第十五章虚位移原理(修改后)

1、 在第一篇静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系在第一篇静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系的简化，得出刚体的平衡条件，用来研究刚体及刚体系统的的简化，得出刚体的平衡条件，用来研究刚体及刚体系统的平衡问题。在这一章里，我们将介绍普遍适用于研究任意质平衡问题。在这一章里，我们将介绍普遍适用于研究任意质点系的平衡问题的一个原理，它应用功的概念分析系统的平点系的平衡问题的一个原理，它应用功的概念分析系统的平衡问题，是研究静力学平衡问题的另一途径。该原理叫做衡问题，是研究静力学平衡问题的另一途径。该原理叫做虚虚位移原理位移原理。它是研究平衡问题的最一般的原理，不仅如此，。它是研究平衡问题的最一般

2、的原理，不仅如此，将它与达朗伯原理相结合，就可得到一个解答动力学问题的将它与达朗伯原理相结合，就可得到一个解答动力学问题的动力学普遍方程。动力学普遍方程。 为求解复杂动力学问题提供另一普遍方法，为求解复杂动力学问题提供另一普遍方法，是分析力学的基础。是分析力学的基础。本章基本内容本章基本内容 151 约束约束虚位移虚位移虚功虚功 152 虚位移原理虚位移原理 151 约束约束虚位移虚位移虚功虚功 限制质点或质点系运动的各种条件称为限制质点或质点系运动的各种条件称为约束约束。将约束的限制条件以数学方程来表示，则称为将约束的限制条件以数学方程来表示，则称为约束方程约束方程。 xOyM(x,y)平面

3、单摆平面单摆约束方程约束方程222lyxA(xA, yA)B(xB, yB)Oxyr曲柄连杆机构曲柄连杆机构约束方程约束方程222ryxAA )()(222lyyxxABAB0 By例如例如：一、约束及其分类一、约束及其分类0,zyxf 根据约束的形式和性质，可将约束划分为不同的类型，根据约束的形式和性质，可将约束划分为不同的类型，通常按如下分类：通常按如下分类：1）几何约束和运动约束几何约束和运动约束 限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为几何约束。限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为几何约束。 如前述的平面单摆和曲柄连杆机构例子中的限制条件都是几如前述的平面单摆和曲柄连杆机构例子中的

4、限制条件都是几何约束。何约束。 当约束对质点或质点系的运动情况进行限制时，这种约当约束对质点或质点系的运动情况进行限制时，这种约束条件称为运动约束。束条件称为运动约束。例如：车轮沿直线轨道作纯滚动时。例如：车轮沿直线轨道作纯滚动时。CxyAvAr r几何约束：几何约束：ryA0rvA)0(rxA或或运动约束：运动约束： 约束条件不随时间变化的约束称为定常约束约束条件不随时间变化的约束称为定常约束;当约束条当约束条件随时间变化时称为非定常约束。件随时间变化时称为非定常约束。2)定常约束和非定常约束定常约束和非定常约束例如：重物例如：重物M由一条穿过固定圆环的细绳系住。初始时摆由一条穿过固定圆环的

5、细绳系住。初始时摆长长 l0 , 匀速匀速v拉动绳子。拉动绳子。前面的例子中约束条件皆不随时间变化，它们都是定常约束。前面的例子中约束条件皆不随时间变化，它们都是定常约束。此时单摆的约束方程为此时单摆的约束方程为xOyM(x,y) vx2+y2=( l0 -vt )2显然，约束方程中显含时间显然，约束方程中显含时间 t，为，为非定常约束。非定常约束。 如果在约束方程中含有坐标对时间的导数（例如运动如果在约束方程中含有坐标对时间的导数（例如运动约束）而且方程中的这些导数不能经过积分运算消除，即约束）而且方程中的这些导数不能经过积分运算消除，即约束方程中含有的坐标导数项不是某一函数全微分，从而约束

6、方程中含有的坐标导数项不是某一函数全微分，从而不能将约束方程积分为有限形式，这类约束称为非完整约不能将约束方程积分为有限形式，这类约束称为非完整约束。一般地，非完整约束方程只能以微分形式表达。束。一般地，非完整约束方程只能以微分形式表达。 3）完整约束和非完整约束完整约束和非完整约束 如果约束方程中不含有坐标对时间的导数，或者约束如果约束方程中不含有坐标对时间的导数，或者约束方程中虽有坐标对时间的导数，但这些导数可以经过积分方程中虽有坐标对时间的导数，但这些导数可以经过积分运算化为有限形式，则这类约束称为完整约束。运算化为有限形式，则这类约束称为完整约束。 例如：车轮沿直线轨道作纯滚动，例如：

7、车轮沿直线轨道作纯滚动， 是微是微分方程，但经过积分可得到分方程，但经过积分可得到 （常数），该约（常数），该约束仍为完整约束。束仍为完整约束。 0rxAcrxA 几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。 非完整约束一定是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。非完整约束一定是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。 只能限制质点或质点系单一方向运动的约束称为只能限制质点或质点系单一方向运动的约束称为单侧单侧约束约束。在两个相对的方向上同时对质点或质点系进行运动。在两个相对的方向上同时对质点或质点系进行运动限制的约束称为限制的约束称为双侧

8、约束双侧约束。 4）单侧约束和双侧约束单侧约束和双侧约束xOyM(x,y) 222lyx刚杆刚杆双侧约束双侧约束xOyM(x,y) 绳绳x2+y2 l2单侧约束单侧约束 即，双侧约束的约束方即，双侧约束的约束方程为等式，单侧约束的约束程为等式，单侧约束的约束方程为不等式。方程为不等式。 本章只讨论本章只讨论定常的双侧几定常的双侧几何约束何约束，其约束方程的一般形，其约束方程的一般形式为式为), 2 , 1( 0),;,(111sjzyxzyxfnnnj（s为质点系所受的约束数目，为质点系所受的约束数目，n为质点系的质点个数）为质点系的质点个数）二、虚位移二、虚位移 在某瞬时，质点系在约束允许的

9、条件下，可能实现的在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可能实现的任意无限小的位移，称为质点系（在该瞬时）的虚位移。任意无限小的位移，称为质点系（在该瞬时）的虚位移。 虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号符号 表示虚位移。如下两例中的表示虚位移。如下两例中的 ，rA，rB都是虚位移。都是虚位移。xBAOyMFrArBxOyMs(+)(+)虚位移与真正运动时发生的实位移不同虚位移与真正运动时发生的实位移不同。 实位移是质点系在一定时间内真正实现的位移，与约束有实位移是质点系在一定时间内真正实现的位移，与约束有关，与时间、主动力、运动的初始

10、条件有关。实位移是关，与时间、主动力、运动的初始条件有关。实位移是实际发实际发生生的；虚位移是在约束容许的条件下的；虚位移是在约束容许的条件下可能发生可能发生的，与约束有关。的，与约束有关。 实位移具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；实位移具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；虚位移则是微小位移，视约束情况可能有几种不同的方向。虚位移则是微小位移，视约束情况可能有几种不同的方向。 实位移是在一定的时间内发生的；虚位移只是纯几何的概念，实位移是在一定的时间内发生的；虚位移只是纯几何的概念，完全与时间无关。完全与时间无关。 在非定常约束下，虚位移是将时间固定在非定常约束下，虚位移

11、是将时间固定后，约束所允许的虚位移，而实位移是不能后，约束所允许的虚位移，而实位移是不能固定时间的。微小实位移不再是虚位移之一。固定时间的。微小实位移不再是虚位移之一。对于无限小的实位移，一般用微分符号表示，对于无限小的实位移，一般用微分符号表示，例如例如dr，dx，d，等。等。 在定常约束下，微小的实位移必然是在定常约束下，微小的实位移必然是虚位移之一。虚位移视约束，可以有多个，虚位移之一。虚位移视约束，可以有多个，甚至无穷多个。甚至无穷多个。 力在虚位移中上所作的功称为虚功，记为力在虚位移中上所作的功称为虚功，记为 。WzZyYxXWrF WxBAOyMFrArB F的虚功为的虚功为F r

12、B，是负，是负功；功；M的虚功为的虚功为M ，是正功。，是正功。三、虚功三、虚功 如果在质点系的任何虚位移上，所有约束反力的虚功之如果在质点系的任何虚位移上，所有约束反力的虚功之和等于零，则称这种约束为理想约束。和等于零，则称这种约束为理想约束。质点系受有理想约束的条件：质点系受有理想约束的条件：0 iNNNrF iiWW四、理想约束四、理想约束如右图如右图 应用虚位移原理的条件是质点系有理想约束，但应用虚位移原理的条件是质点系有理想约束，但也可以用于有摩擦的情况，只要把摩擦力当主动力，也可以用于有摩擦的情况，只要把摩擦力当主动力，在虚功方程中计入摩擦力的虚功。在虚功方程中计入摩擦力的虚功。理

13、想约束的典型例子如下：理想约束的典型例子如下：3、刚体在粗糙面上的纯滚动、刚体在粗糙面上的纯滚动0)(CNrFFNW1、光滑支承面、光滑支承面0NrFNWrFN2、光滑铰链、光滑铰链0NrFrFNNWFNrFNFFNC4、无重刚杆、无重刚杆5、不可伸长的柔索、不可伸长的柔索6、固定端、固定端152 虚位移原理虚位移原理 设一处于静止平衡状态的质点系由设一处于静止平衡状态的质点系由n个质点组成，个质点组成，其中任意质点其中任意质点i的质量为的质量为mi，作用于此质点上的主动力，作用于此质点上的主动力的合力的合力Fi、约束力的合力、约束力的合力FNi ，若给其以虚位移，若给其以虚位移ri。miFi

14、FNiri则：则：0NiiiirFrF0NiiiirFrF0iirF0NiiFF0FiW或或理想约束理想约束0NiirF 具有理想约束的质点系，平衡的充分必要条件是：作具有理想约束的质点系，平衡的充分必要条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功之和用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。等于零。解析式：解析式：0)(iziiyiixizFyFxF0iirF（ ） 0FiW或或结论：结论： 上述结论称为上述结论称为虚位移原理虚位移原理，又称为，又称为虚功原理虚功原理，上面各，上面各式又称为式又称为虚功方程虚功方程。下面证明虚位移原理的必要性与充分性。下面证明虚位

15、移原理的必要性与充分性。 证明：证明：(1) 必要性：即质点系处于平衡时，必有必要性：即质点系处于平衡时，必有0iirF 以上的推导过程即是必要性的证明过程。以上的推导过程即是必要性的证明过程。即即 (2) 充分性：即当质点系满足充分性：即当质点系满足 ，质点系一定平衡。，质点系一定平衡。若若 ，而质点系不平衡，则至少有第，而质点系不平衡，则至少有第i个质点不平衡。个质点不平衡。0iirF0iirF0NiiiRFF0)(NiiiirRrFFi 在在 方向上产生实位移方向上产生实位移 ，取，取 ，则，则iirrdirdiR对质点系：对质点系：0)(NirFFii与前题条件矛盾与前题条件矛盾0ii

16、rF故故 时质点系必处于平衡。时质点系必处于平衡。0iirF理想约束下，理想约束下，0NiirF 虚位移原理的应用虚位移原理的应用1、求系统在已知主动力作用下平衡时的约束反力；、求系统在已知主动力作用下平衡时的约束反力；2、求系统在已知主动力作用下的平衡位置；、求系统在已知主动力作用下的平衡位置；3、系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系；、系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系；4、求平衡构架内二力杆的内力。、求平衡构架内二力杆的内力。例例15-1 如图所示，在螺旋压榨机的手柄如图所示，在螺旋压榨机的手柄AB上上作用一在水平面内的力偶作用一在水平面内的力偶( )，其力偶矩，其力偶矩 ，螺

17、杆的导程为，螺杆的导程为 。FF,FlM2h求：机构平衡时加在被压物体上的力。求：机构平衡时加在被压物体上的力。解：给虚位移解：给虚位移, s02FlsFWNF满足如下关系：满足如下关系：s与hs2022hFFlWNF是任意的因，故，故02hFFl2NFhlFN4例例1、如图如图(a)所示结构，各杆自重不计，在所示结构，各杆自重不计，在G点作用一铅直向上点作用一铅直向上的力的力F，AC=CE=CD=CB=DG=GE= 。求支座求支座B B的水平约束力。的水平约束力。ABCDEFG(a)yGABCDEFGxyxB(b)FBx解：解：将支座将支座B 的水平约束解除，代之以相应的的水平约束解除，代之

18、以相应的约束反力约束反力 ，把此力当作主动力，如图，把此力当作主动力，如图(b)。FBx用用解析法解析法。建立如图所示坐标系。建立如图所示坐标系。sin3 cos2GByx，cos3 sin2GByx，虚功方程：虚功方程： 0GBBxyFxF将将 代入上式，得代入上式，得 GByx ，0)cos(3 )sin2(FFBx解得解得cot23FFBx则则(a)ABCDEFG(b)GyGABCDEFxyxBFBxyCFGFC例例2 在上例的基础上，如果在在上例的基础上，如果在C、G两点之两点之间连接一自重不计、刚度系数为间连接一自重不计、刚度系数为k得弹簧，如得弹簧，如图图(a)示。在图示位置弹簧已

19、有伸长量示。在图示位置弹簧已有伸长量0，其，其它条件不变，仍求支座它条件不变，仍求支座B的水平约束力。的水平约束力。 解：解：将支座将支座B 的水平约束解除，去掉弹簧，的水平约束解除，去掉弹簧，均代之以力，如图均代之以力，如图(b)。这里弹性力这里弹性力 FC=FG=k0虚功方程：虚功方程： CCBBxyFxF 0GGGyFyF-同前例，求出同前例，求出xB、 yC 、yG，代入虚功，代入虚功方程，即可求出结果：方程，即可求出结果：cotcot230kFFBx 例例3 图示椭圆规机构，连杆图示椭圆规机构，连杆AB长长l，滑块，滑块A、B、杆的自、杆的自重和滑道摩擦均不计，铰链为光滑的，求在图示

20、位置平衡时，重和滑道摩擦均不计，铰链为光滑的，求在图示位置平衡时，主动力主动力FA和和FB之间的关系。之间的关系。rBrAyBxFBFAAO 解：解：研究整个机构。系统的所有研究整个机构。系统的所有约束都是完整、定常、理想的。约束都是完整、定常、理想的。1、几何法：、几何法：使使A发生虚位移发生虚位移rA ，B的虚位移的虚位移rB，0)ant(ABArFF tanBAFF 0BBAArFrF cossinBArr而而A、B两点的虚位移在两点的虚位移在AB连线上的投影相等连线上的投影相等 则由虚位移原理，则由虚位移原理，列虚功方程：列虚功方程： 2、解析法、解析法 cos , sinsin ,

21、coslylxlylxABAB 故故 tan FFBA 0 BBAAxFyF 0)sincos( BAFF由虚位移原理，列虚功方程：由虚位移原理，列虚功方程：而而yyABxFBFAAO xB0BBAArFrFxyFBFArArBABOP 3、虚速度法、虚速度法vAvB 为求虚位移之间的关系，为求虚位移之间的关系，可以用所谓的可以用所谓的“虚速度法虚速度法”。由虚功方程由虚功方程0ddtrFtrFBBAA0BBAAvFvF由速度投影定理：由速度投影定理：cossinBAvvtan FFBA也可用也可用速度瞬心法速度瞬心法求速度之间的关系。求速度之间的关系。例例15-4如图所示机构，不计各构件自重

22、如图所示机构，不计各构件自重与各处摩擦，求机构在图示位置平衡时，主动与各处摩擦，求机构在图示位置平衡时，主动力偶矩力偶矩与主动力与主动力之间的关系之间的关系。 由由WF=0 ，有：，有：1、几何法、几何法：使：使OA杆发生虚位移杆发生虚位移 ，则，则点点C有水平虚位移有水平虚位移rC ，rCrareFOABChM例例4 如图所示机构，不计各构件自重与各处摩擦，求机构在如图所示机构，不计各构件自重与各处摩擦，求机构在图示位置平衡时，主动力偶矩图示位置平衡时，主动力偶矩M与主动力与主动力F之间的关系。之间的关系。解：解：系统的所有约束都是理想约束。系统的所有约束都是理想约束。取滑块取滑块B为动点，

23、动系固接在为动点，动系固接在OA上，上，sinearr 而而sinehOBr0CrFM(a)2acsinhrr(b)由由(a)、(b)两式得：两式得：2sinFhM rr则有：则有：建立如图所示坐标系，由建立如图所示坐标系，由WF=0 ，有：，有：OABxxCCFhM 2、解析法、解析法 0CxFM而而BChxCcot2sinhxC解得解得 2sinFhM OABxCrCvavevrCFhM 3、虚速度法、虚速度法而而sinehOBv2acsinhvv(b)2sinFhM 0CrFM0CFvM(a)由由(a)、(b)两式得：两式得：求：求：AF例例15-5求图所示无重组合梁支座求图所示无重组合

24、梁支座的约束力。的约束力。解：解除解：解除A处约束，代之处约束，代之 ，给虚位移，如图（，给虚位移，如图（b） AF代入虚功方程，得代入虚功方程，得MFFFA811411832102211sFMsFsFWAAFAMAAsssss81111,833,81AAM2sss例5 如图如图(a)多跨静定梁，多跨静定梁，求支座求支座B处约束反力。处约束反力。解：解：将支座将支座B 除去，代入除去，代入相应的约束反力相应的约束反力 ，如，如图图(b) 。BR0211mrPrRrPCBBBBCBBrmrrPrrPR211mP1P2AEFDBCG4m4m3m3m6m6m4m(a)由由W

25、F=0，得：，得：mP1P2AEFDBCGrBrCrEr1RB(b)假想支座假想支座B产生如图所示虚位产生如图所示虚位移，则在约束允许的条件下，移，则在约束允许的条件下，各点虚位移如图所示。各点虚位移如图所示。 811 , 211BCBrrrrmPPRB961181121 21BEBGBrrrrr16149611811121112BCrrBBCBBrmrrPrrPR2114m4m3m3m6m6m4mmP1P2AEFDBCGrBrCrEr1RB而而 例例6 均质杆均质杆OA及及AB在在A点用铰连接，并在点用铰连接，并在O点用铰支承，点用铰支承，如图所示。两杆各长如图所示。两杆各长2a和和2b，各

26、重，各重P1及及P2，设在，设在B点加水平点加水平力力 F 以维持平衡，求两杆与铅直线所成的角以维持平衡，求两杆与铅直线所成的角 及及 。ABCDOxyFP1P2对整个系统，应用虚位移原理求解。对整个系统，应用虚位移原理求解。解法一：解法一：由虚位移原理，列虚功方程由虚位移原理，列虚功方程而而 cosayC coscos2bayD sin2sin2baxB 0B21xFyPyPDC(a)cos2cos2baxBsinayCsinsin2bayD所以所以(b)由由(a)、(b)两式得：两式得：)cos2sin2sin(21FaaPaP0)cos2sin(2FbbP由于由于 是彼此独立的，所以：是

27、彼此独立的，所以： , 2212 tg, 22tgPFPPF由此解得：由此解得：0cos2sin0cos2sin2sin221bFbPaFaPaP解法二：解法二： 先使先使 保持不变，而使保持不变，而使 获得变分获得变分 ，得到系，得到系统的一组虚位移，如图所示。统的一组虚位移，如图所示。ABCDOxyFP1P2rBrD0sincos2DBrPrF而而brbrDB , 2代入上式，得代入上式，得2222tgPFbPbF虚功方程虚功方程: 再使再使 保持不变，而使保持不变，而使 获得变分获得变分 ，得到系，得到系统的另一组虚位移，如图所示。统的另一组虚位移，如图所示。ABCDOxyFP1P2rBrDrArC0sinsincos21DCBrPrPrF而而arrrarADBC2, 由上各式，得：由上各式，得：0)sin2sin2cos(21aPaPaFBDArrr图示中：图示中：又虚功方程为又虚功方程为: 22tg21PPF 设机构某处产生虚位移，作图给出各处设机构某处产生虚位移，作图给出各处虚位移，直接按几何关系，确定各有关虚位移之间虚位移，直接按几何关系，确定各有关虚位移之间的关系。的关系。 由以上各例可见，用虚位移原