流同时由同名端流入当两个线圈中电流同时由同名端流入(或流出或流出)时，两时，两个电流产生的磁场相互增强。个电流产生的磁场相互增强。

14、i1122*112233* 例例2、注意：注意：线圈的同名端必须两两确定。线圈的同名端必须两两确定。 18实际中是如何判断耦合电感的同名端的呢实际中是如何判断耦合电感的同名端的呢? ?讨讨 论论 K+-Su直流电压源直流电压源dtdiMu12 提示：提示：电压表正向指示，电压表正向指示，电压表反向指示，电压表反向指示，01 dtdi闭合闭合a与与c为同名端为同名端a与与d为同名端为同名端02 u02 u2u+-直流电压表直流电压表(2) 当当 时，自感电压与互感电压实际极性相同的时，自感电压与互感电压实际极性相同的 一端为同名端。一端为同名端。0dd1 ti1L2Lacd耦合电感耦合电感b19

15、3. 由同名端及由同名端及u,i参考方向确定互感线圈的特参考方向确定互感线圈的特性方程性方程有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再考有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再考虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。(参考参考前图，标出同名端得到下面结论前图，标出同名端得到下面结论)。tiMudd121 tiMudd121 i1*u21+Mi1*u21+M20课堂练习课堂练习 写出图示耦合电感的写出图示耦合电感的VCR。 （1） i1*L1L2+_u1+_u2i2M（2） （3） *L1L2+_u1+_u2i2Mi1*L1L2+_u1+_u2

16、i2Mi1i2时域形式时域形式：tiMtiLudddd2111 tiLtiMudddd2212 tiMtiLudddd2111 tiLtiMudddd2212 dtdiMdtdiLu2111 dtdiMdtdiLu1222 dtdiMdtdiLu1222 21 写出图示耦合电感的写出图示耦合电感的VCR。 dtdiMdtdiLu2111 dtdiMdtdiLu1222 归纳归纳: u1与与 i1，u2与与 i2关联，则自感电压关联，则自感电压-.1i2i+2u1u+（4）M若电流从同名端流入其中一个电感，则由它所产生的若电流从同名端流入其中一个电感，则由它所产生的互感电压的正极靠近另外一个电感

17、的同名端。互感电压的正极靠近另外一个电感的同名端。若若为正号为正号Lu同一线圈同一线圈”号”号方向一致取“方向一致取“与与 M1uu课堂练习课堂练习22例例3、21010i1/At/s)()(H,1,H2,H5,102211tutuMLLR和和求求已已知知ttttiMtu2 0s21 V10s 10 V10dd)(12解解ttttttiLiRtu2 0s21 V150 100s 10 V50 100dd)(111ttttti2 0s21 1020s 10 101MR1R2i1*L1L2+_u+_u223tiMtiLudddd2111 tiLtiMudddd2212 2111jjIMILU221

18、2jjILIMUi1*L1L2+_u1+_u2i2M时域形式时域形式：*j L1j L2+_j M1 U+_2 U1 I2 I在正弦交流电路中，其在正弦交流电路中，其相量模型：相量模型：相量形式相量形式的方程为的方程为24例例8.3 含有耦合电感的电路如图所示，角频率为含有耦合电感的电路如图所示，角频率为求电压求电压和和。CDUABUBCSCDIMjILjUU22113SCBSAABUIMjILjURIU25例例8.6 列写电路中的网孔电流方程。列写电路中的网孔电流方程。10026)634(221IjIjIjj0)(226)685(12212IIjIjIjIjj26cos例例8.8 如图如图8

19、.2.5(a)所示电路所示电路，画出去耦等效电路，求画出去耦等效电路，求与电压源输出的与电压源输出的以及以及。ABUAUjMjsSoo9025 . 0IV,0215,5QPS,2715W,=15var,cos =0.707PQV18025 . 25oSABIjUAjIo1451151521515VA15451215o*1jIUSS28 变压器由两个具有互感的线圈构成，一个线圈变压器由两个具有互感的线圈构成，一个线圈接向电源，另一线圈接向负载，变压器是利用互感接向电源，另一线圈接向负载，变压器是利用互感来实现从一个电路向另一个电路传输能量或信号的来实现从一个电路向另一个电路传输能量或信号的器件。

20、当变压器线圈的芯子为非铁磁材料时，称空器件。当变压器线圈的芯子为非铁磁材料时，称空心变压器。心变压器。原边回路原边回路副边回路副边回路*j L11I2 Ij L2j M+S UR1R2Z=R+jX29 分析方法分析方法S2111 j) j(UIMILR0)j(j2221 IZLRIM令令 Z11=R1+j L1， Z22=(R2+R)+j( L2+X)回路方程：回路方程：S2111 jUIMIZ0j2221 IZIM*j L11I2 Ij L2j M+SUR1R2Z=R+jX30 )(22211S1 ZMZUI222111Sin)( ZMZIUZ1122211S2222211S2)(1j )(

21、j ZMZZUMZZMZUMI1I+SUZ11222)(ZM+oc U2IZ22112)(ZM原边原边等效等效电路电路副边副边等效等效电路电路根据以上表示式得等效电路根据以上表示式得等效电路:3122222222222222222222222222222jj j)(XRXRXMXRRMXRMZMZref RX11in ,ZZ 当当副副边边开开路路副边对原边的副边对原边的Zref电阻电阻。恒为正。恒为正 , , 表示副边回路吸收表示副边回路吸收的功率是靠原边供给的。的功率是靠原边供给的。电抗电抗。负号反映了负号反映了电抗电抗与付边电与付边电抗的性质相反。抗的性质相反。1I+SUZ11222)(Z

22、M原边等效电路原边等效电路32反映阻抗反映了副边回路对原边回路的影响。反映阻抗反映了副边回路对原边回路的影响。原副边虽然没有电的联接，但互感的作用使副边产原副边虽然没有电的联接，但互感的作用使副边产生电流，这个电流又影响原边电流电压。生电流，这个电流又影响原边电流电压。能量分析能量分析电源发出有功电源发出有功 P= I12(R1+Rl)I12R1 消耗在原边；消耗在原边；I12Rl 消耗在付边消耗在付边 2221jIZIM证明证明22222222212)()(IXRIM2222221222222222)(PIRIXRRM330111Socjj IMZUMU112)(ZM原边对副边的反映阻抗。原

23、边对副边的反映阻抗。 利用戴维宁定理可以求得利用戴维宁定理可以求得变压器副边的等效电路变压器副边的等效电路 。副边开路时，原边电流在副边副边开路时，原边电流在副边产生的互感电压。产生的互感电压。副边等效电路副边等效电路+ocU2IZ22112)(ZM注意 2R+-1IMjLR2Lj 2I副边等效电路副边等效电路0j2221 IZIM34已知已知 US=20 V , 原边反映阻抗原边反映阻抗 Zl=10j10.求求: : ZX 并求负载获得的有功功率并求负载获得的有功功率. .10j1010j42222XlZZMZ 8 . 9 j2 . 0XZ负载获得功率：负载获得功率： W101010202l

24、RRPP）（引 W104 , 2S11*RUPZZl实际是最佳匹配：实际是最佳匹配：例例1解解*j102Ij10j2+SU10ZX10+j10Zl+SU35 L1=3.6H , L2=0.06H , M=0.465H , R1=20 , R2=0.08 , RL=42 , 314rad/s,V0115osU. , :21II求求应用原边应用原边等效电路等效电路4 .1130j20 j1111LRZ 85.1808.42 j2222jLRRZL 8188j4221 .2411.461462222.ZXZMref例例2解解1*j L11I2Ij L2j M+R1R2RLSU1I+SUZ11222)

25、(ZM36A)9 .64(111. 08 .188j4224 .1130j200115 o11S1orefZZUIA1351. 01 .2411.461 .252 .16 85.18j08.429 .64111. 0146jj2212ooooZIMI1I+SUZ11222)(ZM37应用副边等效电路应用副边等效电路V085.144 .1130j200115146j jjj111OCooLRUMIMUS解解2+ocU2IZ22112)(ZM85.18j4 .1130j20146)(2112ZMA0353. 085.18j08.425 .18jOC2oUI38例例 3 为使为使RL获最大功率，求所

26、需的获最大功率，求所需的M值及值及RL吸收的功率。吸收的功率。已知已知,/10,0106sradVUS,40,101 LRR,111,12121 KCCmHLL +-sULRMj 1R11Cj 21Cj 1Lj 2Lj 解解: KLL110321 ,X01 02 X(初次级回路均对信号源频率发生谐振初次级回路均对信号源频率发生谐振全谐振全谐振) 2221ZMZref LRZ 22 40102211Z,Z+-sU1refZ11Z初级等效电路初级等效电路 LRMR21 又又当当 时，电路处于阻抗匹配时，电路处于阻抗匹配39HRRML 2011 W.RUPSmax52412 且最佳互感量为且最佳互感

27、量为最佳全谐振最佳全谐振 LRMR21 又又当当 时，电路处于阻抗匹配时，电路处于阻抗匹配+-sU1refZ11Z初级等效电路初级等效电路+-SU1R11Cj 1Lj 222ZM 40 1220RMZZref VjRUMjUSoc201WRUPocL5 . 2402max 120R)M(ZRL 匹配状态下，匹配状态下，HRRML 2011 于是，于是，+-110ZUMjIMjUSOC1220RMZ 22Z次级戴维南等效电路次级戴维南等效电路方法二方法二+-sULRMj 1R11Cj 21Cj 1Lj 2Lj 41小小 结结dtdiMdtdiLu2111 dtdiMdtdiLu1222 -.1i

28、2i+2u1u+abcdM 2221ZMZref 1122ZMZref +-sU1refZ11Z初级等效电路初级等效电路2R+-1IMjLR2Lj 2I次级等效电路次级等效电路+-110ZUMjIMjUSOC1122220ZMZZ LZ次级戴维南等效电路次级戴维南等效电路42内容：内容： 8.3 理想变压器理想变压器一、理想变压器的条件；一、理想变压器的条件；二、理想变压器的三个变换；二、理想变压器的三个变换；三、含理想变压器的电路分析举例。三、含理想变压器的电路分析举例。教学要求：教学要求： 1、了解理想变压器的条件、了解理想变压器的条件 2、理解理想变压器的三个变换；、理解理想变压器的三个

29、变换； 3、掌握理想变压器的分析方法、掌握理想变压器的分析方法 。作业：作业：P219 8-24 8-25 8-27.438.3 8.3 理想变压器理想变压器 121LLMk一一. .理想变压器的三个理想化条件理想变压器的三个理想化条件 理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互感元件的理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感感元件的理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感。2.2.全全耦合耦合1.1.无损耗无损耗线圈导线无电阻，做芯子的铁磁线圈导线无电阻，做芯子的铁磁材料的磁导率无限大。材料的磁导率无限大。3.3.参数无限大参数无限大nNNLLMLL2121

30、, 2, 1 , 但但44 以上三个条件在工程实际中不可能满足，但以上三个条件在工程实际中不可能满足，但在一些实际工程概算中，在误差允许的范围内，把实在一些实际工程概算中，在误差允许的范围内，把实际变压器当理想变压器对待，可使计算过程简化。际变压器当理想变压器对待，可使计算过程简化。二二. .理想变压器的主要性能理想变压器的主要性能i1122N1N21.变换电压关系变换电压关系2211211kdtdNdtdu111dtdNdtdu222注意注意45nNNuu2121若若理想变压器模型理想变压器模型*n:1+_u1+_u2nNNuu2121*n:1+_u1+_u2注意注意46*+_u1+_u2i

31、1L1L2i2M理想变压器模型理想变压器模型*n:1+_u1+_u2i1i22.2.变换电流关系变换电流关系tiMtiLudddd2111)()(1)(210111tiLMduLtit考虑理想化条件：考虑理想化条件： 121LLMknLLL21211NN ,0nLLLM1121)(1)(21tinti47若若i1、i2一个从同名端流入，一个从同名一个从同名端流入，一个从同名端流出，则有：端流出，则有：*n:1+_u1+_u2i1i2)(1)(21tinti3.3.变换阻抗关系变换阻抗关系ZnIUnInUnIU22222211)( /1 理想变压器的阻抗变换只改变阻抗的理想变压器的阻抗变换只改变

32、阻抗的大小，不改变阻抗的性质。大小，不改变阻抗的性质。*n:1+_+_1 I2I2U1UZn2Z+1U注意注意注意注意48 理想变压器的特性方程为代数关系，因理想变压器的特性方程为代数关系，因此它是无记忆的多端元件。此它是无记忆的多端元件。 21nuu 211ini0)(111112211niuniuiuiup 理想变压器既不储能，也不耗能，在理想变压器既不储能，也不耗能，在电路中只起传递信号和能量的作用。电路中只起传递信号和能量的作用。4.功率性质功率性质*n:1+_u1+_u2i1i2表明：表明：49例例 1 包含理想变压器的电路如图所示，试求输入电阻。包含理想变压器的电路如图所示，试求输

33、入电阻。u+2:12-1i2i2u1u+aa1 1i1212212uuii 133221232111222iiiiiuiiiu 3233211112222iiuiiu 31211()24iuuu21113824283iiuuuR50u+2:12-1i2i2u1u+aa1 1i课堂练习课堂练习1. 求电路的输入电阻。求电路的输入电阻。51例例2已知电源内阻已知电源内阻RS=1k ，负载电阻，负载电阻RL=10 。为使。为使RL上获得最大功率，求理想变压器的变比上获得最大功率，求理想变压器的变比n。* *n : 1RL+uSRSn2RL+uSRS当当 n2RL=RS时匹配，即时匹配，即10n2=1

34、000 n2=100， n=10 .52ntutu1)()(21 ntiti )()(2121211)()(NNntutu 12211)()(NNntiti 1i2i)(1tu+ -)(2tu+ -n:11i2i+ -+ -n:1)(1tu)(2tu若若121212LLLMMLNNn 53*1 I2 I+2 U+1 U1 : n 121UnU21InI54)(1)(1 1)(22222211jZnIUnInUnIUjZLi 阻抗变换性质阻抗变换性质 Z*1 I2 I+2 U+1 U1 : n1 I+1 ULZn21 121UnU21InI55 1112iRunnuu 2121iRnnu 211niRun 1R+ -2i1u+ -2un:11i+ -u+ -1i1u+ -2un:12i12Rn12Rn初级折合到次级的折合阻抗初级折合到次级的折合阻抗 56例例35求电阻求电阻R 吸收的功率吸收的功率解解应用回路法应用回路法 121UnU21InI11 UUIS2322UII解得解得123SUII322SUnnnI3222232RIP SUnnI32122232III1I2I* *+2U+1 U1 : 10+SU11R=1157例例4.1 I2 I*+2 U+1 U1 : 1050 +V010o 1 .2 U求求方法方法1：列方程：列方程 101