第4章 向量组的线性相关性

1、线性代数4 41 1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性4 43 3 向量组的秩向量组的秩4 42 2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性4 45 5 向量空间向量空间4 44 4 线性方程组解的结构线性方程组解的结构第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性4-1 4-1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合一、向量一、向量 定义定义 n个有次序的数个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为所组成的数组称为n维向量维向量 这这n个数称为该向量的个数称为该向量的n个分量个分量 第第i个数个数ai称为第称为第i个分量个分量。分量全为

2、复数的向量称为分量全为复数的向量称为复向量复向量。分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量，例如例如), 3 , 2 , 1(n例如例如)1(,32 ,21(innii 1 1、n维向量的概念维向量的概念第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性2 2、向量的表示、向量的表示12(,)Tnaa aa n维向量写成一行，称为行向量维向量写成一行，称为行向量(即行矩阵），即行矩阵），通常用等表示，如：通常用等表示，如：,TTTTab n维向量写成一列，称为列向量（即列矩阵），维向量写成一列，称为列向量（即列矩阵），通常用等表示，如：通常用等表示，如：, , ,a b 12n

3、aaaa第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性注意注意、行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；、行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；、行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；、行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；、当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量、当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量. .第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性1 1、向量组、向量组 若干个若干个同维数同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合，称为合，称为向量组。向量组。 12111maaa 22212maaa mn

4、nnaaa21 二、向量组及其线性组合二、向量组及其线性组合 aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj212222211112111a2ajana1a2ajana 一个一个m n矩阵矩阵A，对应一个对应一个m维列向量组：维列向量组：第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性类似类似一个一个m n矩阵矩阵A，对应一个对应一个n维行向量组：维行向量组： aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn212122221112111T2TTiTm1T2TTiTm )( )()(212222111211mnmmnnaaaaaaaaa 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性2 2

5、、向量组的线性组合、向量组的线性组合 给定向量组给定向量组A 对于任何一组实数对于任何一组实数k1 k2 km，表达式表达式12,ma aa 1212mmaakkk a称为向量组称为向量组A的一个的一个线性组合线性组合. k1 k2 km为该线性组合的系数为该线性组合的系数.第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性1122mmkkbaaka则称则称向量向量b能由向量组能由向量组A线性表示线性表示 三、向量组的线性表示三、向量组的线性表示 定理定理4-14-1 向量向量b能由向量组能由向量组A a1 a2 am线性表示的充分线性表示的充分必要条件是矩阵必要条件是矩阵 与矩阵与矩阵 的秩

6、相等的秩相等 即即R(A) R(B) 12(,)mAa aa 12( , )mBa aab 定义：定义：如果向量如果向量b是向量组是向量组A的线性组合：的线性组合：1 1、向量、向量 能由向量组能由向量组A线性表示线性表示b第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 例例4-14-1 设设 证明向量证明向量b能由向量组能由向量组 线性表示线性表示 并求出表示式并求出表示式。12311111210,21432301aaab 123,a a a 解解 123(,)Aa a a 123( , )Ba a a b 设设1 1111 21 02 1432 301Br1 1110 1210 000

7、0 000( )( )2R AR Br1 0320 1210 0000 000向量向量b能由向量组能由向量组 线性表示线性表示。123,a a a 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性3221cxcc由由B最简形可得线性方程组最简形可得线性方程组 解为解为123(,)a a axbAxb 即即得表达式得表达式123(,)ba a ax 1233221()+()cacaca第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性2 2、向量组、向量组B能由向量组能由向量组A线性表示线性表示 定义：定义：若向量组若向量组 中每一个向量都能由向量组中每一个向量都能由向量组 线性表示，则称线性

8、表示，则称向量组向量组B能由向量组能由向量组 A线性表示。线性表示。12,nAa aa12:,mB b bb 若向量组若向量组B组能由向量组组能由向量组A线性表示线性表示 含义是存在矩阵含义是存在矩阵K (kij) 使使 1112121222121212(,)(,)lllmmmm lkkkkkkb bba aakkk , 矩阵矩阵K称为这一线性表示的系数矩阵称为这一线性表示的系数矩阵( (注意系数矩阵的位置注意系数矩阵的位置) ) 这就是说矩阵方程这就是说矩阵方程 AX B 有解，由第三章定理有解，由第三章定理6 6立即可得立即可得R(A) R(A B) ，即：，即：第四章第四章 向量组的线性

9、相关性向量组的线性相关性若若C=AB，则矩阵，则矩阵C的列向量组能由矩阵的列向量组能由矩阵A的列向量线的列向量线性表示，性表示，B为这一表示的系数矩阵。即为这一表示的系数矩阵。即 1112121222121212(,)(,)nnnllll nbbbbbbc cca aabbb ,注注 111211112111121212222122221222121212nlnnlnmmm nmmm llll ncccaaabbbcccaaabbbcccaaabbb,1c2cnc1a2ala第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性若若C=AB，则矩阵，则矩阵C的行向量组能由矩阵的行向量组能由矩阵B的

10、行向量线的行向量线性表示，性表示，A为这一表示的系数矩阵。即为这一表示的系数矩阵。即 注注 111211112111121212222122221222121212nlnnlnmmm nmmm llll ncccaaabbbcccaaabbbcccaaabbb,1112121222112122TTTmlllmmm lTTTaaaaaaaaa,1T2TTm1T2TTl第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 定理定理4-24-2向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示的充要条件是线性表示的充要条件是R(A) R(A B) 。12,nAa aa 12:,mB b bb 定理定理4-3

11、4-3向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示，则线性表示，则R(B)R(A) 。12,nAa aa 12:,mB b bb 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性四、向量组的等价四、向量组的等价 定义定义 若向量组若向量组A与与B能相互线性表示能相互线性表示 则称这则称这两个向量组等价两个向量组等价。 若矩阵若矩阵A A与与B B 行行等价等价 则这两个矩阵的则这两个矩阵的行向量组等价行向量组等价 矩阵等价与向量组等价的关系矩阵等价与向量组等价的关系若矩阵若矩阵A A与与B B 列列等价等价 则这两个矩阵的则这两个矩阵的列向量组等价列向量组等价 向量组等价的判据向量组等价的判

12、据12,nAa aa 12:,mB b bb 定理定理4-24-2推论：推论：向量组向量组 与向量组与向量组 等价的充要条件是等价的充要条件是R(A) R(B)=R(A B) 。第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 例例4-24-2 设设 证明向量组证明向量组 与向量组与向量组 等价等价。121231321311011,1110213120aabbb 12,a a 解解 r123,b b b 设设 ，并对（，并对（B, ,A）实施行）实施行初等变换化为最简形：初等变换化为最简形：12(,),Aa a 123( ,)Bb b b 2131301111( ,)1021112013B

13、A10211011110000000000( )( ,)2R BR B A( )2R A 易易知知: :( )( )( ,)2R AR BR B A所以两向量组所以两向量组等价等价。第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 定理定理4-14-1 向量向量b能由向量组能由向量组A a1 a2 am线性表示的充要条件线性表示的充要条件 是矩阵是矩阵 与矩阵与矩阵 的秩相等的秩相等 即即R(A) R(B) 12(,)mAa aa 12( , )mBa aab 定理定理3-53-5 线性方程组线性方程组 有解有解的充要条件是的充要条件是 Axb()(, )R AR A b 定理定理4-24-

14、2向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示的充要条件是线性表示的充要条件是R(A) R(A B) 。12,nAa aa 12:,mB b bb 定理定理3-63-6 矩阵方程矩阵方程AX=B有解有解的充要条件是的充要条件是 ()(,)R AR A B第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 定理定理4-34-3向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示，则线性表示，则R(B)R(A) 。12,nAa aa 12:,mB b bb 定理定理3-73-7 设设B=AK ，则，则()min(),()R BR AR K第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 例例4-34-3

15、证明证明 n维单位坐标向量组维单位坐标向量组E e1 e2 en能由能由n维向量维向量组组A a1 a2 am线性表示的充分必要条件是线性表示的充分必要条件是R(A) n 而而 R(A E) R(E) n 证证 根据根据定理定理4-24-2 向量组向量组e1 e2 en能由向量组能由向量组A线性表示的线性表示的充分必要条件是充分必要条件是R(A) R(A E) 。 又矩阵又矩阵(A E)含含n行行 知知R(A E) nR(A E) nR(A)=(A E) n第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性4-2 4-2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性一、向量组线性相关性的概念一、向量组

16、线性相关性的概念 定义定义 给定向量组给定向量组 如果存在不全为零的数如果存在不全为零的数 k1 k2 km 使使12:,mA a aa 1212mmaaaOkkk注意：注意：（1 1）若向量组若向量组A是是线性无关线性无关 只有只有 k1= k2= = km=0=0时才有时才有1212mmaaaOkkk（2 2）对于任意向量组不对于任意向量组不是是线性相关线性相关 就是纯线性无关。就是纯线性无关。则称向量组则称向量组A是是线性相关线性相关的的 否则称它否则称它线性无关线性无关。第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性（4 4）含零向量的向量组必线性相关含零向量的向量组必线性相关。（

17、6）向量组向量组 (m 2)线性相关线性相关 即在向量组即在向量组A中中 至少有一个向量能由其余至少有一个向量能由其余m 1个向量线性表示个向量线性表示。12:,mA a aa （5 5）两个非零向量两个非零向量 线性相关线性相关 ( (即对应分量成比例即对应分量成比例) )。12,a a 21aka（3 3）向量组只有一个向量向量组只有一个向量 时，线性相关时，线性相关 。a0a 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性二、向量组线性相关性的判定二、向量组线性相关性的判定 定理定理4-44-4向量组向量组 线性相关的充分必要条件是线性相关的充分必要条件是 它所构成的矩阵它所构成的矩

18、阵 的秩小于向量个数的秩小于向量个数m 向量组线性无关的充分必要条件是向量组线性无关的充分必要条件是R(A) m。 12:,mA a aa12,mAa aa 向量组向量组 (m 2)线性相关的充要条件是向量组线性相关的充要条件是向量组A中中至少至少有一个向量能由其余有一个向量能由其余m 1个向量线性表示个向量线性表示。12:,mA a aa 向量组向量组线性相关的线性相关的判据：判据： 这是因为这是因为 向量组向量组A a1 a2 am线性相关线性相关 R(A) m x1a1 x2a2 xmam 0即即Ax 0有非零解。有非零解。第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性n维单位坐标向

19、量组构成的矩阵为维单位坐标向量组构成的矩阵为 例例4-44-4试讨论试讨论n维单位坐标向量组的线性相关性维单位坐标向量组的线性相关性 解解 是是n阶阶单位矩阵单位矩阵。12( ,)nEe ee 易知易知R(E) n 即即R(E)= = n（向量组中向量个数向量组中向量个数）。所以此向量组是线性无关的所以此向量组是线性无关的。第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 例例4-54-5已知已知1231021 ,2 ,4157aaa 试讨论向量组试讨论向量组 及向量组及向量组 的线性相关性的线性相关性 123,a a a 12,a a 解解 123102(,)124137a a a r10

20、2011000123(,)2R a a a 123,a a a 线性相关线性相关 12(,)2R a a 12,a a 线性无关线性无关 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 例例4-64-6已知向量组已知向量组 线性无关，且线性无关，且 试证明向量组试证明向量组 线性无关。线性无关。 123,a a a 112223331,baa baa baa123,b b b 证法一证法一 显然显然123123101( ,)(,) 110011b b ba a a 记作记作B AK( )( )R AR B( )( )3R BR A因为因为K可逆，由矩阵秩的性质知可逆，由矩阵秩的性质知又因为

21、又因为A的列向量组线性无关，故的列向量组线性无关，故( )3R A 由由定理定理4-44-4知，知，B的的3 3个列向量组个列向量组 线性无关。线性无关。123,b b b 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 证法二证法二 设有设有x1 x2 x3使使000322131xxxxxx 由于此方程组的系数行列式由于此方程组的系数行列式02110011101 故方程组只有零解故方程组只有零解 x1 x2 x3 01 1223 30 x bx bx b 即即112223331()()()0 x aax aax aa131122233()()()0 xx axx axx a因为因为 线性

22、无关线性无关 故有故有123,a a a 所以向量组所以向量组 线性无关线性无关 123,b b b 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 定理定理4-54-5 (1)(1)若向量组若向量组 线性相关线性相关 则向量组则向量组B： 也线性相关也线性相关。反之反之 若向量组若向量组B线性无线性无关关 则向量组则向量组A也线性无关也线性无关。12:,mA aaa211,mmaa aa 这个结论可一般地叙述为这个结论可一般地叙述为 一个向量组若有线性相关的一个向量组若有线性相关的部分组部分组 则该向量组线性相关则该向量组线性相关( (小相则大相小相则大相) ) 一个向量组若一个向量组若

23、线性无关线性无关 则它的任何部分组都线性无关则它的任何部分组都线性无关( (大无则小无大无则小无) ) 特别地特别地 含零向量的向量组必线性相关含零向量的向量组必线性相关 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 定理定理4-54-5 (2)(2)m个个n维向量组成的向量组维向量组成的向量组 当维数当维数n小于向量个数小于向量个数m时一定线性相关时一定线性相关。特别地特别地 n 1个个n维向量一定线性相关维向量一定线性相关。 (1)(1)若向量组若向量组 线性相关线性相关 则向量组则向量组B： 也线性相关也线性相关。反之反之 若向量组若向量组B线性无线性无关关 则向量组则向量组A也线

24、性无关也线性无关。12:,mA aaa211,mmaa aa 若若n m 则则R(A) m 故故m个向量个向量a1 a2 am线性相关线性相关 这是因为这是因为 m个个n维向量维向量 构成矩阵构成矩阵12,ma aa有有R(A) n 12(,)n mmAa aa第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 定理定理4-54-5 (2)(2)m个个n维向量组成的向量组维向量组成的向量组 当维数当维数n小于向量个数小于向量个数m时一定线性相关时一定线性相关。特别地特别地 n 1个个n维向量一定线性相关维向量一定线性相关。 (1)(1)若向量组若向量组 线性相关线性相关 则向量组则向量组B：

25、也线性相关也线性相关。反之反之 若向量组若向量组B线性无线性无关关 则向量组则向量组A也线性无关也线性无关。12:,mA aaa211,mmaa aa (3)(3)设向量组设向量组 线性无关线性无关 而向量组而向量组B： 线性相关线性相关 则向量则向量 必能由向量组必能由向量组A线性表线性表示示 且表示式是唯一的且表示式是唯一的。 12:,mA aaa12,mabaab第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 这是因为这是因为 若记若记即向量即向量b能由向量组能由向量组A线性表示线性表示 且表示式唯一且表示式唯一 有唯一解有唯一解。因此方程组因此方程组 R(B) R(A) m m R

26、(A) R(B) m 1 则有则有12(,)mAa aa12(, )mBa aab12(,)ma aaxb第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 例例4-74-7 设向量组设向量组a1 a2 a3线性相关线性相关 向量组向量组a2 a3 a4线性无线性无关关 证明证明 (1)(1) a1能由能由a2 a3线性表示线性表示 (2)(2) a4不能由不能由a1 a2 a3线性表示线性表示 证明证明 (1)(1)因为因为a2 a3 a4线性无关线性无关 所以所以a2 a3也线性无关也线性无关 又又a1 a2 a3线性相关线性相关 所以所以a1能由能由a2 a3线性表示线性表示 第四章第四

27、章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 (2)(2)用反证法：用反证法：假设假设 能由能由 线性表示线性表示123,a aa4a而由而由(1)(1)知知 能由能由 线性表示线性表示23,aa1a因此因此 能由能由 线性表示线性表示 这与这与 线性无关矛盾线性无关矛盾 23,aa4a234,aa a第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 定理定理4-14-1 向量向量b能由向量组能由向量组A a1 a2 am线性表示的充要条件线性表示的充要条件 是矩阵是矩阵 与矩阵与矩阵 的秩相等的秩相等 即即R(A) R(B) 12(,)mAa

28、aa 12( , )mBa aab 定理定理4-24-2向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示的充要条件是线性表示的充要条件是R(A) R(A B) 。12,nAa aa 12:,mB b bb 12,nAa aa 12:,mB b bb 定理定理4-24-2推论：推论：向量组向量组 与向量组与向量组 等价的充要条件是等价的充要条件是R(A) R(B)=R(A B) 。 定理定理4-44-4向量组向量组 线性相关的充分必要条件是线性相关的充分必要条件是 它所构成的矩阵它所构成的矩阵 的秩小于向量个数的秩小于向量个数m 向量组线性无关的充分必要条件是向量组线性无关的充分必要条件是R(A)

29、m。 12:,mA a aa12,mAa aa 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 定理定理4-54-5 (2)(2)m个个n维向量组成的向量组维向量组成的向量组 当维数当维数n小于向量个数小于向量个数m时一定线性相关时一定线性相关。特别地特别地 n 1个个n维向量一定线性相关维向量一定线性相关。 (1)(1)若向量组若向量组 线性相关线性相关 则向量组则向量组B： 也线性相关也线性相关。反之反之 若向量组若向量组B线性无线性无关关 则向量组则向量组A也线性无关也线性无关。12:,mA aaa211,mmaa aa (3)(3)设向量组设向量组 线性无关线性无关 而向量组而向量

30、组B： 线性相关线性相关 则向量则向量 必能由向量组必能由向量组A线性表线性表示示 且表示式是唯一的且表示式是唯一的。 12:,mA aaa12,mabaab第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性4-3 4-3 向量组的秩向量组的秩 上两节在讨论向量组的线性组合和线性相关性时上两节在讨论向量组的线性组合和线性相关性时 矩矩阵的秩阵的秩起了十分重要的作用起了十分重要的作用。为使讨论进一步深入为使讨论进一步深入 下面下面把秩的概念引进向量组把秩的概念引进向量组。第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性一、最大无关组和向量组的秩一、最大无关组和向量组的秩 定义定义 设有向量组设

31、有向量组A 如果在如果在A中能选出中能选出r个向量个向量 ,满足满足12,ra aa (2)(2)向量组向量组A中任意中任意r 1个向量都线性相关个向量都线性相关 (1)(1)向量组向量组 线性无关线性无关 102:,ra aAa 则向量组则向量组A0称为向量组称为向量组A的一个的一个最大无关组最大无关组 最大无关组最大无关组所含向量的个数所含向量的个数r称为称为向量组向量组A的秩的秩 记作记作RA 只含零向量的向量组没有最大无关组只含零向量的向量组没有最大无关组 规定它的秩为规定它的秩为0 0 向量组的最大无关组一般向量组的最大无关组一般不是唯一不是唯一的的. .第四章第四章 向量组的线性相

32、关性向量组的线性相关性1231021 ,2 ,4157aaa 如如 例例4-54-5 123102(,)124137a a a r102011000 线性相关线性相关 而而 、 和和 都是线性无关组。都是线性无关组。13,a a 23,a a123,a a a 12,a a 所以所以 、 和和 都是向量组都是向量组 的最大无关组的最大无关组。123,a a a 13,a a 23,a a12,a a 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性二、矩阵的秩与向量组的秩关系二、矩阵的秩与向量组的秩关系 定理定理4-64-6 矩阵的秩等于它的列向量组的秩矩阵的秩等于它的列向量组的秩 也等于它

33、的行也等于它的行向量组的秩向量组的秩。证明：证明： 则由则由r阶子式阶子式Dr 0知知Dr所在的所在的r列线性无关列线性无关 又由又由A中所有中所有r 1阶子式均为零阶子式均为零 知知A中任意中任意r 1 1个列向量个列向量都线性相关都线性相关。 因此因此Dr所在的所在的r列是列是A的列向量组的一个最大无关组的列向量组的一个最大无关组 所以所以A的列向量组的秩等于的列向量组的秩等于r。 类似可证矩阵类似可证矩阵A的行向量组的秩也等于的行向量组的秩也等于R(A)。 设矩阵设矩阵 R(A) r 12(,)mAa aa第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性结论结论 若若Dr是矩阵是矩阵A

34、的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式 则则Dr所在的所在的r列即列即是是A的列向量组的一个最大无关组的列向量组的一个最大无关组 Dr所在的所在的r行即是行即是A的行向的行向量组的一个最大无关组量组的一个最大无关组。 将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换化为行阶梯形。行初等行变换化为行阶梯形。求向量组的秩以及最大无关组的方法求向量组的秩以及最大无关组的方法向量组与其最大无关组向量组与其最大无关组等价等价。第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 例例4-84-8 设设 求向量组求向量组 的一个最大无关组的一个最大无

35、关组 解解 123452111211214,4622436979aaaaa 21112112144622436979Ar10104011030001300000 设设12345,a a a a a 对对A施行初等行变换变为行最简形矩阵：施行初等行变换变为行最简形矩阵：12345(,)Aa aa aa 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 三个非零行的首个非零元所对三个非零行的首个非零元所对应的列向量应的列向量a1 a2 a4为列向量组的一个最大无关组。为列向量组的一个最大无关组。即即A向量组的一个最大无关组为：向量组的一个最大无关组为：124211111,462367aaa 第四

36、章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 我们知道我们知道n维维单位坐标向量单位坐标向量构成的向量组构成的向量组 例例4-94-9 全体全体n维向量构成的向量组记作维向量构成的向量组记作Rn 求求Rn的一个的一个最大无关组及最大无关组及Rn的秩的秩 因此因此 向量组向量组E是是Rn的一个最大无关组的一个最大无关组 且且Rn的秩等于的秩等于n。 显然显然 Rn的最大无关组很多的最大无关组很多 任何任何n个线性无关的个线性无关的n维向维向量都是量都是Rn的最大无关组的最大无关组。 解解 是线性无关的是线性无关的 12:,nE e ee 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性三、最

37、大无关组的等价定义三、最大无关组的等价定义 (1)(1)向量组向量组A0线性无关线性无关 (2)(2)向量组向量组A的任一向量都能由向量组的任一向量都能由向量组A0线性表示线性表示 那么向量组那么向量组A0便是向量组便是向量组A的一个最大无关组的一个最大无关组 推论推论 设向量组设向量组 是向量组是向量组A的一个部分组的一个部分组 且满足且满足 012:,rAaaa 只要证向量组只要证向量组A中任意中任意r 1 1个向量线性相关个向量线性相关 证证 设设 是是A中任意中任意r 1个个向量向量 由条件由条件(2)(2)知这知这r 1 1个向量能由向量组个向量能由向量组A0线性表示线性表示 由由定

38、理定理4-34-3知，有知，有121,rb bb 12112( ,)( ,)rrR b bbR a aa 1rr第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性因此向量组因此向量组A0是向量组是向量组A A的一个最大无关组的一个最大无关组。从而从而r 1个向量个向量 线性相关。线性相关。121,rb bb 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 例例4-104-10 设齐次线性方程组设齐次线性方程组0750 3202243214214321xxxxxxxxxxx的全体解向量构成的向量组为的全体解向量构成的向量组为S 求求S的秩的秩 解解 先求线性方程组的通解先求线性方程组的通解

39、得得121223011157Ar1034012300001342343423xxxxxx 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性线性方程组的通解为线性方程组的通解为 4321xxxx1034012321cc 把上式记作把上式记作 则则1 122xcc1 12212,Sx xccc cR 因为因为 的四个分量显然不成比例的四个分量显然不成比例 故故 线性无关线性无关 21, 21, 又因为又因为S能由向量组能由向量组 线性表示线性表示。21, 所以所以 是是S的最大无关组的最大无关组 从而从而RS 2。21, 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性四、四、用向量组的秩陈述

40、的几个定理用向量组的秩陈述的几个定理 定理定理4-14-1 向量向量b能由向量组能由向量组 线性表示的充分线性表示的充分必要条件是：必要条件是：12,ma aa 定理定理4-24-2 向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示的充分必要条件是的充分必要条件是12,ma aa 12,lb bb 定理定理4-34-3 向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性线性表示则：表示则：12,ma aa 12,lb bb 定理定理4-44-4 向量组向量组 线性相关的充分必要条件是线性相关的充分必要条件是12,ma aa 1212(,)(, )mmR a aaR a aab 121212(,)(,

41、)mmlR a aaR a aab bb 1212( ,)( ,)lmR b bbR a aa 12(,)mR a aam 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 例例4-114-11 设矩阵设矩阵求矩阵求矩阵A的列向量组的一个最大无关组的列向量组的一个最大无关组 并把不属于最大无并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示关组的列向量用最大无关组线性表示 解解 21112112144622436979A21112112144622436979Ar10104011030001300000 对对A施行初等行变换变为行最简形矩阵施行初等行变换变为行最简形矩阵 AF 三个非零行的首非

42、零元所对三个非零行的首非零元所对应的列向量应的列向量a1 a2 a4为列向量组的一个最大无关组。为列向量组的一个最大无关组。即即FA第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性A列向量的一个最大无关组为：列向量的一个最大无关组为：124211111,462367aaa 因此因此不妨设不妨设A的最简形矩阵的最简形矩阵12345(,)FAb b b b b 则向量则向量 之间与向量之间与向量 之间之间有相同的线性关系有相同的线性关系。 而而12345,a a a a a 12345,b bbbb312,bbb 5124433bbbb312,aaa 5124433aaaa第四章第四章 向量组的

43、线性相关性向量组的线性相关性4-4 4-4 线性方程组解的结构线性方程组解的结构 (1)(1)n个未知数的齐次线性方程组个未知数的齐次线性方程组 有非零解的有非零解的 充要条件是系数矩阵的秩充要条件是系数矩阵的秩R(A) n 0Ax (2)(2)n个未知数的非齐次线性方程组个未知数的非齐次线性方程组 有解的有解的 充要条件是充要条件是 且且Axb( )( , )R AR A b 当当 n时方程组有唯一解时方程组有唯一解；( )( , )R AR A b( )( , )R AR A b当当 n时方程组有无限多解时方程组有无限多解。第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性、解向量的概念、

44、解向量的概念设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa或写成或写成（1）一、齐次线性方程组解的性质一、齐次线性方程组解的性质0.Ax （2）第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性1112211,nnxxx若若为方程为方程 的解，则的解，则0Ax 112111nx称为方程组称为方程组(1) (1) 的的解向量解向量，它也就是向量方程，它也就是向量方程(2)(2)的解的解第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性、齐次线性方程组解的性质、齐次线性方程组解的性质（1 1）若若 为为 的解，

45、则的解，则12,xx0Ax 12x也是也是 的解的解. .0Ax （2 2）若若 为为 的解，的解， 为实数，则为实数，则kx0Ax xk也是也是 的解的解. .0Ax 由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于合，对于加法和数乘运算是封闭加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组称此向量空间为齐次线性方程组 的的解空间解空间0Ax 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性（1 1）方程方程 的任一解都可由的任一解都可由S0线性表示线性表示 0Ax 1 122ttx

46、kkk 设设S是方程是方程 的解的集合的解的集合 是是S的的一个最大无关组一个最大无关组 则有则有: : 0Ax 012:,tS （2 2）S0的任何线性组合的任何线性组合因此因此 是方程是方程 的的通解通解。 1 122ttxkkk0Ax 都是方程都是方程 的解的解。0Ax 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性二、基础解系及其求法二、基础解系及其求法、基础解系的定义、基础解系的定义 齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的方程组的基础解系基础解系。12,t （1 1） 是是 一组一组线性表无关解线性表无关解 0Ax （

47、2 2） 的的任一解都可用任一解都可用 线性表示。线性表示。0Ax 12,t 是齐次线性方程组是齐次线性方程组 的基础解系，则的基础解系，则0Ax 12,t 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性、线性方程组基础解系的求法、线性方程组基础解系的求法111,1,10010000n rrr n rbbbbB 设齐次线性方程组的系数矩阵为设齐次线性方程组的系数矩阵为A，并不妨设，并不妨设A的的前前r个列向量线性无关。个列向量线性无关。于是于是 A可化为行最简形：可化为行最简形：第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性1111,21,100100000n rrr n rnxbbx

48、bbx 11111,11,rn rnrrrr n rnxb xbxxb xbx 0Ax （3）第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性现对现对 取下列取下列n-r组数：组数：nrx,x1 , 001 nrrxxx21., 100, 010代入（代入（3 3）式，依次可得）式，依次可得 rxx1.bb,rn,rrn, 1,bbr 212,bbr 111第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性,1111100rbb,1222010rbb,.1001n rr n rn rbb合起来便得到基础解系合起来便得到基础解系 ：,1 122n rn rxccc从而得到方程组从而得到方程组（

49、1 1）的通解的通解 ：齐次线性方程组的基础解系不是唯一的。齐次线性方程组的基础解系不是唯一的。第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性说明说明 （2 2） R(A) RS n。 定理定理4-74-7设设m n矩阵矩阵A的秩的秩R(A) r 则则n元齐次线性方程组元齐次线性方程组 的解集的解集S的秩的秩RS n r。0Ax （1 1）当当R(A) r n时时 方程组方程组 的任何的任何n r个线性无个线性无关的解都可构成它的基础解系关的解都可构成它的基础解系。0Ax 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 例例4-124-12 求齐次线性方程组求齐次线性方程组037702

50、3520432143214321xxxxxxxxxxxx的基础解系与通解的基础解系与通解 解解 对系数矩阵对系数矩阵A作初等行变换，变为行最简形：作初等行变换，变为行最简形： r111125327731A231077540177000013423423775477xxxxxx第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性令令3410,01xx 122377,5477xx 1275,7102374701基础解系为：基础解系为： 方程组的通解为：方程组的通解为： 12112234xxccxx12237754771001cc第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 例例4-134-13

51、 设设Am nBn l 0， 证明证明R(A) R(B) n 。所以所以 R(A) R(B) n。又因为又因为RS n R(A) 证证 即即表明矩阵表明矩阵B的的l个列向量都是齐次方程个列向量都是齐次方程 的解的解。0Ax 记记 则则 12( ,)lBb bb 12( ,)lA b bbO (1,2, )iAbOil 设方程设方程 的解集为的解集为S 由由bi S 知有知有 即即R(B) RS。 0Ax 12( ,)lSR b bbR 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性三、非齐次线性方程组的解三、非齐次线性方程组的解1212,30 xxAxbxAx设设及及都都是是的的解解 则则

52、为为性性质质对对应应的的齐齐次次方方程程的的解解. .非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质,0,.4 xAxbxAxxAxb设设是是方方程程的的解解是是方方程程的的解解则则仍仍是是方方程程质质的的解解性性第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性2 2、非齐次线性方程组解的结构、非齐次线性方程组解的结构 1 1n rn rxkk其中其中 为对应齐次线性方程组的通解，为对应齐次线性方程组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特解为非齐次线性方程组的任意一个特解. .11nrnrkk Axb非非齐齐次次线线性性方方程程组组的的通通解解为为: :第四章第四章 向量组的线性相关性向

53、量组的线性相关性、与方程组、与方程组 有解等价的命题有解等价的命题Axb12,; nba aa向向量量 能能由由向向量量组组线线性性表表示示1212,;nna aaa aab 向向量量组组与与向向量量组组等等价价1212,.nnAa aaBa aab 矩矩阵阵与与矩矩阵阵的的秩秩相相等等线性方程组线性方程组 有解有解Axb第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性、线性方程组的解法、线性方程组的解法（1 1）应用应用克拉默法则克拉默法则（2 2）利用利用初等变换初等变换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要

54、的理论价值，可用来证明很多命题容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法易于编程实现，是有效的计算方法第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 例例4-164-16 求解方程组求解方程组 解解 对增广矩阵对增广矩阵B作行初等变换作行初等变换 化为行最简形：化为行最简形：可见可见R（A）= =R（B）=2=2 方程组有解。并有方程组有解。并有1234

55、123412340311232xxxxxxxxxxxx1111011131111232Br111012100122000001243412122xxxxx第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性241310,2xxxx取取得得，则方程组的，则方程组的特解特解：*11, 0, 022T而对应的齐次线性方程组的而对应的齐次线性方程组的基础解系基础解系：124342xxxxx11,1, 0, 0T21, 0, 2,1T原方程组的通解为：原方程组的通解为：12123411121000212010 xxccxx第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性4-5 4-5 向量空间向量空间一

56、、向量空间的概念一、向量空间的概念说明说明（2 2）n 维向量的集合是一个向量空间维向量的集合是一个向量空间, ,记作记作Rn。 定义定义 设设V为为n维向量的集合，如果集合维向量的集合，如果集合V非空非空，且集合，且集合V对对于于加法及乘数两种运算封闭加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合，那么就称集合V为为向量空间向量空间. .（1 1）集合集合V对于加法及乘数两种运算对于加法及乘数两种运算封闭封闭指指,;VVV若若 则则,;VRV若若 则则第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性v向量空间举例向量空间举例 例例 判别下列集合是否为向量空间：判别下列集合是否为向量空间：,( ),1

57、2201TnnVxxxxxR,( ),22212TnnVxxxxxR( (3) )齐次线性方程组的解集齐次线性方程组的解集0SxAx( (4) )非齐次线性方程组的解集非齐次线性方程组的解集SxAxb不是不是向量空间。向量空间。是是向量空间向量空间不是不是向量空间向量空间是是向量空间向量空间第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性,1 12 212m mmVxaaaR 一般地，由向量组一般地，由向量组 所生成的向量空间为所生成的向量空间为,12ma aa ,VxabR ( (5) )设设 为两个已知的为两个已知的n维向量，集合维向量，集合,a b是一个向量空间。是一个向量空间。第四章

58、第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性二、向量空间的基与维数二、向量空间的基与维数 定义定义 设设V是向量空间，如果是向量空间，如果r个向量个向量 ，且满足且满足,12ra aaV (1) (1) 线性无关线性无关,12ra aa(2) (2) V中任一向量都可由中任一向量都可由 线性表示。线性表示。,12ra aa 则向量组则向量组 就称为向量空间就称为向量空间V的一个的一个基基，r称为向量空间称为向量空间V的的维数维数，并称，并称V为为r维向量空间维向量空间。,12ra aa第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性,1 12 21rrrVxaaaR （1 1）只含有零向量的向量空间称为只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因维向量空间，因此它没有基。此它没有基。说明说明 （3 3）若向