概率论第二章复习习题课

1、第二章：习题课第二章：习题课 2 2 给出了离散型随机变量及其分布率的定义、性给出了离散型随机变量及其分布率的定义、性 质，要求质，要求: : (1) (1) 会求离散型随机变量的分布率；及其分布函数；会求离散型随机变量的分布率；及其分布函数； （2 2）已知分布率，会求分布函数以及事件的概率；）已知分布率，会求分布函数以及事件的概率； （3 3）已知分布函数，会求分布率；）已知分布函数，会求分布率； （4 4）会确定分布率中的常数；）会确定分布率中的常数； （5 5）掌握常用的离散型随机变量分布：两点分布、）掌握常用的离散型随机变量分布：两点分布、 二项分布、泊松分布及其概率背景。二项分布、

2、泊松分布及其概率背景。第二章 习题课返回主目录1 1 引进了随机变量的概念，要求会用随机变量表引进了随机变量的概念，要求会用随机变量表 示随机事件。示随机事件。 （2 2）已知概率密度，会求事件的概率；）已知概率密度，会求事件的概率； （3 3）会确定概率密度中的常数；）会确定概率密度中的常数； （4 4）掌握常用的连续型随机变量分布：均匀）掌握常用的连续型随机变量分布：均匀 分布、指数分布和正态分布。分布、指数分布和正态分布。返回主目录 3 3 给出了连续型随机变量及概率密度的定义、性质，给出了连续型随机变量及概率密度的定义、性质， 要求：要求： （1 1）掌握概率密度与分布函数之间的关系及

3、其运算；）掌握概率密度与分布函数之间的关系及其运算；4 4 会求随机变量的简单函数的分布。会求随机变量的简单函数的分布。第二章 习题课1.分布函数及其性质：分布函数及其性质：定义定义2： 设设 是一个随机变量，是一个随机变量， 是任意实数，是任意实数，xXP 称为称为 的的分布函数分布函数返回主目录x函数函数 )(xFXX 分分 布布 函函 数数 的的 性性 质质).()(1212xFxFxx 时，时，即当即当1. 是一个不减的函数是一个不减的函数 , . 1)(lim)(;0)(lim)(, 1)(0 xFFxFFxFxx且且)(xF2.)(),() 0(是是右右连连续续的的即即xFxFxF

4、 3.这三条性质不但是分布函数的必要条件这三条性质不但是分布函数的必要条件, ,还可以证明，还可以证明，它们一起构成函数它们一起构成函数 成为某一随机变量的分布函数成为某一随机变量的分布函数的充要条件的充要条件。)(xF用分布函数计算某些事件的概率用分布函数计算某些事件的概率 的分布函数，则是随机变量设XxXPxF0aFaXP返回主目录aXPaXPaXP 0aFaFaXPbXPbXaP aFbF用分布函数计算某些事件的概率用分布函数计算某些事件的概率aXPbXPbXaP 0aFbFaXPbXPbXaP aFbF0aXPbXPbXaP00aFbF返回主目录用分布函数计算某些事件的概率用分布函数计

5、算某些事件的概率bXPbXP1 bF1返回主目录bXPbXP101bF2.离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列 若随机变量的所有可能取的值是有限多个或可列多若随机变量的所有可能取的值是有限多个或可列多个个, ,则称该随机变量为离散型随机变量则称该随机变量为离散型随机变量, , 它的概率分布它的概率分布规律通常用分布列表示规律通常用分布列表示. . 设离散型随机变量设离散型随机变量 的所有可能取值为的所有可能取值为 并且并且 X,21xxiipxXP, 2 , 1iXP1x1p2x2pixip分布列的性质为分布列的性质为: :2 , 10) 1 (ipi11)2(iip分布函数为分布

6、函数为xxiipxXPxF)()(3.3.连续型随机变量的概念与性质连续型随机变量的概念与性质如果对于随机变量如果对于随机变量X 的分布函数的分布函数 ，存在，存在非负实函数非负实函数 ，使得对于任意，使得对于任意 实数实数 ，有有则称则称 X 为为连续型随机变量连续型随机变量，其中函数其中函数 称为称为X 的的概率密度函数概率密度函数,简称简称密度函数密度函数. xdttfxF,)()(连续型随机变量连续型随机变量 X X 由其密度函数唯一确定由其密度函数唯一确定)(xfx)(xf)(xF定义定义3:密度函数的性质密度函数的性质:0)() 1 (xf1)()2(dxxf SdxxfSXPSx

7、)()(,)3(有有轴轴上上任任意意区区间间对对于于)( )(,)()4(xFxfxxf 有有的连续点的连续点对于对于，对任意的实数是连续型随机变量，则设aX0 aXP有连续型随机变量的一个重要特点4. 4. 一些常用的概率分布一些常用的概率分布离散型离散型nkppknkXPppnBknk, 1 , 0)1()(10),()1( 二二项项分分布布1 , 0)1()(10), 1(10)2(1 xppxXPppBxx分分布布, 1 , 0!)(0)()3( kekkXPPoissonk分布分布,min, 1 , 0)()4(NMknNknMNkMkXP 超几何分布超几何分布均均为为正正整整数数这

8、这里里NMnNnNM, , 2 , 1)1()()5(1 kppkXPk几几何何分分布布连续型连续型: : 其其它它均均匀匀分分布布01)(),()1(bxaabxfbaU 其它其它指数分布指数分布00)()()2(xexfExpx 2222)(exp21)(0),()3(xxfN正正态态分分布布 xXPxx 我们可直接查表求出对于0，我们可由公式如果0 x x x1标准正态分布一般正态分布的计算)1, 0(2NXYNX，则，设).()-b(bX Pa ,aba有故对任意的随机变量的函数随机变量的函数也是一个随机变量 xgyYxX取值时，取值当本节的任务就是： 的分布要求随机变量，的分布，并且

9、已知已知随机变量YXgYX的函数，是是一随机变量，设XYX XgYY则,返回主目录二二. .连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布 ，其密度函数为是一连续型随机变量，设xfXX 随机变量也是连续型，我们假定的函数是再设YXXgY 的密度函数我们要求的是yfXgYY解解 题题 思思 路路 yxgXYdxxfyXgPyYPyFXgY)()(的分布函数先求 yFyfXgYXgYYY的密度函数关系求之间的的分布函数与密度函数利用 定理定理 设随机变量 X 具有概率密度, )(xxfX).0)(0)()(xgxgxg或恒有处处可导，且有又设函数则 Y =g(X ) 是一个连续型随机变量 Y，其

10、概率密度为., 0,|,)(|)()(其它yyhyhfyfXY其中 h(y) 是 g(x) 的反函数，即 ).(),(max),(),(mingggg)()(1yhygx返回主目录例 1从110这10个数字中随机取出5个数字，令：X：取出的5个数字中的最大值试求 X 的分布律解： X 的取值为5，6，7，8，9，10 并且106551041，kCCkXPk具体写出，即可得 X 的分布律：X5678910P25212525252152523525270252126返回主目录例例 1 设随机变量 X 的分布律为： 求 X 的分布函数. Xpk21 -1 2 34141解：解：当 x -1 时，满足

11、，的集合为的XxX0 xX-1x. 0)(PxXPxF返回主目录当,21时x满足 Xx 的 X 取值为 X = -1, .411)(XPxXPxFxX-1x当,32时 x满足 Xx 的 X 取值为 X = -1, 或 2 .214121)(XXPxXPxF或Xpk21 -1 2 34141返回主目录同理当,3时x. 1321)(XXXPxXPxF或或.3, 1, 32,43,21,41, 1,0)(xxxxxF-1 0 1 2 3 x1返回主目录例的密度函数为设随机变量 X 其它021210 xxxxxf的分布函数试求 X解： xdttfxFx时，当00 xdttfxFx时，当10 xdttf

12、dttf00返回主目录例 （续）xtdt022x xdttfxFx时，当21 xdttfdttfdttf1100 xdtttdt110212212xx返回主目录例 （续） xdttfxFx时，当2 xdttfdttfdttfdttf22110021102dtttdt返回主目录=1例 （续）的分布函数量综上所述，可得随机变X xxxxxxxxF21211221020022返回主目录 ?0,3 . 04222 XPXPNX则则且且，设设随随机机变变量量 解： )2(1)20(0 XP)0()2( 2 . 08 . 010 XP例 返回主目录423 . 0 XP5 . 0)2( ,8 . 0)2(

13、第二章 习题课设随机变量设随机变量 X 的概率密度为的概率密度为 .,0,0,2cos21)(其他xxxf 对对 X 独立地重复观察独立地重复观察 4 次，用次，用 Y 表示观察值大于表示观察值大于3的次数求的次数求 Y 的分布列。的分布列。 例例 设随机变量 X 具有以下的分布律，试求 Y = (X-1)2 的分布律.pkX-1 0 1 20.2 0.3 0.1 0.4 解解: Y 有可能取的值为 0，1，4. 且 Y=0 对应于 ( X-1)2=0， 解得 X=1， 所以, PY=0=PX=1=0.1,例例 返回主目录同理,PY=1=PX=0+PX=2=0.3+ 0.4=0.7,PY=4=

14、 PX= -1= 0.2,pkY 0 1 40.1 0.7 0.2所以，Y=(X-1)2 的分布律为：pkX-1 0 1 20.2 0.3 0.1 0.4Y=(X-1)2例例 （续）（续）返回主目录., 0, 40,8)(其它xxXfX设随机变量 X 具有概率密度：试求 Y=2X+8 的概率密度.解：解：(1) 先求 Y =2X+8 的分布函数 FY(y)：2882)(yXPyXPyYPyFY例例 返回主目录可以求得：利用)()()2(yfyFYY., 0, 4280,21)28(81)28()28()(其它yyyyfyfXY28.)()(yXYdxxfyF., 0, 40,8)(其它xxXf

15、X例例 （续）（续）返回主目录., 0,168,328)(其它yyyfY 整理得 Y=2X+8 的概率密度为：例例 （续）（续）一房间有一房间有 3 扇同样大小的窗户，其中只有一扇扇同样大小的窗户，其中只有一扇是打开的有一只鸟在房子里飞来飞去，它只是打开的有一只鸟在房子里飞来飞去，它只能从开着的窗子飞出去假定这只鸟是没有记能从开着的窗子飞出去假定这只鸟是没有记忆的，且鸟飞向各个窗子是随机的若令忆的，且鸟飞向各个窗子是随机的若令X表表示鸟为了飞出房间试飞的次数 求示鸟为了飞出房间试飞的次数 求 X的分布的分布律律 这只鸟最多试飞这只鸟最多试飞 3 次就飞出房间的概次就飞出房间的概率率 若有一只鸟

16、飞出该房间若有一只鸟飞出该房间 5 次，其中有次，其中有 4次它最多试飞了次它最多试飞了 3 次就飞出房间，请问“假定次就飞出房间，请问“假定这只鸟是没有记忆的”是否合理？这只鸟是没有记忆的”是否合理？ 例例 解：解： X的取值为, 3, 2, 1，并且 31321kkXP , 3, 2, 1k 27193132313231332XPP次就飞出房间这只鸟最多试飞 若将这只鸟是否“最多试飞 3 次就飞出房间”看作是一次 Bernoulli 试验，则这只鸟飞进该房间 5次可以看作是一个 5 重 Bernoulli 试验 次就飞出房间这只鸟最多试飞3A，则 2719AP 所以，3633. 027827194Bernoulli5445 CP次试验恰好成功重 这表明， “有一只鸟飞进该房间 5 次，其中有 4 次它最多试飞了 3 次就飞出房间”不是一个小概率事件，因此“假定这只鸟是没有记忆的”是合理的 设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为2的指数分布，试求的指数分布，试求XeY21 的概率密度。的概率密度。 例例 假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N（t）服从参数为t的泊松分布,求相继两次故障之间间隔时间T的概率分布例例.的的密密度度函函数数为为同同分分布布，和和设设随随机机变变量量XYX 其它其它0; 2x0 x83)x( f2. a4