第二章系统的状态空间描述

1、2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院12009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院21、状态：系统的状态，是指系统的过去、现在和将来的状况。、状态：系统的状态，是指系统的过去、现在和将来的状况。（如：一个质点作直线运动，它的状态就是它每个时刻的位置（如：一个质点作直线运动，它的状态就是它每个时刻的位置和速度）和速度）2、状态变量：能完全表征系统运行状态的最小数目的一组变量。、状态变量：能完全表征系统运行状态的最小数目的一组变量。（如果用最少的（如果用最少的n个变量个变量x1(t)， x2(t)， xn(t)就能完全描就能完全描述系统的状态，那么这述系统的状态，那

2、么这n个变量就是一组状态变量。）个变量就是一组状态变量。）3、状态向量：设一个系统有、状态向量：设一个系统有n个状态变量，即个状态变量，即x1(t)，x2(t)，xn(t)，用这，用这n个状态变量作为分量构成的向量个状态变量作为分量构成的向量x(t)称为该系统的状态向量。记为称为该系统的状态向量。记为 Tntxtxtxtx)(,),(),()(212009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院34、引入了状态和状态空间的概念之后，就可以建立动力学系、引入了状态和状态空间的概念之后，就可以建立动力学系统的状态空间描述了。从结构的角度讲，一个动力学系统统的状态空间描述了。从结构的角度讲，

3、一个动力学系统可用图可用图2-1所示的方块图来表示。其中所示的方块图来表示。其中x(t)表征系统的状态表征系统的状态变量，变量，u(t)为系统为系统控制量控制量（即（即输入输入量），量），y(t)为系统的输出为系统的输出变量。变量。 与输入与输入输出描述不同，状态空间描述把系统动态过程输出描述不同，状态空间描述把系统动态过程的描述考虑为一个更为细致的过程：输入引起的描述考虑为一个更为细致的过程：输入引起系统状态的变系统状态的变化化，而，而状态和输入则决定了输出的变化状态和输入则决定了输出的变化。图图2-1 动力学系统结构示意图动力学系统结构示意图2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通

4、管理学院45、状态方程：、状态方程：状态变量的一阶导数状态变量的一阶导数与状态变量、输入量的关系，与状态变量、输入量的关系，称为系统的状态方程。称为系统的状态方程。 例：设单输入线性定常系统例：设单输入线性定常系统(LTI-Linear Time Invariant )的状态的状态变量为变量为x1(t)，x2(t)，xn(t)，输入为输入为u(t),则一般形式的状则一般形式的状态方程为：态方程为：)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(2211222221212112121111tubtxtatxtatxatxtubtxtatxtatxatxtubt

5、xtatxtatxatxnnnnnnnnnnn2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院5u上式可写成向量上式可写成向量矩阵形式：矩阵形式：nxxxx21nxxxx21nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211nbbbb21系统矩阵，表示系内部状态的联系。)()()(tbutAxtxbuAxx或或输入矩阵或控制矩阵，表示输入对状态的作用。2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院66、输出方程：在指定系统输出的情况下，该输出、输出方程：在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量、输入量之间的函数关系式，称为系与状态变量、输入量之间的函数关系式，称为系统的

6、输出方程。统的输出方程。例：单输出线性定常系统例：单输出线性定常系统 )()()()()(2211tdutxctxctxctynn其向量其向量矩阵形式为：矩阵形式为：)()()(tdutcxty2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院77、状态空间表达式：状态方程与输出方程的组合称为状态空间、状态空间表达式：状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又称为动态方程。它是对系统的一种完全的描述。表达式，又称为动态方程。它是对系统的一种完全的描述。例：例：SISO系统状态空间表达式：系统状态空间表达式： 注意：由于注意：由于A、B、C、D矩阵完整地表征了系统的动态特性，所以有时把

7、一个矩阵完整地表征了系统的动态特性，所以有时把一个确定的系统简称为系统确定的系统简称为系统 。 系统矩阵系统矩阵A：表示系统内部各状态变量之间的关联情况。：表示系统内部各状态变量之间的关联情况。 输入矩阵（或控制矩阵）输入矩阵（或控制矩阵）B：表示输入对每个状态变量的作用情况。：表示输入对每个状态变量的作用情况。 输出矩阵输出矩阵C：表示输出与每个状态变量之间的组成关系。：表示输出与每个状态变量之间的组成关系。 前馈矩阵前馈矩阵D：表示输入对输出的直接传递关系。一般控制系统中，通常情：表示输入对输出的直接传递关系。一般控制系统中，通常情况况D=0。ducxybuAxxDuCxyBuAxxMIM

8、O系统状态空间表达式：系统状态空间表达式：2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院88、状态空间分析法：在状态空间中以状态向量或状态变量描、状态空间分析法：在状态空间中以状态向量或状态变量描述系统的方法，称为状态空间分析法或状态变量法。述系统的方法，称为状态空间分析法或状态变量法。状态空间表达式状态空间表达式DuCxyBuAxx的结构图如下：的结构图如下：图图2 22 2 系统动态方程的方块图结构系统动态方程的方块图结构2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院9线性系统状态空间表达式的一般形式：线性系统状态空间表达式的一般形式：连续系统：用线性微分方程来描述连续

9、系统：用线性微分方程来描述DuCxyBuAxx离散系统：用差分方程来描述离散系统：用差分方程来描述)()()()()() 1(kDukCxkYkHukGxkx2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院10一、状态空间表达式的模拟结构图一、状态空间表达式的模拟结构图 在状态空间分析中，采用模拟计算机的模拟结构图来表示在状态空间分析中，采用模拟计算机的模拟结构图来表示各状态变量之间的信息传递关系，这对于建立系统的状态各状态变量之间的信息传递关系，这对于建立系统的状态空间表达式很有帮助。状态空间表达式的模拟结构图有三空间表达式很有帮助。状态空间表达式的模拟结构图有三种基本符号：种基本符

10、号：（1）积分器）积分器（3）比例器）比例器（2）加法器）加法器2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院11（1）积分器）积分器（3）比例器）比例器（2）加法器）加法器s1xxxxxxxx1x2x213xxxkxkx2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院12【例【例2.2.1】已知系统动态方程如下，试画出系统结构】已知系统动态方程如下，试画出系统结构图。图。uxxxxxxxx3213322123621xxy解：写成向量解：写成向量矩阵形式矩阵形式cxybuAxx236100010A100b011c， ， 其中：其中：2009-08CAUC-空中交通管理学院空中

11、交通管理学院13u系统结构图（或状态变量图）如下：系统结构图（或状态变量图）如下： 系统结构图（用基本单元来模拟动态方程）uxxxxxxxx3213322123621xxy2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院14二、状态空间表达式的的建立二、状态空间表达式的的建立， ， 四种方法四种方法:、由传递函数建立、由微分方程建立定律建立、由实际系统通过物理立、由控制系统结构图建43212009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院151、 由控制系统的结构图求系统动态方程由控制系统的结构图求系统动态方程u系统结构图是经典控制中常用的一种用来表示控制系统中各环节、各信系统结

12、构图是经典控制中常用的一种用来表示控制系统中各环节、各信号相互关系的图形化的模型，具有形象、直观的优点，常为人们采用。号相互关系的图形化的模型，具有形象、直观的优点，常为人们采用。要将系统结构图模型转化为要将系统结构图模型转化为状态空间表达式状态空间表达式，一般可以由下列三个步骤，一般可以由下列三个步骤组成：组成：第一步：在系统结构图的基础上，将各环节通过等效变换分解，使得整个系第一步：在系统结构图的基础上，将各环节通过等效变换分解，使得整个系统只有标准积分器（统只有标准积分器（1/s）、比例器（）、比例器（k）及加法器组成，这三种基本器）及加法器组成，这三种基本器件通过串联、并联和反馈三种形

13、式组成整个控制系统。件通过串联、并联和反馈三种形式组成整个控制系统。第二步：将上述调整过的结构图中的每个标准积分器（第二步：将上述调整过的结构图中的每个标准积分器（1/s）的）的输出输出作为一个作为一个独立的状态变量独立的状态变量xi，积分器的输入端就是状态变量的一阶导数，积分器的输入端就是状态变量的一阶导数dxi /dt。第三步：根据调整过的结构图中各信号的关系，可以写出每个状态变量的一第三步：根据调整过的结构图中各信号的关系，可以写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统的状态方程。根据需要指定输出变量，即可阶微分方程，从而写出系统的状态方程。根据需要指定输出变量，即可以从结构图写出系统

14、的输出方程。以从结构图写出系统的输出方程。2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院16【例【例2.2.2】某控制系统的结构图如图】某控制系统的结构图如图23（a）所示，试求出其动态方程。）所示，试求出其动态方程。， ， （a）解解:u 该系统主要有一个一阶惯性环节和一个积分器组成。该系统主要有一个一阶惯性环节和一个积分器组成。u 对于一阶惯性环节，我们可以通过等效变换，转化为一个前向通道为一对于一阶惯性环节，我们可以通过等效变换，转化为一个前向通道为一标准积分器的反馈系统。标准积分器的反馈系统。u 图图2-3（a）所示结构图经等效变换后如图）所示结构图经等效变换后如图2-3（b

15、）所示）所示图图2-3 控制系统结构图控制系统结构图2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院17（b） （a）u图图2-3（a）所示结构图经等效变换后如图）所示结构图经等效变换后如图2-3（b）所示）所示 (b)2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院18取取y为系统输出，输出方程为：为系统输出，输出方程为： 写成矢量形式，我们得到系统动态方程：写成矢量形式，我们得到系统动态方程： （b）u 我们取每个积分器的输出端信号为状态变量和，我们取每个积分器的输出端信号为状态变量和， 积分器的输入端即和。积分器的输入端即和。从图可得系统状态方程从图可得系统状态方程1xy

16、 2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院19【例【例2.2.3】 求如图所示系统的动态方程。求如图所示系统的动态方程。（b）第一次等效变换）第一次等效变换（a）系统方块图）系统方块图（c）由标准积分器组）由标准积分器组成的等效方块图成的等效方块图2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院20解：图解：图(a)第一个环节第一个环节 可以分解为可以分解为 ，即分解为两个通道，如图，即分解为两个通道，如图(b)左侧点划左侧点划线所框部分。第三个环节为一个二阶振荡环节，它可以等效变换为如图线所框部分。第三个环节为一个二阶振荡环节，它可以等效变换为如图(b)右侧双点划线所

17、框部分。右侧双点划线所框部分。进一步，我们可以得到图进一步，我们可以得到图(c)所示的由标准积分器组成的所示的由标准积分器组成的等效结构图。依次取各个积等效结构图。依次取各个积分器的输出端信号为系统状分器的输出端信号为系统状态变量态变量 ，由图，由图(c)可得系统状可得系统状态方程：态方程：uxxuxxxuxxxuxxxxxxxxxx41144431143331221122336482009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院21由图可知，由图可知，系统系统输出输出写成矢量形式，得到系统动态方程：写成矢量形式，得到系统动态方程：1xy 81000640100103111002110

18、00 xxuyx 2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院222 2、根据物理定律建立实际系统的动态方程、根据物理定律建立实际系统的动态方程一般控制系统可分为电气、机械、机电、液压、热力等等。要研究它们，一般一般控制系统可分为电气、机械、机电、液压、热力等等。要研究它们，一般先要建立其运动的数学模型（微分方程先要建立其运动的数学模型（微分方程(组组)、传递函数、动态方程等）。根据、传递函数、动态方程等）。根据具体系统结构及其研究目的，选择一定的物理量作为系统的状态变量和输出变具体系统结构及其研究目的，选择一定的物理量作为系统的状态变量和输出变量，并利用各种物理定律，如牛顿定律、

19、基尔霍夫电压电流定律、能量守恒定量，并利用各种物理定律，如牛顿定律、基尔霍夫电压电流定律、能量守恒定律等，即可建立系统的动态方程模型。律等，即可建立系统的动态方程模型。【例【例2.2.4】 RLC电路如图所示电路如图所示. 系统的控制输入量为系统的控制输入量为u(t)，系统输出为，系统输出为 。建立。建立系统的动态方程。系统的动态方程。u(t)uc(t)iLRC解：该解：该RLC电路有两个独立的储能元件电路有两个独立的储能元件L和和C，设回路电流为，设回路电流为 ，根据基尔霍夫，根据基尔霍夫电压定律和电压定律和R、L、C元件的电压电流关系，可得到下列方程：元件的电压电流关系，可得到下列方程：)

20、()(.)(1)(tutiRdttiCdttdiLdttiCtuc)(1)(2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院23 （1）我们可以取流过）我们可以取流过电感电感L的电流的电流 和和电容电容C两端电压两端电压 作为系统的两个状态变作为系统的两个状态变量，分别记作量，分别记作 和和 ix 1cux 2121211dtdxLxCdtdxuRxx12211111xCxuLxLxLRx2xy 2121211001011xxyuLxxCLLRxx整理有整理有写成向量矩阵形式为：写成向量矩阵形式为：2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院24,1ix idtx21212

21、11dtdxLxdtdxuRxxC1221111xxuLxLCxLRx21xCuyc2121211001011xxCyuLxxLCLRxx整理有整理有写成向量矩阵形式为：写成向量矩阵形式为：（2）设状态变量）设状态变量 2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院25,11RidtiCxcuidtCx12, )()(.)(1)(tutiRdttiCdttdiLdttiCtuc)(1)(uLRxRCxLRRCxuLRxRCxRCRiuuLRxRCxRCdtdiRxxxRCxRCxxRCiCxc211212121212121)1()(11)(11111)(1112xy （3 3）设状态

22、变量）设状态变量 整理有：整理有：写成向量矩阵形式为：写成向量矩阵形式为：2121211001111xxyuLRxxRCRCRCLRRCxx注意：选取不同的状态变量，便注意：选取不同的状态变量，便会有不同的状态空间表达式，会有不同的状态空间表达式，并且各状态空间表达式之间存在并且各状态空间表达式之间存在着某种线性关系。着某种线性关系。2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院263 3、由系统的微分方程建立状态空间表达式、由系统的微分方程建立状态空间表达式从描述系统输入输出动态关系的高阶微分方程或传递函数出发从描述系统输入输出动态关系的高阶微分方程或传递函数出发建立与之等效的状态

23、空间表达式的问题，称为建立与之等效的状态空间表达式的问题，称为“实现问题实现问题”。关。关于实现问题的详细内容，我们将在后面的章节中讨论。于实现问题的详细内容，我们将在后面的章节中讨论。注意：实现是非唯一的。注意：实现是非唯一的。（1）输入量中不含导数项）输入量中不含导数项SISOSISO线性定常连续系统微分方程的一般形式为：线性定常连续系统微分方程的一般形式为：2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院27nxxx,21第一步：选择状态变量（选择第一步：选择状态变量（选择n n个状态变量个状态变量）, ,令：令： )1(321 nnyxyxyxyxnxxx,21uxaxaxax

24、xxxxxxnnnnn012110132211xy 第二步：化高阶微分方程为第二步：化高阶微分方程为的一阶微分方程组。的一阶微分方程组。 2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院28cxybuAxx0000b0001c1210100001000010naaaaA第三步：将方程组表示为向量第三步：将方程组表示为向量矩阵形式：矩阵形式：其中：其中： 注注 意：矩阵意：矩阵A A为为友矩阵。友矩阵的友矩阵。友矩阵的特点：主对角线上特点：主对角线上方元素为方元素为1 1，最后，最后一行的元素可以任一行的元素可以任意取，而其余的元意取，而其余的元素均为零。素均为零。 系统结构图系统结构图

25、 2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院29uyyyy67416 ,1yx ,2yxyx 3uxxxxxxxx66417321332211xy cxybuAxx6417100010A600b001c【例【例2.2.52.2.5】已知】已知，试列写动态方程。，试列写动态方程。状态方程：状态方程：输出方程：输出方程：状态空间表达式为：状态空间表达式为： 其中：其中：解：选状态变量解：选状态变量2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院3022)()()(2sssUsYsGuyyy22 yx 1yx2uxxxxx22212211xy 【例【例2.2.62.2.6】已知

26、系统结构图如下，试求闭环状态空间表达式。】已知系统结构图如下，试求闭环状态空间表达式。解：解：故微分方程为：故微分方程为：选状态变量选状态变量: : 状态方程：状态方程：输出方程：输出方程：2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院311210A20b01c其中：其中：uxxxxx22212211xy 2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院32ububububyayayayinnnnnnn01)(1)(01) 1(1)(1011(2,3, )iiixyh uinxxh uducxybuAxx1210100001000010naaaaAnhhhb2101000nc

27、dhb（2 2）输入量中含导数项）输入量中含导数项SISOSISO线性定常连续系统的一般形式：线性定常连续系统的一般形式：取取 状态空间表达式为：状态空间表达式为：其中：其中：2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院33nhhh,2104132231440312213302112201110hahahahabhhahahabhhahabhhabhbhnnnnnnnnnnnnnnn这里这里可用可用待定系数法待定系数法确定，即：确定，即：注注 意：这种方法不实用。意：这种方法不实用。可先将微分方程画为传递函数，然后再由传递函数建立状态空间表达式。可先将微分方程画为传递函数，然后再由

28、传递函数建立状态空间表达式。2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院3411101110( )( )( )nnnnnnnb sbsbsbY sG sU ssasa sa)()()(01110111sDsNbasasasssbsGnnnnnnn4 4、由传递函数建立状态空间表达式、由传递函数建立状态空间表达式SISOSISO系统传递函数为：系统传递函数为：应用综合除法有：应用综合除法有：nbducxydnbd SISOSISO系统结构图系统结构图上式中的上式中的就是就是中的中的，即，即2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院35)()(sDsN)()(sDsNzy

29、z,1zx ,2zx3,xz)1( nnzx（1 1）串联分解的情况串联分解的情况 其中：其中：将将分解为两部分串联，分解为两部分串联，为中间变量，为中间变量，应满足：应满足：选取状态变量：选取状态变量：2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院36uzazazaxxxxxxxnnnnn)1(11013221uxaxaxann12110nnnnnnxxxzzzy1121001) 1(1cxybuAxx输出方程为：输出方程为：向量向量矩阵形式的状态空间表达式为：矩阵形式的状态空间表达式为：1210100001000010naaaaA1000b1210nc其中：其中： 上述状态空间表

30、达式称为上述状态空间表达式称为可控标准型可控标准型。2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院370a1a2a2na1na0us1nxnxs11nxs13xs12x1xy（可控标准型）串联分解的状态变量图)()(sDsN2n1n120)()()(sDsNbsGnbA,ubcxyn当当时，时，不变，唯不变，唯变化。变化。2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院3801110111)()(asasassssDsNnnnnnuyaxxyxiiiin1uxaxuxaxxuxaxxuxaxxuxaxxnnnnnnnnnnnnnn001111221232221111nxy 另

31、外，另外，还可以选另一组状态变量。设还可以选另一组状态变量。设 经整理有如下状态方程：经整理有如下状态方程：输出方程为：输出方程为：2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院39ducxybuAxx1210100000001000nnaaaaA1210nnb1000c向量向量矩阵为矩阵为 上述状态空间表达式称为可观测标准型。上述状态空间表达式称为可观测标准型。2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院40)()(sDsNTocAA Toccb Tocbc 串联分解对偶的状态变量图串联分解对偶的状态变量图（可观测标准型）（可观测标准型）可观测标准型和可控标准型动态方程

32、的各矩阵存在如下关系：可观测标准型和可控标准型动态方程的各矩阵存在如下关系：u0a0s11x1xs12xy1a2nas11nxs11na2x2nx1nxnxnx 12n1n2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院41,8147158)(232ssssssG158)()(2sssZsYzzzy158 81471)()(23ssssUsZuzzzz 8147,1zx ,2zxzx 3uxxxxxxxx321332217148321815xxxy【例【例2.2.72.2.7】已知系统传递函数为】已知系统传递函数为解：采用传递函数串联分解法：解：采用传递函数串联分解法： 整理有：整理有

33、： 整理有：整理有：令：令：试求状态空间表达式。试求状态空间表达式。2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院42状态空间表达式为状态空间表达式为:ducxybuAxx7148100010A100b1815c0d 式中：式中：， ， ，可控标准型状态变量图可控标准型状态变量图2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院43根据对偶原理，也可写出可观测标准型：根据对偶原理，也可写出可观测标准型：udxcyubxAxoooo7101401800oA1815ob100oc0oduxxxuxxxuxx3233123178141583xy 式中：式中：， ， 可观测标准型状态变

34、量图可观测标准型状态变量图2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院44,3486)(22sssssG34521)(2ssssGudxcyubxAxcccc,4310cA,10cb,25cc1cdudxcyubxAxoooo4130TcoAA25Tcocb10Tcobc1od【例【例2.2.8】已知系统传递函数为】已知系统传递函数为试求状态空间表达式。试求状态空间表达式。（1）可控标准型状态空间表达式为：）可控标准型状态空间表达式为：其中：其中：（2）可观测标准型状态空间表达式为：）可观测标准型状态空间表达式为：其中：其中：解：解：2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通

35、管理学院45)()(sDsN)(sD)()()()(121ininsssssD), 2 , 1(niinnniiiscscscscsDsNsusy22111)()()()(iiisssDsNc)()()(只含单实极点的情况只含单实极点的情况可分解为可分解为式中式中为为n阶系统的单实极点，则可化为对角标准型。阶系统的单实极点，则可化为对角标准型。式中：式中： 设设那么传递函数可展成：那么传递函数可展成：),(1)(sussxiini, 2 , 1uxxiiiuxxuxxuxxnnn222111取状态变量：取状态变量：整理后有：整理后有：， 即状态方程为：即状态方程为：2009-08CAUC-空中

36、交通管理学院空中交通管理学院46)()(sDsN)(sD)()()()(121ininsssssD), 2 , 1(nii只含单实极点的情况只含单实极点的情况可分解为可分解为式中式中为为n阶系统的单实极点，则可化为对角标准型。阶系统的单实极点，则可化为对角标准型。设设那么传递函数可展成：那么传递函数可展成：nnniiiscscscscsDsNsusy22111)()()()(2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院47)()(suscsyniiiiniiiixcynnxcxcxcy2211uxxn111001xcccyn21又有：又有： 即输出方程为：即输出方程为：向量向量矩阵

37、形式为：矩阵形式为：2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院48对角形动态方程的状态变量图为：对角形动态方程的状态变量图为：由于由于uiyiis1iciuixiyiisc等价于1siciiuiyixix 对角形动态方程的状态变量图对角形动态方程的状态变量图2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院498147158)(232ssssssG4218147158)(321232scscscssssssG38) 1()(11sssGc23)2()(21sssGc61)4()(41sssGcuxx111400020001xy612338【例【例2.2.92.2.9】已知系

38、统传递函数为】已知系统传递函数为解：解： 其中：其中： 动态方程为：动态方程为：试求状态空间表达式。试求状态空间表达式。2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院50)()(sDsN)()(sDsN（3 3）含重实极点的情况含重实极点的情况中含重实极点时，不仅可以化为中含重实极点时，不仅可以化为可控、可观测标准型可控、可观测标准型，当当还可以化为约当形动态方程。例如：还可以化为约当形动态方程。例如：2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院51)()()()(431nssssDniiiscscscscsDsNsusy411321123111)()()()()()()

39、(uxxn1110000114111xcccccyn41312112009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院5232)2(152)(ssssG)2(2)2(13)2(19)2()2()2()(2313212311sssscscscsG19)2()(2311sssGc13)2()(2312sssGdsdc2)2()(! 21232213sssGdsdcuxx100200120012xy21319uxxxxxxxx3332221122232121319xxxy【例【例2.2.102.2.10】已知系统传递函数为】已知系统传递函数为，试求约当型状态空间表达式。，试求约当型状态空间表达式

40、。其中：其中： 动态方程为：动态方程为：， 即即 解：解：2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院5324855104)(232ssssssG) 1()2()2() 1()2(5104)(31221122scscscsssssG1)2()(2211sssGc【例【例2.2.112.2.11】已知系统传递函数为】已知系统传递函数为，试求约当型状态空间表达式。，试求约当型状态空间表达式。其中：其中：解：解：2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院54, 5)2()(2212sssGdsdc1)1()(13sssGcuxx110100020012xy151 动态方程为

41、：动态方程为：， DuCxyBuAxx DBAsICsG1)()(特别注意：状态空间表达式特别注意：状态空间表达式可按如下公式导出传递函数可按如下公式导出传递函数 2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院55一、状态空间表达式的线性变换一、状态空间表达式的线性变换u系统动态方程建立的过程，无论是从实际物理系统出发，还系统动态方程建立的过程，无论是从实际物理系统出发，还是从系统结构图出发，还是从系统微分方程或传递函数出发，是从系统结构图出发，还是从系统微分方程或传递函数出发，在状态变量的选取方面都带有很大的人为的随意性在状态变量的选取方面都带有很大的人为的随意性;u实际物理系统虽

42、然实际物理系统虽然结构不可能变化结构不可能变化，但不同的状态变量取法，但不同的状态变量取法就产生不同的动态方程；就产生不同的动态方程；u系统结构图在取状态变量之前需要进行等效变换，而系统结构图在取状态变量之前需要进行等效变换，而等效变等效变换过程就有很大程度上的随意性换过程就有很大程度上的随意性，因此会产生一定程度上的，因此会产生一定程度上的结构差异，这也会导致动态方程差异的产生；结构差异，这也会导致动态方程差异的产生；u从系统微分方程或传递函数出发的系统实现问题，更是会导从系统微分方程或传递函数出发的系统实现问题，更是会导致迥然不同的致迥然不同的系统内部结构系统内部结构的产生，因而也肯定产生

43、不同的的产生，因而也肯定产生不同的动态方程。所以说同一系统选取不同的状态变量便有不同形动态方程。所以说同一系统选取不同的状态变量便有不同形式的动态方程。式的动态方程。2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院56,21TnxxxxxxxPx cxybuAxx xcyubxAxAPPA1bPb1cPc 1、非奇异线性变换、非奇异线性变换我们总可以找到某个非奇异矩阵我们总可以找到某个非奇异矩阵P P，将原状态向量将原状态向量 作线性变换，得到另一个新的状态向量作线性变换，得到另一个新的状态向量 , ,令令变换前系统动态方程为：变换前系统动态方程为：变换后系统动态方程为：变换后系统动态

44、方程为：式中：式中： 对于状态向量对于状态向量2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院57Pxx cxybuAxx xcyubxAx,1 PAPA,Pbb 1 cPcxPx 特别提示特别提示：有些教材中，做如下线性变换：有些教材中，做如下线性变换： 变换前系统动态方程为：变换前系统动态方程为：变换后系统动态方程为：变换后系统动态方程为：式中：式中：与上面线性变换相比，两者只是形式不同。为在讲授过程中与上面线性变换相比，两者只是形式不同。为在讲授过程中方便讲解，我们将一直采用方便讲解，我们将一直采用 这种线性变换。这种线性变换。2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理

45、学院582、非奇异线性变换的不变特性、非奇异线性变换的不变特性 线性定常系统经非奇异变换后，其特征多项式、特征方线性定常系统经非奇异变换后，其特征多项式、特征方程、传递函数不变。程、传递函数不变。2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院59A二、系统特征值和特征向量（预备知识）二、系统特征值和特征向量（预备知识）定义：定义：设设A A是一个是一个nxn的矩阵，若在向量空间中存在一非零向量的矩阵，若在向量空间中存在一非零向量v v，使，使 AAA则称则称 为为 的特征值，任何满足的特征值，任何满足 的非零向量的非零向量 称为称为 的的对应于对应于 特征值的特征向量。特征值的特征向

46、量。51166116110A1 1、特征值的计算、特征值的计算【例【例2.3.12.3.1】求下列矩阵的特征值。】求下列矩阵的特征值。 2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院605116611611)det(AI0)3)(2)(1(611623, 11, 2233 解出特征值解出特征值解：解：2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院6151166116110A223311T13121111312111312111511661161102 2、特征向量的计算、特征向量的计算【例【例2.3.22.3.2】求下列矩阵的特征向量】求下列矩阵的特征向量解：（解：（1 1

47、）A A的特征值在上例中已求出的特征值在上例中已求出 111111A的特征向量的特征向量 （2 2）计算对应于特征值）计算对应于特征值，有，有设设，即有，即有 08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院6206116061060131211131211131211vvvvvvvvv 111vT101122 T421233 T9613令令 : : ，则，则的特征向量的特征向量（3 3）同理可算出）同理可算出 的特征向量的特征向量计算整理后有：计算整理后有： 1311vv012v 解出：解出：2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院63cxybuAxx

48、 xPx xcyubxAx三、动态方程的几种标准型三、动态方程的几种标准型1 1、动态方程的对角标准型、动态方程的对角标准型对于线性系统对于线性系统若若A A的特征值是互异的，则必存在非奇异变换矩阵的特征值是互异的，则必存在非奇异变换矩阵P P 使原状态空间表达式变换为对角标准型。使原状态空间表达式变换为对角标准型。 式中：式中： ,1APPA,1bPbcPc ), 2 , 1(nii其中，其中，是矩阵是矩阵A A的特征值。的特征值。2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院64nppp,2121npppPnppp,21n,21变换矩阵变换矩阵P P由由A A的特征向量的特征向量

49、构造，即构造，即 分别为对应于特征值分别为对应于特征值的特征向量。的特征向量。 uxx10051166116110 xy001【例【例2.3.32.3.3】试将下列动态方程变换为对角标准型。】试将下列动态方程变换为对角标准型。 解：（解：（1 1）A A的特征值和特征向量已在前面两例中算出：的特征值和特征向量已在前面两例中算出： 112233 2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院651011p4212p9613p,941620111321pppP12313432253*1PPP321,ppp1P（2 2）用）用构造变换矩阵构造变换矩阵P P，并求，并求。 cbA,30002

50、00011APPA1321bPb111 cPc（3 3）计算）计算2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院66,132300020001uxxxy111于是变换后的动态方程为：于是变换后的动态方程为：n，21112112222121111nnnnnnP注注 意：意： 如果原状态空间表达式中的如果原状态空间表达式中的A A阵为友矩阵，且有阵为友矩阵，且有n n个互异实数个互异实数特征值，特征值， 那么使那么使A A变换为对角形矩阵的变换阵变换为对角形矩阵的变换阵P P是一个是一个范德蒙（范德蒙（VandermondeVandermonde）矩阵：）矩阵： 2009-08CAUC-

51、空中交通管理学院空中交通管理学院67uxx0016116100010 xy0110)det( AI112233【例【例2.3.42.3.4】试将下列动态方程变换为对角标准型。】试将下列动态方程变换为对角标准型。 解：系统特征多项式为解：系统特征多项式为，解出特征值为，解出特征值为由于由于A A为友矩阵，并且有互异实特征值，故而变换矩阵可直接写为如下形式：为友矩阵，并且有互异实特征值，故而变换矩阵可直接写为如下形式：则 ,941321111P5 . 05 . 111435 . 05 . 231P 3000200011APPA1331bPb210 cPc 2009-08CAUC-空中交通管理学院空

52、中交通管理学院68于是变换后的动态方程为：于是变换后的动态方程为：uxx133300020001xy210【例【例2.3.52.3.5】试将下列动态方程变换为对角标准型。】试将下列动态方程变换为对角标准型。 uxx127120010112 xy0012009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院69解：采用另一种方法：解：采用另一种方法：（1 1）系统特征多项式为）系统特征多项式为0)det( AI，解出特征值为，解出特征值为211213（2 2）可由）可由APPAAPPA111，进而求出，进而求出1P。令：。令： 3332312322211312111ppppppppP并带入并带入

53、APPA11，有，有 120010112100010002333231232221131211333231232221131211pppppppppppppppp2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院70解出解出1100101111P，则，则110010101P（3 3）计算）计算bc 3241bPb101 cPc 2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院712 2、动态方程的约当标准型、动态方程的约当标准型如果如果A A阵具有重实特征根，又可分为两种情况：阵具有重实特征根，又可分为两种情况： A A阵阵虽有重特征值虽有重特征值，但矩阵，但矩阵A A仍然仍然有

54、有n n个独立的特征向个独立的特征向量量。这种情况同特征值互异时一样，仍可以把。这种情况同特征值互异时一样，仍可以把A A划分为对角标划分为对角标准型。准型。 另一种情况是另一种情况是矩阵矩阵A A不但具有重特征值不但具有重特征值，而且其，而且其独立独立特征向量的个数也低于特征向量的个数也低于n n。对于这种情况，。对于这种情况，A A阵虽不能变换为阵虽不能变换为对角标准型，但可以变换为约当标准型。对角标准型，但可以变换为约当标准型。2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院72（1 1）约当块和约当阵）约当块和约当阵 形如形如4014、200120012的矩阵，称为约当块。的矩

55、阵，称为约当块。 由若干个约当块组成的准对角线矩阵称为约当矩阵。如由若干个约当块组成的准对角线矩阵称为约当矩阵。如2000012000012000004000014 2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院731（2 2）设）设A A阵具有阵具有m m重实特征值重实特征值，且只有一个独立实特征向量，且只有一个独立实特征向量1p与之对应，则只能使与之对应，则只能使A A化为约当阵化为约当阵J J。nmJ11110011变换矩阵变换矩阵nmmpppppP121式中式中12,.mp pp是是1的广义实特征向量，满足：的广义实特征向量，满足：mmpppAppp2111121111mp，

56、np是互异特征值对应的实特征向量。是互异特征值对应的实特征向量。 2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院74【例【例2.3.62.3.6】试将下列动态方程变换为约当标准型。】试将下列动态方程变换为约当标准型。 uxx100032100010 xy0010) 2() 1(23)det(23AI1231,2 111p111pAp0)(11pAI0132110011131211ppp1111p解：解：（1 1）系统特征多项式为）系统特征多项式为解出特征值为解出特征值为 （2 2）对应于特征值）对应于特征值的特征向量的特征向量，有，有，即，即解出：解出：2009-08CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院752)(1 AIrank11123)(1AIrankn2322212pppp 21210321000101011pppp2322212322211110321000101011111pppppp2221232322