arch模型在金融时间序列中的应用-(本科毕业设计论文)

1、 第一章绪论1第一章绪论1.1 论文的研究背景及意义随着经济的开展，金融市场已逐渐成为经济开展的重要局部，金融理论的基础是风险与收益的关系，而资产价格的波动一定程度反映了资产的风险特性。对价格波动如何随时间变化的理解是投资者在决策过程中面临的主要问题之一，市场投资者可以利用对波动性的预测来进行风险管理、衍生证券的定价与对冲、市场时机的把握和投资组合的选择。如:市场波动性预测与市场风险溢价有关，对确定有条件的资产定价模型的风险溢价有很大影响 ;波动性预测对期权定价也有重要意义，因为股票市场波动是决定期权价格的主要因素。因此，如何更深刻理解股票市场波动性特征并从中探寻其规律性，对金融理论而且对金融

2、实践均具有重要意义。波动性是股票市场的最主要的特征之一，对股市的波动性研究始终是学者们关注的热点。对于波动性探究，首先想到的技术是经典成熟的 B-J范式，即 ARMA类时间序列模型。但大量的实证研究说明，金融数据中存在着波动性聚集性和尖峰厚尾的特性，因此，用一般的时间序列模型来拟合金融数的波动性就显得不太适宜。1982年 Engle开创性的提出了自回归条件异方差模型，即 ARCH模型，将时变方差建立为过去波动的函数，能更好的描述资产收益率的尖峰厚尾的特征。1986年，Bollerslev提出了广义 ARCH模型，即 GARCH模型，GARCH模型克服了 ARCH模型的一些缺点，受到了人们的欢送

3、。将 GARCH模型运用于金融时间序列的分析能够更有效的捕捉条件方差的动态特征，从而简化了高阶的 ARCH模型。ARCH族模型是标准金融领域里最重要的模型之一，不仅在于它是一项极有理论价值的理论创新，更在其对于现实世界的刻画与解释能力。由于 ARCH族模型展示了时间序列变量之间一系列重要的特殊的不确定形式，它已被广泛运用到检验金融模型与定理，验证市场有效性，测算市场系统性风险以及寻求最优动态无风险策略等众多领域。ARCH族模型目前还在继续拓展其解释能力和运用领域，在(超)高频数据分析，多维模型等金融计量方法和市场微观结构理念的分析工具方面将引领金融经济学未来开展的前沿。 2ARCH模型在金融时

4、间序列分析中的应用我国股票市场从成立至今仅有十几年的时间，但其开展速度非常迅猛，目前已成为刺激投资，推动我国经济开展的一个必不可少的局部。然而，正是由于时间过短，仍然存在着很多不完善之处，比方法制建设不健全，市场监管不力等；同时实证工作的开展更是远远落后于股市的开展。这些都造成了我国股票市场不同于西方兴旺国家的一个鲜明特征投机色彩非常浓厚。同时其波动幅度和风险大大高于国外成熟的市场，尤其是异常和超常波动更是频繁出现，股票市场波动特征及其影响因素研究是学者们和投资者所关注的焦点问题，也是政策制定者和监管当局衡量、监管和躲避市场风险必不可少的参考。中国股市一向被称为：政策市，资金市，消息市。所以政

5、策，资金和消息对中国股市的波动会产生重大的影响。现有研究中国股市波动性特征根本上认为中国股票市场的波动性比兴旺国家成熟股市波动程度大。近年来研究中国股市波动性正方兴未艾，而且主要研究的是沪深股市指数收益波动性。因而用 ARCH 理论对我国股票市场进行实证研究主要有以下几个目的：第一，吸收西方国家先进的金融计量经济学理论，力争为推动我国股票市场实证研究工作的向前迈进做出一点奉献，以使其更趋标准，更趋严谨，同时对实践也能起到更好的引导作用；第二，通过模型的实证结果力争揭示我国股票市场的总体特征，并为其标准和完善提出一些合理化的建议。1.2 国内外研究概况1.2.1 国外研究现状金融时间序列分析研究

6、是资产价值随时问演变的理论与实践，它是一个带有高度经验性的学科，但是也像其他科学领域一样，理论是形成分析推断的根底。然而，金融时间序列分析有一个区别于其他时间序列分析的主要特点：金融理论及其经验的时间序列都包含不确定因素。例如，资产波动率有各种不同的定义，对一个股票收益率序列，波动率是不能直接观察到的。正因为带有不确定性，统计理论和方法在金融时间序列分析中起重要作用。20 世纪 60 年代后期，计量经济学理论在全球得到了迅猛开展，同时也掀开 第一章 绪论3了时间序列分析方法崭新的一页。1970年，Box和 Jenkins系统提出了 ARMA模型的一系列理论，从此越来越多的学者开始关注随机时间序

7、列模型。1982年，诺贝尔经济学奖获得者 Engle教授在研究金融资产的价格变动行为中发现，非线性时间序列模型中随机扰动项的方差常常是不稳定的，它不仅受过去(价格)波动冲击的影响，并且大幅波动往往聚集在某些时段。为描述和预测这类现象，Engle提出了自回归异方差(ARCH)模型，其核心思想是：某一特定时期的随机误差的方差不仅仅取决与以前的误差，还取决于其本身先前的方差。这一假设使 ARCH模型较好捕捉了金融时间序列数据中存在的波动性聚类现象。Engle教授在提出 ARCH模型后，认识到在某些具体经济研究中 ARCH模型的本身制约性，他与 Lilien和 Robins等人先后对 ARCH模型作了

8、改良。Engle等将 ARCH 模型引人条件均值回归，提出了 ARCH-M 模型。在该文中，他们考虑了一个由有风险资产与无风险资产组成的两资产模型，风险由有风险资产的条件方差的函数度量，这样，风险厌恶者决定的价格会随时间扰动，均衡价格将决定均值一方差之间的关系。将 ARCH-M模型应用于美国国债分析，他们发现，假设取三月期国债为无风险资产，那么六月期国债的超额收益率显著地受所估计的风险项的影响。此后，Engle教授等又提出了 FIGARCH以及多变量 GARCH等一系列推广模型，这些拓展模型与原有的 ARCH 模型构成了一套比拟完整的 ARCH 族计量模型体系。Bollerslev(1986)

9、在 Engle教授的研究根底上发现：ARCH模型无法表达“某些情形中自相关系数消退很慢这一信息，实际应用中对完全自由滞后分布的估计常导致对非负约束的破坏。Bollerslev提出了广义自回归异方差模型(GARCH)，GARCH 模型除了考虑扰动项的滞后期之外，同时也参加了扰动项条件方差的滞后。而 Taylor在 1986年独立提出的 GARCH(1，1)模型更是在实际经济研究中得到广泛应用。此外，对单变量模型，人们还提出了门限自回归模型 TARCH，非线性模型 NARCH，指数 GARCHexponential GARCH,EGARCH模型，单整GARCHIGARCH模型。对多变量模型还有一般

10、动态回归，多变量回归，向量自回归，共同周期趋势分析等理论。1.2.2 国内研究现状 4ARCH模型在金融时间序列分析中的应用我国股市虽然历经多年开展，但是由于起步较晚以及受本身政策制度的影响，依然存在很多缺陷，比方：股票价格在很多时候难以反映上市公司的实际价值、股票换手率较高、易受人为因素和政策变化的影响，股票波动率较大等。为了给管理者及投资者予合理的、科学的建议，专家、学者们利用各种理论对中国股市进行了研究。王立风(2004)提出了基于 ARCH的股价预测模型，该模型通过建立高阶回归的 ARCH模型来预测股价变化。朱宁、徐标和仝殿波(2006)等通过 ARIMA模型分析时间序列的随机性和平稳

11、性，对上证指数的日数据和月数据进行预测分析，即对上证指数作短、中期预测，用 SAS软件检验模型的可行性，并预测应用。许庆光(2007)提出了基于 ARCH模型的上海股票市场特征的研究，从实证结果中总结出上海股市的总体特征，并为其进一步开展完善提出了一些建议。俞盛华、王志同(2005)通过对中国股票市场建立 ARCH模型进行实证研究得出结论：上证股市收益率符合 ARCH效应，我国股票市场的价格对信息(这里的信息指的是证券公司的信息披露，或其他相关证鉴会发布的信息 )的反响不够灵敏，深沪股市 ARCH模型的峰态系数较大，说明我国股票市场具有较强的投机色彩。蒋祥林、王春峰(2004)把 Hamilt

12、on提出的状态转移 ARCH模型(SWARCH)运用于上证股市研究发现：证监会各种政策的出台以及股市管理者的各种言论往往会引起股市由较低波动性状态向较高波动性状态转移。周少甫、陈千里 (2004)应用无条件波动的修正 Levene检验和条件波动的GARCH模型对上海股市的周日效应进行了研究。吴林祥、徐龙炳(2002)进一步应用稳态分布理论来研究中国股票市场股票收益的特性，结果说明，中国股票市场股票收益构成的时间序列呈现狭峰、厚尾，具有稳态特征。岳朝龙(2001)分别利用 GARCH模型、IGARCH模型、GARCHM模型及EGARCH模型分析了上证综合指数 1997年 9月 23日至 1999

13、年 12月 30日收益率的波动特征，发现我国股市的收益率具有条件异方差性。高振坤等(2005)通过建立 GARCH-BP神经网络预测模型，结合了 GARCH模型与 BP模型的优点，通过实证说明：GARCH-BP模型具有收敛速度快、学习能 第一章绪论5力强、预测精度较高、误差率较小等特点。还有学者通过建立 EGARCH-M等模型对我国股票市场波动非对称性进行实证研究，结果说明我国股票市场正在逐渐趋于理性，投资者也更加注重股票的投资价值而不是投机价值，整个市场的投机成分不断减少。综上所述，目前的研究主要是集中在运用时间序列方法对上证指数收益率波动特性、平稳性及随机性等特征进行实证分析，虽然也有人提

14、出了上证指数收益率时间序列的 ARCH模型，并用于预测，但也只是简单地采用某一种模型，而对一个时间序列建立 ARCH模型的完整过程直至得到一个确定的拟合模型并用来预测，特别是对有多个适用的模型，如何从中选择最理想的模型，现有的研究比较少见。1.3 本文的研究目的本文首先通过模拟随机数来检验 ARCH模型的有效性，然后选择我国沪市作为研究对象，从理论到实证，通过样本数据来建立 ARCH模型，并应用该模型来研究中国股市收益率的波动性特征，间接验证模型的实用性，并为监管部门及投资者提供一些有借鉴价值的结论。1.4 本文的思路与结构框架本文内容与结构：第 1 章介绍了论文研究的背景，并从国内外的研究现

15、状来说明本文研究的必要性和实用性，并提出本文的研究目的和框架结构。 6ARCH模型在金融时间序列分析中的应用第 2章 重点对 ARCH模型做了详细介绍，并概述了其拓展模型。第 3章 验证了 ARCH模型的有效性，并对与建立模型相关的步骤进行了详细讨论。第 4章 基于 ARCH模型，对沪市的波动性进行了实证研究。第 5章 总结了本文的主要工作，创新之处，及后续工作与展望。 第二章ARCH模型的根底理论7第二章 ARCH模型的根底理论2.1 ARCH模型 自回归条件异方差过程(ARCH过程)在文献中有多种不同的定义方法，以下介绍的是基于恩格尔在1982年提出的定义。一个随机变量 xt有P阶的自回归

16、表示形式AR(P)，如果：xt = b0 + b1xt-1 + b2xt-2 +L+ b pxt- p +et(2.1)其中，et为独立同分布的白噪声过程，且有 E(et) = 0，D(et) =s2。AR(P)过程(2.1)是一稳定过程，它的特征多项式：1- b1z - b2z2-L- b pzp= 0所有的根都在单位圆外。假设有一随机过程et，它的平方et 服从AR(q)过程：2et2=a0 +a1e2t-1+L+aqe2t-q+ht(2.2)其中ht独立同分布，且有 E(ht) = 0，D(ht) = l2，t =1,2,L，那么et称服从q阶的ARCH过程，记作et : ARCH(q)

17、。由于随机变量et2的非负性，给定变量e2t-1,L,e2t-q的值，白噪声过程ht的分布是受约束的，因为它显然应满足：ht ³ -a0；t =1,2,L，为确保et假设(2.2)式的特征方程：1-a1z -a2z-L-a pz = 0的所有的根都在单位圆外。假设a0 > 0，ai? 0 ,q(i =1,2,L,q)成立，以上条件等价于a1 +a2 +L+aq <1。为一稳定过程，22a0这样，假设et : ARCH(q)，那么et的无条件方差，s= E(et2) = 1-a1 -L-aq为2一常数。ARCH模型的一个重要特点是给出了计算时间序列的条件方差的方法，在每一时

18、刻t，ARCH过程的条件方差是过去的随机干扰的函数，可由递推公式计算。 8ARCH模型在金融时间序列分析中的应用为进一步研究 ARCH(q)过程的性质。以下将et : ARCH(q)表示为：et = htnt并假设nt独立同分布， E(nt) = 0， D(nt) =1。ht有表达式ht =a0 +a1e2t-1+a2e2t-2+L+aqe2t-q，显然，在任何时刻t，et的条件期望为： E(et |et-1,L) = htgE(nt) = 0|et-1,L) = htgE(nt) = ht 。2条件方差为： E(et2ARCH模型一经提出，就由于它突破了传统异方差模型方式并更好地与实践相结合

19、，而显示了强大的生命力，并成为经济计量学研究条件异方差的重要手段。但简单的线性 ARCH模型仍存在着一些缺陷：1 ARCH(q)模型在实际应用中为得到更好的拟合效果常需要很大的阶数q,这不仅增大了计算量，还会带来诸如解释变量多重共线等其他问题。在2 ARCH(q)模型中，ht的大小不仅取决于e2t-i，i =1,L,q。而且也受et-i正负的影响。事实上，在股市上当前的收益率与未来的波动幅度往往负相关，即所谓杠杆效应。股票价值的减少将提高资产负债比，因此提高了公司的风险，从而导致未来波动的上升。ARCH模型中条件方差只依赖于 et-i的大小，而与et-i反映的趋势无关，它未能充分利用et-i所

20、提供的信息。3 ARCH(q)中为方便起见，将ht设为e2t-i的线性函数，而现实中线性情况只是特例，是对非线性情况的近似，对不同的问题，这种近似程度也是不同的。4 ARCH(q)中，nt被设定服从正态分布，但是越来越多的研究说明，在一些金融序列中，这种正态分布假设并不符合实际。2.2 ARCH模型的其它拓展 (1)GARCH模型当人们发现 ARCH模型无法表达“某些情形中自相关系数消退很慢这一信 第二章ARCH模型的根底理论9息，而且，在实际应用中对完全自由的滞后分布的估计常常导致对非负约束的破坏时，巴拉斯拉夫(Bollerslev，1986)通过在条件方差的右边参加条件方差的一个时滞结构来

21、修正 ARCH 模型，并称其为广义 ARCH 模型(GARCH)，这样设定的方差形式可以揭示金融资产收益所具有的波动集聚特征。GARCH 模型用少量参数就可以建立，并表示出一个缓慢衰减的et自相关趋势GARCH(p，q)模型可用如下形式表示：x b eyt = ¢ + ，ttet = htnt，nt : N(0,1)t-1 +a2et-2 +L+aqet-q+ r1ht-1 +L+ r pht-p2ht = k0 +a1e22当p=0时，GARCH过程就成为ARCH(q)过程。从上式可以看出，ARCH(q)过程的条件方差仅为过去样本方差的线性函数。而GARCH(p,q)将滞后条件方差

22、也考虑进来，增加了条件方差过程的自适应功能，为了保证条件方差大于0，参数需满足：k0 > 0,ai ³ 0,r j ³ 0,åq å pj=1r j <1，条件方差中包含三项：k0为常数，a +ii=1åqaiet2-i为ARCH项，å p r jh 为GARCH项。t- ji 1=j=1模型系数之和åq å pj=1r j的大小，反映了序列波动的持续性，即序列在a +ii=1过去时刻波动的大小特征在当前时刻被“继承下来，假设åiq=1ai +å pj=1r j越接近1，“继承的就越

23、多，整个序列的波动就越大，当其小于l时，说明某时刻的冲击会逐渐消失，但当其大于1时，说明这个冲击的影响不但不会消失，反而会扩散。除了广义的ARCH模型(GARCH)外，在过去几年中还出现了一些其他的ARCH模型的推广形式，如方差无穷GARCH(IGARCH)模型，门限ARCH(TARCH)模型，指数GARCH(EGARH)模型，均值GARCH(GARCH-M)模型，成分ARCH(CARCH)模型等。这些不同形式的ARCH类模型，作为一种动态非线性的时间序列模型，它们的波动性随时间的变化而变化，并且在这些模型中波动性是与过去的波动性以及过去的误差项方差紧密相关的，这类模型已经被广泛应用于验证金融

24、理论中的规律描述以及金融市场的预测和决策。以下对其中的几种作简要的介绍。 10ARCH模型在金融时间序列分析中的应用(2) EGARCH模型值得注意的是，上述模型系数要求非负，但在1976年和1982年Black和Christie就相继指出了股票市场上的“杠杆效应，即当前的收益与未来的波动幅度负相关，也就是说，ht不仅与et-i的大小有关，还与其符号正负有关。鉴于此，Nelson(1992)提出了指数GARCH模型(EGARCH模型)。EGARCH模型用来刻画不同性质的冲击对预期收益的影响。波动性对收益率冲击的反响具有非对称效果，即负冲击所引起的波动要大于同等程度的正冲击所引起的波动。g &l

25、t; 0表示杠杆效应的存在。æöpqet-iet-iååln(ht) = k0 +r j ln(ht- j)+ççèai+g i÷÷øht-iht-ij=1i=1模型中条件方差采用了自然对数形式，意味着无论 r j取任何实数，条件方差ht总是大于零的，无需考虑条件方差的非负性。所以在对EGARCH模型作参数估计时不需对 r j约束，从而减少很多计算量，这是EGARCH模型的一大优点。EGARCH模型的另一个重要特征是在条件方差ht中引入g 参数，使得干扰项et取正负值时有不同的变化，因此EGAR

26、CH模型可以很好的刻划金融市场中的不对称性情况，比方在股票市场，假设将利好消息看作对股价的正干扰，将利空消息看作对股价的负干扰，假设g < 0时，那么一个负的干扰项(et < 0 )所引起的ht的变化比相同程度的正干扰(et > 0)所引起的ht的变化将更剧烈。(3) TARCH模型TARCH模型由Zakoian(1990)提出的，同样是刻画不同性质的冲击对预期收益的影响。qpråååht = k0 +aiet2-i+r jht- j +2g ket-kIt-ki=1j=1k=1其中 It是一个虚拟变量，当时et < 0时， It =1，否

27、那么 It = 0。et < 0和et > 0对 第二章ARCH模型的根底理论11qå条件方差的作用不相同。当时et > 0，其影响系数为 ai ，当et < 0时，其影响系i=1qra + g k 。假设g k ¹ 0，那么说明信息不对称，存在杠杆效应。假设g k < 0，说明ik=1å å数为i=1et > 0 比et < 0对波动的影响更大。假设g k > 0，说明et < 0比et > 0对波动的影响更大。(4) GARCH-M模型Engle、Lilien和Robins于1987年提出了

28、ARCH-M(ARCH-in-mean)模型。它把条件方差引入均值方程中，描述风险溢价随时间变化，表达风险和收益的动态关系，它提供了一个估计和检验时变型风险补偿的新方法。ARCH-M模型是在普通回归方程等式右边增加一项ht，模型表示为：yt = xtb +dht +etd 称为风险系数，正值d 说明收益率与它的过去的波动正相关。反映收益与风险的正相关，d >1表示对市场风险要求较高的报酬，属于厌恶风险的投资者，d <1表示对市场风险要求较低的报酬，属于投机性强的投资者。 12ARCH模型在金融时间序列分析中的应用 第三章ARCH模型的建立13第三章 ARCH模型的建立建立一个 AR

29、CH模型主要包括以下六个步骤：(1) 检验 ARCH模型的有效性(2) 对收益率序列进行自相关性检验，再根据自相关系数和偏相关系数进行模型识别，并建立均值方程(3) 对均值方程的残差进行ARCH效应检验(4) 进行ARCH模型的参数估计(5) 模型的验证，判断模型是否适宜(6) 用模型进行短期的预测并分析结果(7) 对模型进行评价3.1 ARCH模型的有效性验证通过模型来产生随机数，再通过随机数来估计模型的参数，比拟模型的参数和由随机数求得的参数，来进行ARCH模型的参数估计方法的有效性研究。假设有ARCH(2)模型：yt = +etst2= + e2t-1+ e2t-2对于该模型，我们模拟出

30、1000个值来检验其有效性，模拟随机数的估计结果如下：表3.1 ARCH(2)模型参数估计的结果参数估计值标准误差T统计量CKARCH(1)ARCH(2) 14ARCH模型在金融时间序列分析中的应用假设有GARCH(1,1)模型：yt = etst2= + s2t-1+ e2t-1为了更全面的检验有效性：分别考虑残差服从正态分布和T分布两种情况：表3.2 基于正态分布的GARCH(1,1)模型参数估计结果参数估计值标准误差T统计量CKGARCH(1)ARCH(1)表3.3 基于T分布的GARCH(1,1)参数估计结果参数估计值标准误差T统计量CKGARCH(1)ARCH(1)DoF根据程序得到

31、的数据，可知分析结果与预期相吻合，说明了ARCH 模型以及GARCH模型参数估计的有效性。3.2 模型识别与均值方程的建立(1) 回归模型的建立与检验对于一般的一元线性回归模型或多元线性回归模型，可用最小二乘法估计其 第三章ARCH模型的建立15参数。以下主要介绍有关线性回归模型的一些检验：有含 k个解释变量的多元回归模型：yt = b0 + b1x1t + b2x2t +L+ bkxkt +ut，(t =1,2,L,T)变量的显著性检验1 t检验检验某一解释变量 xi是否对因变量 y具有显著性影响，假设检验为：bise(bi)H0 :bi = 0,H1 : bi ¹ 0。b是b的无

32、偏估计，t =: t(T -k -1)，其中se(bi)是bi的估计标准差，对于双边检验，假设 t > ta /2(T -k -1)，那么拒绝原假设。拟合优度检验和2 R2统计量TSS =å(yt - y)ESS =1- RSS， R值较大说明模型对因变量拟合的较好，因变量的真实值2å å2， ESS = (yt - y)， RSS = (yt - yt)22R2=TSSTSS距离拟合值更近。方程显著性检验3考虑一个联合假设： H0 :b1 =L= bk = 0， H1：至少有一个不为 0。可得：ESS / kRSS / (T -k -1): F(k,T -

33、k -1)F =可以理解为，如果 y被解释变量解释的局部比未被解释的局部大，F值大于1，随着这个比例增大， F值也逐渐增大。因此， F值越大，越有理由拒绝原假设。更正式的说，要比拟其与 F分布临界值，如果超过临界值，那么拒绝原假设。4 D.W.统计量 16ARCH模型在金融时间序列分析中的应用Durbin-Watson统计量D.W.统计量用来检验随机误差项是否存在一阶序列相关，即 E(mtmt+1) ¹ 0的情形，计算如下：TåD.W.= t=2æçTöå(ut -ut-1)2utut-1 ÷» ç -2

34、 1 t=1÷TçTåut2t=1÷÷øåut2çt=1è根据样本容量 T和解释变量数 k查 D.W.分布表，得到临界值dl和du，然后按照下面的准那么考察计算得到的 D.W.值，判断模型的自相关状态。如果0 < D.W.< dl存在正自相关dl < D.W.< du不能确定du < D.W.< 4-du无自相关4-du < D.W.< 4-dl不能确定4-dl < D.W.< 4存在负自相关(2)时间序列模型的识别与建立对于一个 p阶自回归过程

35、 AR(p)：ut =f1ut-1 +f2ut-2 +L+fput- p +et，t =1,2,L,T其阶数 p往往是未知的，必须通过实际数据来决定。一般有两种决定 p的方法：第一种方法是利用偏自相关函数PACF，第二种方法是用某个信息准那么函数。1偏自相关函数方法将上式两边同时乘以ut-k，k =1,2,L, p，再对方程两边取期望值并除以序列ut的方差得到如下关于系数f1,f2,L,fp的线性方程组： 第三章ARCH模型的建立17ìf1 +f2r1 +L+fprp-1 = r1ïf r +f2 +L+fprp-2 = r2ï1 1íMï&#

36、239;f r +f2r1 +L+fp = rpî1 p-1对于形如上式的 p(p =1,2,L,k,L)阶方程组求解，每个方程组最后一个解就是相应的偏自相关系数f1,1,f2,2,L,fk,k,L。即 AR(p)模型的偏自相关系数是 p阶截尾的。所以可通过识别 AR(p)模型的偏自相关系数的个数，来确定 AR(p)模型的阶数 p。2 信息准那么函数方法假设同时有几个模型能较好的模拟数据，那么需要用某个准那么来挑选一个最好的模型，这些准那么称为信息准那么函数。常用的信息准那么有以下几个：Akaike信息准那么(AIC)：其定义为：AIC = -2ln(似然函数最大值)+ 2 (参数个

37、数)，TT其中 T为样本容量。对于高斯 AR(m)模型， AIC简化为：)+ 2mAIC(m) = ln(s2，T其中s2是残差平方的最大似然估计，在实际应用中，事先给定一个正整数 P，对m =1,2L,P，计算 AIC(m)，AIC值越小，意味着滞后阶数越适合，可选择使 AIC达最小值的 k作为模型的最适阶数。式中第二项为惩罚函数，根据不同的惩罚函)+ k ln(T)，数，可以到处不同的信息准那么，例如：Schwarz信息准那么(SC)：SC = ln(s2T)+ k ln(ln(T)。Hannan-Quinn信息准那么HQIC： HQIC = ln(s2T3.3 模型的ARCH效应检验对一

38、个经济计量模型的残差序列，如何检验是否存在ARCH效应至关重要，通常采用Ljung-Box检验和Lagrange乘子检验。 18ARCH模型在金融时间序列分析中的应用1. Ljung-Box检验原假设 H0 : r1 = r2 =L= rm = 0，备选假设 H1 :$iÎ1,2,L,m,ri ¹ 0检验统计量为：Tå(xl - x)(xt-l - x)rl = t=l+1， 0 £ l <T -1Tå(xl - x)2l=1mrlT -låQ(m) =T(T + 2)。l=1在xt满足一定矩条件的独立同分布序列的条件下，Q(m

39、)的渐进分布是自由度为m-1的 c 分布，在显著水平为a的情况下，如果Q(m) ³ c1-a (m-1)，及P值小22于a，就拒绝原假设，反之那么接受原假设。在实际研究中，m的选择会影响Q(m)统计量的表现，常取m: ln(T)。2 Lagrange乘子检验(LM Test)Engle在l982年提出了Lagrange乘子检验法，这种检验法等价于通常用来检验må关于线性回归at2=a0 + aia2t-i+ht的假设ai = 0(i =1,2,L,m)的 F检验，其中ht表i=1示误差项。原假设: H0 :a0 =a1 =L=am = 0，备选假设 H1 :$iÎ

40、1,2,L,m,ai ¹ 0。检验统计量为：LM (m) = (SSR0 - SSR1) / mSSR / (T - 2m-1)1TTåå其中：SSR0 =(at2-at2)，SSR1 =et2，et2是线性回归方程的最小二乘残差，t=m+1t=m+1在原假设 H0 :a0 =a1 =L=am = 0成立时，这个LM统计量的渐进分布是自由度为m 第三章ARCH模型的建立19的 c2分布，在显著性水平为a的情况下，如果 LM (m) ³ c1-a2(m)即P值小于a，就拒绝原假设，认为存在ARCH效应，反之那么接受原假设。3.4 ARCH模型参数的极大似然

41、估计ARCH过程最通常的应用是在回归模型：x b= ¢ +ett(3-1)yt中，假设et : ARCH(q)。为方便起见，一般假设 yt的前q个观察值，并记为y-q+1, y-q+2,L, y0，估计所用数据为 y1, y2,L, yT。模型(3-1)中的 xt为的回归变量，其中可以包括滞后的 yt值。et服从ARCH(q)过程，可表示为：et = htgnt，其中，ht =a0 +a1e2t-1+a2e2t-2+L+aqe2t-q。以下首先讨论nt服从标准正态分布时，ARCH(q)过程参数的最大似然估计，nt服从非正态分布的情况在稍后讨论。将 yt和 xt以及它们的滞后值列在向量

42、Yt中：¢= éy , yt-1,L, y1, y0,tL, y¢L ¢ ¢ L,x¢ ù-q+1,x , ,x ,x ,Ytt10-q+1ëû根据模型(3-1)的构造，随机干扰nt与 xt、Yt-1相互独立。给定 xt和Yt-1的值，随机变量 yt服从正态分布，并有条件密度函数：ü1ì-(yt x b)- ¢2tf (yt | xt,Yt-1) =2pht expí(3-2)ýþ2htî其中：ht =a0 +a1(yt-1 x b)2

43、 +a2(yt-2 x b)2 +L+aq(yt-q x b)- ¢- ¢- ¢2t-1t-2t-q¢d = ëéa0,a1,L,a ùûq¢,(yt-q - ¢x b)2ùûzt(b) = é1,(yt-1 x b)- ¢2,Lët-1t-q 20ARCH模型在金融时间序列分析中的应用éb ù将参数b和d 列入向量q，使得：q = ，回归模型(3-1)的条件对数似然函ê údë û数为

44、：TåL(q) = ln f (yt | xt,Yt-1;q)t=1= -T ln(2p )- 1Tln(ht)- 1Tx )(3-3)åå(yt - ¢b / ht2t222t=1t=1参数q的最大似然估计q使 L(q)在q =q获极大值。对 L(q)求关于q的一阶微分，并令lt(q) = ¶ln f (yt | xt,Yt-1;q)，那么有 ¶L(q)Tå=lt(q)¶q¶qt=11 ¶ ln(ht) 1 ì 1 ¶(yt x )- ¢b2 - (yt - &#

45、162;b 2 ¶ht üx )ý¶qþlt(q)可表示为：lt(q) = - 2- ítt¶q2 htî¶qht2é¶(yt - ¢x b)22ùúúútê¶(yt - ¢bx )¶q2¶b2xtté- e ùê úêê由于t=(3-4)(3-5)¶(yt - ¢x b)ë0ûê

46、;túë¶dûqå¶(a0 + a jej=1¶q2t- j) éqùúå-2 a je x¶ht =ê=t-j t- jêj=1ú¶qêëzt(b)úû所以有：l (q) = ¶ln f (yt | xt,Yt-1;q)t¶qéqùéxtetùå= -íì 1 -e2tüê2a jet-

47、 jxt- j+(3-6)úúêhtúýêj=1êúû2h2ht2îtþê0ztbú ëëû因此，可将对数似然函数 L(q)对参数q的微分表示成é¶L(q)ùêú¶L(q)¶qT¶bê¶L(q)ú ë ( )ûés (q)ùå= s(q) =lt (q)= êú

48、; =1êús q2t=1êúë ¶d û 第三章ARCH模型的建立21ìïéùüqéxteåùht úúïê2 a je x ú= 1Tíht-2(et2 -h )t+t(3-7)åêêt-jt-jýêj=1ú2ïîït=1êëú ë 0 ûztb

49、ûþ¶L(q)¶q参数向量q的最大似然估计q为方程：= 0的解，使得 L(q)在q =q时取极大值。这最优化问题可由数值计算方法解决。以下介绍的是恩格尔在1982年提出的算法。由(3-7)式，子向量s1(q)可表示为：ìeí2thtü ¶ln(ht) 1¶e2gts1(q) = 1T-1ý-T1åå2¶b2ht¶bîþt=1t=1ïxtet - 1 æet2öüTqåj=1å=

50、-1÷ a jet- jx(3-8)(3-9)íçýt- jht è htïþøt=1t整理后，又得：s1(q) = xtet íìht-1 - a jh(e-ht+ j)ýü=xtetmtTqTååå2t- j2t- jîþt=1j=1t=1上式在以后的计算中很有用，会经常用到。对 s1(q)求关于 b¢的微分后，将(3-4)式和(3-5)式中 ¶e2 和 ¶h的表达式代入，可得：t¶

51、bt¶b¶2L(q )= 12T¶ ln(ht ) ì- xtet - et2¶ht ü 1Tìet2ü ¶2ln(ht )Tx xt¢ht2Tx e ¶htååååg+-1 ¶b¶b¢ -t-ttíîýíîý¶b¶b¢¶bht2¶b¢2¶b¢ht2hthtþþ

52、;t=1t=1t=1t=1给定 xt和Yt-1的值，ht和 xt都为非随机变量。由于E(et | xt,Yt-1) = 0； E(et | xt,Yt-1) = ht2立即可计算上式的条件期望：æ ¶ç2L(q) | xt,Yö÷ø¶ln(h )¶b¶ ln(ht)¶b¢x xt¢ht2= - 1TgT-TåååEtt¶b¶b¢t-1è2t=1t=1t=1ì¶2L(q)ü以此可

53、定义相应于s1(q)的信息矩阵： Ib = - 1 E í ¶b¶b¢ | xt,Yt-1ýT îþ根据(3-5)式中的结果，可得： ¶ln(ht)¶b= -2qa j et-åjhtj=1由于et- j和et-i在i ¹ j时不相关，所以信息矩阵 Ib可由下式一致的估计： 22ARCH模型在金融时间序列分析中的应用ì¢2 e2üï¢1Tïxtx2qIb = Tå+ 2 a j t-åx x ý(

54、3-10)(3-11)jít2t-jt- jïþï htîhtt=1j=1将 xtxt¢提到括弧外，做适当整理后，上式可等价地表示为：1TIb = Tåxtxt¢ntt=1上式与(3-9)式一样，在以下的计算中经常用到。接下来对子向量s2(q)做类似的处理。根据(3-7)式¶L(q)¶d= 1Tìeí2thtü ¶ln(ht) 1T1¶e2gtåås2(q) =-1ý-2¶d2ht¶dî

55、þt=1t=1由(3-2)式，可知： ¶¶ed2t= 0，因此：s2(q) = 1Tìet2-1ýü ¶ln(ht)åíî2ht¶dþt=1对s2(q)求关于d¢的微分，得：¶s2(q) = ¶2L(q)¶d¢ ¶d¶d¢= 12T¶ln(ht)g¶ ìet2ü12Tìe2thtü ¶2ln(ht)åå-1&

56、#253;+-1ýííî¶d ¶d¢ ht¶d¶d¢îþþt=1t=1由于： ¶e2t¶d= 0； ¶zt(b) = 0，因此 ¶ln(ht)¶d¶d¢ = 0，从而可将 ¶¶dL¶(dq¢)简化为：2¶d¢¶2L(q)= - 12Te2thtg¶ln(ht)g ¶ln(ht)å¶d¶d¢¶d