第二章过程控制系统的数学模型

1、第二章第二章 被控过程的数学模型被控过程的数学模型2 21 1 概述概述2 22 2 机理建模方法机理建模方法2 23 3 测试建模方法测试建模方法2022-6-42-2 2-2 机理分析法建模机理分析法建模自衡过程的自衡过程的数学模型数学模型单容对象的数学模型单容对象的数学模型有纯滞后的单容对象的数学模型有纯滞后的单容对象的数学模型多容对象的数学模型多容对象的数学模型无自衡过程无自衡过程的数学模型的数学模型单容对象的数学模型单容对象的数学模型双对象的数学模型双对象的数学模型多容对象的数学模型多容对象的数学模型自衡过程的数学模型与无自衡过程的数学模型比较自衡过程的数学模型与无自衡过程的数学模型

2、比较2022-6-4( (二二) )、具有纯滞后单容过程的数学模型、具有纯滞后单容过程的数学模型（三）无自平衡能力的单容对象特性（三）无自平衡能力的单容对象特性( (四四) )、多容过程的数学模型、多容过程的数学模型( (四四) )、多容过程的数学模型、多容过程的数学模型1 1：具有自平衡能力的双容对象的数学模型：具有自平衡能力的双容对象的数学模型3 3：具有自平衡能力的三容对象的数学模型：具有自平衡能力的三容对象的数学模型2 2：无自平衡能力的双容对象的数学模型：无自平衡能力的双容对象的数学模型4 4：具有自平衡能力的多容对象的数学模型：具有自平衡能力的多容对象的数学模型6 6：相互作用的的

3、双容对象的数学模型：相互作用的的双容对象的数学模型5 5：无自平衡能力的多容对象的数学模型：无自平衡能力的多容对象的数学模型各各容容器器相相互互独独立立2022-6-4多容过程的数学模型多容过程的数学模型2022-6-4多容过程的数学模型多容过程的数学模型iiQQ22QQ11QQ两个串联对象的模型，当流入侧阀门开度有微小扰两个串联对象的模型，当流入侧阀门开度有微小扰动时，被控参数动时，被控参数2hdthdCQQ2221222RhQ111RhQdthdCQQi111uKQuiuKhdthdTTdthdTT222122221)(式中：式中：液槽液槽1 1的容量系数的容量系数液槽液槽2 2的容量系数

4、的容量系数液槽液槽1 1的出水端的阻力的出水端的阻力液槽液槽2 2的出水端的阻力的出水端的阻力222111,CRTCRT液槽液槽1 1、2 2的时间常数的时间常数2RKKu双容对象的放大倍数双容对象的放大倍数1:1:具有自平衡能力的双容对象的数学模型具有自平衡能力的双容对象的数学模型2022-6-4多容过程的数学模型多容过程的数学模型1:1:具有自平衡能力的双容对象的数学模型具有自平衡能力的双容对象的数学模型uKhdthdTTdthdTT222122221)(1)()()()(212212sTTsTTKsUsHsG如果双容对象调节阀单位开度变化引起的流入量存如果双容对象调节阀单位开度变化引起的

5、流入量存在延迟，则传递函数为在延迟，则传递函数为sesTTsTTKsUsHsG01)()()()(212212具有自衡能力具有自衡能力双容对象的传双容对象的传递函数递函数2022-6-4多容过程的数学模型多容过程的数学模型双容对象的阶跃响应曲线双容对象的阶跃响应曲线iiQQ22QQ11QQ2022-6-4多容过程的数学模型多容过程的数学模型2Q11QQiiQQ一个有自平衡能力的单容对象一个有自平衡能力的单容对象一个无自平衡能力的双容对象一个无自平衡能力的双容对象当流入侧阀门在当流入侧阀门在t t0 0时刻发生时刻发生 u u阶跃扰动时，由于多了一阶跃扰动时，由于多了一个中间液槽，作为被控对象个

6、中间液槽，作为被控对象的的 h h2 2并不能立即以最大速并不能立即以最大速度变化，所以度变化，所以 h h2 2对扰动的对扰动的响应有一定的惯性。响应有一定的惯性。2:2:无自平衡能力的双容对象无自平衡能力的双容对象2022-6-42Q11QQiiQQ多容过程的数学模型多容过程的数学模型2:2:无自平衡能力的双容对象无自平衡能力的双容对象dthdCQQ222102Q111RhQdthdCQQi111uKQuiuCKdthddthdCRu2222211uTdthddthdTa1222211CRT uaKCT22022-6-4uTdthddthdTa12222sTTssUsHsGa111)()(

7、)(2如果双容对象调节阀单位开度变化引起的流入量如果双容对象调节阀单位开度变化引起的流入量存在延迟，则传递函数为存在延迟，则传递函数为saesTTssUsHsG0111)()()(22:2:无自平衡能力的双容对象无自平衡能力的双容对象多容过程的数学模型多容过程的数学模型2-53 3：具有自平衡能力三容过程的数学模型：具有自平衡能力三容过程的数学模型多容过程的数学模型多容过程的数学模型1 1）三容过程的微分方程模型）三容过程的微分方程模型: :33333322222221111111RhQdthdCQQRhQdthdCQQRhQdthdCQQi具有自平衡能力三容过程的数学模型具有自平衡能力三容过

8、程的数学模型2 2）三容过程的方框图）三容过程的方框图由图由图2-62-6，应用自控理论即可获得其模型。，应用自控理论即可获得其模型。具有自平衡能力三容过程的数学模型具有自平衡能力三容过程的数学模型2022-6-44.4.具有自平衡能力的多容对象的数学模型具有自平衡能力的多容对象的数学模型设有设有n n个相互独立的多容对象，时间常数为个相互独立的多容对象，时间常数为T T1 1,T,T2 2,，T Tn n，总放大倍数为总放大倍数为K K，)1()1)(1()(21sTsTsTKsGn若若T T1 1T T2 2, ,T Tn nT TnsTKsG)1()(若还存在延迟若还存在延迟snesTK

9、sG0)1()(多容过程的数学模型多容过程的数学模型2022-6-45.5.无自平衡能力的多容对象的数学模型无自平衡能力的多容对象的数学模型)1()1)(1()(21sTsTsTsTKsGnanasTsTKsG)1()(snaesTsTKsG0)1()(设有设有n n个相互独立的多容对象，时间常数为个相互独立的多容对象，时间常数为T T1 1,T,T2 2,，T Tn n，总放大倍数为总放大倍数为K K，若若T T1 1T T2 2, ,T Tn nT T若还存在延迟若还存在延迟多容过程的数学模型多容过程的数学模型2022-6-46.6.相互作用的双容对象的数学模型相互作用的双容对象的数学模型

10、在前述的双容对象中，后一个液槽液位的变化对前一个液在前述的双容对象中，后一个液槽液位的变化对前一个液槽液位的变化无影响。如果两液槽水位的变化相互影响相槽液位的变化无影响。如果两液槽水位的变化相互影响相互作用，会改变各自液槽的等效时间常数。互作用，会改变各自液槽的等效时间常数。110hh220hhiQ1Q0Q被控参数被控参数0Q输入扰动输入扰动iQ平衡时：平衡时：201001,hhQQQi当输入扰动时，当输入扰动时，iQ210hhQdthdCQQ2201222RhQdthdCQQi1111121QRhh多容过程的数学模型多容过程的数学模型2022-6-4dthdCQQ2201222RhQdthd

11、CQQi1111121QRhh1)(1)()(122211222110sCRCRCRsCRCRsQsQi1)()()(1222112221122sCRCRCRsCRCRRsQsHi6.6.相互作用的双容对象的数学模型相互作用的双容对象的数学模型2022-6-4总总 结结1)()()(TsKsUsYsGseTsKsUsYsG01)()()(sesTsTKsUsYsG0)1)(1()()()(21)1)(1()()()(21sTsTKsUsYsGnTsKsUsYsG)1()()()(sneTsKsUsYsG0)1()()()(sTsUsYsGa1)()()(saesTsUsYsG01)()()(s

12、aesTsTsUsYsG0)1(1)()()(2naTssTKsUsYsG)1()()()(snaeTssTKsUsYsG0)1()()()()1(1)()()(2sTsTsUsYsGa要求：说明每一种传递函数所代表的对象。要求：说明每一种传递函数所代表的对象。2022-6-4由阶跃响应曲线确定过程的传递函数由阶跃响应曲线确定过程的传递函数 1 1、确定一阶惯性环节的参数、确定一阶惯性环节的参数1)(TsKsG)302.()0()(0 xyyK1 1）作图法）作图法a)a)在在t=0t=0处作切线交处作切线交)(y于于A A点。点。则则OAOA在时间轴上的投影在时间轴上的投影OBOB就是时间常

13、数就是时间常数2 23 3 测试建模方法测试建模方法2022-6-4)(632.0)(yty取取点点N NN N点的横坐标点的横坐标OCOC就是时间常数就是时间常数T T)(632. 0yN NC Cc)c)时间常数时间常数T TBCBC段为段为T T作图法或切线作图法或切线法不准确法不准确2022-6-42 2）两点法）两点法)()()(ytyty令令Ttety 1)(选择两个时刻选择两个时刻t t1 1,t,t2 2 ，且且t t2 2tt1 1Ttety21)(2Ttety11)(1)(),(21tyty已知已知)(1ln)(1ln2*1*12tytyttT63. 0)(39. 0)(2

14、1tyty)(212ttT2022-6-42 2、确定有时滞的一阶惯性环节的参数、确定有时滞的一阶惯性环节的参数TseTsKsUsYsG01)()()(2022-6-4)(1)(Ttety)(221)(TtetyTtety11)(1)(),(21tyty)(1ln)(1ln2*1*12tytyttT63. 0)(39. 0)(21tyty)(212ttT)(1ln)(1ln)(1ln)(1ln2*1*2*11*2tytytyttyt212tt 2022-6-4) 1)(1()(21sTsTKsG3 3、二阶惯性环节的参数、二阶惯性环节的参数21/122/121*1)(TtTteTTTeTTTt

15、y21/122/121*)(1TtTteTTTeTTTty根据数据根据数据8 . 0)(; 4 . 0)();(,);(,2*1*2*21*1tytytyttyt确定确定8.06.02121/122/121/122/121TtTtTtTteTTTeTTTeTTTeTTT)55.074.1()()(16.2121221212121ttTTTTttTT2022-6-42t1t2tsaesTsUsYsG1)()()(saeTssTsUsYsG)1(1)()()(tguTa1ttguTa12ttT4 4：确定非自平衡过程的参数：确定非自平衡过程的参数t ty(t)y(t)0 02022-6-4【例例】

16、 为了测定某重油预热炉的对象特性，在某瞬间（假定为了测定某重油预热炉的对象特性，在某瞬间（假定为为t0=0）突然将燃料气量从）突然将燃料气量从2.5t/h 增加到增加到3.0t/h，重油出口温度，重油出口温度记录仪得到的阶跃反应曲线如图所示。假定该对象为一阶对记录仪得到的阶跃反应曲线如图所示。假定该对象为一阶对象，则描述该重油预热炉特性的微分方程式和以燃料气变化象，则描述该重油预热炉特性的微分方程式和以燃料气变化量为单位阶跃变化时温度变化量的函数表达式分别为何种形量为单位阶跃变化时温度变化量的函数表达式分别为何种形式？式？（A） （B） 2022-6-4 txtdydttdy60223 Cet

17、yt32160 txtdydttdy60223 Cetyt32160 txtdydttdy60223 Cetyt23160 txtdydttdy60332 Cetyt23160（C）（D）（B）（A）2022-6-4htCK605 . 20 . 3120150min2omin325T过反应曲线起点作曲线的切线，交于过程新稳态值过反应曲线起点作曲线的切线，交于过程新稳态值150150的横轴的横轴平行线上一点，该点的垂足位平行线上一点，该点的垂足位5min5min， 时间常数时间常数 放大系数放大系数题解：由阶跃曲线可知题解：由阶跃曲线可知滞后时间滞后时间2022-6-4 tKxtydttdyT

18、TteKty1 txtdydttdy60223 32160tety 因此重油预热炉特性的微分方程式和以燃料气变化量因此重油预热炉特性的微分方程式和以燃料气变化量为单位阶跃变化时温度变化量的函数表达式为单位阶跃变化时温度变化量的函数表达式而具有纯滞后的一阶对象的微分方程式及其解可分别表示为而具有纯滞后的一阶对象的微分方程式及其解可分别表示为2022-6-4小小 结结自衡过程的自衡过程的数学模型数学模型单容对象的数学模型单容对象的数学模型有纯滞后的单容对象的数学模型有纯滞后的单容对象的数学模型多容对象的数学模型多容对象的数学模型无自衡过程无自衡过程的数学模型的数学模型单容对象的数学模型单容对象的数

19、学模型双对象的数学模型双对象的数学模型多容对象的数学模型多容对象的数学模型2022-6-42022-6-42-3-2 频域法建模频域法建模 目前测试系统频率特性的方法已很成熟，目前测试系统频率特性的方法已很成熟，特别是现代测试技术的发展，对某些系统若特别是现代测试技术的发展，对某些系统若用专门的设备从输入信号到绘制频率特性曲用专门的设备从输入信号到绘制频率特性曲线，在很短的时间内就可以实现线，在很短的时间内就可以实现一、分解法一、分解法二、曲线拟合法二、曲线拟合法两种频率法两种频率法2022-6-4补充内容补充内容二、曲线拟合法二、曲线拟合法 当系统的频率特性曲线比较复杂，辨识的当系统的频率特

20、性曲线比较复杂，辨识的精度要求较高的情况下，用分解法难以解决问精度要求较高的情况下，用分解法难以解决问题，可利用回归分析方法从系统频率特性曲线题，可利用回归分析方法从系统频率特性曲线拟合传递函数拟合传递函数2022-6-4332213322101)(sasasasbsbsbbsG设设)()1 ()()()()()(1)()()()(553314422442204422033221332210aaajaabbbjbbbjajajajbjbjbbjG)Im()Re()(jjG实验求得实验求得需要辨识的参数：需要辨识的参数：ai,bi2022-6-4在各频率点在各频率点k的拟合误差为的拟合误差为)(

21、*)(kkkjGjG)()()()1 ()()()(5533144225533144220jDjNjjaaajaabbbjbbbjGkkkkk令令2022-6-4在全部采样点上误差平方和为在全部采样点上误差平方和为)(*jJ取最小值就是曲线拟合好坏的依据取最小值就是曲线拟合好坏的依据为了避免对为了避免对k偏导产生一个非线性回归，以偏导产生一个非线性回归，以)(jD作为作为k的权的权定义：定义：)()()()(*)(kkkkkkjDjNjGjGjG)()()()(kkkkkkjNjDjGjDenkkeJ122022-6-42112)()()Im()Re(nkkkkkkkkknkkjjjeJ加权最

22、小二乘取模加权最小二乘取模分别对每一个未知的分别对每一个未知的ai,bi求偏导，并令偏导数求偏导，并令偏导数为零，建立方程组，利用矩阵便可以求出各个为零，建立方程组，利用矩阵便可以求出各个导数。导数。2022-6-4212)Re()Im()Im()Re(nkkkkkkkkkkkkkJ)(44220bbbk)(55331bbbk)(44220aaak)(55331aaakibJbJ0iaJaJ02022-6-4依照上述算法可以容易编写出程序，依照上述算法可以容易编写出程序，在在MATLAB中函数中函数freq2tf()函数可以函数可以直接进行连续传递函数的辨识。直接进行连续传递函数的辨识。202

23、2-6-4dttytxRxy)()()(dttxtxRxx)()()(（1）自相关函数是）自相关函数是 的偶函数，的偶函数，RX( )=Rx(- )； （2）当当 =0 时，时，自相关函数具有最大值。自相关函数具有最大值。（3）周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号，）周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号， 但不保留原信号的相位信息。但不保留原信号的相位信息。（4）两周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信）两周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信 号，且保留原了信号的相位信息。号，且保留原了信号的相位信息。（5）两个非同频率的周期信号互不相关。）两个非同频率的周期信号互不相关。

24、（6）随机信号的自相关函数将随）随机信号的自相关函数将随 的增大快速衰减。的增大快速衰减。1:相关函数的定义相关函数的定义2：相关函数的特点：相关函数的特点2-3-4 2-3-4 相关分析法相关分析法2022-6-4dttxtxRxx)()()(TxxdttxtxTR0)()(1)(101)(kNnknnxxxxkNkR101)(NnknnxxxxNkR自自相相关关函函数数的的计计算算方方法法3：相关函数的计算方法：相关函数的计算方法2022-6-4dttytxRxy)()()(TxydttytxTR0)()(1)(101)(kNnknnxyyxkNkR101)(NnknnxyyxNkR互互相

25、相关关函函数数的的计计算算方方法法2022-6-44：相关分析法辨识系统的基本原理：相关分析法辨识系统的基本原理)(th)(tx)(t)(tv)(ty)()()(tvtty0)()()(dtxht000000)()()()()()()()()()()(dtRhdtdtxxhdtdtxhxdttyxRxxxy2022-6-4000000)()()()()()()()()()()(dtRhdtdtxxhdtdtxhxdttyxRxxxy0)()()(dttRthRxxxyWiener-Hoff方程方程离散化离散化PixxxyikRihkR1)()()(矢量形式：矢量形式：)()2()1 ()0()0()2()0()1()1 ()0()()2()1 ()0()()2()1 ()0(PhhhhRPRRpRRRPRRRRPRRRRx