理论力学第四章—空间力系

1、第四章第四章空间力系和物体的重心空间力系和物体的重心 空间汇交力系空间汇交力系 力对轴之矩和力对点之矩力对轴之矩和力对点之矩 空间力系的简化空间力系的简化 空间力系的平衡条件和平衡方程空间力系的平衡条件和平衡方程 物体的重心物体的重心4.1 空间汇交力系yxzFFxFyFzikj若已知力与正交坐标系Oxyz三轴间夹角，则用直直接投影法接投影法cos(, )cos(, )cos(, )xyzFFFFFFF iF jF k4.1.1 空间力在直角坐标轴的投影yxzFFxFyFzFxyj当力与坐标轴Ox 、Oy间的夹角不易确定时，可把力F先投影到坐标平面Oxy上，得到力Fxy，然后再把这个力投影到x

2、 、y轴上，这叫二次投影法二次投影法。coscoscos sinsinxyzFFFFFFjj4.1.1 空间力在直角坐标轴的投影力沿着直角坐标轴分解：F=Fx+Fy+Fz4.1.2 空间力在直角坐标轴的分解xyzXYZFiFjFkXYZFi+ j+ kyxzFFxFyFzikj1. 合成将平面汇交力系合成结果推广得：12niRFFFF 合力的大小和方向为：222()()()RXYZ RRRcos( , ),cos( , ),cos( , )XYZRRRFFFijk4.1.2 空间汇交力系的合成与平衡ixiyizRF iF jF k 或2. 平衡空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的合力等

3、于零。0iR F以解析式表示为：4.1.2 空间汇交力系的合成与平衡000iiiXYZ空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。ABCDEPABCDEPDTCTSxyz例1 重为P的物体用杆AB和位于同一水平面的绳索AC与AD支承，如图。已知P1000N，CEED12cm，EA24cm， 45，不计杆重；求绳索的拉力和杆所受的力。解：以铰A为研究对象，受力如图。0sinsin:0DCTTX0sincoscos:0STTYDC0cos:0PSZ由几何关系：52241224cos22解得：NS1414NTTDC5594.2 力对点的矩和力对轴的

4、矩4.2.1 力对点的矩以矢量表示力矩矢xyzOFMO(F)rA(x,y,z)hB 空间力对点的矩的作用效果取决于：力矩的大小、转向和力矩作用面方位。这三个因素可用一个矢量MO(F)表示，如图。其模表示力矩的大小；指向表示力矩在其作用面内的转向(符合右手螺旋法则)；方位表示力矩作用面的法线。由于力矩与矩心的位置有关，所以力矩矢的始端一定在矩心O处，是定位矢量。4.2.1 力对点的矩以矢量表示力矩矢以r表示力作用点A的矢径，则()O MFrF以矩心O为原点建立坐标系，则xyzxyzFFF rijkFijk()()()()OxyzzyxzyxFxyzFFFyFzFzFxFxFyF ijkMFr=i

5、jkxyzOFMO(F)rA(x,y,z)hBjik4.2.1 力对点的矩以矢量表示力矩矢力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投影为()()()OxzyOyxzOzyxyFzFzFxFxFyF MFMFMFxyzOFMO(F)rA(x,y,z)hBjik力F对z 轴的矩定义为：()()2zOxyxyOabMMF hA FF力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果的度量，是一个代数量，其绝对值等于力在垂直于该轴平面上的投影对于轴与平面交点的矩。4.2.2 力对轴的矩xyzOFFxyhBAab符号规定：从z轴正向看，若力使刚体逆时针转则取正号，反之取负。也可按右手螺旋法则确定其正负号。由定义可知：(1)当力

6、的作用线与轴平行或相交(共面)时，力对轴的矩等于零。(2)当力沿作用线移动时，它对于轴的矩不变。力对轴之矩实例力对轴之矩实例FzFxFy4.2.3 力对轴的矩的解析表达式xyzOFFxFyFzA(x,y,z)BFxFyFxyabxy()()()()zOxyOxOyyxMMMMxFyF FFFF设力F沿三个坐标轴的分量分别为Fx，Fy，Fz，力作用点A的坐标为(x,y,z)，则同理可得其它两式。故有()()()xzyyxzzyxMyFzFMzFxFMxFyF FFF比较力对点的矩和力对轴的矩的解析表达式得：即：力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。4.2.4 力对点的矩与力对过

7、该点的轴的矩的关系()()()()()()OxxOyyOzzMMM MFFMFFMFF求力F在三轴上的投影和对三轴的矩。解：222coscosxFaFFabcj222cossinyFbFFabcj222sinzFcFFabc ()()()()xxxxyxzyMMMMF c FFFF()0yMF()()()()zzxzyzzyMMMMF a FFFFyxzFjbcaFxy22222cosababc22cosaabj4.3.1平行力系中心空间平行力系中心空间平行力系中心是空间平行力系合力的作用点。平行力系的中心位置仅与各平行力的大小和作用点的位置有关，而与各平行力的方向无关。4.3 重心F1RF2

8、yzxOACBr1rCr2i iCiFFrr,iiiiiiCCCiiiF xF yF zxyzFFF 重力是地球对物体的吸引力，如果将物体由无数的质点组成，则重力便构成空间汇交力系。由于物体的尺寸比地球小得多，因此可近似地认为重力是个平行力系，这力系的合力就是物体的重量。不论物体如何放置，其重力的合力的作用线相对于物体总是通过一个确定的点，这个点称为物体的重心物体的重心。4.3.2 重心,iiiiiiCCCiiiPxPyPzxyzPPP 对于均质物体，单位体积的重力为，则整体的重力P为：,iiiiPV PPVV 4.3.2 重心由此可见： 均质物体的重心位置与物体的重力无关，完全取决于物体的大

9、小和形状。 均质物体的重心就是几何中心，即形心形心。,iiiiiiCCCxVyVzVxyzVVV 对于均质物体、均质板或均质杆，其重心坐标分别为：ddd,VVVCCCx Vy Vz VxyzVVVddd,SSSCCCx Sx Sx SxyzSSSddd,lllCCCx ly lz lxyzlll4.3.2 重心具有对称面、对称轴或对称中心的均质物体，重心一具有对称面、对称轴或对称中心的均质物体，重心一定在其对称面、对称轴或对称中心上。定在其对称面、对称轴或对称中心上。4.3.3 确定物体重心的方法1 简单几何形状物体的重心如果均质物体有对称面，或对称轴，或对称中心，则该物体的重心必相应地在这个

10、对称面，或对称轴，或对称中心上。简单形状物体的重心可从工程手册上查到。2 用实验方法测定重心的位置1）悬挂法2）称重法4.3.3 确定物体重心的方法3 用组合法求重心如果一个物体由几个简单形状的物体组合而成，而这些物体的重心是已知的，那么整个物体的重心可由下式求出。1）分割法,iiiiiiCCCiiiPxPyPzxyzPPP2）负面积法若在物体或薄板内切去一部分（例如有空穴或孔的物体），则这类物体的重心，仍可应用与分割法相同的公式求得，只是切去部分的体积或面积应取负值。 2）图示弓形面积可看成由扇形OAMB去掉三角形OAB得到，由负面积法可求得弓形的重心。扇形和三角形的面积，重心位置查表可得；

11、故所求弓形体物块的重心的坐标为 例 图示均质等厚物块，其横截面积由半径为R的圆弧AMB与弦AB所围成的弓形，试求其重心在其对称面中的位置。 解 1）在物块的对称面上建立图示直角坐标系oxy，由对称性知，弓形体物块的重心必在x轴上，故yc=0。扇形OAMB的面积 cossincossin32sin3222233212211RRRRAAxAxAxc)2sin2( 3sin4)cossin( 3)cos1 (sin232RR21RA 其重心位置：sin321Rx 三角形OAB的面积cossin)cos)(sin2(2122RRRA其重心位置：)cos(322Rx 例 求图示均质板重心的位置。解一：（组合法）建立如图坐标：aaaaa