第九章压杆稳定

1、第九章第九章压杆稳定压杆稳定(a)(b) 拉压杆的强度条件为拉压杆的强度条件为： = FNA9-1 9-1 压杆的稳定概念压杆的稳定概念(a): 木杆的横截面为矩形（12cm), 高为3cm，当荷载重量为6kN 时杆还不致破坏。(b): 木木杆的横截面与杆的横截面与(a)相同，高为相同，高为 1.4m(细长压杆）细长压杆），当压力为当压力为 0.1KN时杆被压弯，导致破坏。时杆被压弯，导致破坏。 (a)和和(b)竟相差竟相差60倍，为什么？倍，为什么？ 细长压杆的破坏形式：突然产生显著的弯曲变形而使结构丧失工件能力，并非因强度不够，而是由于压杆不能保持原有直线平衡状态所致。这种现象称为失稳。

2、1907年加拿大圣劳伦斯河上的魁北克桥年加拿大圣劳伦斯河上的魁北克桥（倒塌前正在进行悬臂法架设中跨施工）（倒塌前正在进行悬臂法架设中跨施工）倒塌后成为一片废墟倒塌后成为一片废墟 1925年苏联莫兹尔年苏联莫兹尔桥在试车时因桥梁桥在试车时因桥梁桁架压杆失稳导致破桁架压杆失稳导致破坏时的情景。坏时的情景。这是这是1966年我国广东鹤地水库弧门由于大风导致年我国广东鹤地水库弧门由于大风导致支臂柱失稳的实例。支臂柱失稳的实例。 1983年年10月月4日，高日，高54.2m、长长17.25m、总重总重565.4KN大型脚手架局部大型脚手架局部失稳坍塌，失稳坍塌，5人死亡、人死亡、7人人受伤受伤 。工程实

3、例（失稳破坏现场）工程实例（失稳破坏现场）9.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念不稳定平衡不稳定平衡稳定平衡稳定平衡 微小扰动就使小球远微小扰动就使小球远离原来的平衡位置离原来的平衡位置 微小扰动使小球离开原微小扰动使小球离开原来的平衡位置，但扰动撤销来的平衡位置，但扰动撤销后小球回复到平衡位置后小球回复到平衡位置11-1失失 稳稳 不稳定的平衡物体在任意微小的外界干扰下不稳定的平衡物体在任意微小的外界干扰下的变化或破坏过程。的变化或破坏过程。稳定性稳定性 平衡物体在其原来平衡状态下抵抗干扰的能力。平衡物体在其原来平衡状态下抵抗干扰的能力。 小球平衡的三种状态小球平衡的三种状态稳定平衡稳定平衡

4、随遇平衡随遇平衡（ 临界状态临界状态 ）不稳定平不稳定平衡衡 电子式万能试电子式万能试验机上的压杆稳定验机上的压杆稳定实验实验 工程项目的工程项目的压杆稳定试验压杆稳定试验黄杆黄杆- -拉杆拉杆 蓝绿杆蓝绿杆- -失稳压杆引起的垮塌失稳压杆引起的垮塌工程实例工程实例增大杆上压力增大杆上压力此时，压杆上对应的压力称此时，压杆上对应的压力称为压杆的临界载荷，或临界为压杆的临界载荷，或临界力。力。用用其它失稳现象其它失稳现象压力小于临界力压力小于临界力, , 压杆稳定。压杆稳定。压力大于临界力压力大于临界力, 压杆失稳。压杆失稳。 结论结论: :压杆失稳与否关键是临界压杆失稳与否关键是临界则压杆保持

5、微小弯曲平则压杆保持微小弯曲平衡的衡的最小压力即为压杆最小压力即为压杆的临界载荷（临界力）。的临界载荷（临界力）。压杆直线平衡压杆直线平衡9.2 wFMp0222wkdxwdEIFkp2令令22dxwdEIM 选取坐标如图所示，距选取坐标如图所示，距B为为x的的任意截面的挠度为任意截面的挠度为w，弯矩，弯矩M。B=0 0AA=0或或 B=0 k2= 222lEInFP由公式可知：由公式可知：压杆越细、越长，压杆越细、越长，所以：所以： 推导欧拉公式时，用变形后的位置计算弯矩，不再使用原推导欧拉公式时，用变形后的位置计算弯矩，不再使用原始尺寸，是稳定问题在处理方法上与以往不同之处。始尺寸，是稳定

6、问题在处理方法上与以往不同之处。适用条件：适用条件：材料服从胡克定律材料服从胡克定律, ,在弹性范围适用。在弹性范围适用。9.3 22)5 . 0(lEIFcr可采用与上节相同的方法导出：可采用与上节相同的方法导出：22lEIFcr22)7 . 0(lEIFcr22)2( lEIFcr0 . 10 . 25 . 07 . 022)( lEIFcr欧拉公式普遍形式欧拉公式普遍形式长度因数长度因数相当长度相当长度lFMkykyEI22 MFyxMyEI )(EIFk2:令kxdkxcysincos0,; 0, 0 yyLxyyx解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：边界条件为:例例 试由挠曲线近似

7、微分方程，导出下述两种细长压杆的临界力 公式。FLxPM0FM0PM0 xFM0nkLnkLdFMc 2, 0,并2222)2/(4LEILEIFcr2kL为求最小临界力，“k”应取除零以外的最小值，即取：所以，临界力为： 2 nkL = 0.5 应当指出应当指出: : 上边所列的杆端约束情况，是典型的理想上边所列的杆端约束情况，是典型的理想约束，实际上，工程实际中的杆端约束情况是约束，实际上，工程实际中的杆端约束情况是复杂的，应该根据实际情况作具体分析，看其复杂的，应该根据实际情况作具体分析，看其与哪种理想情况接近，从而定出近乎实际的长与哪种理想情况接近，从而定出近乎实际的长度系数，也可按设

8、计手册或规范的规定选取。度系数，也可按设计手册或规范的规定选取。 此外，欧拉公式是从符合胡克定律的挠曲线此外，欧拉公式是从符合胡克定律的挠曲线近似微分方程导出的，所以近似微分方程导出的，所以, ,上述临界载荷公上述临界载荷公式，只有在微弯状态下压杆仍处于弹性状态时式，只有在微弯状态下压杆仍处于弹性状态时才是成立的。才是成立的。例题例题9-1解：解：截面惯性矩截面惯性矩临界力临界力269kNN10269322)( lEIFcr例9-2：图示细长圆截面连杆，长度 ，直径, 材料为Q235钢，E200GPa.试计算连杆的临界载荷 Fcr .解：1、细长压杆的临界载荷MPas2352、从强度分析ssA

9、Fmml800)(8 .73kN64422dlE6210235402. 022crFlEI648.002.0102002493)(2.24kNzymmd20crFBAlAlEIAAFl(EIcrcr2222)AiI2 其中惯性矩其中惯性矩AIi il 注意：注意：柔度越大，临界应力越小，压杆越容易失稳柔度越大，临界应力越小，压杆越容易失稳. .2222EAlEIAFcrcr则临界应力可表示为：则临界应力可表示为：pcr22EpE211 或或如令如令欧拉欧拉公式的适用范围可表示为：公式的适用范围可表示为：pE2适用范围为适用范围为: :( (称为细长杆或大柔度杆称为细长杆或大柔度杆) )例：Q2

10、35钢钢，.200,200MPaGPaEppE21200102003210035.991446424dddAIiil7 . 05 . 00 . 21)(200a1)(196b1)(180c1)(160d1001均可使用欧拉公式。均可使用欧拉公式。三、三、中小柔度杆临界应力计算中小柔度杆临界应力计算1 bacr即即bas2 当柔度当柔度( (称为小柔度杆称为小柔度杆) )( (称为中柔度杆称为中柔度杆) )欧拉公式欧拉公式( (大柔度杆大柔度杆) )s使用经验直线公式使用经验直线公式)(bscr1 2bas2如令如令但此时压杆临界应力必须小于屈服极限但此时压杆临界应力必须小于屈服极限直线公式直线

11、公式a a、b b 是与材料性能有关的常数。是与材料性能有关的常数。小柔度杆（短粗压杆）只需进行强度计算小柔度杆（短粗压杆）只需进行强度计算bacr直线公式直线公式2(小柔度杆小柔度杆)21(中柔度杆中柔度杆)il压杆柔度压杆柔度的四种取值情况的四种取值情况临界柔度临界柔度PE21P比例极限比例极限bas2s屈服极限屈服极限临界应力临界应力:1(大柔度杆大柔度杆)欧拉公式欧拉公式22Ecr强度问题强度问题)(bscr无论是大柔度杆还是中柔度杆均无论是大柔度杆还是中柔度杆均为柔度越大，为柔度越大， 临界力越小。临界力越小。临界应力总图临界应力总图)2()1(lilAFcrcr（b）大柔度压杆和中

12、柔度压杆一般是因大柔度压杆和中柔度压杆一般是因 而失效，而失效，小柔度压杆是因小柔度压杆是因 而失效。而失效。 讨论题讨论题图示两细长压杆（图示两细长压杆（a）、（）、（b）的材料）的材料和横截面均相同，其中和横截面均相同，其中 杆的临界力较大。杆的临界力较大。（a） （b） 失稳失稳强度不足强度不足（a）在在 xz 平面内弯曲时为两端固（图平面内弯曲时为两端固（图b) )，木柱为松木，弹，木柱为松木，弹性模量性模量E=10GPa，591例题例题9-2一截面为一截面为121220cm20cm2 2的矩形木柱，长的矩形木柱，长l=4mm,其支撑其支撑情况是：在情况是：在 xy 平面内弯曲时为两端

13、铰支（图平面内弯曲时为两端铰支（图a）；）；试求木柱的临界力和试求木柱的临界力和临界应力。临界应力。(a)(b)实际发生失稳是在临界实际发生失稳是在临界力最小的平面内，也力最小的平面内，也就是柔度就是柔度最大的平面。最大的平面。计算杆在计算杆在xy平面内平面内 的柔度：的柔度：43zcm8000122012I4zcm77. 520128000AIiz两端铰支时两端铰支时0 . 13 .6977. 54001zilz(a)(b)计算杆在计算杆在xz平面内的柔度：平面内的柔度： 43cm2880121220yIcm46. 320122880yyAIi两端固定时两端固定时5 . 08 .5746.

14、34005 . 0yilyyzxy故知该杆实际失稳发生在故知该杆实际失稳发生在平面内。平面内。3 .6977. 54001zilz(a)(b) 例：圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端约束保持不变，例：圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端约束保持不变，若将压杆的直径缩小一半，则其临界力为原压杆的；若将压杆的直径缩小一半，则其临界力为原压杆的；若将压杆的横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临界力若将压杆的横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临界力为原压杆的。为原压杆的。解：( ) 122)( lIEFcr24264Edl()116圆正crcrFF)2(2222EIlEIl正圆()()II正圆ad

15、441264dd2244126433 .69取取591为大柔度杆，用欧拉公式为大柔度杆，用欧拉公式计算其临界应力和临界力。计算其临界应力和临界力。 MPa55.201055.203 .691010629222crPaE493.5kN10201255.202crcrAF 稳定计算中，无论是欧拉公式还是经验公式，都是以杆稳定计算中，无论是欧拉公式还是经验公式，都是以杆件的整体变形为基础的。局部的削弱（如螺钉孔等）对杆件的整体变形为基础的。局部的削弱（如螺钉孔等）对杆件的整体变形影响很小，所有，计算临界应力时，可采用件的整体变形影响很小，所有，计算临界应力时，可采用未削弱的横截面面积和惯性矩，但对小

16、柔度杆做强度计算未削弱的横截面面积和惯性矩，但对小柔度杆做强度计算时，自然应该用削弱后的横截面面积。时，自然应该用削弱后的横截面面积。FnFFstcrstcrnFF：stn稳定安全因数稳定安全因数stn或或: :工作安全因数工作安全因数stcrnstn9.5 压杆的稳定校核压杆的稳定校核11-40CM解：解：CD 梁：梁：150030sin2000NFFkN6 .26NF得得例题例题9- 3 已知托架已知托架D处承处承受载荷受载荷F=10kN，AB杆外径杆外径D=50mm，内径，内径d=40mm，材料材料Q235，E=200GPa， , 校核校核AB杆稳定性。杆稳定性。3stn1001AB杆杆

17、il1m732. 130cos5 . 1lmm164644222244dDdDdDAIi110816101.73213AB为大柔度杆为大柔度杆kN11822lEIFcrNcrFFn 342. 46 .26118stnAB杆满足稳定性要求杆满足稳定性要求110816101.73213 例题例题9-4 图示结构，图示结构，AC和和CB均为钢杆，直径均为钢杆，直径d=50mm，材料的弹性模量材料的弹性模量E=200GPa，比例极限比例极限= =240MPa，=200 MPa，稳定安全因数稳定安全因数=8。求许求许可载荷可载荷FP。解解: : 给定的结构中共有两个构给定的结构中共有两个构件，件，杆杆A

18、C承受压缩载荷，属于承受压缩载荷，属于稳定问题稳定问题。杆杆BC在载荷作用下在载荷作用下发生弯曲变形，属于强度问题。发生弯曲变形，属于强度问题。由结构可以看出由结构可以看出AC、BC杆的杆的长度相等，用长度相等，用l表示。表示。0CMP5 . 2 FFAC取取BC因为是圆截面杆，故惯性半径因为是圆截面杆，故惯性半径mm5 .124504dAIi0 . 1 113105 .1220 . 13il9 .921024010200692P21E1大柔度杆，用欧拉公式计算临界力大柔度杆，用欧拉公式计算临界力kN318N1031820 . 110200329222crlEIFAC杆得结构的许可载荷杆得结构

19、的许可载荷kN83185 . 2stcrPnFFFACkN9 .15PF杆杆BC杆发生弯曲变形，杆发生弯曲变形，BC杆的最大弯矩在杆的中杆的最大弯矩在杆的中点，由强度条件：点，由强度条件： ZWlFM4pmaxP5 . 2 FFAC kN94. 61094. 6232105010200443936ZPlWF由此可以得出：由此可以得出：结构的许可载荷结构的许可载荷6.94kN。 ZWlFM4pmax 例：五根直径都为例：五根直径都为 d的细长圆杆铰接构成平面正方形杆的细长圆杆铰接构成平面正方形杆系系ABCD，如各杆材料相同，弹性模量为如各杆材料相同，弹性模量为E。求图求图 (a)、(b)所示所示

20、两种载荷作用下杆系所能承受的最大载荷。两种载荷作用下杆系所能承受的最大载荷。CL13TU15解：( )a 杆受压，其余杆受拉BDBD杆的临界压力:222aIEFcr222EIa故杆系所能承受的最大载荷crFFmax222EIa342128Eda( )b 杆受拉，其余杆受压BD四根受压杆的临界压力：22aIEFcr故杆系所能承受的最大载荷：crFF2max264342Eda例：图示结构，例：图示结构，、两杆、两杆截面和材料相截面和材料相同，为细长压杆。确定使载荷同，为细长压杆。确定使载荷 P 为最大值时的为最大值时的角（设角（设0/2/2）。）。90CL13TU16解：由静力平衡条件可解得两杆的

21、压力分别为：NPNP12cossin，两杆的临界压力分别为：22222121lIEFlIEFrcrc，要使 最大，只有、都达到临界压力，即PNN12）（）（2sin1cos222212lIEPlIEP90将式除以式便得( )( ),21122tgll ctg2由此得 arctg(ctg2)9023521102cm.A,cmWml55. 030MPa160100112. 1304cr五、图示结构的材料为Q235，梁AB为14号工字钢，a=1.25m CD梁为圆截面，直径d =2cm， ,，F =20KN，经验公式校核此结构是否安全。14号工字钢: 解：横梁AB：kNaPM63.1530sin0m

22、ax轴力：kNPN7 .2130cos0 WMmaxmax%5%9 . 1%100160160163maxAN=163MPakNPaaPFN25230sin11104/155. 0dil竖杆CD：轴力 （压） MPaEcr16822MPadFAFNN6 .79422 欧拉公式适用，；1 . 26 .79168stcrnn 竖杆CD安全；此结构是安全的欧拉公式欧拉公式22)( lEIFcr越大越稳定越大越稳定crF减小压杆长度减小压杆长度 l减小长度系数减小长度系数（增强约束）（增强约束）增大截面惯性矩增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）（合理选择截面形状）增大弹性模量增大弹性模量 E（合理选择材料）（合理选择材料）9.6 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施11-6合理选择材料合理选择材料 ( (增大弹性