第24连续型随机变量

1、1 2.4 连续型随机变量 第二章第二章 一元随机变量及其分布一元随机变量及其分布2 对于对于连续型的随机变量连续型的随机变量，由于它的取值充满了一个区间，由于它的取值充满了一个区间 , ,在讨论在讨论这类随机变量取值对应的概率时，我们无法像处理这类随机变量取值对应的概率时，我们无法像处理离散型随机变量离散型随机变量那那样样, , 用指定它取每个值概率的方式给出其用指定它取每个值概率的方式给出其概率分布概率分布, , 而且而是通过给出而且而是通过给出“概率密度函数概率密度函数”的方式。的方式。 类似地，类似地，离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数可以通过可以通过对若干概率求和对若干

2、概率求和的的方式得到，而方式得到，而连续型随机变量的分布函数连续型随机变量的分布函数则需要则需要对概率密度求积分对概率密度求积分得得到。到。32.4 连续型随机变量 一、连续型随机变量及其概率密度函数定义1 设设X X是一随机变量是一随机变量, , F F( (x x) )是是X X的分布函数，如果存在某的分布函数，如果存在某个非负可积函数个非负可积函数 f f ( (x x) )，使得对于任意实数，使得对于任意实数x x有：有：则称则称X X为连续型随机变量，称为连续型随机变量，称f f ( (x x) )称为称为X X的的概率密度函数( (Probability Density Funct

3、ion) )，简称简称概率密度概率密度(Probability (Probability Density)Density)或或密度函数密度函数. . 常记为常记为X X f f( (x x), (-), (- x x+3 .例例4262 YP.2720 因而有因而有设设Y 表示表示3次独立观测中次独立观测中 “观测值大于观测值大于3” 的次数的次数,则则.32,3 bY22322133C303322133C3)( XPAP由由于于,32d3153 x27定义3 若若X X的概率密度为：的概率密度为：其中其中0为常数，则称为常数，则称X X服从服从参数为的指数分布(Exponential Dis

4、tribution),记为记为XE()。 0( )0 0 xexf xx2. 指数分布指数分布)(xfxO28=3=1=1/2291,0()0 ,0 xexFxx 分布函数分布函数=3=1=1/2 某些元件或设备的寿命服从指数分布某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电例如无线电元件的寿命元件的寿命 、电力设备的寿命、动物的寿命等都服从、电力设备的寿命、动物的寿命等都服从指数分布指数分布.应用与背景应用与背景30例例5 5 电子元件的寿命电子元件的寿命X X( (年年) )服从参数为服从参数为3 3的指数分布的指数分布, ,(1) (1) 求该电子元件寿命超过求该电子元件寿命超过2 2年的

5、概率年的概率; ;(2) (2) 已知该电子元件已使用了已知该电子元件已使用了1.51.5年年, , 求它还能使用求它还能使用2 2年的概率为多少年的概率为多少? ?解：解：330( )00,xexf xx362(2)3,xP Xedxe363.531.53(3.5,1.5)(3.5|1.5)(1.5)3xxedxP XXP XXeXedx(1)(1)由题意由题意X的概率密度函数为：的概率密度函数为：(2)(2)所求条件概率为：所求条件概率为：故故X X超过超过2 2年的概率为：年的概率为：3100(|)P Xtt Xt00()()P XttP Xt001()1()tF tteF t()P X

6、t指数分布的无记忆性：解释解释：以元件寿命为例，上式表明在已知元件的寿命长于以元件寿命为例，上式表明在已知元件的寿命长于t0的条的条件下，再使用件下，再使用t年的概率与前面的年的概率与前面的t0年无关。年无关。32例例6 6 已知某系统由元件已知某系统由元件A A、B B并联而成，并联而成，A A、B B的寿命分的寿命分别为别为X X、Y Y，且它们都服从参数为，且它们都服从参数为 的指数分布。若的指数分布。若A A、B B的工作相互独立，求系统寿命的工作相互独立，求系统寿命Z Z 的分布函数及概率的分布函数及概率密度函数。密度函数。解：解：由题意可知，由题意可知，X X 与与Y Y 的分布函

7、数分别是：的分布函数分别是：, 0, 0; 0,1)(xxexFxX. 0, 0; 0,1)(yyeyFyY因系统由元件因系统由元件A A、B B并联而成，故只要有一个元件能工作，系并联而成，故只要有一个元件能工作，系统即可工作，即系统寿命是两元件中寿命较大者：统即可工作，即系统寿命是两元件中寿命较大者：Z=maxX, Y .AB33从而可得从而可得Z Z的分布函数：的分布函数：. 0, 0; 0,)1 ()()()(2zzezFzFzYPzXPzYzXPzZPzFzYX且进一步可得进一步可得Z Z的概率密度函数：的概率密度函数：. 0, 0; 0),1 (2)()(zzeezFzfzz34P

8、43 例例2.1935练习练习1 1 设某类日光灯管的使用寿命设某类日光灯管的使用寿命X X 服从参数为服从参数为=1/2000=1/2000的指数分布的指数分布( (单位单位: :小时小时).).(1)(1)任取一只这种灯管任取一只这种灯管, , 求能正常使用求能正常使用10001000小时以上的概率。小时以上的概率。(2) (2) 有一只这种灯管已经正常使用了有一只这种灯管已经正常使用了1000 1000 小时以上小时以上, ,求还能使用求还能使用10001000小时小时以上的概率以上的概率. . .0,0,0,e1)(20001xxxFxX 的分布函数为：的分布函数为：解解361000)

9、1( XP10001 XP)1000(1F .607.0e21 10002000)2( XXP10001000,2000 XPXXP10002000 XPXP1000120001 XPXP)1000(1)2000(1FF .607.0e21 指数分布的重要性质指数分布的重要性质 :“无记忆性无记忆性”.373. 正态分布正态分布 正态分布是最常见最重要的一种分布，例如：测量正态分布是最常见最重要的一种分布，例如：测量误差，误差， 人的生理特征尺寸如身高、体重等；正常情况下人的生理特征尺寸如身高、体重等；正常情况下生产的产品尺寸：直径、长度、重量高度等都近似服从生产的产品尺寸：直径、长度、重量高

10、度等都近似服从正态分布正态分布. .38定义4 设连续型随机变量设连续型随机变量X X的概率密度函数为：的概率密度函数为：其中其中和和(0)都是常数，则称都是常数，则称X服从参数为服从参数为和和2的的正态分布(Normal Distribution)或或高斯分布(Gaussian Distribution)，记记为为XN(,2)。1 一般正态分布xexfx,21)(222)(39正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征;) 1 (对对称称曲曲线线关关于于x ;21)(,)2(xfx取取得得最最大大值值时时当当 (3);x曲曲线线在在处处有有拐拐点点(4);Ox曲曲线线以以轴轴为为渐

11、渐近近线线单峰对称单峰对称40(5),( ),;f xOx当当固固定定改改变变的的大大小小时时图图形形的的形形状状不不变变 只只是是沿沿着着轴轴作作平平移移变变换换 称称为为位位置置参参数数-41.,)(,)6(图形越矮越胖越大图形越高越瘦越小而形状在改变不变图形的对称轴的大小时改变当固定xf 称称为为形形状状参参数数越小，越小，图形越高瘦；图形越高瘦；越大，图形越大，图形越矮胖。越矮胖。42正态分布的分布函数正态分布的分布函数txFxtde21)(222)( 43正态分布是概率论中最重要的分布。正态分布是概率论中最重要的分布。一方面是因为在自然现象和社会现象中出现的许多一方面是因为在自然现象

12、和社会现象中出现的许多随机变量都服从或近似服从正态分布。随机变量都服从或近似服从正态分布。另一方面在理论研究中正态分布十分重要，正态分另一方面在理论研究中正态分布十分重要，正态分布具有许多良好性质，有些分布布具有许多良好性质，有些分布( (如二项分布、泊松分布如二项分布、泊松分布) )的极限分布是正态分布，这些分布可用正态分布来近似，的极限分布是正态分布，这些分布可用正态分布来近似，一些分布又可以通过正态分布来导出。一些分布又可以通过正态分布来导出。背景与应用背景与应用44例如：例如：武汉某年年降雨量数据的频率直方图武汉某年年降雨量数据的频率直方图从直方图可初步看出，年降雨量近似服从正态分布。

13、从直方图可初步看出，年降雨量近似服从正态分布。45又如：根据某大学女生的身高的数据画出的频率直方图又如：根据某大学女生的身高的数据画出的频率直方图可见，某大学女生的身高应服从正态分布。可见，某大学女生的身高应服从正态分布。 红线是拟合的正态密度曲线46再如：再如：在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布。似服从正

14、态分布。47正态分布下的概率计算正态分布下的概率计算txFxtde21)(222)( xXP ? 方法: 转化为标准正态分布查表计算原函数不是原函数不是初等函数初等函数48定义5。记记为为称称为为的的正正态态分分布布参参数数中中，在在正正态态分分布布)1, 0(,1, 0),( 2NN标准正态分布标准正态分布的标准正态分布的概率密度函数表示为表示为:2 标准正态分布标准正态分布的标准正态分布的分布函数表示为：表示为：.,2122xe(x)x.2122dte(x)xt49标准正态分布的图形概率密度函数(x)分布函数(x)(x)是偶函数，是偶函数，图形关于纵轴对称图形关于纵轴对称50概率密度函数概

15、率密度函数(x)的的性质：xx(x);x)()(1;(x)(x)xx02limlim)(。处处取取最最大大值值在在3989000421.)()(x(x);(x)内内递递减减，在在内内递递增增，在在)( ),()(00351查标准正态分布表查标准正态分布表 （P215 附表附表2）xx);()()(xx11;.)()(5002() x 1( ) x分布函数分布函数(x)的的性质（根据概率密度函数根据概率密度函数(x)图形分析得到图形分析得到)?)(,)(xx4).()(),()(abbXaPNX，则则若若10352 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.0 0.5000 0.5040

16、0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 2.0 0.9772 0.9778 0.97

17、83 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3.0 0.9987 0.9990 0.9993 0

18、.9995 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 1.0000 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 例例如如：(2.33)0.9901 53解：解：225. 1 XP)25.1()2( 8944.09772.0 例例7 7 已知已知XN(0,1)，求求(1)(1)P1.25X2；(2)(2)PX-2.35； (3)(3)P|X|1。 . 0828.0 (1)(2) PX-2.35=(-2.35)=1- (2.35)=1-0.9906=0.0094 .(3) P|X|1=P-1X1=(1)-(-1) =2(1)-1=20.8413-1=0.6826 .54

19、3 正态分布的标准化定理定理1 设设XN(,2),Y=aX+b，a,b为常数，且为常数，且a0，则，则YN(a+b,a22).服从正态分布随机变量的函数服从正态分布随机变量的函数的分布情况的分布情况服从另一个正态分布服从另一个正态分布55定理定理2 若若XN(,2)，令，令 ，则则YN(0, 1).XY注 5 通常称为通常称为r.v.X的的标准化随机变量。 定理定理2 2表明：表明：任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布。 因而因而, ,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题。态分布的概率

20、计算问题。XY56计算公式（1）若若XN(, 2)，则则).()(xxF（2）若若XN(, 2)，则则).()(abbXaP57设设 X N (1, 4) , 求求 P 0 X 1.6.解：解：1.6101(01.6)22PX0.30.50.310.5 0.617910.69150.3094 附表附表2例例8 858解一解一0 - 2(0)PX 21 4222(24)PX 2(0) 0.320.8, (0)0.2.PX2(2,),240.3,0.XNPXPX 设设且且求求例例9 959解二解二 图解法图解法0.2(0)0.2.PX 由图由图-22460.050.10.150.20.360(1)

21、 所求概率为所求概率为89 XP)2(5.09089 )2(1 9772.01 .0228.0 解：解：例例1010?,.)(.,)().,(,)(,.ooo至少为多少至少为多少问问低于低于的概率不的概率不至少为至少为若要求保持液体的温度若要求保持液体的温度的概率的概率小于小于求求若若且且是一个随机变量是一个随机变量计计以以液体的温度液体的温度调节器整定在调节器整定在容器内容器内贮存着某种液体的贮存着某种液体的将一温度调节器放置在将一温度调节器放置在dCXddNXCXCd990802899015026199.080)2( XP99.0801 XP99.0)80(1 F99.05.0801 d

22、,01.099.015.080 d 327.20.5-80 d即即.1635.81 d62 即即： 50.955， 又又查查表表可可知知：(0.3)0.618 ,(1.7)0.955 从从而而 350.3,1.7, 解解得得；1.8,4 解解：例例11 设设X N (,2) , 试确定试确定与与求求，使得：，使得：PX -5 =0.045，PX 3=0.618。,045. 0)5(1)5()5(5,618. 0)3(3XPXP634 上上 分位点分位点设设 X N (0,1) , 0 1, 称满足称满足()PXz 的点的点 z 为为X 的的上上 分位点分位点. . z 统计学中常用的几个数据6

23、45.105.0z96.1025.0z-3-2-11230.10.20.30.4645 3 原理原理设设 X N ( , 2), 求求(|3).PX 解解(|3)(33)PXPX 33 33 231 20.998710.9974.本例说明：本例说明：在一次试验中在一次试验中, ,X 落入区间落入区间( (3 , +3 ) )的概的概率为率为0.9974, 0.9974, 而超出此区间的可能性很小。而超出此区间的可能性很小。例例1265 已知测量的误差已知测量的误差 X N (7.5, 100) (单位单位:米米), 问必须进问必须进行多少次独立测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超过行多少次独立测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超过10米的概率大于米的概率大于0.9 ? 解解107.5107.5(|10)1010PX 0.251.75 0.2511.75 0.5586.设设A 表示进行表示进行n次独立测量至少有一次误差的绝对值并不次独立测量至少有一次误差的绝对值并不超过超过0.9