线性代数例题精解

1、第一章到第六章第一章到第六章：复复 习习 要要 点点第一章第一章 逆序数的计算、行列式的性质及计算；逆序数的计算、行列式的性质及计算；第二章第二章 解矩阵方程、解矩阵方程、伴随矩阵的性质、伴随矩阵的性质、矩阵的初等变换；矩阵的初等变换；第三章第三章 向量的线性相关性讨论、向量的线性相关性讨论、矩阵及向量组的秩的讨矩阵及向量组的秩的讨 论、论、求向量组的秩和最大无关组；求向量组的秩和最大无关组；第四章第四章 带参数的非齐次线性方程组解的讨论、带参数的非齐次线性方程组解的讨论、 齐次或非齐次解的结构的讨论；齐次或非齐次解的结构的讨论；第五章第五章 方阵的特征值及特征向量的讨论、用正交矩阵化方阵的特

2、征值及特征向量的讨论、用正交矩阵化 实对称阵为对角阵（或用正交变换化二次型为标实对称阵为对角阵（或用正交变换化二次型为标 准形）、准形）、正定性判别。正定性判别。第六章第六章 线性空间的判定线性空间的判定线性代数中的线性代数中的 “ “一、二、三、四、五、六一、二、三、四、五、六”一种基本运算：一种基本运算： 矩阵的初等变换。矩阵的初等变换。两大主线：两大主线： 向量与矩阵。向量与矩阵。三种矩阵关系：三种矩阵关系： 等价、相似、合同。等价、相似、合同。四个难点：四个难点： 1. 矩阵和向量组的秩矩阵和向量组的秩; 2. 伴随矩阵；伴随矩阵； 3. 相似变换相似变换; 4. 特征值和特征向量的讨

3、论特征值和特征向量的讨论.五大板块：五大板块： 行列式、矩阵、向量、方程组、二次型行列式、矩阵、向量、方程组、二次型六个重要知识点：六个重要知识点： 1. 行列式的性质与计算行列式的性质与计算; 2. 矩阵可逆的各种等价条件矩阵可逆的各种等价条件; 3. 矩阵秩与向量组的秩的讨论矩阵秩与向量组的秩的讨论; 4. 向量组的相关性讨论向量组的相关性讨论; 5. 线性方程组的解的讨论线性方程组的解的讨论; 6. 二次型化简（或对称阵化二次型化简（或对称阵化 为对角阵）。为对角阵）。一、填空一、填空1、6 阶行列式中项阶行列式中项645216354123aaaaaa的符号为的符号为 。+2、已知向量组

4、、已知向量组 002,112121taa 25403 a线性相关。则线性相关。则t= 。33、设、设A，B同为同为 n 阶矩阵，阶矩阵，, 3, 2 BA 1*2BA则则 。12231 n4、设、设1, 0 AbcaddcbaA则则且且= 。 acbdbcad15、设向量组、设向量组tr,2121与与等价，且等价，且t,21线性无关，则线性无关，则 r 与与 t 间满足间满足 。tr 的值的值则则相似相似与与设方阵设方阵yxyxA,4512422421 . 65, 4 yx 。7、设、设A是是3阶矩阵，其特征值为阶矩阵，其特征值为1，-1，2，则，则 A2+3A-2E的特征值为的特征值为 。2

5、，- 4，89、若二次型、若二次型322123222132122),(xtxxxxxxxxxf 是正定的，则是正定的，则t的取值范围是的取值范围是 。22 t10、若、若n阶可逆矩阵阶可逆矩阵 A的每行元素之和均为的每行元素之和均为a, 则数则数 一一 定是矩阵定是矩阵 的特征值。的特征值。 23a 123AE 1 11 212 122212nnnnnna ba ba ba ba ba bAa ba ba b ，1 .8、设、设0,0 (1,2, )iiabin，则矩阵则矩阵A的秩的秩R(A)=05年考研题年考研题 .记矩阵记矩阵维向量维向量均为均为设设,3,321 ),(321 A)93,4

6、2,(321321321 B |, 1|BA那么那么如果如果2例例 1|5,3,|32323211223 ccccB解解32123233|,3,2|cc |,|232321 |,|2321 . 2|2 A04年考研题年考研题 . |,*,*2*,100021012 BEAEBAABABA则则是单位矩阵是单位矩阵为的伴随矩阵为的伴随矩阵其中其中满足满足矩阵矩阵设矩阵设矩阵 1/9例例 2EBAEA *)2( 将将原原式式化化为为解解1|*|2| EABEA, 1100001010|2| EA.91| B所所以以2|*| |9,AA 2000 1000021001210012 nA解解例例3 设设

7、 An 为为 n 阶行列式阶行列式, 证明证明 A1 ,A2， An , 是是一一 个等差数列，并由此求出个等差数列，并由此求出 An .112000 1000021001200011)1(2000 10000210012100122 nnnA212000 1000021001210012)1(2 nnnAA212 nnAA即即211 nnnnAAAA.,21是是一一个个等等差差数数列列所所以以nAAA.132112 ,2 121 AAA又又因因为为所以等差数列的首项为所以等差数列的首项为2，公差为，公差为1，由此可得，由此可得.1 nAn证证|BA 且且, 1|1| BA，由由条条件件知知.

8、 0|, 0|, , 22 BABAEBEAnBA证明：证明：阶方阵，且阶方阵，且都是都是设设例例 41| BA| EBAEBA |22BAAB |BABA |AB . 0| AB5 设有方程组设有方程组 4243212321321xxxxxxxxx问问为何值时，该方程组有唯一解，无解，无穷多个为何值时，该方程组有唯一解，无解，无穷多个解？并在有无穷多个解时求其通解。解？并在有无穷多个解时求其通解。解解 增广矩阵增广矩阵 4211114112B 8-44 220110112行行 4)-(284 )4)(1(0022011行行 4243212321321xxxxxxxxx当当= 4时，时， 00

9、00411003014211161414411行行B因为因为R(A)=R(B)=2，故此时有无穷多个解。，故此时有无穷多个解。同解方同解方程组为：程组为： 33323143xxxxxx通解通解为：为：)(040113Rkkx 故当故当4且且1时，方程组有唯一解。时，方程组有唯一解。 4243212321321xxxxxxxxx当当= 1时，时， 421150004111421111114111行行B因为因为R(A)=2，而，而R(B)=3，故此时无解。，故此时无解。综上：综上： . ,1; ,4; ,41方方程程组组无无解解时时方方程程组组有有无无穷穷多多解解时时方方程程组组有有唯唯一一解解时

10、时且且当当 6 1）设）设*,3104252373AA 是其伴随矩阵，计算是其伴随矩阵，计算.*AA解解 1）3*1EEAAAA 故向量组的秩故向量组的秩 解解2） 41003-0102001531312314342行行A为为3，且，且321,为一个最大无关组为一个最大无关组3214432 2）求向量组）求向量组的秩和一个最大无关组且将其余向量用此最大无关的秩和一个最大无关组且将其余向量用此最大无关组线性表示。组线性表示。 1514,323,134,31243217 设设 ,312321rr 证明证明r,21 ,121 rr与与r,21有相同的秩。有相同的秩。证证 只要证只要证r,21与与等价

11、。等价。r,21r,21一方面由题设一方面由题设r,21可由可由线性线性表示，另方面将题中等式全部加起来，得表示，另方面将题中等式全部加起来，得）（* )(1111rrr r,21故故r,21也可由也可由线性表示，线性表示，r,21从而从而r,21与与等价。等价。再分别用（再分别用（*）减去题中每一个等式，可得）减去题中每一个等式，可得riirrr11)111(111 7 设设 ,312321rr 证明证明r,21 ,121 rr与与r,21有相同的秩。有相同的秩。 证：由题设证：由题设线性无关，而线性无关，而线性相关，从而线性相关，从而线性表示。故可设线性表示。故可设321,321321,

12、可可由由332211 现设现设0)(4332211 kkkk8 设向量组设向量组 的秩皆为的秩皆为3，向量组，向量组321,A: :的秩为的秩为 4。线性无关。线性无关。与与B,321: :C,321: : ,321试证，向量组试证，向量组 00004433422411kkkkkkk04321 kkkk即即线性无关。线性无关。0)()()(4343324221411 kkkkkkk由由线性无关，知线性无关，知,321 ,3210)(3322114332211 kkkk 9. 设设 为线性方程组为线性方程组 的的一个基础解系，一个基础解系，s ,21OAX 1213221222111, tttt

13、ttss 其中其中 为实常数。试问满足什么关系时，为实常数。试问满足什么关系时，s ,2121,tt21,ttOAX 也为也为的一个基础解系。的一个基础解系。（2001年考研题年考研题 ）解由于解由于), 2 , 1(sii 为为s ,21的线性的线性组合，所以组合，所以), 2 , 1(sii 均为均为OAX 的解。的解。设设02211 sskkk （）（）由于线性无关，因此有由于线性无关，因此有s ,21Oktktktktktktssss )()()(1122211212111 122112211 0, 0, 0.ssst kt kt kt kt kt k 1221212100000000

14、sstttttttt 所以当所以当0) 1(211 ssstt;21tt 当当s为奇数，为奇数，.21tt 时，方程组只有零解时，方程组只有零解，即当，即当s为偶数，为偶数，ssstt211)1( 021 skkk从而从而s ,21线性无关。线性无关。此时，此时，s ,21也为方程组的一个基础解系。也为方程组的一个基础解系。为对角阵。为对角阵。，使，使）求矩阵）求矩阵（，试求，试求的一个特征值为的一个特征值为已知已知)()(2. 3 (1)/APAPPyA，所所以以的的一一个个特特征征值值为为因因为为解解3 (1)A01100130000310013|3| yAE. 2 y例例10 21001

15、0000010010 yA设矩阵设矩阵,)()( 22/PAPAPAPAA 知知）由由（对对于于矩矩阵阵,5400450000100001 2 A而而 5445B易求得正交阵易求得正交阵11221122T ，于于是是使使,9001/ BTT,21210021210000100001 P令令.9000010000100001)()( / APAP则则有有。答答：应应填填 2 ，征征值值为为所所对对应应的的实实对对称称阵阵的的特特故故知知0 0 6 f,621yf 经经正正交交变变换换化化成成标标准准形形例例 11323121332221321444)(),( xxxxxxxxxaxxxf 已知实二次型已知实二次型 ayfPyx则则可化成标准形可化成标准形经正交变换经正交变换,621 .02年考研题年考研题 aaaA232222 由由相似，知相似，知与与 006 . 2, 63 aa2由于正交变换保持向量的长度不变，故由于正交变换保持向量的长度不变，故证证 设设A 的特征值为的特征值为由定理由定理10知，存在正交变换知，存在正交变换.1,1 yx时时当当例例 12 证明：二次型证明：二次型1 x时的最大值