高数微积分多元函数微积分

1、第六章总结：第六章总结：6.2 多元函数的根本概念一、平面区域的概念二、二元函数概念 三、二元函数的极限 四、二元函数的连续性 注： 设P0(x0 y0)是xOy平面上的一个点 是某一正数 点P0的邻域记为U(P0 ) 它是如下点集 v邻域 | |),(00PPPPU 或 )()( | ) ,(),(20200yyxxyxPU 点 P0的去心邻域 记作) ,(0PU 即 |0 |) ,(00PPPPU 如果不需要强调邻域的半径 则用U(P0)表示点P0的某个邻域 点P0的某个去心邻域记作 )(0PU下页下页 任意一点PR2与任意一个点集ER2之间必有以下三种关系中的一种 v点与点集之间的关系

2、内点 如果存在点P的某一邻域U(P) 使得U(P)E 那么称P为E的内点 外点 如果存在点P的某个邻域U(P) 使得U(P)E 那么称P为E的外点 边界点 如果点P的任一邻域内既有属于E的点 也有不属于E的点 那么称P点为E的边点边界点内点外点 E的边界点的全体 称为E的边界 记作E v开集 v 如果点集E的点都是内点, 那么称E为开集. 下页v闭集v 如果点集的余集Ec为开集 那么称E为闭集 举例 点集E(x y)|1x2y20 函数zarcsin(x2y2)的定义域为 (x y)|x2y21 举例 下页222222yxazyxaz和 zaxbycv二元函数的图形 点集(x y z)|zf(

3、x y) (x y)D称为二元函数zf(x y)的图形 二元函数的图形是一张曲面 zaxbyc表示一张平面 举例 方程x2y2z2a2确定两个二元函数分别表示上半球面和下半球面 其定义域均为D(x y)|x2y2a2首页 二重极限概念可以推广到多元函数的极限 三、多元函数的极限v二重极限的定义 设 二 元 函 数 f ( P ) f ( x y )Ayxfyxyx),(lim),(),(00 或 f(x y)A (x y)(x0 y0) APfPP)(lim0或 f(P)A(PP0) 也记作 下页下页 例 设22221sin)(),(yxyxyxf 求),(lim)0 , 0(),(yxfyx

4、),(lim)0 , 0(),(yxfyx=0v必须注意v (1)二重极限存在, 是指P以任何方式趋于P0时, 函数都无限接近于A . v (2)如果当P以两种不同方式趋于P0时, 函数趋于不同的值, 那么函数的极限不存在. 提示讨论 下页 函数0 00 ),(222222yxyxyxxyyxf在点(0 0)有无极限？ 四、多元函数的连续性0000( , )(,)lim( , )(,)x yx yf x yf xyv二元函数连续性定义 二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去 下页2( , )(0,1)limln()1x yyyxx性质1(有界性与最大值最小值定理) 在有界闭区域

5、D上的多元连续函数 必定在D上有界 且能取得它的最大值和最小值v多元连续函数的性质 性质2(介值定理) 在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值 结束一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数上页下页铃结束返回首页 类似地 可定义函数zf(x y)在点(x0 y0)处对y的偏导数v偏导数的定义 设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某一邻域内有定义 假设极限xyxfyxxfx),(),(lim00000 存在 那么称此极限为函数zf(x y)在点(x0 y0)处对x的偏导数 记作 00yyxxxz 00yyxxxf 00yyxxxz 或 fx(x0 y0) 一、偏导数

6、的定义及其计算法v偏导数的定义 xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000 v偏导数的符号 00yyxxxz 00yyxxxf 00yyxxxz ),(00yxfx 如果函数zf(x y)在区域D内每一点(x y)处对x的偏导数都存在 那么f(x y)对x的偏导数是x、y的函数 这个函数称为函数zf(x y)对x的偏导函数(简称偏导数) 记作xz xf xz 或),(yxfx v偏导函数一、偏导数的定义及其计算法v偏导数的定义 xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000 v偏导数的符号 00yyxxxz 00yyxxxf 00yyxxxz ),(00

7、yxfx xz xf xz 或),(yxfx v偏导函数xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0 v偏导函数的符号 v偏导数的求法 求函数对一个自变量的偏导数时 只要把其它自变量看作常数 然后按一元函数求导法求导即可 xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000 v偏导函数xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0 yxxz32 例 求zx23xyy2在点(1 2)处的偏导数 解 8231221yxxz8231221yxxz 7221321yxyz8231221yxxz 7221321yxyz yxxz32 yxxz32 yxyz23 yxyz23 x

8、yxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000 v偏导函数xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0 解 例例 4 求222zyxr的偏导数 解 rxzyxxxr222解 rxzyxxxr222rxzyxxxr222 ryzyxyyr222 ryzyxyyr222ryzyxyyr222 例 求zx2sin2y的偏导数 解 yxxz2sin2yxxz2sin2 yxyz2cos22yxxz2sin2 yxyz2cos22 证证 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成立原结论成立).0, 0()

9、,0, 0(,),(,yxffxyyxfz求求设设例如例如 有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：. . .求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；解解xxfxx0|0|lim)0 , 0(0 0 ).0 , 0(yf 3. 偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续， 对于多元函数来说对于多元函数来说, , 即使各偏导数在某点都存即使各偏导数在某点都存在在, ,也不能保证函数在该点连续也不能保证函

10、数在该点连续. . . 0 0, 0 ),(222222yxyxyxxyyxf 但函数在点(0 0)并不连续在点(0 0) 有fx(0 0)0 fy(0 0)0 提示： 当点P(x y)沿直线ykx趋于点(0 0)时 有 22222022 )0 , 0(),(1limlimkkxkxkxyxxyxkxyyx 因此 函数f(x y)在(0 0)的极限不存在 当然也不连续 v偏导数的几何意义 fx(x0 y0) f(x y0)x0 fy(x0 y0) f(x0 y)y0 zf(x y0) zf(x0 y) 是截线zf(x y0)在点(x0 y0)处的切线Tx对x轴的斜率 是截线zf(x0 y)在点

11、(x0 y0)处的切线Ty对y轴的斜率 v偏导数的几何意义 fx(x0 y0) f(x y0)x0 fy(x0 y0) f(x0 y)y0 是截线zf(x y0)在点(x0 y0)处的切线Tx对x轴的斜率 是截线zf(x0 y)在点(x0 y0)处的切线Ty对y轴的斜率 ( , ),Q P y设某产品的需求量设某产品的需求量v偏导数的经济意义其中其中P为该产品的价格，为该产品的价格，为消费者收入。称为消费者收入。称yPQ PEP Q 需求需求Q对价格对价格P的偏弹性的偏弹性yQ yEy Q 需求需求Q对收入对收入y的偏弹性的偏弹性v偏导数的经济意义1( , ),0,01,aap x ycx y

12、ca科布科布-道格拉斯生产函数道格拉斯生产函数其中其中p是由是由y,ppxy用品的成本）。偏导数用品的成本）。偏导数分别称为人力的边际生产力和资本的边际生产力。分别称为人力的边际生产力和资本的边际生产力。x个人力单位和个人力单位和个资本单位生产出个资本单位生产出的产品数量（资本是机器、场地、生产工具和其它的产品数量（资本是机器、场地、生产工具和其它v二阶偏导数 如果函数zf(x, y)的偏导数fx(x, y)、fy(x, y)也具有偏导数, 那么它们的偏导数称为函数zf(x, y)的二阶偏导数. 函数zf(x, y)的二阶偏导数有四个:其中fxy(x y)、fyx(x y)称为混合偏导数 类似

13、地可定义三阶、四阶以及n阶偏导数),()(22yxfxzxzxxx ),()(2yxfxyzyzxyx ),()(22yxfxzxzxxx ),()(2yxfyxzxzyxy ),()(2yxfxyzyzxyx ),()(22yxfyzyzyyy 解 22)(xzxzx yxzxzy2)( xyzyzx2)( 22)(yzyzy 此例中两个混合偏导数是相等的 解 yyyxxz32233 解 yyyxxz32233 xxyyxyz2392 xxyyxyz2392 2226xyxz196222yyxyxz2226xyxz 2226xyxz 2336yxz2336yxz 196222yyxyxz 1

14、96222yyxyxz 196222yyxxyz196222yyxxyz 例 设 zx3y23xy3xy1 求22xz、33xz、xyz2和yxz2 定理 如果二阶混合偏导数xyz2及yxz2在区域 D 内连续 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等 定理 解 22)(xzxzx yxzxzy2)( xyzyzx2)( 22)(yzyzy 解 yyyxxz32233 解 yyyxxz32233 xxyyxyz2392 xxyyxyz2392 2226xyxz196222yyxyxz2226xyxz 2226xyxz 2336yxz2336yxz 196222yyxyxz 196222yyxy

15、xz 196222yyxxyz196222yyxxyz 例 设 zx3y23xy3xy1 求22xz、33xz、xyz2和yxz2 证 证 因为)ln(21ln2222yxyxz 所以 22yxxxz222222222222)()(2)(yxxyyxxxyxxz222222222222)()(2)(yxyxyxyyyxyz因此 )ln(21ln2222yxyxz 所以 22yxxxz 22yxyyz 22yxyyz 222222222222)()(2)(yxxyyxxxyxxz222222222222)()(2)(yxxyyxxxyxxz 222222222222)()(2)(yxyxyxyy

16、yxyz222222222222)()(2)(yxyxyxyyyxyz 0)()(22222222222222yxxyyxyxyzxz0)()(22222222222222yxxyyxyxyzxz0)()(22222222222222yxxyyxyxyzxz 例 例 7 验证函数22lnyxz满足方程02222yzxz 同理 5232231ryryu 5232231rzrzu 32211rxrxrxrrxu 证 例例 8 证明函数ru1满足方程0222222zuyuxu 其中222zyxr 52343223131rxrxrrxrxu52343223131rxrxrrxrxu5234322313

17、1rxrxrrxrxu 提示 6236333223)()(rxrrxrrrxxrrxxxu6236333223)()(rxrrxrrrxxrrxxxu6236333223)()(rxrrxrrrxxrrxxxu 32211rxrxrxrrxu32211rxrxrxrrxu32211rxrxrxrrxu 因此 )31()31()31(523523523222222rzrryrrxrzuyuxu033)( 3352352223rrrrzyxr)31()31()31(523523523222222rzrryrrxrzuyuxu 033)( 3352352223rrrrzyxr 同理 5232231r

18、yryu 5232231rzrzu 32211rxrxrxrrxu 证 例例 8 证明函数ru1满足方程0222222zuyuxu 其中222zyxr 52343223131rxrxrrxrxu52343223131rxrxrrxrxu52343223131rxrxrrxrxu 32211rxrxrxrrxu32211rxrxrxrrxu32211rxrxrxrrxu 一、全微分的定义二、全微分在近似计算中的应用6.4 全微分上页下页铃结束返回首页应用 一元函数 y = f (x) 的微分)( xoxAyxxfy)(d近似计算估计误差),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(y

19、xfyyxf yyxfy ),( 二二元元函函数数 对对 x 和和对对 y 的的偏偏微微分分 (partial differential) 二元函数二元函数 对对 x 和对和对 y 的的偏增量偏增量(partial increment) 由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得一、全微分perfect differential) 如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yx的的某某邻邻域域内内有有定定义义，并并设设),(yyxxP 为为这这邻邻域域内内的的任任意意一一点点，则则称称这这两两点点的的函函数数值值之之差差 ),(),(yxfyyxxf 为为函函

20、数数在在点点 P对对应应于于自自变变量量增增量量yx ,的的全全增增量量，记记为为z ， 即即 z =),(),(yxfyyxxf 全增量全增量(perfect increment)的概念的概念v全微分的定义其中A、B不依赖于x、y而仅与x、y有关, 那么称函数zf(x, y)在点(x, y)可微分, 而AxBy称为函数zf(x, y)在点(x, y)的全微分, 记作dz, 即 dzAxBy. 如果函数在区域D内各点处都可微分 那么称这函数在D内可微分 下页 如果函数zf(x y)在点(x y)的全增量 zf(xx yy)f(x y) 可表示为) )()( )(22yxoyBxAz v可微分与

21、连续 偏导数存在不一定连续 但可微分必连续 这是因为, 如果z=f(x, y)在点(x, y)可微, 那么 zf(xx yy)f(x y)AxByo()因此函数zf(x y)在点(x y)处连续 下页0lim0z 于是),(),(lim),(lim0)0 , 0(),(yxfzyxfyyxxfyx从而),(),(lim),(lim0)0 , 0(),(yxfzyxfyyxxfyx),(),(lim),(lim0)0 , 0(),(yxfzyxfyyxxfyx v可微分的必要条件v应注意的问题下页v可微分与连续 偏导数存在不一定连续 但可微分必连续 如果函数zf(x y)在点(x y)可微分 则

22、函数在该点的偏导 数xz、yz必定存在 且函数 zf(x y)在点(x y)的全微分为 yyzxxzdz 偏导数存在是可微分的必要条件 但不是充分条件 v可微分的充分条件 以上结论可推广到三元及三元以上函数 下页v可微分的必要条件v可微分与连续 偏导数存在不一定连续 但可微分必连续 如果函数zf(x y)在点(x y)可微分 则函数在该点的偏导 数xz、yz必定存在 且函数 zf(x y)在点(x y)的全微分为 yyzxxzdz 则函数在该点可微分 如果函数 zf(x y)的偏导数xz、yz在点(x y)连续 v叠加原理 按着习惯 x、y分别记作dx、dy 并分别称为自变量的微分 这样函数z

23、f(x y)的全微分可写作 二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理 叠加原理也适用于二元以上的函数 例如uf(x y z)的全微分为下页dyyzdxxzdz dzzudyyudxxudu 例1 计算函数zx2yy2的全微分 解 所以 例2 计算函数zexy在点(2 1)处的全微分 解 所以 dz2xydx(x22y)dy dze2dx2e2dy 下页设 zf(x y) 则dyyzdxxzdz xyxz2 yxyz22 因为 因为 xyyexz xyxeyz 212exzyx 212exzyx 2122eyzyx 解解),2sin(yxyxz ),2sin(2

24、)2cos(yxyyxyz (,)4(,)(,)44dddzzzxyxy 2(47).8设 zf(x y) 则dyyzdxxzdz 解 首页 设 uf (x y z) 则dzzudyyudxxudu 例3 例 3 计算函数yzeyxu2sin的全微分 1xu 因为 1xu yzzeyyu2cos21 yzyezu dzyedyzeydxduyzyz)2cos21( 所以zfyfxffzyyd)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(设,coscoscos1coscoscos),(zyxxzzyyxzyxf.d)0 , 0 , 0(f求解: x

25、xxfcos3)0 , 0 ,()0cos3)0 , 0 , 0(xxxfx41类似 可得41)0 , 0 , 0()0 , 0 , 0(zyff)dd(d41zyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 二 、全微分在近似计算中的应用下页 当函数zf(x y)在点(x0 y0)处可微，那么函数L (x, y) f (x0, y0) +fx (x0, y0) (x-x0)fy(x y) (y - y0) 就称为函数zf(x, y)在点(x0, y0)处的线性化. 近似式 f(x y) L (x, y) 称为函数zf(x, y)在点(x0, y0)处的标准线性近似 例 求函数221( , )62f

26、x yxxyy在点(3,2)处的线性化. 当函数zf(x, y)在点(x, y)的两个偏导数fx(x, y), fy(x, y)连续, 并且|x|, |y|都较小时, 有近似等式 zdzfx(x, y)xfy(x, y)y , 即 f(xx, yy)f(x, y)fx(x, y)xfy(x, y)y . 我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算. 例4 有一圆柱体, 受压后发生形变, 它的半径由20cm增大到20. 05cm, 高度由100cu减少到99cm. 求此圆柱体体积变化的近似值. 解 设圆柱体的半径、高和体积依次为r、h和V, 那么有 V r2h. 即此圆柱体在受压后体积约减少了

27、200 cm3 220100005202(1) VdV 2rhrr2h 200 (cm3) VrrVhh 下页 f(xx yy)f(x y)fx(x y)xfy(x y)y zdzfx(x y)xfy(x y)y r20, h100, r0. 05, h1, 根据近似公式 有 例5 计算(104)202的近似值 (104)202 所以 x yyx y1xx yln x y f(xx yy) f(x y)fx(x y)xfy(x y)y108 12212100412ln1002 解 设函数 f(x y)x y 显然 要计算的值就是函数在 x104 y202时的函数值f(104 202) 结束 f

28、(xx yy)f(x y)fx(x y)xfy(x y)y zdzfx(x y)xfy(x y)y 因为 取x1 y2 x004 y002 练练 习习 题题练习题答案练习题答案第五节、第五节、复合函数微分法与隐函数微分法 设 zf(u v) 而 u(t) v(t) 如何求dtdz？ 设 zf(u v) 而 u(x y) v(x y) 如何求xz和yz？ 一元复合函数)(),(xuufy求导法那么xuuyxyddddddxxufuufyd)()(d)(d微分法那么)(),(ttfz一、多元复合函数求导的链式法那一、多元复合函数求导的链式法那么么定理定理. 假设函假设函数数,)(, )(可导在点t

29、tvtu),(vufz 处偏导连续, ),(vu在点在点 t 可导, tvvztuuztzddddddz那么复合函数且有链式法那么vutt例如例如, ),(wvufz tzdd321fffzwvuttuuzddtvvzddtwwzdd)(, )(, )(twtvtu上述定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上述定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdz 如果如果),(yxu 及及),(yxv 都在点都在点),(yx具有对具有对x和和y的偏导数，且函数的偏导数，且函数),(vufz 在对应在对应点点),(vu具有连续偏导数，则复合函数具有连续偏

30、导数，则复合函数),(),(yxyxfz 在对应点在对应点),(yx的两个偏的两个偏导数存在，且可用下列公式计算导数存在，且可用下列公式计算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .定理定理2uvxzy链式法那么如图链式法那么如图示示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv zwvuyxzx zy zuu x zvvx zwwxzuuy zvvy zwwyxvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 设zf(u v) u(x y) v(x y) 那么例 1 设 zeusin v uxy vxy 求xz和yz 例例. 解 xvvzxuuzxz 解解: exyy sin(x

31、y)cos(xy) eusin v 1 eucos v y yvvzyuuzyz eusin v exyx sin(xy)cos(xy)1eucos v x dtdvvzdtduuzdtdz 设zf(u v) u(t) v(t) 则 zvuyxyxzx zy zuux zuz dvuyv dy特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz zx zy 其中其中把把复复合合函函数数,),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数两者的区别两者的区别区别类似区别类似fuu

32、x,fx fuuy.fy 解解:ddddddzzuzvztutvttttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet 例例.,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2为简便起见 , 引入记号,2121vuffuff ),(1zyxzyxf例例. 设 f 具有二阶连续偏导数, ),(zy

33、xzyxfw求.,2zxwxw解解: 令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy那么zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff全微分形式不变性的全微分形式不变性的实质实质： 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、全微分形式不变性全微分形式不变性dzuzvxuxvxdddzzzxyxy dzuzvyuyvyddzuuxyuxyddzvvxyvxydzuu d .z

34、vv )cos( )sin(yxyxeyx例例1 .,sinyxvyxuvezu.,yzxz求例例.利用全微分形式不变性解例1.解解:) (dd zuveudsin)cos()sin(yxyxyeyx)cos()sin(yxyxyexzyx)cos()sin(yxyxxeyzyx所以veusinvveudcos )cos( )sin(yxyxeyx)(dyx)(dyx )cos()sin(yxyxxeyx)d(dyx xdyd)dd(yxxy( ,)0F x y三、隐函数微分法三、隐函数微分法隐函数的求导公式隐函数的求导公式 例. 验证方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有

35、连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x) 并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值 解: 设F(x y)x2y21 Fx2x Fy2y F(0 1)0 Fy(0 1)20隐函数存在定理:那么 设函数设函数F(x y)在点在点P(x0 y0)的某一邻域内具有连续的某一邻域内具有连续偏导数偏导数 F(x0 y0)0 Fy(x0 y0)0 那么方程那么方程F(x y)0在点在点(x0 y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数具有连续导数的函数yf(x) 它满足条件它满足条件y0f(x0). 由隐函数存在定理 方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能

36、唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x) 解: 设F(x y)x2y21 Fx2x Fy2y F(0 1)0 Fy(0 1)20那么由隐函数存在定理 方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x) 提示: 由方程F(x y)0确定的隐函数yf(x)的导数为 yxFFdxdy yxFFdxdyyx 00 xdxdy yxFFdxdyyx 例. 验证方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x) 并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值 解: 设F(x y)x2y21 Fx2x Fy2

37、y F(0 1)0 Fy(0 1)20那么由隐函数存在定理 方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x) 00 xdxdy 32221yyyxydxyd32221yyyxydxyd 1022xdxyd 32221yyyxydxyd yxFFdxdyyxyxFFdxdyyx 例. 验证方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x) 并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值 v隐函数存在定理 设函数F(x y z)在点P(x0 y0 z0)的某一邻域内具有连续的偏导数 且F(x0 y0 z0)0

38、Fz(x0 y0 z0)0 那么方程F(x y z)0在点(x0 y0 z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数zf(x y) 它满足条件z0f(x0 y0) 并有zxFFxz zyFFyz 解解:令令那那么么,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 内容小结内容小结1. 复合函数求导的链式法那么“分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导例如例如, ),(, ),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f22. 全微分

39、形式不变性, ),(vufz 对不管 u , v 是自变量还是因变量,vvufuvufzvud),(d),(d3. 隐函数微分法. 练练 习习 题题一、多元函数的极值及最大值、最小值二、条件极值 拉格朗日乘数法6.6 多元函数的极值及其求法上页下页铃结束返回首页一、多元函数的极值及最大值、最小值下页v极值的定义 设函数z f (x y)在点(x0 y0)的某个邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于(x0 y0)的点(x y) 都有 f (x y) f (x0 y0) 那么称函数在点(x0 y0)有极大值(或极小值) f (x0 y0) 极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 一

40、、多元函数的极值及最大值、最小值v极值的定义 设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某个邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于(x0 y0)的点(x y) 都有 f(x y)f(x0 y0) 那么称函数在点(x0 y0)有极大值(或极小值)f(x0 y0) 例 函数z3x24y2在点(0 0)处有极小值 提示 当(x y)(0 0)时 z0 而当(x y)(0 0)时 z0 因此z0是函数的极小值下页一、多元函数的极值及最大值、最小值v极值的定义 设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某个邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于(x0 y0)的点(x y) 都有 f(x y)f(x0 y0)

41、 那么称函数在点(x0 y0)有极大值(或极小值)f(x0 y0) 提示函数22yxz在点(0 0)处有极大值 例 当(x y)(0 0)时 z0 而当(x y)(0 0)时 z0 因此z0是函数的极大值 下页提示 因为在点(0 0)处的函数值为零 而在点(0 0)的任一邻域内 总有使函数值为正的点 也有使函数值为负的点 例 函数zxy在点(0 0)处既不取得极大值也不取得极小值 下页一、多元函数的极值及最大值、最小值v极值的定义 设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某个邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于(x0 y0)的点(x y) 都有 f(x y)f(x0 y0) 那么称函数在点(

42、x0 y0)有极大值(或极小值)f(x0 y0) 下页v定理1(取得极值的必要条件) 设函数zf(x y)在点(x0 y0)具有偏导数 且在点(x0 y0)处有极值 那么有 fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0 类似地可推得 如果三元函数uf (x y z)在点(x0 y0 z0)具有偏导数 那么它在点(x0 y0 z0)具有极值的必要条件为fx(x0 y0 z0)0 fy(x0 y0 z0)0 fz(x0 y0 z0)0 但凡能使fx(x y)0 fy(x y)0同时成立的点(x0 y0)称为函数zf(x y)的驻点 v驻点 设函数zf(x y)在点(x0 y0)具有偏导数 且在点(x

43、0 y0)处有极值 那么有 fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0 下页讨论 驻点与极值点的关系怎样？提示 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点 函数的驻点不一定是极值点 v定理1(取得极值的必要条件) 例如,有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.yxz 下页v定理2(取得极值的充分条件) 设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数 又fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0 令fxx(x0 y0)A fxy(x0 y0)B fyy(x0 y0)C 那么f (x y)在(x0 y0)处是否取得极值的条件如下 (1)ACB20时具有极值 且当A0时有极

44、小值 (2)ACB20 那么函数在驻点处取得极值 如果fxxfyy-fxy20 那么函数在驻点处不取得极值 在极值点处 当fxx0时有极小值下页例例求函数解解: 第一步第一步 求驻点求驻点. .得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别.在点(1,0) 处为极小值;解方程组ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的极值.求二阶偏导数,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233在点(3,0)

45、 处不是极值;在点(3,2) 处为极大值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在点(1,2) 处不是极值;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC例例 讨论函数及是否取得极值.解解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.因此,022时当 yx222)(yxz0)0 , 0( z为极小值.正正负负033yxz222)(yxz在点(0,0)并且在 (0,0) 都有

46、02 BAC33yxz可能为0)()0 , 0()0 , 0(222yxzv应注意的问题 不是驻点也可能是极值点 因此 在考虑函数的极值问题时 除了考虑函数的驻点外 如果有偏导数不存在的点 那么对这些点也应当考虑 下页但(0 0)不是函数的驻点 例如 函数22yxz在点(0 0)处有极大值 v最大值和最小值问题v 如果f(x, y)在有界闭区域D上连续, 那么f(x, y)在D上必定能取得最大值和最小值. 讨论: 比较极值的大小就能确定函数的最大值和最小值吗？提示 不能 最大值和最小值也可能在区域的边界上取得 而极值是在区域的内部求得的下页 使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部 也可能

47、在D的边界上 v最大值和最小值的求法v 将函数f(x, y)在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较, 其中最大的就是最大值, 最小的就是最小值. 如果函数f(x y)的最大值(最小值)一定在D的内部取得 而函数在D内只有一个驻点 那么该驻点处的函数值就是函数f(x y)在D上的最大值(最小值) 下页v最大值和最小值问题v 如果f(x, y)在有界闭区域D上连续, 那么f(x, y)在D上必定能取得最大值和最小值. 下页 例 某厂要用铁板做成一个体积为8m3的有盖长方体水箱 问当长、宽、高各取多少时 才能使用料最省 解 ) 0 , 0( )88( 2)88( 2yxyx

48、xyxyxxyyxyA 令0)8(22xyAx 0)8(22yxAy 得 x2 y2 0)8(22yxAy 得 x2 y2 根据题意可知 水箱所用材料面积的最小值一定存在 并在开区域D(x y)|x0 y0内取得 又因为函数在D内只有一个驻点(2 2) 所以此驻点一定是A的最小值点 设水箱的长为x m 宽为y m 那么所用材料的面积为 因此 当水箱的长为 2m、宽为 2m、高为2228m时 水箱所用的材料最省 二、条件极值 拉格朗日乘数法v条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值 上述问题就是求函数Vxyz在条件2(xyyzxz)a2下的最大值问题 这是一个条件极值问题 例如, 求外表积

49、为a2而体积为最大的长方体的体积问题. 设长方体的三棱的长为x, y, z, 那么体积Vxyz. 又因假定外表积为a2, 所以自变量x, y, z还必须满足附加条件2(xyyzxz)a2. 下页求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值 例如 求Vxyz在条件2(xyyzxz)a2下的最大值 有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题 这就把求条件极值问题转化成了求无条件极值问题 下页二、条件极值 拉格朗日乘数法v条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值 由条件2)( 2axzyzxy 解得)( 222yxxyaz 于是得 )(2(22yxxyaxyV (2)用拉格朗日乘数法 在多数

50、情况下较难把条件极值转化为无条件极值 需要用一种求条件极值的专用方法 这就是拉格朗日乘数法 下页求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值二、条件极值 拉格朗日乘数法v条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值 v拉格朗日乘数法 要找函数zf(x y)在附加条件(x y)0下的可能极值点可以先作辅助函数(拉格朗日函数)F(x y)f(x y)l(x y) 其中l为某一常数(拉格朗日乘子) 然后解方程组 上述方程组的解(x y)就是所要求的可能的极值点 对于所求得的可能的极值点还需判断是否是极值点在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定 下页0),(0),(),(),(0),(),(

51、),(yxyxyxfyxFyxyxfyxFyyyxxxll 例例 求外表积为求外表积为a2而体积为最大的长方体的体积而体积为最大的长方体的体积. 设长方体的三个棱长x, y, z, 那么问题就是求函数Vxyz在条件2(xyyzxz)=a2下的最大值. 作拉格朗日函数 22220)(2),(0)(2),(0)(2),(axzyzxyxyxyzyxFzxxzzyxFzyyzzyxFzyxlll 解方程组F(x y z)xyzl(2xy2yz2xza2) 结束得azyx66 这是唯一可能的极值点 azyx66 这是唯一可能的极值点 因为由问题本身可知最大值一定存在 所以最大值就在3366aV 这个可

52、能的值点处取得 此时 解 小小 结结1. 函数的极值问题函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .2. 函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1) 简单问题用代入法, ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如对二元函数(2) 一般问题用拉格朗日乘数法设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步第二步 判别判别 比较驻点及边界点上函数值的大小比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件)3. 函数的最值问题函数的最值问题在条件求驻点 . ),(yxfz

53、0),(yx),(),(yxyxfFl0 xxxfFl0yyyfFl0lF解解 按题意，即求函数按题意，即求函数2( , )0.005S x yx y作作拉拉格格朗朗日日函函数数)1502(005. 0),(2 yxyxyxFl ll l2150 xy 下下 的的 最最 大大 值值在条件在条件20.0100.0052021500FxyxFxyxyl ll l 由由25,100 yx解解得得.12502510012525100005. 0)25,100()25,100(2吨吨值值大大吨吨，可可使使生生产产量量达达到到最最原原料料吨吨，原原料料即即购购进进吨吨，为为最最大大值值，最最大大值值大大值

54、值一一定定存存在在，故故驻驻点点因因仅仅有有一一个个驻驻点点，且且最最BAS , 0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得驻点得驻点)21,21(和和)21,21( ,解解 由由即即边边界界上上的的值值为为零零.,21)21,21( z,21)21,21( z所以最大值为所以最大值为21，最小值为，最小值为21 .因为因为01lim22 yxyxyx一、二重积分的概念二、二重积分的性质6.7 二重积分的概念与性质一、二重积分的概念1 曲顶柱体的体积 设一立体的底是xOy面上的闭区域D 它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z

55、轴的柱面 它的顶是曲面zf(x y) 这里f(x y)0且在D上连续 这种立体叫做曲顶柱体 iiinifVl),(lim10 iiinifV),(1 提示 相应地把曲顶柱体分成了n个小曲顶柱体提示 其中l为各小区域直径的最大值用小平顶柱体的体积近似代替小曲顶柱体的体积Vi Vif(i i)i 用小平顶柱体的体积之和近似代替整个曲顶柱体体积 将分割加细 取极限 求得曲顶柱体体积的精确值i(ii)一、二重积分的概念1 曲顶柱体的体积 用曲线网把D分成小区域 1 2 n iiinif),(1 v二重积分的定义 设f(x y)是有界闭区域D上的有界函数 将闭区域D任意分成n个小闭区域 1 2 n 其中

56、i表示第i个小闭区域 也表示它的面积 在每个小闭区域i上任取一点(i i) 作和 设为各小闭区域的直径中的最大值 如果当 0时这和式的极限总存在 那么称此极限为函数f(x y)在闭区域D上的二重积分 记为dyxfD),( iiiniDfdyxfl),(lim),(10 积分号 v二重积分的定义积分中各局部的名称 f(x y)被积函数 f(x y)d被积表达式 d 面积元素 x y 积分变量 D积分区域 iiinif),(1 积分和 (1) 在在二二重重积积分分的的定定义义中中，对对闭闭区区域域的的划划分分是是任任意意的的.(2)当当),(yxf在在闭闭区区域域上上连连续续时时，定定义义中中和和

57、式式的的极极限限必必存存在在，即即二二重重积积分分必必存存在在. 对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义二重积分的几何意义:当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值 在直角坐标系下用平行在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区于坐标轴的直线网来划分区域域D，( , )d( , )d dDDf x yf x yx y dd dx y 故二重积分可写为故二重积分可写为xyO那么面积元素那么面积元素(areal element)为为 二、二重

58、积分的性质v性质1 设c1、c2为常数 则 dyxgcdyxfcdyxgcyxfcDDD),(),(),(),(2121 v性质2 如果闭区域D被一条曲线分为两个闭区域D1与D2 则 dyxfdyxfdyxfDDD21),(),(),( 注 二、二重积分的性质v性质1 设c1、c2为常数 那么 dyxgcdyxfcdyxgcyxfcDDD),(),(),(),(2121 如果闭区域D被有限条曲线分为有限个局部闭区域 那么在D上的二重积分等于在各局部闭区域上的二重积分的和 v性质2 如果闭区域D被一条曲线分为两个闭区域D1与D2 则 dyxfdyxfdyxfDDD21),(),(),( 二、二重

59、积分的性质v性质1 设c1、c2为常数 那么 dyxgcdyxfcdyxgcyxfcDDD),(),(),(),(2121 v性质2 如果闭区域D被一条曲线分为两个闭区域D1与D2 则 dyxfdyxfdyxfDDD21),(),(),( v性质3 DDdd1(为 D 的面积) v性质4 如果在D上 f(x y)g(x y) 则有不等式dyxgdyxfDD),(),( 特殊地有 dyxfdyxfDD| ),(|),(| v性质5 设M、m分别是f(x y)在闭区域D上的最大值和最小值 为D的面积 则有 MdyxfmD),( v性质6(二重积分的中值定理) 设函数f(x y)在闭区域D上连续 为

60、D的面积 则在D上至少存在一点( )使得 ),(),(fdyxfD 在在D上上 2220ayx ,12220ayxeee 222()d,xyaDee 解解22()dxyDe ab2.aab eab区域面积区域面积2 ,16)(1),(2 yxyxf在在D上上),(yxf的的最最大大值值)0(41 yxM),(yxf的最小值的最小值5143122 m)2, 1( yx 故故4252 I. 5 . 04 . 0 I解解练习. 估计以下积分之值10:coscos100ddI22yxDyxyxD解解: D 的面积为200)210(2由于yx22coscos1001积分性质100200I102200即: