第二章 金融时间序列模型与预测

1、第二章第二章 金融时间序列模型与预测金融时间序列模型与预测2.1 经济预测方法 单一方程回归模型 联立方程回归模型 自回归求积移动平均模型(ARIMA)-Box-Jenkins方法 向量自回归(VAR)1、模型识别：自相关函数和偏相关函数2、模型估计：OLS方法，ML方法，YULE-WALKER方法等3、诊断：平稳性，残差是否是白噪声4、预测：短期预测较成功BJ方法的步骤2.2.1 AR模型模型(自回归模型自回归模型)一阶自回归P阶自回归阶自回归(AR(P)2.2.2 MA模型模型(移动平均模型移动平均模型)一阶移动平均q阶移动平均MA(q)2.2 AR、MA和ARIMA模型11tttuuYq

2、tqttttuuuuY.2211是白噪声ttPtPtttuuYYYY2211tttuYY112.2.3 ARMA(自回归移动平均模型自回归移动平均模型)一阶自回归移动平均模型ARMA(1，1)（p，q）阶自回归）阶自回归移动平均模型(ARMA(P，q)ttttuuYY1111是白噪声ttqtqttPtPtttuuuuuYYYY.22112211注意：上面三个模型假定时间序列是平稳的，而且注意：上面三个模型假定时间序列是平稳的，而且均值为均值为0（如果不是，可以先对模型零均值化）（如果不是，可以先对模型零均值化）2.2.4 ARIMA模型模型(自回归求积移动平均模型自回归求积移动平均模型)如果一

3、个时间序列是不平稳的，需要经过如果一个时间序列是不平稳的，需要经过d次差分次差分才能变成一个平稳的才能变成一个平稳的ARMA (p，q)模型，则称该时模型，则称该时间序列是自回归求积移动平均模型间序列是自回归求积移动平均模型 ARIMA(p,d,q)2.3 AR模型的特征、估计与识别2.3.1 AR模型的数字特征 一阶自回归AR(1)开始逐渐衰减自相关函数从1,1, 0101001010121201kkkkku是白噪声ttPtPtttuuYYYY2211tttuYY11AR(2)22112212221121222220212,1,1)1)(1 ()1 (010kkkukpkpkkkpppppp

4、ppppppuppppkWalYulePAR.ker.0.10)(22112211112110221111201122211021方程组如果知道自相关系数 ,则可解出 现在可根据样本计算出样本自相关系数 ,计算出ppppppWalYule.ker221111211方程组p,.,21p,.,21p,.,21p,.,212.3.2 AR模型阶数的识别根据偏相关系数 识别模型的阶数p,.,2102)/1 , 0(0显著不为，则拒绝零假设，如果，当如果自回归的阶数为jjjjjnnNpjp2.3.3 AR模型的估计OLS,ML,Yule-walker方程组2.3.4 AR模型的检验1、平稳性检验2、残差

5、是否白噪声的检验3.3.5 AR模型的自相关函数和偏相关函数的特征自相关函数是“拖尾”的,偏相关函数是“截尾的”怎么知道时间序列是怎么知道时间序列是AR，而不是，而不是MA或其他形式呢？或其他形式呢？2.4 MA模型的特征、估计与识别2.4.1 MA模型的数字特征是独立的且不同期的随机扰动项是白噪声 ,.2211tqtqttttuuuuuY1, 011, 0,)1 (0) 1 (2110111212120kkMAkkuu自相自相关函关函数的数的截尾截尾特征特征2, 011)1 (2, 0,)1 ()1 (0)2(222120222221210112222211222120kkMAkkuuu后都

6、是截尾的其自相关函数从期的影响时刻前值仅受即期的记忆力，过程仅有阶qkqtYqMAqqkqkqkqMAtkqqkqkkkkqu, 0,.1., 0).1 (0)(22211122221202003.6 现代咨询方法与实务如果知道自相关系数 ,则可解出 现在可根据样本计算出样本自相关系数 ,计算出q,.,21q,.,21q,.,21qkqqkqkkk,.1.222111q,.,21。2.4.2 MA模型阶数的识别根据自相关系数 识别模型的阶数nnnnNqjqjjjj2202)/1 , 0(0，构造检验区间显著不为，则拒绝零假设，如果，当如果自回归的阶数为q,.,212.4.3 MA模型的估计 O

7、LS,ML,Yule-walker方程组2.4.4 MA模型的自相关函数和偏相关函数的特征自相关函数是“截尾”的,偏相关函数是“拖尾的”qkqqkqkkk,.1.2221112.5 ARMA模型的特征、估计与识别2.5.1 ARMA模型的数字特征（p，q）阶自回归）阶自回归移动平均模型(ARMA(P，q)1,1)21 (010) 1 , 1 (1121011212112101kARMAKKuu是白噪声ttqtqttPtPtttuuuuuYYYY.22112211开始逐渐衰减自相关函数从期的记忆力，部分具有由于1110112111110111) 1 (1,21)(1 (MAkkkk的性质反映协方

8、差和自相关函数仅时期的记忆力，当部分具有由于ARqkqMAqkqkqpARMApKpKKkpKpKKK,.,.),(221122112.5.2 ARMA模型的估计 OLS，2.5.3 ARMA模型的自相关和偏相关函数的特征 自相关函数和偏相关函数都是自相关函数和偏相关函数都是“拖尾拖尾”的的 ARIMA模型针对的是非平稳时间序列,估计与识别的估计与识别的关键是差分的阶数关键是差分的阶数(使其变为平稳的ARMA序列的差分次数),以后过程同ARMA模型原则:对序列连续进行差分,直到序列出现这样的特征:自相关函数随着自相关函数随着k的增大趋向于的增大趋向于0这时差分的次数即为这时差分的次数即为ARI

9、MA模型差分的阶数模型差分的阶数d2.6 ARIMA模型的估计与识别2.7 ARMA模型定阶的AIC准则模型的阶数为则若逐个试算，从舒尔茨准则（），赤池准则（最小信息准则ARMAqpqpAICqpAICnnqpnqpqpAICBICSICAICu),(),(min),()10(.21,)(2log),(),:00002补充：预测准确度的度量 预测准确度预测准确度指预测结果与实际情况的符合程度。它与误差大小呈反向变动关系，因而可以用误差指标反映。可用以下指标度量： 1.预测的误差预测的误差：指预测对象的实际值与预测值之差。用Y表示实际值,表示预测值，则预测的误差为Y-，记为e，即e=Y-。若e0

10、，则 为低估预测值；若e0，则为高估预测值；若e=0，则为准确预测值。YYYYYY2.2.预测的相对误差预测的相对误差：指预测误差占实际值的百分比，记为 从上式可以看出，预测的相对误差不受指标量纲的影响，因此，可用于不同预测问题准确度的比较。%100YYYYeel 3.预测的平均绝对误差预测的平均绝对误差：指n次预测误差的绝对值的平均值，记为MAD。 MAD可用来表示预测误差的平均大小。它计算简单，但受指标量纲的影响。nenYYMDAniiniii11l 4.4.预测的平均绝对相对误差预测的平均绝对相对误差: 指n次预测的相对误差的绝对值的平均值，记为AARE。 AARE不受量纲的影响。%10

11、01%10011111niiiiniiiniiYYYnYenenAAREl 5.5.预测的方差和标准差预测的方差和标准差 预测的方差是n次预测误差平方的平均值，记为 。 预测的标准差就是方差的算术平方根，记为S。21122)(11iniiniiYYnenSniiiniiYYnenS1212)(112s6. 步预测误差预测误差为： 11110.llltlttlttlyyle 步线性最小方差预测的方差和预测步长 有关, 而与预测的时间原点t无关。预测步长越大，预测误差的方差也越大，因而预测的准确度就会降低。所以,一般不能用ARMA(p,q)作为长期预测模型。lllq 预测的置信区间 预测的95%置

12、信区间： 21212120.96. 1ltly例题分析考虑如下AR(2) 序列：121.50.30.5ttttXXX (0,1)tIIDN若已知观测值507.64X497.47X （1）试预报5152,XX（2）给出（1）预报的置信度为95%的预报区间。,解答： 5011.50.3 7.640.5 7.477.527X 5021.50.3 7.5270.5 7.647.5781X（1）（2）假如 225011 222501211.09预报的置信度为95%的预报区间分别为： 50501.96Xkk,.59. 0, 3 . 0, 12102.8向量自回归（VAR）模型 概念：向量自回归模型（Vec

13、tor Autoregressive Model，指每个方程有相同的等号右侧的变量，而这些右侧变量包括所有内生变量的滞后项，是针对变量无法确定为外生变量时，一种新的多方程模型的分析方法。 作用 分析和预测相互联系的多变量时间序列系统 分析随机干扰项所探讨的经济系统的动态冲击解释各种经济冲击对经济变量的影响 1、简单的VAR模型（结构VAR，原始系统)其中，假设：（1） 和 都是平稳的随机过程；（2） 和 是白噪音干扰项；（3）1012111121ttttytYbb ZYZ2021211221ttttztZbb YYZtYtZytzt,0ytztCov 2、标准型（简化）VAR模型与结构VAR模

14、型 将由结构VAR模型写成矩阵形式其中，01-1tttBXXu 122111bBbtttYXZ10020bb 111212122 yttztu 标准（简化）VAR模型 01-1tttXAA XetttYXZyttztu-100AB-111AB-1tteB u不相互独立ttee21, 定义 为列向量 的第 个元素， 为矩阵 中第 i 行第 j 列的元素， 为列向量 的第 i个元素。 形如上面两式的VAR称为标准（简化）VAR或诱导系统 高阶VAR模型可以以此类推0ia0Aiijaitete101111211ttttYaa Ya Ze202112212ttttZaa Ya Ze VAR模型的参数估

15、计 结构VAR模型二阶段最小二乘法进行估计。 标准VAR模型直接采用普通的最小二乘法进行估计 软件包的实现 2.9 VAR的估计问题是：（1）滞后期数怎么确定？ 试错，选择赤池和施瓦茨准则最低值 （2）联立方程方法和VAR方法的差别？ VAR方法不人为地划分变量的内生或外生性，而且许多案例中，用VAR方法得到的预测优于复杂的联立方程的预测，但不适合作政策分析。（3）变量的平稳性？ 严格讲，VAR模型中所有变量都应该是（联合地）平稳的。 脉冲响应脉冲响应就是试图描述随机干扰项对内生变量的影响轨迹标准VAR模型 矩阵的形式为101111211ttttYaa Ya Ze202112212ttttZa

16、a Ya Ze1011111220122122ttttttYaYeaaZaZeaa 2.10脉冲响应函数 误差向量为结合上两式11112022122itt iitt iYeaaYZeaaZ 11222112211111tyt itzt iebebb b111212021222112 211111ityt iitzt iYaabYZaabb bZ 用1阶VAR模型稳定时的特解（平稳时存在，可得 定义 得VAR模型的移动平均表达式 121211221111iibAbb b0tit iiX 的变化的脉冲使得单位为如在当期的变化，的脉冲使得单位为如的影响的整个时间路径所产生对的波动脉冲的各自独立映了称

17、为脉冲响应函数，反5t12t12tt1)5(1)0(Z,)(ztztztytjkZYi2.11预测误差方差分解1、预测方差分解 使用上一节公式预测 ，得其预测误差一般形式 看两变量VAR模型中的随机变量 由1tX10nt ntt nit n iiXE X tY1111111112121121(0)(1)(1)(0)(1)(1)t nt t nyt nyt nytzt nzt nztYEYnn 的n步预测误差方差 按每个冲击把n步预测误差方差分解成一定比例t nY222221111112222121212( )(0)(1).(1) (0)(1).(1) yyznnn22221111112(0)(

18、1)(1) ( )yynn22221212122(0)(1)(1) ( )zynn和2.12 Granger因果关系检验 基本思路：对于变量X和Y，如果X的变化引起了Y的变化，X的变化应当发生在Y的变化之前 即，要求估计： 满足条件：（1）变量 X应该有助于预测变量Y（2）变量 Y不应当有助于预测变量X0111mmtit iit itiiYYX0211mmtit iit itiiXYX 步骤（1）检验“变量 X不是引起变量 Y变化的Granger原因” 估计： 残差平方和分别为 、011mmtit iit itiiYYX01mtit itiYY（12-39）（12-40）URSSRRSS 构造F统计量：检验