工程力学第十讲

1、1西南财经大学天府学院工程力学梁的内力梁的内力平面弯曲的概念及梁的计算简图，剪力弯平面弯曲的概念及梁的计算简图，剪力弯矩方程、剪力弯矩图，梁上同一截面处不矩方程、剪力弯矩图，梁上同一截面处不同点的应力同点的应力工程力学工程力学2西南财经大学天府学院工程力学梁的内力梁的内力 10.1 10.1 平面弯曲的概念及梁的计算简图平面弯曲的概念及梁的计算简图 10.2 10.2 剪力、弯矩剪力、弯矩 10.3 10.3 剪力、弯矩方程，剪力、弯矩图剪力、弯矩方程，剪力、弯矩图 10.4 10.4 同一截面不同位置的应力同一截面不同位置的应力3西南财经大学天府学院工程力学第一节 平面弯曲的概念及 梁的计算

2、简图1. 弯曲弯曲: : 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时, ,轴轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。线变成了曲线，这种变形称为弯曲。2.梁：梁：以以弯曲变形为主的弯曲变形为主的 构件通常称为梁。构件通常称为梁。弯曲的概念弯曲的概念4西南财经大学天府学院工程力学第一节 平面弯曲的概念及 梁的计算简图3.工程实例：工程实例：5西南财经大学天府学院工程力学第一节 平面弯曲的概念及 梁的计算简图纵向对纵向对称面称面MP1P2q4. 横截面对称的杆件发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同横截面对称的杆件发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一平面内。一平面内。以

3、对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算6西南财经大学天府学院工程力学第一节 平面弯曲的概念及 梁的计算简图梁的计算简图梁的计算简图 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。1. 构件本身的简化构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。通常取梁的轴线来代替梁。2. 载荷简化载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。集中力、集中力偶

4、和分布载荷。7西南财经大学天府学院工程力学第一节 平面弯曲的概念及 梁的计算简图固定铰支座固定铰支座 2个约束，如：桥梁下的固定支座，个约束，如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。止推滚珠轴承等。可动铰支座可动铰支座 1个约束，如：桥梁下的辊轴支座，个约束，如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。滚珠轴承等。3. 支座简化支座简化8西南财经大学天府学院工程力学第一节 平面弯曲的概念及 梁的计算简图固定端固定端 3个约束，如：游泳池个约束，如：游泳池的跳水板支座，木桩下端的跳水板支座，木桩下端的支座等。的支座等。XAYAMA9西南财经大学天府学院工程力学第一节 平面弯曲的概念及 梁的计算简图4. 梁的

5、三种基本形式梁的三种基本形式简支梁简支梁M 集中力偶集中力偶q(x) 分布力分布力悬臂梁悬臂梁外伸梁外伸梁 集中力集中力Pq 均布力均布力10西南财经大学天府学院工程力学第二节 梁的剪力与弯矩确定梁的弯曲内力确定梁的弯曲内力如图，如图，F，a，l。求：距。求：距A端端x处截面上内力。处截面上内力。FamABmxl11西南财经大学天府学院工程力学第二节 梁的剪力与弯矩解：解：求外力求外力0 , 00 , ()0 , xAxAByAyFFFaMFlP laFFlABPFAyFAxFBmmx12西南财经大学天府学院工程力学第二节 梁的剪力与弯矩求内力求内力截面法截面法 弯曲构件内力剪力弯矩1. 弯矩

6、：M 构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩。AFAyQMCFBFMQCABFFAyFAxFBmmx()0 , 0 , yAyCAyF laFQFlMMFx13西南财经大学天府学院工程力学第二节 梁的剪力与弯矩2. 剪力：剪力：Q,构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。3. .内力的正负规定内力的正负规定: :剪力剪力Q: :绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负弯矩弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。Q(+)Q()Q()Q(+

7、)M(+)M(+)M()M()14西南财经大学天府学院工程力学第二节 梁的剪力与弯矩练习：练习：求图求图所所示梁示梁1-1、2-2截面处的内力。截面处的内力。qqLab1122x1x215西南财经大学天府学院工程力学第二节 梁的剪力与弯矩110 yFqLQQqL 解：解：截面法求内力。截面法求内力。 1 1-1 1截面处截取的分离截面处截取的分离 如图（如图（b b）示。）示。qLQ1AM1图（b）x11111( )+0 AiMFqLxMMqLx 16西南财经大学天府学院工程力学qLQ2BM2x2图（c）q第二节 梁的剪力与弯矩2222()0(yFqLQq xa Qq aLx ) 2-2截面处

8、截取的分离体如图（截面处截取的分离体如图（c）22222222( )0 ,1()021()2BiMFqLxMq xa Mq xaqLx 17西南财经大学天府学院工程力学第二节 梁的剪力与弯矩练习：简支梁受载荷作用如图所示。已知集中力练习：简支梁受载荷作用如图所示。已知集中力P=1000NP=1000N，集中，集中力偶力偶m=4000kNmm=4000kNm，均布载荷，均布载荷q=10N/mq=10N/m，试求，试求1-11-1和和2-22-2截面的截面的剪力和弯矩。剪力和弯矩。18西南财经大学天府学院工程力学第二节 梁的剪力与弯矩解解: (1) 求支座反力求支座反力以整梁为研究对象，受力以整梁

9、为研究对象，受力图如图所示，由平衡方图如图所示，由平衡方程求解支座反力程求解支座反力 MF0 P 750 F1000 m q 500 2500F(P 750 m q 500 250)/10002000NFy0 FP 500q F05008000BAAABBAFPqFN ，19西南财经大学天府学院工程力学第二节 梁的剪力与弯矩1QF2000NA 1200400AMFkN m 24004000BQqFN (2) 计算计算1-1截面的内力截面的内力利用计算剪力和弯矩的规律，由利用计算剪力和弯矩的规律，由1-1截面左侧外力计算截面左侧外力计算(3) 计算计算2-2截面的内力截面的内力 利用计算剪力和弯

10、矩的规律，由利用计算剪力和弯矩的规律，由2-2截面的右侧外力计算截面的右侧外力计算2M400400 2002400BFqkN m 20西南财经大学天府学院工程力学2CFkN10mDMkNm4m4m4m3m/kNq1ACDBE2EFkN222m2m11第二节 梁的剪力与弯矩练习：练习：试求试求1-1,2-2截面上的剪力、弯矩截面上的剪力、弯矩值。值。21西南财经大学天府学院工程力学m4m4m4m3kNP21kNP22kNmMD10m/kNq 1ACDBE第二节 梁的剪力与弯矩解：解：以整梁（以整梁（AE）为研究对象，求出）为研究对象，求出A、B点约束反力。点约束反力。FA=7kN,FB=5kN;

11、以以1-1截面左侧为研究对象，求出该截面的剪力及弯矩。截面左侧为研究对象，求出该截面的剪力及弯矩。Q1=-1kN,M1=20kNm;以以2-2截面左侧为研究对象，求出该截面的剪力及弯矩。截面左侧为研究对象，求出该截面的剪力及弯矩。Q2=-3kN,M2=0kNm;22西南财经大学天府学院工程力学第三节 梁的剪力与弯矩方程 梁的剪力与弯矩图1. 1. 内力方程：内力与截面位置坐标（内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。）间的函数关系式。2. 2. 剪力图和弯矩图：剪力图和弯矩图：)(xQQ 剪力方程剪力方程)(xMM 弯矩方程弯矩方程)(xQQ 剪力图剪力图的图线表示的图线表示)(xM

12、M 弯矩图弯矩图的图线表示的图线表示为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴的变化规律，把剪力方程和弯为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴的变化规律，把剪力方程和弯矩方程用其图像表示，称为剪力图和弯矩图矩方程用其图像表示，称为剪力图和弯矩图23西南财经大学天府学院工程力学第三节 梁的剪力与弯矩方程 梁的剪力与弯矩图l 剪力图和弯矩图的画法与轴力图、扭矩图很相似，剪力图和弯矩图的画法与轴力图、扭矩图很相似，用平行于梁轴的横坐标用平行于梁轴的横坐标x表示梁横截面的位置，表示梁横截面的位置，用垂直于梁轴的纵坐标表示相应截面的剪力和弯用垂直于梁轴的纵坐标表示相应截面的剪力和弯矩。矩。l 在土建工程中，习惯上将正剪力画

13、在在土建工程中，习惯上将正剪力画在x轴上方，轴上方，负剪力画在负剪力画在x轴的下方；正弯矩画在轴的下方；正弯矩画在x轴下方，负轴下方，负弯矩画在弯矩画在x轴的上方，即把弯矩图画在梁受拉的轴的上方，即把弯矩图画在梁受拉的一侧。一侧。剪力图和弯矩图的画法剪力图和弯矩图的画法24西南财经大学天府学院工程力学第三节 梁的剪力与弯矩方程 梁的剪力与弯矩图其作图步骤如下其作图步骤如下 以梁整体为研究对象，根据梁上的荷载和支座情况，以梁整体为研究对象，根据梁上的荷载和支座情况，由静力平衡方程求出支座反力；由静力平衡方程求出支座反力； 梁的分段原则：梁的分段原则：分段原则与列剪力方程和弯矩方程的分段分段原则与

14、列剪力方程和弯矩方程的分段相同，即以集中力和集中力偶作用处、分布荷载的起止处、相同，即以集中力和集中力偶作用处、分布荷载的起止处、梁的支承处以及梁的端面为界点，将梁进行分段。梁的支承处以及梁的端面为界点，将梁进行分段。 分截面原则分截面原则：对于剪力图，在集中力作用的截面上发生：对于剪力图，在集中力作用的截面上发生突变，需将集中力作用的截面分出来；对于弯矩图，在突变，需将集中力作用的截面分出来；对于弯矩图，在集中力偶作用的截面上发生突变，需将集中力偶作用的集中力偶作用的截面上发生突变，需将集中力偶作用的截面分出来。截面分出来。2、梁的分段和分截面、梁的分段和分截面1、求支座反力、求支座反力25

15、西南财经大学天府学院工程力学第三节 梁的剪力与弯矩方程 梁的剪力与弯矩图3、画剪力图和弯矩图、画剪力图和弯矩图 按照作图方向截面和分段出现的先后顺序，利用剪力图按照作图方向截面和分段出现的先后顺序，利用剪力图和弯矩图的规律，再结合剪力和弯矩的规律计算各控制和弯矩图的规律，再结合剪力和弯矩的规律计算各控制截面上的剪力值和弯矩值，依次就可以简捷地画出剪力截面上的剪力值和弯矩值，依次就可以简捷地画出剪力图和弯矩图；图和弯矩图；26西南财经大学天府学院工程力学第三节 梁的剪力与弯矩方程 梁的剪力与弯矩图练习：求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。练习：求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。PLFOMO

16、27西南财经大学天府学院工程力学第三节 梁的剪力与弯矩方程 梁的剪力与弯矩图 ; OOFP MPL解：解：求支反力求支反力写出内力方程写出内力方程根据方程画内力图根据方程画内力图( )( ) ()OOOQ xFPM xF xMP xLPLQ(x)xPM(x)xPLFOMOM(x)xQ(x)FOMO- 28西南财经大学天府学院工程力学第三节 梁的剪力与弯矩方程 梁的剪力与弯矩图练习练习: : 求下列各梁的剪力弯矩图。求下列各梁的剪力弯矩图。q2aaABCFAFB29西南财经大学天府学院工程力学第三节 梁的剪力与弯矩方程 梁的剪力与弯矩图222454ABAqaqaFaqaFqaF 解：解：(1)支

17、反力支反力(2)剪力方程、弯矩方程剪力方程、弯矩方程 右端）段弯矩段弯矩：右端为原点）段剪力段剪力：(2:;4qa;( :;42qxMABxMABqxQBCqaQABxxq2aaABCFAFBQqa4qa(3)画出剪力图、弯矩图画出剪力图、弯矩图M22qa30西南财经大学天府学院工程力学第三节 梁的剪力与弯矩方程 梁的剪力与弯矩图练习：如图所示的外伸梁，试画出该梁的剪力图和练习：如图所示的外伸梁，试画出该梁的剪力图和弯矩图。弯矩图。31西南财经大学天府学院工程力学第三节 梁的剪力与弯矩方程 梁的剪力与弯矩图解：解：1) 求支座反力求支座反力以整梁为研究对象，由平衡方程得以整梁为研究对象，由平衡

18、方程得( )0,4542034( )0,424094ABBBAAMFFaqaaqaaFqaMFqaaqaaFaFqa 32西南财经大学天府学院工程力学第三节 梁的剪力与弯矩方程 梁的剪力与弯矩图 2) 求剪力方程、弯矩方程求剪力方程、弯矩方程 xx9a;4:qx 9=;22ABqxBCqaaABxBC 段剪力：Q段剪力 Q段弯矩：M段弯矩:M=qax(右端点）注注:如果不用右端如果不用右端点而用点而用B，则要，则要考虑考虑Fa与与q和和Fb。要考虑要考虑Fa与与q和和Fb。33西南财经大学天府学院工程力学第三节 梁的剪力与弯矩方程 梁的剪力与弯矩图（3）剪力图为）剪力图为281q32a34西南

19、财经大学天府学院工程力学第三节 梁的剪力与弯矩方程 梁的剪力与弯矩图PQMqQ M 35西南财经大学天府学院工程力学第三节 梁的剪力与弯矩方程 梁的剪力与弯矩图mQMMQq36西南财经大学天府学院工程力学第四节 同一截面上不同位置的应力纯弯曲：梁受力弯曲后，如其横截面上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯弯曲。 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力aFACaFBDFFFa37西南财经大学天府学院工程力学第四节 同一截面上不同位置的应力实验现象：1 1、变形前互相平行的纵向直线、变形前互相平行的纵向直线、变形后变成弧线，且凹边纤维缩变形后变成弧线，且凹边纤维缩短、凸边纤维伸长。短、凸

20、边纤维伸长。2 2、变形前垂直于纵向线的横向、变形前垂直于纵向线的横向线线, ,变形后仍为直线，且仍与弯曲变形后仍为直线，且仍与弯曲了的纵向线正交，但两条横向线了的纵向线正交，但两条横向线间相对转动了一个角度。间相对转动了一个角度。中性轴：中性轴： 中性层与横截面的交线称中性层与横截面的交线称为中性轴。为中性轴。平面假设：平面假设： 变形前杆件的横截面变形后仍变形前杆件的横截面变形后仍为平面。为平面。mmnnFF38西南财经大学天府学院工程力学第四节 同一截面上不同位置的应力dxmmnnozyoddxmmnnFFydddyyEEyMM中性轴yzdAAdA NFAdAz yMAdAy zMAydAE 0AzydAE 0AdAyE2 ZEIZZEIM 1zzIyM39西南财经大学天府学院工程力学第四节 同一截面上不同位置的应力MMZ Z: :横截面上的弯矩横截面上的弯矩y y: :到中性轴的距离到中性轴的距离I IZ Z: :截面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩dxmmnnozyoMM中性轴yzdAzzIyM40西南财经大学天府学院工程力学第四节 同一截面上不同位置的应