第三章刚体的定轴转动

1、第三章第三章刚体的定轴转动刚体的定轴转动3-0 3-0 第三章教学基本要求第三章教学基本要求3-1 3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律刚体定轴转动的动能定理和转动定律3-2 3-2 定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律一、掌握描述刚体定轴转动的角位移、角速度和角加速度等概念一、掌握描述刚体定轴转动的角位移、角速度和角加速度等概念. .二、掌握力对固定转轴的力矩的计算方法，了解转动惯量的概二、掌握力对固定转轴的力矩的计算方法，了解转动惯量的概 念念 (72(72学时不要求用积分计算转动惯量学时不要求用积分计算转动惯量) .) .三、理解刚体定轴转动的动能

2、定理和刚体服从质点组的功能转三、理解刚体定轴转动的动能定理和刚体服从质点组的功能转换关系换关系. .四、理解刚体定轴转动定律四、理解刚体定轴转动定律. .五、理解角动量的概念五、理解角动量的概念, , 理解刚体定轴转动的角动量守恒定律理解刚体定轴转动的角动量守恒定律. .七、能综合应用转动定律和牛顿运动定律及质点、刚体定轴转七、能综合应用转动定律和牛顿运动定律及质点、刚体定轴转动的运动学公式计算质点刚体系统的简单动力学问题动的运动学公式计算质点刚体系统的简单动力学问题. .六、会计算力矩的功六、会计算力矩的功 (72(72学时只限于恒定力矩的功学时只限于恒定力矩的功) ) 、定轴转动、定轴转动

3、刚体的转动动能和对轴的角动量刚体的转动动能和对轴的角动量. . 八、能综合应用守恒定律求解质点刚体系统的简单动力学问题八、能综合应用守恒定律求解质点刚体系统的简单动力学问题. . 明确选择分析解决质点刚体系统力学问题规律时的优先考虑顺序明确选择分析解决质点刚体系统力学问题规律时的优先考虑顺序. . 预习要点预习要点注意描述刚体定轴转动的运动学方法注意描述刚体定轴转动的运动学方法.阅读附录阅读附录1中矢量乘法中矢量乘法. 力对转轴的力矩如何计算力对转轴的力矩如何计算?领会刚体定轴转动的动能定理的意义领会刚体定轴转动的动能定理的意义. 注意区分平注意区分平动动能和转动动能的计算式动动能和转动动能的

4、计算式. 注意力矩的功的计算注意力矩的功的计算方法方法.转动惯量的定义是什么转动惯量的定义是什么? 转动惯量与哪些因素有关转动惯量与哪些因素有关?1. 刚体定轴转动定律的内容及数学表达式如何刚体定轴转动定律的内容及数学表达式如何? 注意注意它的应用方法它的应用方法. 刚体刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体（任意两质点间距离保持不变的特殊质点化的物体（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）组）.刚体的运动形式：平动、转动刚体的运动形式：平动、转动 . 平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同. 转动：刚

5、体中所有的点都绕同一直线作圆周运动转动：刚体中所有的点都绕同一直线作圆周运动. 转动分定轴转动和非定轴转动转动分定轴转动和非定轴转动. 转轴不动转轴不动, 刚体绕转轴运动叫刚体的定轴转动；刚体绕转轴运动叫刚体的定轴转动；垂直于转轴的平面叫转动平面垂直于转轴的平面叫转动平面. 既考虑物体的质量，既考虑物体的质量， 又考虑形又考虑形状和大小，但忽略其形变的状和大小，但忽略其形变的物体模型物体模型。一、刚体一、刚体刚体（刚体（rigid body）：）： 刚体可看作是质量连续分布的且任意两质量刚体可看作是质量连续分布的且任意两质量元之间相对距离保持不变的质点系。元之间相对距离保持不变的质点系。3-1

6、 刚体模型及其运动刚体模型及其运动二、平动和转动二、平动和转动 当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动叫线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动叫平动（平动（translation）。 可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。平动时，刚体内各质点在任一时平动时，刚体内各质点在任一时刻具有相同的速度和加速度。刻具有相同的速度和加速度。刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的运动，如质心。运动，如质心。1. 平动平动

7、如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线做如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线做圆周运动，这种运动就叫做圆周运动，这种运动就叫做转动（转动（rotation），这一，这一直线就叫做直线就叫做转轴转轴。 如果转轴是固定不动的，就叫做如果转轴是固定不动的，就叫做定轴转动（定轴转动（fixed-axis rotation） 。 可以证明，刚体的一般运动可看作是平动和转可以证明，刚体的一般运动可看作是平动和转动的叠加动的叠加 。如：门、如：门、 窗的转动等。窗的转动等。如：车轮的滚动。如：车轮的滚动。2. 转动转动3. 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 定轴转动时，刚体上各点都绕同一固定转轴做定轴转动时，

8、刚体上各点都绕同一固定转轴做不同半径的圆周运动。不同半径的圆周运动。 在同一时间内，各点转过的圆弧长度不同，但在同一时间内，各点转过的圆弧长度不同，但在相同时间内转过的角度相同，称为在相同时间内转过的角度相同，称为角位移角位移，它可，它可以用来描述整个刚体的转动。以用来描述整个刚体的转动。 做定轴转动时，刚体内各点具做定轴转动时，刚体内各点具有相同的有相同的角量角量，包括角位移、角速，包括角位移、角速度和角加速度。但不同位置的质点度和角加速度。但不同位置的质点具有不同的具有不同的线量线量，包括位移、速度，包括位移、速度和加速度。和加速度。)()(ttt角位移角位移)(t 角坐标角坐标tttdd

9、lim0角速度角速度角加速度角加速度tddxz)(tO 定轴定轴(Oz轴轴)条件下，由条件下，由Oz轴正向俯视，逆时针转轴正向俯视，逆时针转向的向的 取正，顺时针取负取正，顺时针取负.、 线量与角量的关系：线量与角量的关系：tvaddtrv rtrdd角位移角位移角速度角速度角加速度角加速度tddtdd角量：角量：对于对于匀角加速转动匀角加速转动，则有，则有 t022100tt)(20202匀加速直线运动：匀加速直线运动：)(22102022000 xxavvattvxxatvvPz*OFdFrMsinMFrd( :力臂力臂)d 刚体绕刚体绕Oz轴旋转轴旋转, O为轴为轴与转动平面的交点，力与

10、转动平面的交点，力 作用作用在刚体上点在刚体上点 P , 且在转动平面且在转动平面内内, 为由点为由点O 到力的作用点到力的作用点 P 的位矢的位矢. Fr 对转轴对转轴z的力矩的力矩 F1. 力矩力矩 MsFrFWdcosdd21dMW力矩的功力矩的功2. 力矩作功力矩作功 orvFxvFOxrtFrdddsindFrM1. 1. 转动动能转动动能2ivim21刚体内部质量为刚体内部质量为 的质量元的速度为的质量元的速度为 imirivniiirm122)(212222211k212121nnmmmEvvvniim1212iv动能为动能为刚体定轴转动的总能量（转动动能）刚体定轴转动的总能量（

11、转动动能）ni2ii)(rm121niiirmJ12定义定义转动惯量转动惯量niiirm12相当于描写转动惯性的物理量相当于描写转动惯性的物理量. .2. 2. 转动惯量转动惯量单位：单位：kg m2（千克（千克米米2）.2k21JE刚体定轴转动动能计算式：刚体定轴转动动能计算式： 对质量连续分布的刚体，任取质量元对质量连续分布的刚体，任取质量元dm，其到轴其到轴的距离为的距离为r，则，则转动惯量转动惯量mrJd2与平动动能与平动动能2k21vmEniiirmE122k)(21比较转动动能比较转动动能lrrJ02d32/02121d2lrrJl231ml 设棒的线密度为设棒的线密度为 ，取一距

12、离转轴，取一距离转轴 OO 为为 处处的质量元的质量元 rr,mddrrmrJddd22 求求质量为质量为m、长为长为l的的均匀细长棒，对通过棒中心均匀细长棒，对通过棒中心和过端点并与棒垂直的两轴的转动惯量和过端点并与棒垂直的两轴的转动惯量.lO Ordrrd2l2lO O2121ml如转轴过端点垂直于棒如转轴过端点垂直于棒 刚体的转动惯量与刚体的刚体的转动惯量与刚体的质量质量m、刚体的、刚体的质量分布质量分布和和转轴的位置转轴的位置有关有关.3. 3. 转动惯量的计算举例转动惯量的计算举例例例3-2 求质量求质量 m 半径半径 R 的的 (1) 均质圆环，均质圆环， (2) 均质圆盘均质圆盘

13、对通过直径的转轴的转动惯量。对通过直径的转轴的转动惯量。解：解：RRmmdd2mrJd2d)sin(2022RRmR221mR(1) 圆环：圆环：mRdsin20222 dm241mRO dm(2) 圆盘：圆盘：Rmmdd22mJJd21d2RRm022221d 可见，转动惯量与刚体的质量分布有关。可见，转动惯量与刚体的质量分布有关。4. 4. 部分均匀刚体的转动惯量部分均匀刚体的转动惯量 薄圆盘转轴通过薄圆盘转轴通过中心与盘面垂直中心与盘面垂直221mrJ2r球体转轴沿直径球体转轴沿直径522mrJl 细棒转轴通过细棒转轴通过中心与棒垂直中心与棒垂直122mlJl 细棒转轴通过细棒转轴通过端

14、点与棒垂直端点与棒垂直32mlJ 刚体是其内任两质点间距离不变的质点组，刚体刚体是其内任两质点间距离不变的质点组，刚体做定轴转动时，质点间无相对位移，质点间内力不作做定轴转动时，质点间无相对位移，质点间内力不作功，外力功为其力矩的功；并且刚体无移动，动能的功，外力功为其力矩的功；并且刚体无移动，动能的变化只有定轴转动动能的变化变化只有定轴转动动能的变化.由质点组动能定理由质点组动能定理0kkinexEEWW, 0inW0dexMW20k02k21,21JEJE 合外力矩合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的转动动能的增量增量.得刚体定轴转动的动能

15、定理得刚体定轴转动的动能定理2022121d0JJMW注意注意: 2. 刚体的定轴转动的动能应用刚体的定轴转动的动能应用 计算计算.2k21JE1. 如果刚体在运动过程中还有势能的变化，可用质点如果刚体在运动过程中还有势能的变化，可用质点组的功能原理和机械能转换与守恒定律讨论组的功能原理和机械能转换与守恒定律讨论. 总之，刚总之，刚体作为特殊的质点组，它服从质点组的功能转换关系体作为特殊的质点组，它服从质点组的功能转换关系.21222121d21JJMW由动能定理：由动能定理：取微分形式：取微分形式：d)21(dd2JJM两边除两边除dtdtdddJtM由于由于ttdd,dd故得故得JtJMd

16、d 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律：刚体作定轴转动时，：刚体作定轴转动时，合外力合外力矩矩等于刚体的转动惯量与角加速度的等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积乘积. . 如果在一个物体系中，有的物体作平动，有的物如果在一个物体系中，有的物体作平动，有的物体作定轴转动，处理此问题仍然可以应用隔离法体作定轴转动，处理此问题仍然可以应用隔离法. . 但但应分清哪些物体作平动，哪些物体作转动应分清哪些物体作平动，哪些物体作转动. . 把平动物把平动物体隔离出来，按牛顿第二定律写出其动力学方程；把体隔离出来，按牛顿第二定律写出其动力学方程；把定轴转动物体隔离出来，按转动定律写出其动力学方定轴转动物体隔离出

17、来，按转动定律写出其动力学方程程. . 有时还需要利用质点及刚体定轴转动的运动学公有时还需要利用质点及刚体定轴转动的运动学公式补充方程，然后对这些方程综合求解式补充方程，然后对这些方程综合求解. .例例: :一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为有质量为m1和和m2的物体，滑轮可视为均质圆盘，的物体，滑轮可视为均质圆盘， 质量质量为为m，半径为，半径为r，绳子，绳子不可伸长而且与滑轮之间无相对不可伸长而且与滑轮之间无相对滑动滑动. .求求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳子的张物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳子的张力力. .受力图如下

18、，受力图如下，T1Fgm1T2Fa12mm设设T2Fgm2aT1Formm1m2JRFRFT1T2amFgm2T22amgmF11T1ra 解解: :得解得解,21)(2112mmmgmmarmmmgmm)21()(2112,21)212(21211mmmgmmmFTmmmgmmmFT21)212(21122221MrJ 1）系统对轴的转动惯量）系统对轴的转动惯量J是杆的转动是杆的转动惯量惯量J1与小球的转动惯量与小球的转动惯量J2之和之和.o例例: 一根质量均匀分布的细杆，一端连接一个大小可以一根质量均匀分布的细杆，一端连接一个大小可以不计的小球，另一端可绕水平转轴转动不计的小球，另一端可绕

19、水平转轴转动. 某瞬时细杆在某瞬时细杆在竖直面内绕轴转动的角速度为竖直面内绕轴转动的角速度为 ，杆与竖直轴的夹角，杆与竖直轴的夹角为为 . 设杆的质量为设杆的质量为 、杆长为、杆长为 l，小球的质量为小球的质量为 .1m2m求：求： 1）系统对轴的转动惯量；）系统对轴的转动惯量； 2）在图示位置系统的转动动能；）在图示位置系统的转动动能； 3）在图示位置系统所受重力对轴的力矩）在图示位置系统所受重力对轴的力矩.gm1gm2解解:l21JJJ22231lmml2231lmm)(2）系统的转动动能为：）系统的转动动能为：2k21JE22213121lmm)(3）系统所受重力有杆的中立和小球的重力）

20、系统所受重力有杆的中立和小球的重力.则系统所受重力对轴的力矩的大小为：则系统所受重力对轴的力矩的大小为：21MMMgmlgmsinsin212glmmsin)(2121ogm1l预习要点预习要点认识质点对定点的动量矩的定义，认识质点对定点的动量矩的定义， 刚体对转轴的动刚体对转轴的动量矩如何计算量矩如何计算?刚体定轴转动的动量矩定理的内容及数学表达式是刚体定轴转动的动量矩定理的内容及数学表达式是怎样的怎样的?1. 动量矩守恒定律的内容及守恒定律的条件是什么动量矩守恒定律的内容及守恒定律的条件是什么?1. 质点的质点的vvmrprL0vr0L0Lrxyzom 质量为质量为 的质点以速度的质点以速

21、度 在空间运动，某时刻相对原点在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为的位矢为 ，质点相对于原，质点相对于原点的角动量点的角动量mrvrmLsin0v大小大小 的方向符合右手法则的方向符合右手法则.0L单位单位 或或12smkgsJ 质点对定点质点对定点O的动量矩的动量矩 在某坐标轴在某坐标轴Oz上的投上的投影影 称为该质点对轴称为该质点对轴Oz的动量矩的动量矩. 质点作圆运动时，质点作圆运动时，其对过圆心其对过圆心O且运动平面垂直的轴且运动平面垂直的轴Oz的动量矩：的动量矩： 0LzL000z0cosLLL或或00zcosLLLmrrmL20sin又又rmv故得故得mrL2z（取正号（取正号

22、LZ与与Oz同向，负号反向）同向，负号反向）z2. 刚体的刚体的JL Oirimiv 刚体作定轴转动时，其内所有质点都在与轴垂直刚体作定轴转动时，其内所有质点都在与轴垂直的平面内作圆周运动，刚体对轴的动量矩为其所有质的平面内作圆周运动，刚体对轴的动量矩为其所有质点对同一轴的动量矩之和点对同一轴的动量矩之和.niiLL1zrmniii12rmniii12)(J即即L为正，其方向沿为正，其方向沿Oz正向，反之沿正向，反之沿Oz负向负向.对刚体组合系统，总动量矩为各部分对同轴动量矩之和对刚体组合系统，总动量矩为各部分对同轴动量矩之和.刚体所受的外力矩等于刚体角动量的变化率刚体所受的外力矩等于刚体角动量的变化率.121221dLLJJtMtt将上式变形后积分将上式变形后积分动量矩定理动量矩定理: 作用在刚体上的冲量矩等于刚体动量矩作用在刚体上的冲量矩等于刚体动量矩的的增量增量.tJMdd由刚体定轴转动定律由刚体定轴转动定律tLtJMddd)(dLJtMd)(dd21dtttM表示作用在刚体上的合外力矩的时间积累表示作用在刚体上的合外力矩的时间积累, 称为称为冲量矩冲量矩.动量矩守恒定律动量矩守恒定律: : 当刚体转动系统受到的当刚体转动系统受到的合外力矩为合外力矩为零