创新推动课程改革全面提高教育质量

1、创新推动课程改革创新推动课程改革全面提高教育全面提高教育质量质量一、一、课改的背景和面临的任务课改的背景和面临的任务 教教育育改改革革是是社会发展改革整体中的有机组社会发展改革整体中的有机组成部分成部分，以，以国家社会发展改革为背景，要国家社会发展改革为背景，要结合国家社会发展与改革的需要来思考结合国家社会发展与改革的需要来思考。 国家治理最根本的着眼点是深化综合改革，国家治理最根本的着眼点是深化综合改革，理顺各方面的关系理顺各方面的关系。教育。教育改革也要抓住改革也要抓住“深化深化”、“综合综合”的要求而持续推进。的要求而持续推进。五中全会精神五中全会精神 十八届五中全会公报中，强调创新、协

2、调、十八届五中全会公报中，强调创新、协调、绿色、开放、共享的发展理念绿色、开放、共享的发展理念。 坚持创新发展，必须把创新摆在国家发展坚持创新发展，必须把创新摆在国家发展全局的核心位置，不断推进理论创新、制全局的核心位置，不断推进理论创新、制度创新、科技创新、文化创新等各方面创度创新、科技创新、文化创新等各方面创新，让创新贯穿党和国家一切工作，让创新，让创新贯穿党和国家一切工作，让创新在全社会蔚然成风。新在全社会蔚然成风。 推动物质文明和精神文明协调发展，加快推动物质文明和精神文明协调发展，加快文化改革发展，加强社会主义精神文明建文化改革发展，加强社会主义精神文明建设，建设社会主义文化强国，加

3、强思想道设，建设社会主义文化强国，加强思想道德建设和社会诚信建设，增强国家意识、德建设和社会诚信建设，增强国家意识、法治意识、社会责任意识，倡导科学精神，法治意识、社会责任意识，倡导科学精神，弘扬中华传统美德弘扬中华传统美德。 开放发展，提高教育质量，推动义务教育开放发展，提高教育质量，推动义务教育均衡发展，普及高中阶段教育，逐步分类均衡发展，普及高中阶段教育，逐步分类推进中等职业教育免除学杂费，率先从建推进中等职业教育免除学杂费，率先从建档立卡的家庭经济困难学生实施普通高中档立卡的家庭经济困难学生实施普通高中免除学杂费，实现家庭经济困难学生资助免除学杂费，实现家庭经济困难学生资助全覆盖。全覆

4、盖。提高教育质量提高教育质量 “全面贯彻党的教育方针，落实立德树人全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，加强社会主义核心价值观教育，根本任务，加强社会主义核心价值观教育，培养德智体美全面发展的社会主义建设者培养德智体美全面发展的社会主义建设者和接班人。深化教育改革，把增强学生社和接班人。深化教育改革，把增强学生社会责任感、创新精神、实践能力作为重点会责任感、创新精神、实践能力作为重点任务贯彻到国民教育全过程。任务贯彻到国民教育全过程。” “推动义务教育均衡发展，全面提高教育推动义务教育均衡发展，全面提高教育教学质量教学质量。” 我国教育的规模问题已经解决。我国教育的规模问题已经解决。20

5、10年教年教育发展与改革的中长期规划纲要中提出，育发展与改革的中长期规划纲要中提出，我国教育面临的主要任务是解决内涵质量我国教育面临的主要任务是解决内涵质量的问题，解决育人模式改革的问题。这就的问题，解决育人模式改革的问题。这就需要在已有课改的基础上深化改革，而我需要在已有课改的基础上深化改革，而我们面临的问题错综复杂，许多都是两难问们面临的问题错综复杂，许多都是两难问题，因此改革具有综合性，需要整体考虑题，因此改革具有综合性，需要整体考虑。二、二、数学课改的主要任务数学课改的主要任务 十八大提出的十八大提出的“教育的根本任务在于立德教育的根本任务在于立德树人树人”就是整个教育改革的核心任务就

6、是整个教育改革的核心任务。 如何如何把这个要求把这个要求在在数学教育数学教育中中落实下来落实下来，在在教学中体现教学中体现出来出来，在课堂中，在课堂中实施下去实施下去？ 要要把把“立德树人立德树人”的要求具体化，体现在的要求具体化，体现在教学内容和教学过程中，转化为一种可操教学内容和教学过程中，转化为一种可操作的行动，转化为数学育人的作的行动，转化为数学育人的具体具体措施措施。 从教育部的顶层设计看，数学学科的从教育部的顶层设计看，数学学科的“立德树立德树人人”目标，首先体现在数学学科的核心素养目标，首先体现在数学学科的核心素养上上。 义教课标中义教课标中提出提出了了八八个个“核心概念核心概念

7、”：数感、：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型念、运算能力、推理能力、模型思想；思想； 高中高中课标修订组进一步提炼了六个数学学科核课标修订组进一步提炼了六个数学学科核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析学运算、直观想象、数据分析。 数学课改的数学课改的核心核心任务任务是提升学生的数学学科核是提升学生的数学学科核心素养，心素养，要有具体措施要有具体措施，要要把数学学科核心素把数学学科核心素养的培育落实在养的培育落实在数学教育的数学教育的各个环节。

8、各个环节。三、三、提升提升学生核心学生核心素养的思考点素养的思考点 “学科育人学科育人”要依靠学科的内在力量要依靠学科的内在力量。 “数学育人数学育人”要在数学内部挖掘育人资源，要在数学内部挖掘育人资源，并使它们在数学教育的各个环节中发挥作并使它们在数学教育的各个环节中发挥作用用。 数学数学学科独特的、别的学科不能替代的育学科独特的、别的学科不能替代的育人功能到底在人功能到底在哪里哪里？ 数学是思维数学是思维的的科学，数学教学是思维的教科学，数学教学是思维的教学学数学对于发展学生的思维是至关重数学对于发展学生的思维是至关重要的。要的。 数学学科育人的独特功能，主要在培养学数学学科育人的独特功能

9、，主要在培养学生的思维特别是逻辑思维上，要使学生学生的思维特别是逻辑思维上，要使学生学会思考，特别是学会会思考，特别是学会“有逻辑地思考有逻辑地思考”，使生成为善于认识问题、使生成为善于认识问题、善于善于解决问题的解决问题的人才。人才。 从从数学对象的获得数学对象的获得数学对象的研究数学对象的研究数学知识的应用这三个方面（阶段），数学知识的应用这三个方面（阶段），从数学从数学思维的思维的角度角度全面、综合地思考全面、综合地思考核心核心素养培育素养培育点。点。具体如何做？具体如何做？ 数学对象的获得，要注重数学对象的获得，要注重数学数学与现实之间与现实之间的的联系联系，也要注重数学内在的前后一致

10、、逻辑连贯性，从这也要注重数学内在的前后一致、逻辑连贯性，从这两个方面发现和提出问题，提升数学抽象、直观想两个方面发现和提出问题，提升数学抽象、直观想象等素养；象等素养； 对对数学数学对象的对象的研究研究，要注重通过数学的推理、论证，要注重通过数学的推理、论证获得结论（定理、性质等）的过程，提升推理、运获得结论（定理、性质等）的过程，提升推理、运算等素养；算等素养； 应用数学知识解决问题应用数学知识解决问题，要注重利用数学概念原理要注重利用数学概念原理分析实际问题分析实际问题，体现建模的全过程体现建模的全过程，学会分析数据学会分析数据，从数据中挖掘信息等从数据中挖掘信息等。 在知识学习的不同在

11、知识学习的不同阶段阶段，突出，突出培育培育和提升核心素养和提升核心素养的重点的重点。“两个过程两个过程”的合理性的合理性 从数学从数学知识发生发展过程的合理性、学生知识发生发展过程的合理性、学生思维过程的合理性上加强思考，这是落实思维过程的合理性上加强思考，这是落实数学学科核心素养的关键点数学学科核心素养的关键点。 前前一个的核心是数学的学科思想问题，后一个的核心是数学的学科思想问题，后一个是学生的思维规律、认知特点问题一个是学生的思维规律、认知特点问题。四四、教师专业发展的三大基石、教师专业发展的三大基石理解数学理解数学理解学生理解学生理解教学理解教学 特别是，特别是，“内容所反映的数学思想

12、方法内容所反映的数学思想方法”的理解水平决定了理解数学的高度，同时的理解水平决定了理解数学的高度，同时也决定了教学所能达到的水平和效果。也决定了教学所能达到的水平和效果。五五、理解数学知识的意蕴、理解数学知识的意蕴 知识的意蕴就是知识所蕴含的理性内涵，包括知识的意蕴就是知识所蕴含的理性内涵，包括知识的价值、知识的精神、知识的情感等，它知识的价值、知识的精神、知识的情感等，它是知识的精义和主旨所在。是知识的精义和主旨所在。 数学知识的意蕴与数学的文化价值、美育价值数学知识的意蕴与数学的文化价值、美育价值有着天然联系。有着天然联系。 只有只有感知和领悟了数学知识的意蕴，才能理解感知和领悟了数学知识

13、的意蕴，才能理解数学的基本思想，才能领会数学思维的奥秘，数学的基本思想，才能领会数学思维的奥秘，才能把握数学的基本方法。所以，理解数学知才能把握数学的基本方法。所以，理解数学知识的意蕴是形成数学学科核心素养的前提识的意蕴是形成数学学科核心素养的前提。 数学数学知识的意蕴是启动、维持与深化认识活动知识的意蕴是启动、维持与深化认识活动的原动力，是推动数学知识产生的内在根本力的原动力，是推动数学知识产生的内在根本力量。所以，从数学学习的角度看，使学生感悟量。所以，从数学学习的角度看，使学生感悟数学知识的意蕴是培养学生数学地认识问题和数学知识的意蕴是培养学生数学地认识问题和解决问题能力的根基所在解决问

14、题能力的根基所在。 从培养创新人才出发从培养创新人才出发, ,应紧紧围绕应紧紧围绕“数量关数量关系系”、“空间形式空间形式”、“数形结合数形结合”和和“公理化思想公理化思想”这四条主线这四条主线, ,让让学生学生有机会有机会体会和认识一些数学本源性问题，例如引体会和认识一些数学本源性问题，例如引发某个数学分支创立的基本问题发某个数学分支创立的基本问题, ,创立过程创立过程中出现的瓶颈和突破的关键思想中出现的瓶颈和突破的关键思想, ,以及从定以及从定性到精确定量的基本过程等。性到精确定量的基本过程等。 数学对象是怎么抽象出来的；有哪些问题数学对象是怎么抽象出来的；有哪些问题值得研究，如何构建研究

15、路径，如何得到值得研究，如何构建研究路径，如何得到研究方法；如何用已有知识去解决问题，研究方法；如何用已有知识去解决问题，发展新知识；等等。发展新知识；等等。例例 几个几个“简单简单”概念的理解概念的理解 “位置位置”是宇宙空间的最基本要素，位置是宇宙空间的最基本要素，位置用用“点点”表示；表示； 直线段是连接两点的最短通路，两个点的直线段是连接两点的最短通路，两个点的位置差异用有向线段的长度表示；位置差异用有向线段的长度表示； 两个两个“方向方向”的差异用角度表示；的差异用角度表示； 直线的直线的“直直”用点与直线之间的位置关系用点与直线之间的位置关系刻画；刻画； 平面的平面的“平平”用点、

16、直线、平面之间的位用点、直线、平面之间的位置关系来刻画。置关系来刻画。理解数学知识的三重境界理解数学知识的三重境界 知其然知其然 知其所以然知其所以然 何由以知其所以然何由以知其所以然 启发启发学生，示以思维之道耳！学生，示以思维之道耳！六六、数学思维再认识、数学思维再认识 思维是指理性认识，或指理性认识的过程，思维是指理性认识，或指理性认识的过程，它是人脑对客观事物能动的、间接的和概它是人脑对客观事物能动的、间接的和概括的反映，包括逻辑思维和形象思维，但括的反映，包括逻辑思维和形象思维，但通常是指逻辑思维。通常是指逻辑思维。 思维的工具是语言；思维的工具是语言； 思维的形式是概念、判断、推理

17、等；思维的形式是概念、判断、推理等； 思维的方法是抽象、归纳、演绎、分析和思维的方法是抽象、归纳、演绎、分析和综合等。综合等。一个结构一个结构 数学地认识事物数学地认识事物的的基本结构：定义概念基本结构：定义概念推导性质推导性质建立联系建立联系实践应用。实践应用。 先从数、形的角度抽象事物的本质属性，先从数、形的角度抽象事物的本质属性，定义概念从而明确数学对象；探索对象的定义概念从而明确数学对象；探索对象的要素与要素、要素与环境等之间的关系和要素与要素、要素与环境等之间的关系和相互作用而获得性质；建立相关知识的联相互作用而获得性质；建立相关知识的联系而形成知识体系；应用所得知识解决数系而形成知

18、识体系；应用所得知识解决数学内外的问题，并深化认识、拓展新知。学内外的问题，并深化认识、拓展新知。这是一个螺旋上升、逐渐深入的过程。这是一个螺旋上升、逐渐深入的过程。两个方向（方面）两个方向（方面） 数学思维有两个相辅相成的方向或方面数学思维有两个相辅相成的方向或方面归归纳和演绎。在对某一数学领域或对象的探索认纳和演绎。在对某一数学领域或对象的探索认知过程中，一方面要从具体事例的实验、分析知过程中，一方面要从具体事例的实验、分析中归纳其本质，获得数学猜想、命题等；另一中归纳其本质，获得数学猜想、命题等；另一方面又要用逻辑推理、数理分析去研讨业已认方面又要用逻辑推理、数理分析去研讨业已认知的本质

19、，证明猜想，发现新的性质，认知相知的本质，证明猜想，发现新的性质，认知相关概念的联系性和一致性，直至形成不同学科关概念的联系性和一致性，直至形成不同学科统一性的认知。数学思维中，归纳和演绎的配统一性的认知。数学思维中，归纳和演绎的配合，往往能相互为用、相得益彰，产生意想不合，往往能相互为用、相得益彰，产生意想不到的效果。到的效果。三种语言三种语言 数学思维的工具数学思维的工具：符号语言、图形语言和符号语言、图形语言和普通文字语言。普通文字语言。 数学有自己的符号体系和表达方式，它使数学有自己的符号体系和表达方式，它使人们能方便、简捷地呈现数学思想和成果。人们能方便、简捷地呈现数学思想和成果。数

20、学符号是内涵丰富的数学符号是内涵丰富的“信息块信息块”，因而，因而成为数学思维活动的理想载体。另外，数成为数学思维活动的理想载体。另外，数学符号语言能缩短数学思维过程，使之变学符号语言能缩短数学思维过程，使之变得简约、精练。得简约、精练。四种形式四种形式 数学思维的基本形式数学思维的基本形式：逻辑推理逻辑推理代数运算代数运算几何直观几何直观数形结合数形结合逻辑推理逻辑推理 逻辑推理是数学思维的主要形式，是从一逻辑推理是数学思维的主要形式，是从一些数学事实、概念、定理出发，依据逻辑些数学事实、概念、定理出发，依据逻辑规则推出结论的思维过程。规则推出结论的思维过程。 认识问题的要点在于把认识问题的

21、要点在于把握握好本质，发现问好本质，发现问题；解决问题的任务是运用题；解决问题的任务是运用“已知已知”之性之性质去推论质去推论“待知待知”之性质。概括言之，乃之性质。概括言之，乃是在性质层面的一种以简驭繁。而逻辑推是在性质层面的一种以简驭繁。而逻辑推理就是这种以简驭繁的实践与步骤。理就是这种以简驭繁的实践与步骤。代数运算代数运算 “代数学的根源在于代数运算代数学的根源在于代数运算”，有效有，有效有系统地运用运算律去解决问题是代数学的系统地运用运算律去解决问题是代数学的基本思想；基本思想； 数及其运算是一切运算系统的模范，与它数及其运算是一切运算系统的模范，与它类比而发现需研究的问题和方法，是基

22、本类比而发现需研究的问题和方法，是基本而重要的数学思维方式；而重要的数学思维方式； 代数运算的过程和方法可以容易地发展成代数运算的过程和方法可以容易地发展成高层次函数观点。高层次函数观点。几何直观几何直观 几何直观是利用几何概念抽象空间事物获几何直观是利用几何概念抽象空间事物获得几何图形，用图形描述事物的结构特征，得几何图形，用图形描述事物的结构特征，用点线面体的关系探索事物的关系，乃至用点线面体的关系探索事物的关系，乃至用图形及其关系认知、表达事物的本质和用图形及其关系认知、表达事物的本质和关系，几何直观是展开逻辑推理的思维基关系，几何直观是展开逻辑推理的思维基础。础。数形结合数形结合 用几

23、何图形表示数量关系用几何图形表示数量关系； 把几何中的定性结果转化为可运算的定量把几何中的定性结果转化为可运算的定量结果结果； 这是数学思维的变通、灵活性的表现，这是数学思维的变通、灵活性的表现，也也是数学发展的有力手段，是数学发展的有力手段，坐标法、函数与坐标法、函数与图像（曲线）、三角函数与圆、向量法与图像（曲线）、三角函数与圆、向量法与几何等都是数形结合的思维产物。几何等都是数形结合的思维产物。N N种因地制宜的具体思维方法种因地制宜的具体思维方法 针对具体数学问题的思维方法针对具体数学问题的思维方法：代入法、：代入法、消元法、换元法、配方法、割补法、待定消元法、换元法、配方法、割补法、

24、待定系数法、构造法、面积法、体积法系数法、构造法、面积法、体积法； 综合法与分析法、顺证法与反证法，数学综合法与分析法、顺证法与反证法，数学归纳法归纳法是常用的思维方法。是常用的思维方法。数学思维数学思维一个结构一个结构，两个方向两个方向，三种语言三种语言，四种形式四种形式 演化出演化出千变万化千变万化、赏心悦目、赏心悦目的思维方法。的思维方法。 数学思维是人类智慧的最精彩绽放。数学思维是人类智慧的最精彩绽放。 好比好比一棵参天大树，一棵参天大树，“一个结构，两个方一个结构，两个方向，三种语言，四种形式向，三种语言，四种形式”是根和主干，是根和主干，千变万化的具体方法则是其枝和叶。千变万化的具

25、体方法则是其枝和叶。 当前当前课堂教学中的普遍问题是，把注意力课堂教学中的普遍问题是，把注意力集中到了集中到了“枝繁叶茂枝繁叶茂”的追求，而忘却了的追求，而忘却了“根和主干根和主干”的重要性。的重要性。七七、发挥一般观念的引领作用、发挥一般观念的引领作用 数学教学的高立意。数学教学的高立意。 使使学生明白数学思维之道的关键点。学生明白数学思维之道的关键点。几何几何教材教材呈现呈现的的“研究之道研究之道” 一般一般按按“背景（实际背景、数学背景）背景（实际背景、数学背景）定义（内含、表示）定义（内含、表示）分类（以要素分类（以要素为标准）为标准）性质（要素、相关要素的相性质（要素、相关要素的相互

26、关系）互关系）特例（性质和判定）特例（性质和判定）联联系（应用）系（应用）”的逻辑的逻辑展开展开，在定性研究的，在定性研究的基础上进行定量研究基础上进行定量研究。这个系统具有一般这个系统具有一般意义，是科学研究的意义，是科学研究的“基本之道基本之道”。教师。教师以此为基本依据设计课堂教学，并让学生以此为基本依据设计课堂教学，并让学生反复经历这个逻辑过程，是反复经历这个逻辑过程，是“使学生学会使学生学会思考思考”的关键之一。的关键之一。如何如何激发激发学生独立思考学生独立思考 有效数学学习有效数学学习的的两两个基本条件：一是好的个基本条件：一是好的学习素材，二是有效的研究思路和方法。学习素材，二

27、是有效的研究思路和方法。为学生提供典型而丰富的学习素材，让学为学生提供典型而丰富的学习素材，让学生展开独立思考，并在思考的方向和思想生展开独立思考，并在思考的方向和思想方法上作适当引导，是方法上作适当引导，是“使学生学会思考使学生学会思考”的又一关键。的又一关键。平面几何的研究思路和方法平面几何的研究思路和方法 平面图形中，三角形是最简单的平面图形中，三角形是最简单的，圆，圆是最完美是最完美的（主要表现在对称性上）。于是，平面几何的（主要表现在对称性上）。于是，平面几何中研究三角形、圆的基本性质有奠基作用中研究三角形、圆的基本性质有奠基作用。三三角形是最基本的。角形是最基本的。 得到得到三角形

28、的性质是一方面，更重要的是得到三角形的性质是一方面，更重要的是得到了研究几何图形的一个典范了研究几何图形的一个典范研究研究其他其他几何几何对象都对象都可以循着这样的思路展开，同时还得到可以循着这样的思路展开，同时还得到了一个了一个“工具工具”，因为我们往往利用三角形的，因为我们往往利用三角形的性质去分析其他几何图形的性质。性质去分析其他几何图形的性质。三角形性质的研究思路和三角形性质的研究思路和方法方法 以以三角形三角形的的要素（三条边、三个内角）、要素（三条边、三个内角）、相关要素（高、中线、角平分线、外角等）相关要素（高、中线、角平分线、外角等）以及几何量（边长、角度、面积等）之间以及几何

29、量（边长、角度、面积等）之间的相互关系为基本问题，从的相互关系为基本问题，从“形状、大小形状、大小和位置关系和位置关系”等角度展开研究。显然，这等角度展开研究。显然，这是一般观念指导下的研究是一般观念指导下的研究。 思考一思考一 几何图形的性质指什么？几何图形的性质指什么？ 思考二思考二 你认为可以怎样构建三角形性质的你认为可以怎样构建三角形性质的研究框架？怎样引导学生独立发现三角形研究框架？怎样引导学生独立发现三角形的性质？的性质？ 思考三思考三 类比三角形的研究思路和方法，你类比三角形的研究思路和方法，你认为可以怎样引导学生独立构建四边形的认为可以怎样引导学生独立构建四边形的研究路径，得到

30、平行四边形的有关结论？研究路径，得到平行四边形的有关结论？ 思考思考四四 圆又该如何研究？圆又该如何研究？ “性质就是一类事物共有的特性性质就是一类事物共有的特性”之类的之类的说法过于宏观，在具体思考中没有可操作说法过于宏观，在具体思考中没有可操作性，需要针对具体内容进行归纳。例如：性，需要针对具体内容进行归纳。例如： 运算中的不变性（规律性）就是性质运算中的不变性（规律性）就是性质研究代数性质，研究代数性质，“算算看算算看”是基本方法；是基本方法； 变化中的不变性（规律性）就是性质变化中的不变性（规律性）就是性质研究函数的性质，在运动变化中进行观察研究函数的性质，在运动变化中进行观察是基本方

31、法；是基本方法； 要素和要素之间确定的关系就是性质要素和要素之间确定的关系就是性质观察几何图形的构成要素之间的相互关系观察几何图形的构成要素之间的相互关系（位置（位置关系、大小关系等）是研究几何性关系、大小关系等）是研究几何性质的基本方法质的基本方法； 思考五：如何提出思考五：如何提出“解三角形解三角形”的课题的课题 首先，从定性到定量，提出研究课题首先，从定性到定量，提出研究课题。由。由S.A.S.，A.S.A.，S.S.S.可知，三角形的形状、可知，三角形的形状、大小已经由这三组要素分别唯一确定。这大小已经由这三组要素分别唯一确定。这是定性的结论是定性的结论。 数学研究数学研究往往是先做定

32、性探究，再做定量往往是先做定性探究，再做定量分析。这是一个由表及里、逐步精确、精分析。这是一个由表及里、逐步精确、精益求精的自然进展。益求精的自然进展。从定量的角度看从定量的角度看，上，上述三个定理表明，三角形的任意元素可由述三个定理表明，三角形的任意元素可由这三组要素分别唯一确定。这三组要素分别唯一确定。 三角形的三边边长、三个内角的角度、面三角形的三边边长、三个内角的角度、面积、高、外径、内径等等几何量都可以用积、高、外径、内径等等几何量都可以用这三组要素分别表示。这些几何量之间存这三组要素分别表示。这些几何量之间存在的基本函数关系就是三角定律。那么，在的基本函数关系就是三角定律。那么，如

33、何推导这些基本关系如何推导这些基本关系？ 由由S.S.S.求求三内角三内角，对对RtABC，C=90，有有cosB=a/c，cosA=b/c。对锐角三角形对锐角三角形、钝、钝角三角形，与直角三角形联系起来，可以角三角形，与直角三角形联系起来，可以发现如下关系：发现如下关系： 锐角锐角ABC就是将就是将RtABC1的直角顶点的直角顶点C1沿沿BC1方向方向“外移外移”到到C；钝角；钝角ABC则是则是将将RtABC1的直角顶点的直角顶点C1沿沿C1B方向方向“内内移移”到到C。因为。因为“内外有别内外有别”，因此需要分，因此需要分类讨论。类讨论。还可以研究哪些还可以研究哪些问题问题（1）三角形的其

34、他元素，如外径、内径、高、）三角形的其他元素，如外径、内径、高、中线、角平分线中线、角平分线，如何求解？，如何求解？（2）还有哪些推导两个定理的方法？）还有哪些推导两个定理的方法？联联系已有知识，给出不同证明方法，通过建立系已有知识，给出不同证明方法，通过建立知识的联系，发展数学认知结构，增进数学知识的联系，发展数学认知结构，增进数学理解。理解。 而在不同推导方法的探求中，一个自然的而在不同推导方法的探求中，一个自然的想法是：上述余弦定理的推导需要分类讨想法是：上述余弦定理的推导需要分类讨论，能避免吗论，能避免吗？方法的改进与智慧的发展方法的改进与智慧的发展 方法的改进源于对已有方法的反思方法

35、的改进源于对已有方法的反思。 分析分析引起分类的原因时，把三类三角形放在一引起分类的原因时，把三类三角形放在一起，用连续变化的观点看待而发现借助向量可起，用连续变化的观点看待而发现借助向量可统一三种情况。这里需要很好地把握向量的本统一三种情况。这里需要很好地把握向量的本质，其中对质，其中对“方向方向”的敏感性起到关键作用的敏感性起到关键作用。 F F克莱克莱因：因：“对比把长度、面积、体积考虑对比把长度、面积、体积考虑为绝对值的普通初等几何学，这样做有极大的为绝对值的普通初等几何学，这样做有极大的好处。初等几何必须依照图形呈现的情况而区好处。初等几何必须依照图形呈现的情况而区分许多情况，而现在

36、用几个简单的一般定理就分许多情况，而现在用几个简单的一般定理就可以概括。可以概括。”小结小结 数学教学的根本任务是发展学生的思维能数学教学的根本任务是发展学生的思维能力，说到底就是要使学生在面对问题时总力，说到底就是要使学生在面对问题时总能想到办法。注重一般观念的思维引领作能想到办法。注重一般观念的思维引领作用，可以提高思维的系统性、结构性，有用，可以提高思维的系统性、结构性，有效克服效克服“做得到但想不到做得到但想不到”的尴尬，使数的尴尬，使数学的发现更具学的发现更具“必然性必然性”，是，是实现实现数学数学育育人人目标的重要途径目标的重要途径。八八、为学生创造归纳的机会、为学生创造归纳的机会

37、 唯有还原数学知识的探索过程，按人类认识事唯有还原数学知识的探索过程，按人类认识事物的本来面目设计教学过程，才能真正物的本来面目设计教学过程，才能真正达成达成教教学方式的学方式的实质性实质性变化变化。 在学生熟悉的背景下，从具体事例中，通过在学生熟悉的背景下，从具体事例中，通过“归纳归纳演绎演绎”而学习数学概念，关键是让学而学习数学概念，关键是让学生获得理解概念本质所需要的亲身体验，这种生获得理解概念本质所需要的亲身体验，这种体验构筑了理解抽象概念的背景和根基，也是体验构筑了理解抽象概念的背景和根基，也是学生能掌控自身学习过程的必要条件。学生能掌控自身学习过程的必要条件。 当前应更加强调归纳。

38、当前应更加强调归纳。例例 函数概念的归纳过程函数概念的归纳过程 四个基本问题四个基本问题（1 1）函数的函数的现实现实背景各是什么背景各是什么？刻画？刻画了哪类了哪类运动变化现象？运动变化现象？（2 2）决定这些运动变化现象的要素是什么？）决定这些运动变化现象的要素是什么？（3 3）要素之间的相互关系如何？）要素之间的相互关系如何？（4 4）可以用什么数学模型来刻画？）可以用什么数学模型来刻画？（1 1）是搞清楚）是搞清楚这这类变化过程的基本特征，明类变化过程的基本特征，明确此现象与彼现象的差异点，从而精确区别确此现象与彼现象的差异点，从而精确区别不同变化现象，是明确问题的过程；不同变化现象，

39、是明确问题的过程；（2 2）、（）、（3 3）是对这类运动变化现象的深入）是对这类运动变化现象的深入分析，从中析出常量、变量及其依赖关系，分析，从中析出常量、变量及其依赖关系，这里的这里的“依赖关系依赖关系”常常要借助于运算而建常常要借助于运算而建立对应关系；立对应关系；（4 4）是以）是以“依赖关系依赖关系”为导向，利用代数、为导向，利用代数、几何中可以表示这些关系的数学式子、表格、几何中可以表示这些关系的数学式子、表格、图形等加以明确图形等加以明确。一次函数一次函数 现实背景现实背景：物体作匀速直线运动，其特征：物体作匀速直线运动，其特征是运动的速度（即位移与时间的比值）是是运动的速度（即

40、位移与时间的比值）是一个定值。一个定值。 决定运动状态的要素决定运动状态的要素：速度：速度v、时间、时间t和位移和位移S。这里，。这里，v是常量，是常量，t和和S是变量；是变量；“速度是速度是一个定值一个定值”是此类运动区别于它类运动的是此类运动区别于它类运动的关键点，它的实际意义是在相同的时间段关键点，它的实际意义是在相同的时间段上物体的位移也相同，这是一种均匀变化。上物体的位移也相同，这是一种均匀变化。要素之间的相互关系要素之间的相互关系 数学模型数学模型：对于不同类型的问题，都有一：对于不同类型的问题，都有一个从具体事例到一般规律的归纳过程，得个从具体事例到一般规律的归纳过程，得到了各种

41、各样的一次函数。在此基础上，到了各种各样的一次函数。在此基础上，再对它们进行共性的归纳，可以得到一次再对它们进行共性的归纳，可以得到一次函数模型函数模型y=kx+b。这里，特别要注意。这里，特别要注意k和和b的意义：的意义：b是初始条件；函数值是初始条件；函数值y随自变量随自变量x的变化而变化的过程中，函数值的改变量的变化而变化的过程中，函数值的改变量与自变量的改变量的比值是常数与自变量的改变量的比值是常数k，k的绝的绝对值越大，改变得越快。这里特别要强调对值越大，改变得越快。这里特别要强调以实际问题为依托理解以实际问题为依托理解k，b的意义的意义。 思考：二次函数概念的归纳过程该如何构思考：

42、二次函数概念的归纳过程该如何构建？反比例函数呢？建？反比例函数呢？ 高中阶段的高中阶段的函数函数概念教学概念教学，应从，应从初中已学初中已学的一次函数、二次函数和反比例函数出发，的一次函数、二次函数和反比例函数出发，反思和提炼它们各自的抽象过程，并归纳反思和提炼它们各自的抽象过程，并归纳它们的共性，从而形成一般函数概念的认它们的共性，从而形成一般函数概念的认识基础。识基础。具体过程具体过程 具体具体函数函数一类函数一类函数函数概念函数概念一般化一般化。 先先以学生熟悉的运动变化问题为背景，仔以学生熟悉的运动变化问题为背景，仔细分析一次函数、二次函数和反比例函数细分析一次函数、二次函数和反比例函

43、数概念的归纳过程；概念的归纳过程； 提出问题提出问题：这些这些函数的共性是什么？如何函数的共性是什么？如何表示表示？引导？引导学生进行再归纳；学生进行再归纳； 利用初中的函数定义判断利用初中的函数定义判断“某某日日上证指数上证指数图图”、“奥运会奥运会金牌榜金牌榜”等是否为函数，等是否为函数，增强进一步学习函数概念必要性的认识增强进一步学习函数概念必要性的认识；一般概念指导下的基本初等函数研究一般概念指导下的基本初等函数研究 在获得对函数及其性质的一般化认识的基在获得对函数及其性质的一般化认识的基础上，完成了础上，完成了“从个别推及一般从个别推及一般”的归纳的归纳过程，接着是过程，接着是“从一

44、般推及个别从一般推及个别”的演绎的演绎过程。这个演绎过程可以看成是函数一般过程。这个演绎过程可以看成是函数一般概念及其性质的具体应用，就是在一般观概念及其性质的具体应用，就是在一般观念指导下解决某一类运动变化规律的认识念指导下解决某一类运动变化规律的认识问题，获得一类函数的概念及其性质。高问题，获得一类函数的概念及其性质。高中阶段就是进入到幂函数、指数函数、对中阶段就是进入到幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的研究。数函数、三角函数等基本初等函数的研究。 教学教学中中，应兼顾，应兼顾函数概念的数学逻辑和学生学习的函数概念的数学逻辑和学生学习的心理逻辑。其中从问题出发、归纳与演绎

45、相互为用心理逻辑。其中从问题出发、归纳与演绎相互为用是基本原则是基本原则。 宏观与具体相结合的宏观与具体相结合的问题问题： “对于一个运动过程或一种变化现象，需要研究的对于一个运动过程或一种变化现象，需要研究的基本问题有哪些？基本问题有哪些？”“”“一般地，我们可以怎样展开一般地，我们可以怎样展开研究？研究？”等等与与数学基本思想、基本活动经验有数学基本思想、基本活动经验有关关，具有，具有引领方向的作用，可以极大地增强学习与引领方向的作用，可以极大地增强学习与思考的主动性、针对性、有效性思考的主动性、针对性、有效性； 针对针对实际情境中的具体现象提出实际情境中的具体现象提出问题问题四四个基本个

46、基本问题问题。 具体具体研究某一函数时研究某一函数时，要，要调动已调动已有经验有经验，从图表观，从图表观察、代数运算察、代数运算等途径等途径发现规律，得出概念和性质发现规律，得出概念和性质。九九、通过类比发现和提出问题、通过类比发现和提出问题 类比的含义类比的含义 类比的类比的特点特点 类比类比的一般模式的一般模式 数系扩充与复数的数系扩充与复数的引入引入十十、通过推广、特殊化发现和提出、通过推广、特殊化发现和提出问题问题 空间几何体中的特殊化；空间几何体中的特殊化； 点线面点线面位置关系的特殊化位置关系的特殊化平行与垂直；平行与垂直； 代数性质代数性质特殊化中的特殊性；特殊化中的特殊性； 运算中的一般化和特殊化运算中的一般化和特殊化圆锥曲线性圆锥曲线性质的质的再发现再发现； 十一十一、使学生掌握研究数学对象的方法、使学生掌握研究数学对象的方法 数学观念和具有一般意义的数