离散型随机变量的数学期望

1、离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 A, BA, B两人赌技相同，各两人赌技相同，各押赌注押赌注3232个个金币，规定金币，规定先胜三局者为先胜三局者为胜胜, ,赌赌博进行了一段时间，博进行了一段时间，A A赌徒赌徒已胜已胜2 2局，局，B B赌徒胜赌徒胜1 1局，发局，发生生意外，赌博中断。意外，赌博中断。A赌徒赌徒B赌徒赌徒实力相当实力相当两人该如何分这两人该如何分这6464金币？金币？1 1、有、有1212个西瓜，其中有个西瓜，其中有4 4个重个重5kg5kg，3 3个重个重6kg6kg，5 5个重个重7kg7kg，求西，求西瓜的平均质量。瓜的平均质量。).(1273125

2、73645kg解：西瓜的平均质量为解：西瓜的平均质量为1212个西瓜的总质量除以西瓜的总个数，个西瓜的总质量除以西瓜的总个数，即：即： 上式也可以写成：上式也可以写成：).(1273125712361245kg由上式可知，平均质量等于各个质量乘相应的比例再求和。由上式可知，平均质量等于各个质量乘相应的比例再求和。问题问题1 1：混合后，每：混合后，每1kg1kg糖的平均价格为多少？糖的平均价格为多少？问题问题2 2：若在混合糖果中任取一粒糖果，用随机变量：若在混合糖果中任取一粒糖果，用随机变量 X X表示这颗糖果的单价（元表示这颗糖果的单价（元/kg/kg），写出），写出X X的的 分布列。分

3、布列。2 2、某商场要将单价分别为、某商场要将单价分别为1818元元/kg/kg，2424元元/kg/kg，3636元元/kg/kg的的3 3种糖果种糖果按按3 3：2 2：1 1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？612636362418PX)36(36)24(24)18(18XPXPXP合理价格：)/(23613662246318kg元平均价格为问题问题3: 3: 作为顾客，买了作为顾客，买了1kg1kg糖果要付糖果要付2323元，而顾客元，而顾客 买的这买的这1kg1kg糖果的真实价格一定是糖果的真实价格一定是2323元吗？元吗？一、离散型

4、随机变量取值的均值一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：nniipxpxpxpxEX2211则称为随机变量X的均值或数学期望。P1xix2x1p2pipnxnpX它反映了离散型随机变量取值的它反映了离散型随机变量取值的平均水平平均水平。X1234Pa4141411 1、随机变量、随机变量X X的概率分布为：的概率分布为：求求X X的数学期望。的数学期望。2 2、A A、B B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出现的次品的概率如下表所示：品时，出现的次品的概率如下表所示：次品数次品数X X0123P0.70.20.06 0.04A A

5、机床：机床：次品数次品数Y Y0123P0.80.06 0.04 0.1B B机床：机床：问：哪一台机床加工质量较好？问：哪一台机床加工质量较好？ 3 3、A, BA, B两人赌技相同，各两人赌技相同，各押赌注押赌注3232个个金币，规定金币，规定先胜三局先胜三局者为胜者为胜, ,赌赌博进行了一段时间，博进行了一段时间，A A赌徒赌徒已胜已胜2 2局，局，B B赌徒胜赌徒胜1 1局，局，发发生意外，赌博中断生意外，赌博中断。两人该如何分配这。两人该如何分配这6464个金币？个金币？问问题题3 3：离散型随机变离散型随机变量量X X的期望与的期望与X X可能取值的算术平均数相可能取值的算术平均数

6、相同吗？同吗？ 期望的计算是从概率分布出发，因而它是概率意义下期望的计算是从概率分布出发，因而它是概率意义下的平均值。随机变的平均值。随机变量量X X取每个值时概率不同导致了期望不同取每个值时概率不同导致了期望不同于初中所学的算术平均数。于初中所学的算术平均数。问问题题4 4：离散型随机变离散型随机变量量X X的期望与的期望与X X可能取值的算术平均数何可能取值的算术平均数何时相等？时相等？X123456p6 61 16 61 16 61 16 61 16 61 16 61 127616615614613612611EX276654321为可能取值的算术平均数X 例例1 1：随机抛掷一个骰子，

7、求所得骰子的：随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数点数X X的的期望。期望。 变式：将所得点数的变式：将所得点数的2 2倍加倍加1 1作为得分数，即作为得分数，即Y=2X+1Y=2X+1，试求，试求Y Y的的 期期望？望？所以随机变量所以随机变量Y Y的均的均值为值为: :=2EX+1=2EX+1 P13119753Y161616161616861136111619617615613EY设YaXb，其中a，b为常数，则Y也是随机变量（1） Y的分布列是什么？（2） E(Y)=？思考：P1xix2x1p2pipnxnpXnniipxpxpxpxXE2211)(P1x2x1p2pnxnpXP1x2x

8、1p2pnxnpXbax 1bax 2baxn nnpbaxpbaxpbaxYE)()()()(2211)()(212211nnnpppbpxpxpxa bXaE)(Y YaXaXb b一、离散型随机变量取值的均值nniipxpxpxpxEX 2211P1xix2x1p2pipnxnpX二、随机变量数学期望的性质（线性性质）baEXbaXE )(1、随机变量X的分布列是X135P0.50.30.2(1)则E(X)= . 2、随机变量的分布列是2.4(2)若Y=2X+1，则E(Y)= . 5.847910P0.3ab0.2E（）=7.5,则a= b= .0.40.1例例1.1.篮球运动员在比赛中

9、每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1 1分，罚不中得分，罚不中得0 0分已知某运动员罚球命中的概率为分已知某运动员罚球命中的概率为0.70.7，则他罚球，则他罚球1 1次的得分次的得分X X的均值是多少？的均值是多少？一般地，如果随机变量X服从两点分布，X10Pp1p则则pppEX)1 (01两点分布的期望两点分布的期望变式变式1.1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1 1分，罚不中得分，罚不中得0 0分已知某运动员罚球命中的概率为分已知某运动员罚球命中的概率为0.70.7，则他，则他连续罚球连续罚球3 3次次的的得分得分X X的均值是多少？的均值是

10、多少？X0123P33 . 0分析：分析： X XB B（3 3，0.70.7）2133 . 07 . 0 C3 . 07 . 0223 C37 . 0322321337 . 033 . 07 . 023 . 07 . 013 . 00 CCEX1 . 27 . 03 例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？变式变式2.2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1 1分，罚不中得分，罚不中得0 0分已知某运动员罚球命中的概率为分已知某运动员罚球命中的概率为p p，则他，则他连续罚球连

11、续罚球n n次次的得分的得分X X的均值是多少？的均值是多少？x x01knp111nnC p q kkn knC p q 0nnnC p qX X的分布列如下：的分布列如下：00nnC p q分析：分析： X XB B（n n，p p）则则 .npEX 证明：证明：n n) ), ,0 0, ,1 1, ,2 2, ,( (k kq qp pC Ck k) )P P( (X Xk kn nk kk kn n 所以所以若XB(n，p)，则EXnp 证明：若XB(n，p)，则EXnp 3-332-221 -11003210nnnnnnnnqpCqpCqpCqpCEX0qpCnqpCknnnknk

12、kn322121111001(nnnnnnqpCqpCqpCnp)0111)1()1(111qpCqpCnnnknkknnpqpnpn1)(2；一般地，如果随机变量X服从二项分布，即XB（n,p），则E(X)=np结论：1；一般地，如果随机变量X服从 两点分布（1，p)，则E(X)p3， 一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球次数的数学期望是 .34，随机变量XB（8，p），已知X的均值E(X)=2，则P（x=3)= . 例例2.一个袋子里装有大小相同的一个袋子里装有大小相同的3 个红球和个红球和2个黄球，个黄球，从中摸出从中摸出3个球个球.（1）求得到黄

13、球个数）求得到黄球个数的分布列；的分布列；（2）求）求的期望。的期望。小结：一般地,如果随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布,则 NnMXE超几何分布的数学期望超几何分布的数学期望例3. 假如你 是一位商场经理，在五一那天想举行促销活动，根据统计资料显示，若在商场内举行促销活动，可获利2万元；若在商场外举行促销活动，则要看天气情况:不下雨可获利10万元，下雨则要损失4万元。气象台预报五一那天有雨的概率是40%，你应选择哪种促销方式？解：设商场在商场外的促销活动中获得经济效益为X万元，则X的分布列为0.40.6410PXE X = 100.6(4) 0.4 = 4.4万元2万元,故应选择在

14、商场外搞促销活动。例例4：一次单元测验由一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有个选择题构成，每个选择题有4个选项个选项.其中仅有一个选项正确，每题选对得其中仅有一个选项正确，每题选对得5分分.不选或不选或选错不得分，满分选错不得分，满分100分分.学生甲选对任一题的概率为学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个.分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.思路分析：设甲、乙选对题数分别为X1、X2，则甲、乙两人的成绩分别为Y1= 5X1、Y2= 5X2，

15、问题转化为求:E(Y1)= E(5X1)= E(Y2) =E(5X2)=思考：X1、X2服从什么分布？5E(X1)5E(X2)解： 设学生甲和学生乙在这次单元测验中选对的题数分别是X1和X2，则 X1B(20，0.9)， X2B(20，0.25)，EX1200.918， EX2200.255由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5X1和5X2。所以，他们在测验中的成绩的期望分别是E(5X1)5EX151890，E(5X2)5EX25525为为他们射击的分布律分别他们射击的分布律分别乙两个射手乙两个射手、甲甲,试问哪个射手技术较好试问哪个射手技术较好?谁的技术比较好谁的技术比

16、较好? ?乙射手乙射手击中环数击中环数概率概率10982 . 05 . 03 . 0甲射手甲射手击中环数击中环数概率概率10983 . 01 . 06 . 0解解),(3 . 96 . 0101 . 093 . 08)(1环环 XE),( 1 . 93 . 0105 . 092 . 08)(2环环 XE.,21XX数分别为数分别为设甲、乙射手击中的环设甲、乙射手击中的环故甲射手的技术比较好故甲射手的技术比较好.反思：1、用定义求随机变量均值的一般步骤：1）找出随机变量的可能取值；反思：2、求随机变量均值的一般方法：1）利用定义求均值；2）求出分布列3）利用定义（公式）求均值。2）利用线性性质求

17、均值。3）两点分布，二项分布直接用公式求均值。（广东卷17）（本小题满分13分）随机抽取某厂的某种产品随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一件，经质检，其中有一等品等品126件、二等品件、二等品50件、三等品件、三等品20件、次品件、次品4件已知生产件已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、万元、2万元、万元、1万元，而万元，而1件次品亏损件次品亏损2万元设万元设1件件产品的利润（单位：万元）为产品的利润（单位：万元）为X（1）求）求X的分布列；的分布列；（2）求）求1件产品的平均利润（即件产品的平均利润（即X的数学期望）；的数学期望）；（3

18、）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为率降为1%，一等品率提高为，一等品率提高为70%如果此时要求如果此时要求1件件产品的平均利润不小于产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是万元，则三等品率最多是多少？多少？高考链接：【解析】（1）X的所有可能取值有6，2，1，-2；， ， , 故的分布列为：63. 0200126)6(XP25. 020050)2(XP1 . 020020) 1(XP02. 02004)2(XP0.020.10.250.63P-2126X34. 402. 0)2(1 . 0125. 0263. 06EX（2）)2

19、9. 00(76. 401. 0)2(1)01. 07 . 01 (27 . 06)(xxxxxE73. 4)(xE73. 476. 4 x03. 0 x（3）设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为依题意， ，即 ，解得 所以三等品率最多为3%应用概念步骤期望的概念期望为我们提供了实际问题决策的理论依据。求期望的三个步骤 方法求期望的三种方法随机变量的均值与样本平均值有何区别和联系？ 区别：随机变量的均值是一个常数，而样本平均值随着样本的不同而变化的，是一个随机变量。 联系：随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体均值（随机变量的均值）。 (2010衡阳模拟衡阳模拟)一厂

20、家向用户提供的一箱产品共一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有件，其中有n件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收抽检规则是这样的：一次取一件产品检查接收抽检规则是这样的：一次取一件产品检查(取出的产取出的产品不放回箱子品不放回箱子)，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品用户拒绝接收这箱产品(1)若这箱产品被用户接收的概率是若这箱产品被用户接收的概率是 ，求，求n的值；的值；(2)在在(1)的条

21、件下，记抽检的产品次品件数为的条件下，记抽检的产品次品件数为X，求，求X的分布的分布列和数学期望列和数学期望作业：【解】【解】(1)设设“这箱产品被用户接收这箱产品被用户接收”为事件为事件A，n2.(2)X的可能取值为的可能取值为1,2,3.P(A)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=X的概率分布列为：的概率分布列为：X123P1828109()123.5454545E X 1(2010河南六市联考河南六市联考)甲、乙、丙、丁四人参加一家公司的甲、乙、丙、丁四人参加一家公司的招聘面试公司规定面试合格者可签约甲、乙面试合格招聘面试公司规定面试合格者可签约甲、乙面试合格 就就签约；丙、丁面

22、试都合格则一同签约，否则两人都不签签约；丙、丁面试都合格则一同签约，否则两人都不签约设每人面试合格的概率都是约设每人面试合格的概率都是 ，且面试是否合格互不，且面试是否合格互不影响求：影响求： (1)至少有三人面试合格的概率；至少有三人面试合格的概率； (2)恰有两人签约的概率；恰有两人签约的概率； (3)签约人数的数学期望签约人数的数学期望解：解：(1)设设“至少有至少有3人面试合格人面试合格”为事件为事件A，则则P(A)(2)设设“恰有恰有2人签约人签约”为事件为事件B，“甲、乙两人签约，丙、丁两人都不签约甲、乙两人签约，丙、丁两人都不签约”为事件为事件B1；“甲、乙两人都不签约，丙、丁两人签约甲、乙两人都不签约，丙、丁两人签约”为事件为事件B2；则：则：BB1B2P(B)P(B1)P(B2)(3)设设X为签约人数为签约人数X的分布列如下：的分布列如下：P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=X01234P52024161620()01234.81848181819E X 其规律为其规律