通信原理数学基础

1、沈忠良沈忠良 讲师讲师理工大学通信工程学院理工大学通信工程学院无线通信教研中心联合战术通信教研室无线通信教研中心联合战术通信教研室解放军理工大学解放军理工大学22.1 信号系统基础 2.2 概率论基础 2.3 随机过程的一般表述 2.4 平稳随机过程及其数字特征2.5 高斯噪声 2.6 正弦波加窄带高斯噪声 2.7 随机信号通过线性系统 2.8 周期平稳随机过程 2.9 数理统计简介 解放军理工大学解放军理工大学3确知信号与随机信号周期信号与非周期信号连续信号与离散信号模拟信号与数字信号因果信号与非因果信号能量信号和功率信号实信号与复信号解放军理工大学解放军理工大学4正弦、余弦信号Sa函数（抽

2、样函数）单位阶跃信号单位矩形脉冲信号符号函数冲激信号解放军理工大学解放军理工大学5n正弦、余弦信号正弦、余弦信号( )co s(2)ftAft幅度，单位V，A等，反映信号强度。频率，单位Hz，反映信号变化快慢。f =0 直流信号f0 交流信号相位，单位度或弧度，反映信号初始位置。解放军理工大学解放军理工大学6nSa函数（抽样信号）函数（抽样信号）SaSa(x x)0 02 23 34 45 51.01.00.80.80.60.60.40.40.20.20.00.0-0.2-0.2-0.4-0.4x x-5-5-4-4-3-3-2-2- -sin( )( )axSxx解放军理工大学解放军理工大学

3、7n单位阶跃信号单位阶跃信号0,01,0tt( )u t ( )u tt解放军理工大学解放军理工大学8n矩形脉冲信号（门函数）矩形脉冲信号（门函数）G ( )t At02 2 脉冲幅度脉冲宽度,/ 20,/ 2Att( )G t解放军理工大学解放军理工大学9n符号函数符号函数1,01,0ttsgn( ) t sgn( ) tt解放军理工大学解放军理工大学10n单位冲激信号单位冲激信号( )1( )0 (0)t dttt“t0点，强度为E的冲激函数”：00,0,( )0 ()( )E tE ttttt dtE0,0( )()E ttEtt对称性：()( )tt时域压扩性：1()( )atta抽样

4、特性：00000( ) ()( ) ()( ) ()( )x tttx tttx ttt dtx t解放军理工大学解放军理工大学11反褶运算时域平移（时移）运算时域压扩运算卷积运算相关运算解放军理工大学解放军理工大学12n卷积运算卷积运算121221( )*( )( )()( )()x tx txx tdxx td( )* ( )?x tt0( )* ()?x ttt( )x t0()x tt解放军理工大学解放军理工大学130001( )cos2sin2 nnnx tAAnf tBnf t式中式中 001Tf 0202001( )TTAx t dtT直流分量直流分量交流分量，交流分量，n=1:

5、 n=1: 基波分量基波分量n1: n1: 谐波分量谐波分量0202020200002( )cos22( )sin 2TTTTnnAx tnf tdtTBx tnf tdtT，解放军理工大学解放军理工大学14)2cos()(010nnntnfCCtx0022arctannnnnnnCACABBA式中式中0001( )cos2sin2 nnnx tAAnf tBnf t解放军理工大学解放军理工大学15 )(02ntnfjneVtx00022201( )Tjnf tnTVx t edtT 指数函数表示式指数函数表示式是由余弦表示式经数学推导得来的，这种是由余弦表示式经数学推导得来的，这种表示式没有

6、什么物理意义，纯属数学上的表示式，但它能给分表示式没有什么物理意义，纯属数学上的表示式，但它能给分析带来方便，是傅氏变换的基础，也是本课程最常用的一种表析带来方便，是傅氏变换的基础，也是本课程最常用的一种表示式。示式。 0202001( )TTVx t dtTcos( ),sin( )22jjjjeeeej0001( )cos 2sin 2 nnnx tAAnf tBnf t欧拉公式：欧拉公式：解放军理工大学解放军理工大学16当当 时，时， ，此时周期信号就变为非周期信号，此时周期信号就变为非周期信号了。令了。令 ， 经推导可得经推导可得 22jftjftXfx t edtx tXf edf0

7、T 0010fT00,fdf nfndff 12j tj tXx t edtx tXed或 傅里叶变换傅里叶变换 称为称为 的频谱密度函数，简称频谱。的频谱密度函数，简称频谱。)( fX)(tx)()()(fjefXfXffX)(ff)(振幅谱振幅谱相位谱相位谱解放军理工大学解放军理工大学17(a) (a) 矩形脉冲波形矩形脉冲波形)(txAt022)(fXf0(b) (b) 矩形脉冲的频谱矩形脉冲的频谱1122A)()sin( )()(2222fSAffAdtAedtetxfXaftjftj特点特点: :1 1、谱连续且无限扩展、谱连续且无限扩展2 2、有等间隔零点、有等间隔零点3 3、脉冲

8、宽度窄，主瓣宽度增大、脉冲宽度窄，主瓣宽度增大矩形脉冲的频谱矩形脉冲的频谱解放军理工大学解放军理工大学18问题问题: : 信号的频谱函数具有矩形特性，那么它的时间波信号的频谱函数具有矩形特性，那么它的时间波形又是什么样的呢？形又是什么样的呢？)()()(2222tBABSdfAedfefXtxaBBftjftj解放军理工大学解放军理工大学192211)(2)(ffSAfXa升余弦脉冲的频谱升余弦脉冲的频谱特点：特点：1 1、当脉冲宽度相同时，、当脉冲宽度相同时，升余弦脉冲的带宽是矩升余弦脉冲的带宽是矩形脉冲带宽的形脉冲带宽的2 2倍。倍。2 2、频谱的拖尾衰减较快、频谱的拖尾衰减较快 21co

9、s220Attx tt其它解放军理工大学解放军理工大学20升余弦频谱函数的傅氏反变换升余弦频谱函数的傅氏反变换 21cos2202ABffBXfBf(a)( )X fA2/B2/Bf0(b)( )x t2/ABtB3B2B2B30 2 2121ABx tSaBtB t解放军理工大学解放军理工大学21AAedtetAtAFfjftj022)()(注：更多常用信号傅里叶变换对见教材注：更多常用信号傅里叶变换对见教材P27P27或习题解答或习题解答P14P14 1112tf ，冲击函数的傅氏反变换冲击函数的傅氏反变换解放军理工大学解放军理工大学221. 1. 时移特性时移特性 020 ()jftF

10、x ttXf e)(txAt022)(tfAt0)()(fSAfXa)2/()(txtf22( )()()jfajfaF fA SfeA Sfe 解放军理工大学解放军理工大学232. 2. 频移特性频移特性0j2f t0Fx(t)e = X(f - f )tnfjnneVtx02)()(1 )(020nffVeFVtxFnntnfjnn一般周期信号：一般周期信号： 2jftXfx t edt000022201( )Tjnf tnTTVxt edtT02()01( )jnftx t edtT00()nXnfVT解放军理工大学解放军理工大学242. 2. 频移特性频移特性0j2f t0Fx(t)e

11、 = X(f - f )ntnfjTeTt00201)(nTnffTtF)(1)(000周期脉冲函数周期脉冲函数解放军理工大学解放军理工大学252. 2. 频移特性频移特性0j2f t0Fx(t)e = X(f - f )0T0200( )()jnf tanAx tSnfeT 周期为, 宽度为，高度为 A 的矩形脉冲0220T0TA)(txt 周期矩形脉冲周期矩形脉冲 000()anAXfSnffnfT 解放军理工大学解放军理工大学263. 3. 频率卷积特性频率卷积特性)()()()(2121fXfXtxtxF)(tx)(txctf02costftxtxc02cos)()( tfFfXtft

12、xFtxFfXcc002cos2cos)()( 00002121ffXffXfffffXfXc解放军理工大学解放军理工大学273. 3. 频率卷积特性频率卷积特性)(tx)(txctf02cos 0021ffXffXfXc)(fXmfmf0f00f0fmff 0mff 0mff 0mff 0f)( fXc)(210ffX)(210ffX解放军理工大学解放军理工大学28课后作业nP57P57：1 1、2 2、3 3)(txAt022补充补充1：矩形脉冲宽度：矩形脉冲宽度2ms。求。求x(t)的频谱表示式并画出频谱函数图。的频谱表示式并画出频谱函数图。 补充补充2：周期矩形脉冲，周期为：周期矩形脉

13、冲，周期为8ms，脉冲宽度，脉冲宽度2ms，幅度为，幅度为1，求，求x(t)的指数形式傅里叶级数展开式。的指数形式傅里叶级数展开式。0220T0TA)(txt解放军理工大学解放军理工大学29课后作业tftxtxc02cos)()(补充补充3：已知：已知x(t)的频谱函数是下图所示三角形式，设的频谱函数是下图所示三角形式，设 ，画，画出出 的频谱函数图。的频谱函数图。)(fXmfmf0fmff301解放军理工大学解放军理工大学30解放军理工大学解放军理工大学3122( )Ex tdtXfdf意义有两个方面意义有两个方面: :（1 1）有两种方法可求得能量信号的能量；）有两种方法可求得能量信号的能

14、量；（2 2）信号的总能量等于各个频率分量单独贡献出来的）信号的总能量等于各个频率分量单独贡献出来的能量之和能量之和。|x (t)|2表示作用于单位电阻上表示作用于单位电阻上(1)(1)瞬时功率（归一化功率）瞬时功率（归一化功率）解放军理工大学解放军理工大学32练习：练习： 求下面信号的能量。求下面信号的能量。0)(fXf?2/BAdttxE2)(dffX2)(BAdfABB22/2/2解放军理工大学解放军理工大学33能量谱密度能量谱密度: :单位频率的能量，用单位频率的能量，用G(fG(f) )表示，单位为表示，单位为J/HZ J/HZ 。 对能量谱密度求积分可得总能量：对能量谱密度求积分可

15、得总能量： fdfGE)(dffX2)(2)()(fXfG能量谱密度：能量谱密度：对于实信号，由于 ，故 G fGf 02EG f df *XfXf解放军理工大学解放军理工大学34意义有两个方面意义有两个方面; ;（1 1）有两种方法可求得周期信号的功率；）有两种方法可求得周期信号的功率；nnTTVdttxTP22/2/2000)(1（2 2）一个周期信号的平均功率值等于信号所有谐波分）一个周期信号的平均功率值等于信号所有谐波分量幅度的平方之和，即信号的平均功率等于各个频率量幅度的平方之和，即信号的平均功率等于各个频率分量单独贡献的功率之和。分量单独贡献的功率之和。 tnfjnneVtx02)

16、(解放军理工大学解放军理工大学35功率谱密度：功率谱密度：单位频率的功率，用单位频率的功率，用 表示。表示。 fdfPP)(dfnffVnn02)( fPnnV2周期信号的功率谱密度：周期信号的功率谱密度：nnnffVfP02)(解放军理工大学解放军理工大学36 波形相关波形相关研究波形间的相关程度，用相关函数、归一研究波形间的相关程度，用相关函数、归一化相关函数和相关系数来描述。有互相关和自相关两类。化相关函数和相关系数来描述。有互相关和自相关两类。1 1、互相关函数、互相关函数dttvtvR)()()(2112能量信号能量信号dttvtvTRTT)()(1)(222101200周期功率信号

17、周期功率信号解放军理工大学解放军理工大学37互相关函数的含义：互相关函数的含义：dttvtvR)()()(2112“平移平移相乘相乘积分积分”表示两波形间表示两波形间相关程度相关程度的的参数。参数。若对所有若对所有， R R1212()() =0 =0，则说明信号波形间始终差别则说明信号波形间始终差别很大或极不相似，这种信号很大或极不相似，这种信号称为称为不相关信号不相关信号。若若v v1 1(t)=v(t)=v2 2(t)=v(t(t)=v(t) )，则表，则表示为示为R Rv v() )，是，是v(tv(t) )的的自相自相关函数关函数。0/2v1(t)t0（a）v2(t)t0（b）0R1

18、2()（c）0/20/20/200解放军理工大学解放军理工大学382 2、自相关函数、自相关函数dttvtvR)()()(能量信号能量信号dttvtvTRTT)()(1)(22000周期功率信号周期功率信号特点：特点：（1 1）能量信号：）能量信号： ，功率信号：，功率信号：(0)RE(0)RS（2）(0)( )RR( )()RR（3）（4 4）周期信号的自相关函数是同周期的函数）周期信号的自相关函数是同周期的函数022( )jnfnnRVe解放军理工大学解放军理工大学393、归一化相关函数和相关系数、归一化相关函数和相关系数归一化自相关函数归一化自相关函数)0()(RR归一化互相关函数归一化

19、互相关函数)0()(1212RR互相关系数互相关系数12121122(0)(0)(0)RRRdttvtvR)()()(1111能量信号能量信号解放军理工大学解放军理工大学40例例 两信号如下图所示，求两信号如下图所示，求1 2解：解：022/2/211200)()()()0(TAdtAAdttftfRTT022/2/2111100)()()0(TAdtAdttftfRTT022/2/2222200)()()0(TAdtAdttftfRTT1)0()0()0(22111212RRR解放军理工大学解放军理工大学41例：已知例：已知1020( )sin2,( )sin 2v tAf tv tAf t

20、求求12解：解：02020202211221200022200(0)(0)21(0)sin2sin 2sin 22TTTTRRSARAf tAf tdtTAAf tdtT 1)0()0()0(22111212RRR解放军理工大学解放军理工大学42六、相关函数与谱密度六、相关函数与谱密度 和和 的关系的关系)(fG)(fP( )( )RG fn自相关函数与谱密度是傅立叶变换对：自相关函数与谱密度是傅立叶变换对：n对能量信号：对能量信号：n对功率信号：对功率信号：( )( )RP f解放军理工大学解放军理工大学432、傅氏变换的性质 （1）线性叠加（2）对偶性（3）时移特性 （4）尺度变换 （5）

21、频移特性 1212( )( )( )( )F Ax tBx tAF x tBF x t( ) ( )( )()( ) ( )( )2()X fF x tF X txfXF x tF X tx 020 ()jftF x ttXf e1 (),0fF x atFaaa020 ( )()jf tF x t eX ff2.1.3 2.1.3 非周期信号的频谱函数非周期信号的频谱函数- -傅氏变换傅氏变换 解放军理工大学解放军理工大学442 2、傅氏变换的性质、傅氏变换的性质（6）调制特性 （7）微分特性 （8）积分特性（9）卷积特性0000001 ( )cos2()()2 ( )sin2()()2F

22、x tf tX ffX ffjF x tf tX ffX ff ( )2,()( )nnnnnnd x td X fFjfXfFjtf tdtdf 0122tXFxdXffjf( ( )( )( ) ( )( ( ) ( )( )( )F x ty tX f Y fF x t y tX fY f2.1.3 2.1.3 非周期信号的频谱函数非周期信号的频谱函数- -傅氏变换傅氏变换 解放军理工大学解放军理工大学45解放军理工大学解放军理工大学462.1 信号系统基础 2.3 随机过程的一般表述 2.4 平稳随机过程及其数字特征2.5 高斯噪声 2.6 正弦波加窄带高斯噪声 2.7 随机信号通过线

23、性系统 2.8 周期平稳随机过程 2.9 数理统计简介 解放军理工大学解放军理工大学47课前回顾课前回顾信号分类、典型信号及信号运算；信号分类、典型信号及信号运算；周期信号傅里叶级数指数形式表示式；周期信号傅里叶级数指数形式表示式；非周期信号傅里叶变换与反变换表示式；非周期信号傅里叶变换与反变换表示式；几种典型信号傅里叶变换；几种典型信号傅里叶变换；傅里叶变换的时移特性和频移特性；傅里叶变换的时移特性和频移特性；解放军理工大学解放军理工大学48课前回顾课前回顾0( )* ()?x ttt0( ) ()?x ttt dt傅里叶级数指数表示式？傅里叶级数指数表示式？傅里叶变换表示式？傅里叶变换表示

24、式？ 写出高为写出高为A宽度为宽度为 的矩形脉冲的频谱函数并画示意图。的矩形脉冲的频谱函数并画示意图。0 ()?Ftt时移特性时移特性 020 ()jftF x ttXf e02?jf tF e频移特性频移特性0j2f t0Fx(t)e = X(f - f )0cos(2)?Ff t00220cos(2)2jf tjf teef t解放军理工大学解放军理工大学49n随机事件：随机事件：n在随机试验中，对一次试验在随机试验中，对一次试验可能可能出现也可能不出出现也可能不出现，而在大量重复试验中却具有某种现，而在大量重复试验中却具有某种规律性规律性的的事事件件，称为随机事件。，称为随机事件。lim

25、( ), lim( ), lim( )CABNNNnnnP AP BP CNNNn概率：概率：n事件发生的相对事件发生的相对“频率频率”。解放军理工大学解放军理工大学50n事件积事件积(and)(and)n事件事件A A与与B B同时发生同时发生而构成的事件，记作而构成的事件，记作ABAB。nP(AB)P(AB)n事件和事件和(or)(or)n两事件两事件至少发生至少发生其中之一而构成的事件，记作其中之一而构成的事件，记作A+BA+B。nP(A+B) = P(A) + P(B) P(AB) P(A+B) = P(A) + P(B) P(AB) 解放军理工大学解放军理工大学51n条件概率条件概率

26、n在事件A发生的条件下，事件B发生的概率用P(B|A)表示。即()(|)( )P ABP B AP A(|)( )P B AP B()( ) ( )P ABP A P Bn统计独立统计独立n事件B的发生与事件A无关。解放军理工大学解放军理工大学521. 1. 随机变量的定义随机变量的定义定义：一个变量定义：一个变量X X，它随机地取某些值，而每一可，它随机地取某些值，而每一可能的取值有一个概率。能的取值有一个概率。 如果随机变量如果随机变量X X的取值数有限或可数，称为的取值数有限或可数，称为离离散随机变量散随机变量。如抛硬币的正反面；二进制通信的如抛硬币的正反面；二进制通信的0 0、1 1；

27、四进制通；四进制通信的信的0 0，1 1，2 2，3 3，都是等概出现的随机变量。，都是等概出现的随机变量。解放军理工大学解放军理工大学532 2、概率分布函数，、概率分布函数，( )()F xP Xx0)()(XPF1)()(XPF(1)21xx )()(21xFxF(2)如果 ，则 ，单调不减性质：性质：Cumulative Distribution Function即累积分布函数即累积分布函数(cdf): 解放军理工大学解放军理工大学54例例1 1 设随机变量X有四个可能取值0、1、2、3，每个取值出现的概率相同为1/4，求其概率分布函数并画出曲线。 1/41/23/410123例 1

28、图( )F xx解放军理工大学解放军理工大学553 3、概率密度函数、概率密度函数 (pdf):( )( )/f xdF xdx( )( )xF xf u du0图 概率密度函数x1x2x( )f x12()P xXx( )1f x dx(2)22112112( )( )( )()()()xxxxf x dxf x dxf x dxF xF xP xXx(3)性质：性质：( )0f x (1)Probability Density Function解放军理工大学解放军理工大学56例例2 2 某随机变量X，其概率分布函数如图（a）所示。求其概率密度函数：x0ab1(a)(xF0abx(b)(xf

29、ab 10 ( ) 1 xaxaF xaxbbaxb0 1( ) 0 xaf xaxbbaxb解放军理工大学解放军理工大学57( , )(,)F x yP Xx Yy二维概率分布函数：二维概率分布函数：2( , )( , )F x yf x yx y ( , )( , )xyF x yf u v dudv 二维概率密度函数：二维概率密度函数：( , )0f x y ( , )1f x y dxdy (, )( ,)0FyF x ( , )( )()( ,)( )()FyF yP YyF xF xP Xx ( )( , )( )( , )f xf x y dyf yf x y dx性质性质: :

30、 3 3、概率密度函数、概率密度函数 (pdf):解放军理工大学解放军理工大学58( , )( ) ( )f x yf x f y( , )( ) ( )F x yF x F y统计独立统计独立: : 或或( , )( | ) ( )( | ) ( )f x yf y x f xf x y f y( , )( | ),( )0( )f x yf y xf xf x条件概率密度函数条件概率密度函数 : :( | )( ),( | )( )f y xf yf x yf x独立时：独立时： 3 3、概率密度函数、概率密度函数 (pdf):解放军理工大学解放军理工大学59离散RV数学期望 :1()ni

31、iiE Xx P x()Yg X11 ()( ) ( )nniiiiiiE Yy P yg x P x( )E Xxf x dx ()( ) ( )E g Xg x f x dx()Yg X4 4、随机变量的数字特征、随机变量的数字特征对于函数 :连续RV数学期望 :对于函数 :解放军理工大学解放军理工大学60方差：22() ()( )D XE Xaxaf x dx21()()niiiD XxaP x离散随机变量方差：4 4、随机变量的数字特征、随机变量的数字特征反映随机变量取值的集中程度反映随机变量取值的集中程度222= D XE Xa, 称为标准偏差解放军理工大学解放军理工大学61()()

32、 ( , )XYxayaf x y dxdy (, )()()XYCov X YE XaYaXYE XYa a4 4、随机变量的数字特征、随机变量的数字特征协方差协方差：反映两个不同随机变量取值之间的关系：反映两个不同随机变量取值之间的关系解放军理工大学解放军理工大学62归一化协方差 (相关系数):(, )XYCov X Y 1性质 : 若X、Y的相关系数为0，则称X与Y是线性不相关的 统计独立必不相关，反之未必4 4、随机变量的数字特征、随机变量的数字特征22()()() () XYXYE XaYaE XaE Ya解放军理工大学解放军理工大学63abxf1)(0abx)(xfab 1x x在

33、（在（a,b)a,b)均匀分布均匀分布解放军理工大学解放军理工大学64n随机变量X服从指数分布：0,0;( )(0),0 xxf xex1E X21D X解放军理工大学解放军理工大学65222)(21)(axexfx0a12 a2为数学期望；为方差。解放军理工大学解放军理工大学662)(exp21)(22axxfx0a21( )f xxa()()f axf ax（1）对称于，即( )f xxa12x ( )0f x （2）在处取得最大值，当( )1f x dx1( )( )2aaf x dxf x dx（3），且有a（4） 表示随机变量取值的分布中心，表示取值集中程度。 00(a) 不变图2-

34、19(b) 不变解放军理工大学解放军理工大学67课后作业220/4tt edtnP58P58：1313、1414、1818|bbbaaaudvuvvdu独立表示取值互不依赖、没有关系，而显然题中彼此取独立表示取值互不依赖、没有关系，而显然题中彼此取值是相互依赖的；或证：值是相互依赖的；或证：( , )(,)() ()F x yP Xx YyP Xx P Yy如取如取可证。可证。2 /2xy解放军理工大学解放军理工大学68解放军理工大学解放军理工大学69解放军理工大学解放军理工大学70课前回顾课前回顾随机变量统计独立的充要条件；随机变量统计独立的充要条件；离散与连续随机变量的数学期望；离散与连续

35、随机变量的数学期望；离散与连续随机变量的方差；离散与连续随机变量的方差；两个随机变量的协方差及相关系数；两个随机变量的协方差及相关系数；统计独立与相关的关系；统计独立与相关的关系；随机变量的随机变量的cdf与与pdf；解放军理工大学解放军理工大学71 通信中传输 的 信号信号 是 不可预测的 ，或者说带有某种随机性随机性 ； 干扰 信号 的 噪声噪声 更是 不可预测的 。 这些 不可预测不可预测 的 信号 和 噪声 都是 随机过程随机过程 。2.3 随机过程的一般表述解放军理工大学解放军理工大学72 例子：设有 n n 台性能完全相同的接收机。在相同的工作环境和测试条件下记录各台接收机的输出噪

36、声波形，测试结果表明，n n 条曲线中找不到两个完全相同的波形。这就是说，接收机输出的噪声电压随时间的变化是不可预知的，因而它是一个随机过程。 解放军理工大学解放军理工大学73(2)(2)随机过程是随时间改变而不断出现的随机变量的集合。随机过程是随时间改变而不断出现的随机变量的集合。(1) (1) 随机过程是以某一概率出现的样本函数的集合。随机过程是以某一概率出现的样本函数的集合。 随机随机过程过程 (t) 的的 基本特征基本特征 体现在两个方面：体现在两个方面：其一，它是一个随机的其一，它是一个随机的 时间函时间函数数；其二，在固定某一观察时；其二，在固定某一观察时刻刻 t1 上，上，全体样

37、本在全体样本在 t1 时刻的时刻的取值取值 是是 一个一个随机变量随机变量。 p (t) =1 (t), 2 (t), , n (t) (t1)是随机变量。是随机变量。随机过程定义：随机过程定义：解放军理工大学解放军理工大学740若若 是一个离散随机变量，且只取是一个离散随机变量，且只取 和和 两个值，两个值，则此随机过程样本函数为有限个，即只有两个样本函数则此随机过程样本函数为有限个，即只有两个样本函数 。( )sin(2)cS tAf t,cAf02( )S t如信号如信号 ， 为常数，为常数， 是一个是一个随机变量，它在随机变量，它在 范围内均匀分布，称这种信范围内均匀分布，称这种信号为

38、随相信号。显然，号为随相信号。显然， 是一个随机过程。是一个随机过程。解放军理工大学解放军理工大学75 设(t) 表示 一 随机过程，则它在任意时刻 t1的值(t1) 是一个随机变量。11111;()PtxF x t 一维分布函数：一维分布函数：1111111(; )(; )Fxf xx tt 一维概率密度函数：一维概率密度函数：解放军理工大学解放军理工大学76 任给 两个时刻 t1, t2 ，则 随机变量(t1) 和(t2)构成 一个 二元二元 随机变量随机变量 ，则 121221212(,; ,)( ), ()PtxtxFxxt t 二维分布函数二维分布函数 ：2212121221122(

39、,; ,(; ,),)F x x tfx x t ttxx 二维概率密度函数：二维概率密度函数： 解放军理工大学解放军理工大学77 同理，可定义(t) 的 n 维分布函数维分布函数 和 n 维概率密维概率密度函数度函数 ：1212121212(,.; ,.,)(,.,; ,.,).nnnnnnnFx xt ttfx xxt ttxxx 显显然，然，n 越大，对随机过程统计特性的描述就越越大，对随机过程统计特性的描述就越充分。充分。但问题的复杂性也随之增加。但问题的复杂性也随之增加。 在在 一般实际问一般实际问题题 中，中， 掌握掌握 二维分布函数二维分布函数 就已经就已经足够了。足够了。 12

40、1211(,.,; ,.,) ( ), ()nnnnnFx xxt ttPtxtx 解放军理工大学解放军理工大学781. 数学期望：数学期望：1( )( ; )( )Etxfx t dxa t1111111()(;)()Etx fxtdxa t由于由于t t1 1是任取的，所以可以把是任取的，所以可以把 t t1 1 直接写为直接写为t t， x x1 1改为改为x x，a(t) 是时间是时间 t 的函数，它的函数，它 表示表示 随机过程随机过程 样本函数样本函数 曲线曲线 的的 摆动中心摆动中心 。 a (t )解放军理工大学解放军理工大学792. 方 差： D(t) 常记为 2(t) 。它

41、 刻画了 随机过程 在时刻 t 对于均值 a(t) 的 偏离程度偏离程度 。22( )( )( ) ( )DtEta tt 均值和方差 描述了 随机过程 在 的特征，为 描述 随机过程 状态之间的联系，还需 利用 二维概率密度二维概率密度 引入 新的数字特征 .解放军理工大学解放军理工大学803. 相关函数： 衡量 随机过程 获得的 随机变量之间 的 关联程度关联程度 时 ，常用 相关函数相关函数 R (t1 , t2) 来表示。相关函数相关函数 定义为 :1212122121212(,)() ()(,;,)R ttEttx x fxxttdx dx 解放军理工大学解放军理工大学812.4 2

42、.4 平稳随机过程及其数字特征平稳随机过程及其数字特征n如果对于任意的正整数n和任意实数t1，t2，tn，t，随机过程(t)的n维概率密度函数满足1212( ,; , ,)nnnfx xx t tt1212(,;,)nnnfxxxtt tttt 则称(t)严格意义下的平稳随机过程严格意义下的平稳随机过程，简称简称 严平稳随机过程严平稳随机过程 。统计特性平稳，不随时间改变。 统计特性统计特性与起与起 始时始时间无关间无关一、严格平稳随机过程一、严格平稳随机过程解放军理工大学解放军理工大学82一、严格平稳随机过程一、严格平稳随机过程 12121212( ,.,; , ,. )( ,.,;,.)n

43、nnnnnfx xx t ttfx xx tt tttt111( ; )( ;)( )f x tf x ttf x2121221212212(,; ,)(,;,)(,; )fx x t tfx x tt ttfx x1 ( )( )Etxf x dxa1221212( ,) ( ) ()(,; )( )R t tEttx x fx xdx dxR 从而：从而：故：故：一维分布与时间无关，二维只与时间差有关。一维分布与时间无关，二维只与时间差有关。2.4 2.4 平稳随机过程及其数字特征平稳随机过程及其数字特征解放军理工大学解放军理工大学83 如果一个随机过程(t) ，它的 数学期望为常数，自相

44、关函数仅是的函数，则称它为 广义平稳随机过程广义平稳随机过程 。2.4 2.4 平稳随机过程及其数字特征平稳随机过程及其数字特征n在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数均可视为平稳的随机过程。二、广义平稳随机过程二、广义平稳随机过程 ( )Eta( ,)( )R t tR解放军理工大学解放军理工大学84 假设 x(t) 是 平稳随机过程(t) 的任意一个实现（样本），它的 时间均值时间均值 和 时间相关函数时间相关函数 分别为： 221TTTax tx t dtT/( )lim( ) 221TTTRx t x tx t x tdtT/( )( ) ()lim( ) () 三、各态历经性三、各态

45、历经性如果 平稳 随机过程 使 下式成立 aa RR( )( ) 则称 该 平稳 随机过程 具有 各态历经性（遍历性）各态历经性（遍历性）。2.4 平稳随机过程及其数字特征解放军理工大学解放军理工大学85 “各态历经”的含义含义：随机过程中任一实现（样本）都经历了随机过程的所有可能状态。 因此，只需从任意从任意一个随机过程的样本函数中就一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征可获得它的所有的数字特征，从而使“统计平均统计平均”化为“时间平均时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。 注意：具有各态历经性的随机过程必定是平稳随具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程机过程，但平稳随

46、机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。2.4 平稳随机过程及其数字特征三、各态历经性三、各态历经性解放军理工大学解放军理工大学86( )0E X t2( ,)cos2AR t t所以，该过程满足平稳性条件，并具备各态历经性。所以，该过程满足平稳性条件，并具备各态历经性。2211limcos()0TTTaAtdtT2221( )lim( ) ()cos2TTTARx t x tdtT例题：例题： 讨论随机过程讨论随机过程X(t)=Acos(t+X(t)=Acos(t+) ) 的各态历经性。式的各态历经性。式中振幅中振幅A A为常量，初相为常量，初

47、相为在（为在（0 0，2 2 ）均匀分布的随机）均匀分布的随机变量。变量。平稳平稳RPRP2.4 平稳随机过程及其数字特征三、各态历经性三、各态历经性解放军理工大学解放军理工大学872.4 平稳随机过程及其数字特征(1)(1)( )()RR|( )|(0)RR2(0)( )REtS22( ) ( ) () ( )REttEta 22222 ( )( )(0)EtaEtaRa四、自相关函数性质四、自相关函数性质(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5) ( (t t) )的平均功率的平均功率 ( (t t) )的直流功率的直流功率 ( (t t) )的交流功率的交流功率解放军理工大学解放军

48、理工大学882.4 平稳随机过程及其数字特征n定义：确定（知）功率信号定义：确定（知）功率信号f f(t(t) )，其功率谱密度，其功率谱密度P P( (f f) )定义为定义为2( )( )limTTFfP fT四、功率谱密度四、功率谱密度功率在频率上的分布情况：功率在频率上的分布情况：( )SP f df解放军理工大学解放军理工大学892.4 平稳随机过程及其数字特征2( ) ( )limTTEfPfT随机过程的功率谱密度应看作是对所有样本的功率谱的统随机过程的功率谱密度应看作是对所有样本的功率谱的统计平均，故计平均，故 ( (t t) )的功率谱密度可以定义为：的功率谱密度可以定义为：四

49、、功率谱密度四、功率谱密度n (t)(t)的平均功率的平均功率()SPfdf解放军理工大学解放军理工大学902.4 平稳随机过程及其数字特征平稳随机过程的维纳辛钦定理平稳随机过程的维纳辛钦定理四、功率谱密度四、功率谱密度2( )( )jfPfRed 2( )( )jfRPf edf ( )0Pf( )()PfPf性质：性质：)0()(RdffPS对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的平均功率：对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的平均功率：解放军理工大学解放军理工大学912.4 平稳随机过程及其数字特征四、功率谱密度四、功率谱密度例例 随机过程随机过程 ，A A为常数，为常数，初相初相在（在（0

50、0，2 2 ）均匀分布。）均匀分布。其自相关函数为其自相关函数为 ，求此，求此随机过程的随机过程的psdpsd及其平均功率。及其平均功率。)2cos()(tfAtXc2A( )cos22cRf解放军理工大学解放军理工大学92课后作业nP59P59：1919、2020、2424解放军理工大学解放军理工大学93解放军理工大学解放军理工大学94课前回顾课前回顾n随机过程n平稳随机过程n平稳随机过程的各态历经性n平稳RP自相关函数n平稳RP的功率谱密度解放军理工大学解放军理工大学95 高斯过程高斯过程是通信领域中最重要的一种过是通信领域中最重要的一种过程，例如通信中的噪声（程，例如通信中的噪声（天体辐

51、射等引起的天体辐射等引起的宇宙噪声以及通信设备内部电路产生的热噪宇宙噪声以及通信设备内部电路产生的热噪声和散弹噪声等声和散弹噪声等）, ,其其瞬时值通常服从高斯瞬时值通常服从高斯分布，分布，是一种高斯过程。是一种高斯过程。2.5 高斯噪声(随机过程)解放军理工大学解放军理工大学962.5.1 高斯随机过程定义：任意定义：任意n n维分布服从高斯（正态）分布的过程维分布服从高斯（正态）分布的过程1212/21/21112(,.,;, ,.,)11exp|2|(2 )|nnnnnjjkkjknjkjknfx xxt ttxaxa 1212121211|1nnnn ( )kkaEt22 ( )kkk

52、Eta( )kt|式中, , 分别是RV 的数学期望和方差。 是归一化协方差（相关系数）矩阵的行列式( ( )( ( )jjkkjkjkEtata 其中： 解放军理工大学解放军理工大学971 1） 高斯随机过程如果是高斯随机过程如果是广义平稳广义平稳的，则也是的，则也是严平稳严平稳的。的。 ( (广义平稳广义平稳严平稳严平稳) )2 2） 高斯随机过程高斯随机过程在任意两个时刻的取值在任意两个时刻的取值如果是如果是不相不相关关的，则也是统计的，则也是统计独立独立的。的。( (不相关不相关独立独立) )3 3） 若随机过程任意时刻取值为高斯随机变量，则为若随机过程任意时刻取值为高斯随机变量，则为

53、高斯随机过程高斯随机过程4 4） 高斯过程经过线性变换后的过程仍是高斯型。高斯过程经过线性变换后的过程仍是高斯型。解放军理工大学解放军理工大学98高斯过程 在 任一时刻 上 的 样值样值 是一个 一维一维 高斯随高斯随机变量机变量 ，其 一维概率密度函数一维概率密度函数 可表示为：22122()( )expxaf x 式中，a 为 高斯随机变量 的 数学期望数学期望，2 为 方差方差 。一维一维pdfpdf: :f (x)12Oax解放军理工大学解放军理工大学9922122()( )()expxzaF xP Xxdz 这个积分 难于计算难于计算 ，我们要 设法 把 这个积分式 化成可在数学手册

54、上查出积分值的 特殊函数特殊函数. 一般 常用 Q函数 和 互补误差函数 ：一维一维cdfcdf: :解放军理工大学解放军理工大学100(),( )1(),axQxaF xxaQxa0axx21)(xfx0 xa x21)(xfQ 函数：函数：22102/( ),txQ xedtx Q函数的性质：1002( ),( )QQ 解放军理工大学解放军理工大学10111(),22( )1(),22xaerfcxaF xaxerfcxa从而从而2x 工程上只要，即可近似有工程上只要，即可近似有互补误差函数互补误差函数 ：22( )txerfc xedt 互补误差函数的性质：010( ),( )erfce

55、rfc 21xerfc xex() 122xQ xerfc( ) 22( )erfc xQx 解放军理工大学解放军理工大学102 窄带随机过程窄带随机过程:随机过程的谱密度集中在中心频率 f c附近相对窄的频带范围f 内，且满足f f c ，并远离 零频率，则称 该 随机过程 为窄带随机过程。f0（a）功率谱cfcff解放军理工大学解放军理工大学103（b）时间波形缓慢变化的包络缓慢变化的包络( )a t频率近似为频率近似为cff0（a）功率谱cfcff 实际中，大多数通信系统都是窄带型的，通过窄带系统的通过窄带系统的噪声必是窄带随机过程噪声必是窄带随机过程。如用示波器观察其波形，它是一个频率

56、近似为 f f c c 、包络和相位随机缓变的正弦波。 窄带随机过程窄带随机过程:解放军理工大学解放军理工大学104窄带高斯噪声：窄带高斯噪声：这里，只讨论零均值平稳高斯窄带过程，即这里，只讨论零均值平稳高斯窄带过程，即：( )( )cos( ),( )0cta ttta t随机包络包络函数随机相位相位函数慢速变化窄带随机过程的窄带随机过程的瞬时取值服从高斯分布瞬时取值服从高斯分布。0 ( )Et 2 ( )Dt ( ,)( )R t tR数学表示式：数学表示式：解放军理工大学解放军理工大学105包络包络 的瞬时取值服从瑞利分布的瞬时取值服从瑞利分布 222()exp , 02aaf a a(

57、)1/2 , 02f(,)() ()f af af( )a t)(t相位相位 的瞬时取值服从均匀分布的瞬时取值服从均匀分布且二者的瞬时取值是统计独立的，即且二者的瞬时取值是统计独立的，即零均值平稳高斯窄带过程：零均值平稳高斯窄带过程：瑞利分布曲线 0()f aa1e解放军理工大学解放军理工大学106零均值平稳高斯窄带过程：零均值平稳高斯窄带过程：( )cos( )sinccsctttt( )( )sin( )sta tt正交分量正交分量( )( )cos( )cta tt同相分量同相分量(1) (1) C C(t(t) )和和 S S(t(t) )同样是同样是平稳高斯随机过程平稳高斯随机过程，

58、(2) (2) 而且而且均值均值都为零，都为零，方差方差也相同，且等于也相同，且等于 (t)(t)的方差。的方差。(3) (3) 在同一时刻上得到的在同一时刻上得到的 C C、 S S是统计是统计独立独立的。的。( )( )cos( )cta ttt解放军理工大学解放军理工大学107Psd:00( ),2( )nPfPfn双边功率谱单边功率谱，0( )( )2nR (c) 自相关函数)(R2/0n自相关函数：自相关函数：n功率谱密度在整个频域内都是功率谱密度在整个频域内都是均匀分布均匀分布的噪声。的噪声。(a) 双边功率谱双边功率谱2/0nf( )Pf(b) (b) 单边功率谱单边功率谱0nf

59、( )Pf解放军理工大学解放军理工大学108 白噪声中白噪声中“白白”的含义与光学中的的含义与光学中的“白白”相同，白光指相同，白光指 在在电磁辐射可见范围电磁辐射可见范围内所有频率分量的数值都内所有频率分量的数值都相等相等。 实际中，元器件热噪声频率范围为实际中，元器件热噪声频率范围为 0 1012 Hz，功率谱密度，功率谱密度在在该频带内该频带内基本均匀分布，近似为白噪声。基本均匀分布，近似为白噪声。 真正真正“白白”的噪声是的噪声是不存在不存在的，它只是构造的一种理的，它只是构造的一种理 想化的噪声形式。想化的噪声形式。 实际系统中，只要噪声的实际系统中，只要噪声的 功率谱功率谱 均匀分

60、布均匀分布 的的 频率频率 范围范围 远远大于远远大于 通信系统通信系统 的的 工作频带工作频带，就可以把它，就可以把它 视为视为 白噪声。白噪声。解放军理工大学解放军理工大学109Psd:02( )0n fBPf fB(a) 功率谱BB0( )P f2/0nf0(b) 自相关函数( )RBn0B21B21B22B22B23B23200( )(2)2BjfBnRedfn BSaB 自相关函数：自相关函数：n功率谱在（功率谱在（- -B B, ,B B）之内）之内均匀分布均匀分布的噪声。的噪声。白噪声通过理想白噪声通过理想低通滤波器低通滤波器或理想或理想低通信道低通信道. .解放军理工大学解放军