线性代数B42方阵的特征值与特征向量

1、线性代数线性代数4.2 4.2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量 4. .2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量 工程技术中的一些问题工程技术中的一些问题 如如振动问题振动问题和和稳定性稳定性问题问题可归结为可归结为求一个方阵的特征值和特征向量求一个方阵的特征值和特征向量的问的问题题. . 数学中诸如数学中诸如方阵的对角化方阵的对角化及及解微分方程组解微分方程组的问的问题题 也都要用到也都要用到特征值特征值的理论的理论. . 4. .2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量 一、特征值与特征向量的一、特征值与特征向量的概念概念二、特征值与特征向量的二、特征值与特征

2、向量的求法求法三、特征值与特征向量的三、特征值与特征向量的性质性质提示提示 v定义定义1设设A是是n阶矩阵阶矩阵 如果数如果数 和和n维维非零列向量非零列向量x使成立使成立 Ax x （ Annxn1 xn1 ）那么那么 数数 称为方阵称为方阵A的的特征值特征值 非零列向量非零列向量x 称为方阵称为方阵A的的对应于特征值对应于特征值 的的特征向量特征向量. . Ax x Ax Ex (A E)x 0或或( E-A)x 0 齐次方程齐次方程(A E)x 0或或( E-A)x 0有非零解有非零解 |A E| 0或或| E-A| 0 . .一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念注注 (

3、1) 特征向量特征向量x0, 特征值特征值问题是针对问题是针对方阵方阵而言的而言的. (2) 由由Ax x 知知, A作用非零向量作用非零向量 x 后后 x x, 即即 x 变为原来的变为原来的 倍倍.v特征值的求法特征值的求法 |A E| 0的根的根 ，就是方阵就是方阵A的特征值的特征值.v特征多项式特征多项式与与特征方程特征方程 设设A为为n阶方阵阶方阵 则称则称 的的n次多项式次多项式f( ) |A E|为为方阵方阵A的特征多项式的特征多项式 称称|A E| 0为为方阵方阵A的特征方程的特征方程. . 二、特征值与特征向量的二、特征值与特征向量的求法求法v特征向量的求法特征向量的求法 齐

4、次方程齐次方程(A E)x 0的的非零解非零解 x，就是方阵就是方阵A的对应于特征值的对应于特征值 的特征向量的特征向量. .提示提示 Ax x(A E)x 0 齐次方程齐次方程(A E)x 0有非零解有非零解|A E| 0. .111212122211 nnnnnnAEaaaaaaaaa n n阶矩阵在复数范围内一般阶矩阵在复数范围内一般有有n n个特征值，个特征值，2 2个根一样叫个根一样叫二重根，三个根一样叫三重二重根，三个根一样叫三重根。根。v特征值与特征向量的求解步骤特征值与特征向量的求解步骤 设设A为为n阶方阵阶方阵 (1) |A E| 0 = A的特征值的特征值 i .(2) (

5、A iE)x 0 = 非零解非零解 x =pi 就是就是A的对应于特征值的对应于特征值 i的特征向量的特征向量.v特征值的求法特征值的求法 |A E| 0的根的根 ，就是方阵就是方阵A的特征值的特征值.二、特征值与特征向量的二、特征值与特征向量的求法求法v特征向量的求法特征向量的求法 齐次方程齐次方程(A E)x 0的非零解的非零解 x，就是方阵就是方阵A的对应于特征值的对应于特征值 的特征向量的特征向量. .111212122211 nnnnnnAEaaaaaaaaa v特征值的求法特征值的求法 | E A| 0的根的根 ，就是方阵就是方阵A的特征值的特征值. | E A|A E| (1)n

6、设设A为为n阶方阵阶方阵 111212122211 nnnnnnE Aaaaaaaaaa v特征值的求法特征值的求法 |A E| 0的根的根 ，就是方阵就是方阵A的特征值的特征值.二、特征值与特征向量的二、特征值与特征向量的求法求法v特征向量的求法特征向量的求法 齐次方程齐次方程(A E)x 0的非零解的非零解 x，就是方阵就是方阵A的对应于特征值的对应于特征值 的特征向量的特征向量. .2)1)(2(201034011| EA 补充例补充例1 求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量. . 201034011A 解解 A的特征多项式为的特征多项式为 所以所以A的特征值为的特征值为

7、1 2 2 3 1（注意重值不丢掉）（注意重值不丢掉）. . 得基础解系得基础解系p1 (0 0 1)T 对于对于 1 2 解方程解方程(A 2E)x 0 即即所以所以kp1(k 0)是对应于是对应于 1 2的全部特征向量的全部特征向量. . 123310041001000 xxx 10,x20,x 3x 为为自自由由未未知知数数. .关系式关系式Ax x 310100410010100000系数矩阵（A- E）=行最简 ( (k k 0)0)特征特征向量是非向量是非0 0列列向量向量2)1)(2(201034011| EA 补充例补充例1 求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量.

8、 . 201034011A 解解 A的特征多项式为的特征多项式为 所以所以A的特征值为的特征值为 1 2 2 3 1. . 得基础解系得基础解系p2 (1 2 1)T 得基础解系得基础解系p1 (0 0 1)T 对于对于 1 2 解方程解方程(A 2E)x 0 所以所以k1 p1(k1 0)是对应于是对应于 1 2的全部特征向量的全部特征向量. . 对于对于 2 3 1 解方程解方程(A E)x 0 所以所以k2 p2(k2 0)是对应于是对应于 2 3 1的全部特征向量的全部特征向量. . 123210042001010 xxx 31212xxxx 2) 2)(1(314020112|EA

9、314020112A 例例2 求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量. . 解解 A的的特征多项式特征多项式为为 所以所以A的特征值为的特征值为 11 2 3 2. . 得基础解系得基础解系 得基础解系得基础解系p1 (1 0 1)T 对于对于 11 解方程解方程(A E)x 0 所以对应于所以对应于 11的全部特征向量为的全部特征向量为kp1(k 0). . 对于对于 2 3 2 解方程解方程(A 2E)x 0 所以对应于所以对应于 2 3 2的的全部特征向量全部特征向量为为k2p2 k3p3(k2,k3不同时为不同时为0). . p2 (0 1 1)T p3 (1 0 4)T

10、4112000411AE 3124.xxxv性质性质1 设设n阶矩阵阶矩阵A与它的转置矩阵与它的转置矩阵AT 有相同的特征多项式，有相同的特征多项式，有相同的特征值有相同的特征值. 三、特征值与特征向量的三、特征值与特征向量的性质性质v性质性质2 设设n阶矩阵阶矩阵A (aij)的特征值为的特征值为 1 2 n 则则 (1) 1 2 n a11 a22 ann (2) 1 2 n |A|. . 证证 |AT E|= |A E|.= | ( A E)T|= |AT ( E)T|注注: A的所有特征值的和的所有特征值的和,称为称为A的迹的迹,记作记作tr(A).例例4 方阵方阵A是奇异矩阵是奇异矩

11、阵方阵方阵A至少有一个特征值至少有一个特征值是是0.方阵方阵A是可逆是可逆(非奇异非奇异)矩阵矩阵方阵方阵A没有没有0 特征值特征值. 例例5 设设 是方阵是方阵A的特征值的特征值 证明证明 (1) 2是是A2的特征值的特征值 (2) k + l 是是 k A+l E的特征值的特征值, 其中其中k ,l为实数为实数 (3)若若A可逆可逆,则则 1是是 A 1的特征值的特征值 证证 因为因为 是是A的特征值的特征值 故有故有p 0 使使Ap p. . 于是于是 (1)A2p 2p (Ap) A( p) A(Ap)所以所以 2是是A2的特征值的特征值,且且p是是A2的对应于特征值的对应于特征值 2

12、的特征向量的特征向量. . 因为因为p 0 知知 0 有有p A 1p 由由Ap p (3)当当A可逆时可逆时 (2) (k A+l E) p k A p +l E p所以所以k + l 是是 k A+l E的特征值的特征值,且且p是是k A+l E的对应于特征值的对应于特征值k + l的特征向量的特征向量. . k p +l p (k +l)p有有A 1p 1p 所以所以 1是是 A 1的特征值的特征值.且且p是是A 1的对应于特征值的对应于特征值 1的特征向量的特征向量. .(4) k 是是 Ak 的特征值的特征值 (5) ( )是是 (A)的特征值的特征值;其中其中 (A) a0E a1

13、A amAm是是方阵方阵A的多项式的多项式 ( ) a0 a1 am m是是 的多项式的多项式 . . v性质性质3（根据例（根据例5） 设设 是方阵是方阵A的特征值的特征值 则则 (1) 2是是A2的特征值的特征值 (2) k + l 是是 k A+l E的特征值的特征值, 其中其中k ,l为实数为实数 (3)若若A可逆可逆,则则 1是是 A 1的特征值的特征值 三、特征值与特征向量的三、特征值与特征向量的性质性质v定理定理1 设设 1 2 m是方阵是方阵A的的m个不同特征值个不同特征值 p1 p2 pm依次是与之对应的特征向量依次是与之对应的特征向量 则则p1 p2 pm线性无线性无关关.

14、 .即即 方阵方阵A的对应于不同特征值的特征向量线性无关的对应于不同特征值的特征向量线性无关. .三、特征值与特征向量的三、特征值与特征向量的性质性质 补充补充例例2 设设3阶矩阵阶矩阵A的特征值为的特征值为1 1 2 求求|3A 2E|. . 解解 记记 (A) =3A 2E, 故故 (A)的特征值为的特征值为 有有 ( ) =3 2 (1) 31 2=1 (2) 32 2=4 ( 1) 3( 1) 2= 5,(5) ( )是是 (A)的特征值的特征值;其中其中 (A) a0E a1A amAm是是方阵方阵A的多项式的多项式 ( ) a0 a1 am m是是 的多项式的多项式 . . v性质

15、性质2 设设n阶矩阵阶矩阵A (aij)的特征值为的特征值为 1 2 n 则则 (1) 1 2 n a11 a22 ann (2) 1 2 n |A|. . 20. . 1 ( 5) 4 于是于是 | (A) |= |3A 2E| v性质性质2 设设n阶矩阵阶矩阵A (aij)的特征值为的特征值为 1 2 n 则则 (1) 1 2 n a11 a22 ann (2) 1 2 n |A|. . 补充补充例例3 设设3阶矩阵阶矩阵A的特征值为的特征值为1 1 2 求求|A* 3A 2E|. . (3)若若A可逆可逆,则则 1是是 A 1的特征值的特征值 (5) ( )是是 (A)的特征值的特征值;

16、其中其中 (A) a0E a1A amAm是是方阵方阵A的多项式的多项式 ( ) a0 a1 am m是是 的多项式的多项式 . . 因为因为A的特征值全不为的特征值全不为0 知知A可逆可逆 故故A* |A|A 1. . 而而|A| 1 2 32 所以所以 解解2A 1 3A 2E. . A* 3A 2E 把上式记作把上式记作 (A) 故故 (A)的特征值为的特征值为 有有 ( )2 1 3 2 (1)1 ( 1)3 (2) 3 9. . ( 1)( 3) 3 |A* 3A 2E| 于是于是v特征值与特征向量的特征值与特征向量的定义定义 设设A是是n阶矩阵阶矩阵 如果数如果数 和和n维非零列向

17、量维非零列向量x使成立使成立 Ax x 那么那么 数数 称为方阵称为方阵A的的特征值特征值 非零向量非零向量x 称为方阵称为方阵A的的对应于特征值对应于特征值 的的特征向量特征向量. . 小结小结v特征值与特征向量的特征值与特征向量的求法求法 设设A为为n阶方阵阶方阵 (1) |A E| 0 = A的特征值的特征值 i .(2) (A iE)x 0 = 非零解非零解 x =pi 就是就是A的对应于特征值的对应于特征值 i的特征向量的特征向量.v性质性质1 设设n阶矩阵阶矩阵A与与AT 有相同的特征值有相同的特征值. v性质性质2 设设n阶矩阵阶矩阵A (aij)的特征值为的特征值为 1 2 n 则则 (1) 1 2 n a11 a22 ann (2) 1 2 n |A