第4章_空间力系2 (1)

1、静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系本章内容4-1 空间汇交力系空间汇交力系工程中常见物体所受各力的作用线不在同一平面内的力系。工程中常见物体所受各力的作用线不在同一平面内的力系。车床主轴空间力系空间力系空间汇交力系空间汇交力系空间力偶系空间力偶系空间任意力系空间任意力系（1）一次（直接）投影法）一次（直接）投影法一、力在直角坐标轴上的投影一、力在直角坐标轴上的投影coscoscosxyzFFFFFF（2）二次（间接）投影法）二次（间接）投影法sinxyFFsincosxFFsinsinyFFcoszFF二、空间汇交力系的合成与平衡二、空间汇交力系的合成与平衡1、空间汇交力系的合成、空间

2、汇交力系的合成)(21nF,F,F力系力系F1F2FnF3OFRFZFYFXZYXF),cos(),cos(),cos(222kFjFiFF=Fx+Fy+Fz=Xi+Yj+Zk合力的大小合力的大小合力的方向合力的方向合力的作用线合力的作用线三要素：三要素：三、空间汇交力系的平衡条件三、空间汇交力系的平衡条件空间汇交力系平衡的充分和必要空间汇交力系平衡的充分和必要条件是：条件是：力系的合力等于零。力系的合力等于零。FR=0 0 xiF 0yiF 0ziF 即即力系中各力力系中各力在坐标轴上的在坐标轴上的投影的代数和投影的代数和分别等于零。分别等于零。例例：用轻质起重杆吊起重物如图示，：用轻质起重

3、杆吊起重物如图示，A处为固定球铰链，处为固定球铰链，B端用绳子系在端用绳子系在C、D两点，结构关于两点，结构关于Ayz平面对称。已知，平面对称。已知，BFy轴，轴，CE=EB=ED， =30o，P=10kN。求绳子拉力和。求绳子拉力和A处的约束反力。处的约束反力。解解：研究研究AB杆与重物杆与重物受力分析，画受力图受力分析，画受力图列平衡方程列平衡方程投影投影 力力AFCFDFPxFyFzFsinAF45sinCF0cosAF45sinDF-cos45cosCF-cos45cosDF-sin45cosCFsin45cosDF00P0,xiF 045sin45sinDCFF0,yiF 0,ziF

4、 0cos45coscos45cossinDCAFFF0sin45cossin45coscosPFFFDCA解得：解得：kNFFkNFDCA54. 3,66. 8 在平面中：力对点的矩是代数量。在平面中：力对点的矩是代数量。 在空间中：力对点的矩是矢量。在空间中：力对点的矩是矢量。 一、力对点之钜一、力对点之钜xyzOFkBAijMoh力对点之矩是力使物体绕某点转动效果的度量。力对点之矩是力使物体绕某点转动效果的度量。作用面：力矩作用面。作用面：力矩作用面。方向方向:转动方向；转动方向；大小大小:力力F与力臂的乘积；与力臂的乘积；4-2 力对轴之矩和力对点之钜力对轴之矩和力对点之钜 MO(F)

5、 =Fh=2OAB 矢量的方位和力与钜心所组矢量的方位和力与钜心所组成的平面的法线方位相同，成的平面的法线方位相同，xyzOFkBAijMohrxiy jzkA（x，y，z），），力在三个坐标轴上的投影分别为力在三个坐标轴上的投影分别为Fx，Fy，Fz，xyzFF iF jF k( )OxyzijkMFrFxyzFFF ()()()zyxzyxyFzF izFxF jxFyF k得力对点之钜的解析式为：得力对点之钜的解析式为：FrMO矢量表征222( )( )( )( )OxyzMFMFMFMF( )( )( )cos,cos,cos( )( )( )yxoooMFMFMz FMFMFMF M

6、xMyMx()()2zOxyxyOabMMF hA FFxyzOFFxyhBAabFz力力F对对z 轴轴的的矩矩力力Fxy对对O点之点之矩矩二、力对轴之钜二、力对轴之钜（1）力对轴之钜定义）力对轴之钜定义1）是力使刚体绕该轴转动效果的度量，是一个）是力使刚体绕该轴转动效果的度量，是一个代数量代数量，2）其）其绝对值等于绝对值等于该力在垂直于该轴平面上的该力在垂直于该轴平面上的投影投影对于对于轴与平面轴与平面交点之矩的大小，单位：交点之矩的大小，单位：Nm。4）当力的作用线与轴平行或相交）当力的作用线与轴平行或相交(共面共面)时，力对时，力对轴的矩等于零。轴的矩等于零。5）当力沿作用线移动时，它

7、对于轴的矩不变。）当力沿作用线移动时，它对于轴的矩不变。3)符号规定：符号规定：按右手螺旋规则确定按右手螺旋规则确定.xyzOFFxFyFzA(x,y,z)BFxFyFxyabxy()()()()zOxyOxOyyxMMMMxFyF FFFF设力设力F沿三个坐标沿三个坐标轴轴的分量分别为的分量分别为Fx，Fy，Fz，力作用点，力作用点A的的坐标为坐标为(x,y,z)，则，则同理可得其它两式，三式合写为：同理可得其它两式，三式合写为：()()()xzyyxzzyxMyFzFMzFxFMxFyF FFF（2）力对轴之钜的解析式）力对轴之钜的解析式3. 力对点的矩与力对轴的矩的关系kjikjiFrF

8、M)()()()(yXxYxZzXzYyZZYXzyxOyXxYMxZzXMzYyZMzyx)()()(FFF)()()()()()(FFFFFFzzOyyOxxOMMMMMM 力对点力对点的矩矢在通的矩矢在通过该点的某过该点的某轴上的投影，轴上的投影，等于力对该等于力对该轴的矩。轴的矩。Mz(F)(x,y,z)）FxyOABO2)(FMOabOABcos)(cos)(FFMzOM)()(FFMzzOM 力对轴之矩的计力对轴之矩的计算算 将力向垂直于该轴的平面投影将力向垂直于该轴的平面投影 ,力的投力的投影与投影至轴的垂直距离的乘积。影与投影至轴的垂直距离的乘积。 方法二方法二: 将力向三个坐

9、标轴将力向三个坐标轴方向分解方向分解,分别求三个分力分别求三个分力对轴之矩，然后将三个分力对轴之矩，然后将三个分力对轴之矩的代数值相加。对轴之矩的代数值相加。yzxzFyFMzxyxFzFMxyzyFxFMllaFxFzFxyzxyzyFxFM)(Fsin)(alF ABCDcos)()(alFFMx 0,0sin zalylxFconFFFFzyx力作用点：cos)(FlFMy 例例4-3OABCFDkjikjiFM222222/2/002/)(FbFbFbFFbbD解：利用力矩关系xyzjirkjFbbFFB22222kin2121AC4)()(FbMACDACnFMF4 43 3 空间力

10、偶空间力偶1 1、力偶矩以矢量表示力偶矩矢、力偶矩以矢量表示力偶矩矢1212FFFF空间力偶的三要素空间力偶的三要素（1 1） 大小：力与力偶臂的乘积；大小：力与力偶臂的乘积；（3 3） 作用面：力偶作用面。作用面：力偶作用面。 （2 2） 方向：转动方向；方向：转动方向；BAMrF力偶对刚体的作用完全决定于力偶钜矢力偶对刚体的作用完全决定于力偶钜矢两力偶等效的条件：两力偶的力偶钜矢相等两力偶等效的条件：两力偶的力偶钜矢相等( ,)()()oooABMF FMFMFrFrF ( ,)()oABMF FrrFM 2.2.力偶的性质力偶的性质FF因因力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的力偶对任

11、意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的 改变而改变。改变而改变。力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 。BAMrF力偶矩力偶矩则只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。作用效果不变。(,)RRBARM FFrF 12()BArFF12BABArFrF111(,)BArFM F F=111Fr)F,F(MBA只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一

12、与此平面平行的任一平面，平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。对刚体的作用效果不变。211FFF332FFF=(5)(5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡. .定位矢量定位矢量力偶矩相等的力偶等效力偶矩相等的力偶等效力偶矩矢是自由矢量力偶矩矢是自由矢量自由矢量自由矢量滑移矢量滑移矢量3 3力偶系的合成与平衡条件力偶系的合成与平衡条件111222,.,nnnMrF MrFMrF= = =iMMM为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和. .222()()()xyzMMMM合力偶矩矢的大小和方向余弦合力偶矩

13、矢的大小和方向余弦,xxyyzzMMMMMM称为空间力偶系的平衡方程称为空间力偶系的平衡方程. .000 xyzMMM0M 空间力偶系平衡的充分必要条件是空间力偶系平衡的充分必要条件是 : :合力偶矩矢等合力偶矩矢等于零，即于零，即 cosxMMcosyMMcoszMM44 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化主矢和主矩主矢和主矩1 1 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化iiFF()iOiMMF空间汇交与空间力偶系等效空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系代替一空间任意力系. .主矩主矩主矢主矢( )( )( )OxyzMMF iMF jMF kniiOOniiR

14、11)(FMMFFxzyORF MOOxOOxOOxOzyxOMMMMMMMMMM)(),cos()(),cos()(),cos()()()(222FiMFiMFiMF FF FF FRRRRRRRFZFYFXZYXF),cos(),cos(),cos()()()(222kFjFiF有效推进力有效推进力RxF飞机向前飞行飞机向前飞行RyF有效升力有效升力飞机上升飞机上升RzF侧向力侧向力飞机侧移飞机侧移OxM滚转力矩滚转力矩飞机绕飞机绕x x轴滚转轴滚转OyM偏航力矩偏航力矩飞机转弯飞机转弯OzM俯仰力矩俯仰力矩飞机仰头飞机仰头（1 1） 合力合力ORdMF合力合力. .合力作用线距简化合力作

15、用线距简化中心为中心为2 2空间任意力系的简化结果分析（最后结果）空间任意力系的简化结果分析（最后结果）0,0,ROROFMFM0,0ROFM 过简化中心合力过简化中心合力()( )OROROMdFMFMF合力矩定理：合力对某点合力矩定理：合力对某点( (轴）之矩等于各分力对同轴）之矩等于各分力对同 一点（轴）之矩的矢量和一点（轴）之矩的矢量和. .（2 2）合力偶）合力偶一个合力偶，此时与简化中心无关。一个合力偶，此时与简化中心无关。0,0ROFM （3 3）力螺旋）力螺旋0,0,ROROFMFM中心轴过简化中心的力螺旋中心轴过简化中心的力螺旋力螺旋力螺旋左左螺螺旋旋右右螺螺旋旋概念：由一力

16、和一力偶组成的力系，概念：由一力和一力偶组成的力系，力垂直于力偶的作用面。力垂直于力偶的作用面。既不平行也不垂直既不平行也不垂直0,0,ROROFMF M力螺旋中心轴距简化中心为力螺旋中心轴距简化中心为sinORMdF（4 4）平衡）平衡平衡平衡0,0ROFM 力系向任一点O简化的结果 主矢 主 矩 力系简化的 最后结果 说 明 OM0 平衡 平衡力系 0RF OM0 合力偶 主矩与简化中心的 位置无关 OM0 合力 合力作用线通过 简化中心 0OM RFOM 合力 合力作用线离简化中心 O的距离ROFMd 0RMF / 力力螺螺旋旋 力螺旋的中心轴通 过简化中心 0RF 0OM RF与0M

17、成角 力螺旋 力螺旋的中心轴离简化中心 O的距离ROFMdsin 空间任意力系简化的应用空间任意力系简化的应用空间固定端约束空间固定端约束 yxMFxxyMMzzFFyz图4-8空间固定端约束力空间固定端约束力、 绕绕3 3个轴的约束力矩个轴的约束力矩Mx 、 My 、 Mz3个正交分力个正交分力:Fx 、 Fy 、 Fz 0)(0)(0)(000FFFzyxzyxMMMFFF平衡方程平衡方程:空间平行力系空间平行力系0)(0)(0FMFMZyx平面任意力系平面任意力系 0)(00FMYXz45 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程1.2m2m0.2m0.2m0.6m0.6mP1PAB

18、DCEFBFAFD例例4-24-2 图示三轮小车，自重P=8 kN，作用于点E，载荷P1=10 kN，作用与点C。求小车静止时地面对车轮的反力。P1PABDCEzyxFBFAFD解：解：研究小车。画受力图。0)(M0)(0yFFxZMF01DBAFFFPP0221201DFPP.0602160801DBFFPP.建立图示直角坐标系。解得： FD=5.8 kN FB=7.777 kN FA=4.423 kN例例4-4 图示均质长方板由六根直杆支撑于水平位置，直杆两端各用球铰链与板和地面连接。板重为P，在A处作用一水平力F ，且F=2P。求各杆的内力。ABCDEFGHabbPFABCDEFGHab

19、bPF解解：取长方板为研究对象。画受力图。由方程解得：xyzF2F1F3F4F5F60)(FABM026aPaF压力）(26PF由方程0)(FAEM可得：05F由方程0)(FACM可得：04F0)(FEFM0)(FFGM0)(FBCM0)(FEFM0)(FFGM0)(FBCM022216bbaaFaFaPF1=0022bFFbbPF2=1.5P(拉力）045cos2032bFbFbPF3=2.828 P (拉力）空间一般力系最多有6个独立的平衡方程。根据问题的具体特点，方程组可以灵活地采用多种形式（三矩式、四矩式、五矩式、六矩式）。以本题为例，还有其它多种解法。请同学们试一试。要点提示：ABC

20、DEFGHabbPFxyzF2F1F3F4F5F6, 0Y30)(FABM6, 0X10)(FAEM50)(FADM4, 0Z2 重心的位置影响物体的平衡和稳定、又与许重心的位置影响物体的平衡和稳定、又与许多动力学问题有关。多动力学问题有关。 重心的位置实际上是重力的合力作用点。重心重心的位置实际上是重力的合力作用点。重心的位置就是平行力系的合力作用点的位置就是平行力系的合力作用点平行力系中平行力系中心。心。 40 空间平行力系，当它有合力时，空间平行力系，当它有合力时，合力的作用点合力的作用点C 就是此空间平行力就是此空间平行力系的中心。而物体重心问题可以看系的中心。而物体重心问题可以看成是

21、空间平行力系中心的一个特例成是空间平行力系中心的一个特例。 一、空间平行力系的中心一、空间平行力系的中心平行力系中平行力系中,合力作用点合力作用点C的位置只与各平行力的作用的位置只与各平行力的作用点的位置及各力的大小有关点的位置及各力的大小有关,而与力的方向无关。点而与力的方向无关。点C称为该平行力系的中心称为该平行力系的中心。41nnCrFrFrFrR2211iiinnCFrFRrFrFrFr2211RzFzRyFyRxFxiiCiiCiiC , , :投影式1 1、平行力系的中心、平行力系的中心由合力矩定理由合力矩定理：)()(iOOFmRmnnCFrFrFrRr221142重力的概念 二

22、 . 重心 1.定义： 重力合力作用点称为重心 2.特点 无论刚体如何放置，重力 作用线总是通过该刚体的 重心 3.重心在工程上的重要意义重力可视为与地平面垂直的空间平行力系离心力重力引力东南西北地心地轴GC43三. 重心坐标公式任意物体的重心公式1niiGG根据合力矩定理，得11niciinciiiGyyGGxG x1nciiiGGzz111niiiniiiniiiG xcGyGcGG zcGxyz由上面三式得：xyzcGiGiMiVcxxiyizizcyc1M1G2M2GoyicxxyczViMGzixiGizcGiMc1y2GM21o4411nniiiiiiVG xxcGVx2. 匀质物

23、体的重心坐标公式容重=常量Gi= ViG= V同理同理: :对于连续匀质物体VzVcVyVcVxVciniiiniiiniizyx111(4-17)VzdVcVydVcVxdVcVVVzyxVi0(4-18)物体的几何形体中心又称为形心。因此，匀质物体的重心与形心重合和形式积分形式(1)匀质等厚薄壳厚度t=常量, Vi=Ait V=Vi =Ait =AtAzAcAyAcAxAciniiiniiiniizyx111AtxtAVxVciniiiniix11AzdAcAydAcAxdAcAAAzyx同理:(4-19a)或(4-19b)zyoxAittA(2)匀质等截面细长杆横截面面积A=常量Vi=A

24、Li V=Vi =ALi =ALALxLAVxVciniiiniix11LzLcLyLcLxLciniiiniiiniizyx111同理:(4-20a)或LzdLcLydLcLxdLcLLLzyx(4-20b)yozxLLiA四. 确定匀质物体重心的几种方法1.对称性法匀质物体的重心一定在其对称面、对称轴或对称中心上ccccccccc2.积分法 适用于形状规则的物体。 由对称性可知xc=0dL=Rdy=Rcos例：已知圆弧AB半径R，圆心角2。求：AB圆弧段的重心。cossinLcLydLRRddLRdRyoxyddLyRAB解：3.组合法（1）分割法10cm10cm20cm30cm10cm1

25、AA2A3y1y2y3xoy适用于形状较复杂的物体例：试求匀质槽形钢板的重心。解：由对称性可知xc=021212233313110 303001510 202005300 15 2 200 5300 2 20012.5iiiciicmyycmAAcmycmAyAyAcm 50（2）负面积法1y110cmAo20cmyy210cmA2x30cm10cm解：由对称性可知 xc=0211222212140 3012001520 20400201200 15400 20120040012.5iiiciicmycmAcmycmAyAyAcm 51 2）图示弓形面积可看成由扇形）图示弓形面积可看成由扇形O

26、AMB去掉三角形去掉三角形OAB得得到，由负面积法可求得弓形的重心。扇形和三角形的面积，到，由负面积法可求得弓形的重心。扇形和三角形的面积，重心位置查表可得；故所求弓形体物块的重心的坐标为重心位置查表可得；故所求弓形体物块的重心的坐标为 2. 图示均质等厚物块，其横截面积由半径为图示均质等厚物块，其横截面积由半径为R的圆弧的圆弧AMB与弦与弦AB所围成的弓形，试求其重心在其对称面中的位置。所围成的弓形，试求其重心在其对称面中的位置。 解解 1）在物块的对称面上建立图示）在物块的对称面上建立图示直角坐标系直角坐标系oxy，由对称性知，弓形，由对称性知，弓形体物块的重心必在体物块的重心必在x轴上，

27、故轴上，故yc=0。52扇形OAMB的面积 cossincossin32sin3222233212211RRRRAAxAxAxc)2sin2( 3sin4)cossin( 3)cos1 (sin232RR21RA 其重心位置：sin321Rx 三角形OAB的面积cossin)cos)(sin2(2122RRRA其重心位置：)cos(322Rx53 取坐标如图且把平取坐标如图且把平面图形分为面图形分为 A和和 B两两部分部分.C1(2.5,7.5)C2(12.5,2.5)5 .75151555 .125155 .2155cx55151555.25155.7155cyx5m5m15m15m20my

28、oC1AC2B54取坐标如图.使平面图形组合成矩形A.5m5m15m20mxyo以及负面积的矩形B.C1(10,7.5)C2(12.5,10)5 . 7101515205 .121015101520cx5101515201010155 . 71520cyC2AC1B55例例4-74-7求：其重心坐标求：其重心坐标已知：均质等厚已知：均质等厚Z Z字型薄板尺寸如图所示。字型薄板尺寸如图所示。解解: :厚度方向重心坐标已确定，厚度方向重心坐标已确定，则则用虚线分割如图，用虚线分割如图，为三个小矩形，为三个小矩形，其面积与坐标分别为其面积与坐标分别为只求重心的只求重心的x,y坐标即可。坐标即可。mm

29、151xmm451y21300mmAmm52xmm302y22400mmAmm153xmm53y23300mmAmm2321332211AAAxAxAxAAxAxiiCmm27321332211AAAyAyAyAAyAyiiC56例例4-84-8求：其重心坐标求：其重心坐标。已知：等厚均质偏心块的已知：等厚均质偏心块的解：用负面积法，解：用负面积法，12344(),033Rrbyyy 由由iiCAyyA222123,() ,22AR Ar bAr而而得得0,Cx由对称性，有由对称性，有r3A小圆（半径为小圆（半径为r r）面积为）面积为A3A3，为负值。，为负值。rb2A小半圆（半径为小半圆（

30、半径为r+br+b）面积为）面积为A2 ,A2 ,为三部分组成，为三部分组成，1A设大半圆面积为设大半圆面积为A1A1，mmmmmm13,17,100brRmm01.40321332211AAAyAyAyAyC574.实验法（1）悬挂法（2）称重法AABc适用于体积小、质量小的物体适用于体积大、质量大的物体cABGANBNLxcFF轴F垂xyz轴轴自行车前叉的结构特点1、力在直角坐标轴上的投影 X = FsincosY = FsinsinZ = FcosXiZiYiFixyz X = Fcos Y = Fcos Z = FcosxyzXiZiYiFi2、力对点的矩的计算ZYXzyxOkjiFrFM)(= (yZ zY) i + (zX xZ) j + (xY yX) k3、力对点的矩与力对轴的矩的关系、力对点的矩与力对轴的矩的关系M O( F ) x = M x ( F )M O( F ) y = M y ( F )M O( F ) z = M z ( F )4、合力矩定理Mo( R ) = Mo(F )即：即：将上式向任意轴投影（如将上式向任意轴投影（如 z 轴）得：轴）得： Mz ( R ) = M z( F )5、空间任意力系向一点简化，可得一个大小和