计量方法与误差理论CH5-误差部分

1、第五章第五章 测试数据处理测试数据处理一个简单的数学问题一个简单的数学问题:9 . 23 yx9 . 02 yx9 . 132 yx由由、3517067yx代入代入：01419 . 1351370672第五章第五章 测试数据处理测试数据处理一个实际的例子：电容器的测量（并、串联）一个实际的例子：电容器的测量（并、串联）uFCCCCuFCCuFCuFC1035. 04111. 02056. 02071. 021212121电容最可信赖的值是多少？电容最可信赖的值是多少？求标准米尺的温度膨胀系数：求标准米尺的温度膨胀系数：一个实例一个实例)1 (20ttLL为确定为确定、，需要进行，需要进行2组测

2、量！组测量！ 实际为提高测量精度，往往增加测量组数实际为提高测量精度，往往增加测量组数n，利，利用抵偿性减小随机误差的影响。用抵偿性减小随机误差的影响。根据任意根据任意2个方程求个方程求得的解代入其它方程不能完全满足。得的解代入其它方程不能完全满足。 希望找到一组最佳的解，使希望找到一组最佳的解，使 与零相差很小，从方程组整体上看，这组解可以理与零相差很小，从方程组整体上看，这组解可以理解为解为误差最小的解误差最小的解。)1 (20ttLL这就是最小二乘法的出发点！这就是最小二乘法的出发点！一、最小二乘法的基本原理一、最小二乘法的基本原理测量方程：测量方程：),.,(),.,(212111mn

3、nmxxxfyxxxfy xi为待求解的参数为待求解的参数, yi为直接测量量的估计值，为直接测量量的估计值，nm误差（残差）方程：误差（残差）方程：),.,(),.,(2121111mnnnmxxxflvxxxflv 参数的最佳估计值应在参数的最佳估计值应在残差平方和为最小残差平方和为最小的条的条件下求出，即件下求出，即 。也就是说，另取任一。也就是说，另取任一组其它解，其组其它解，其 都将大于都将大于 。min12niiv2ivniiv12有误差的实际测量值有误差的实际测量值等精度测量的最小二乘原理：niinvvvv1222221最小 不等精度测量的最小二乘原理：niiinnvpvpvpv

4、p122222211最小最小二乘原理最小二乘原理 测量结果的最可信赖值应使残余误差平方测量结果的最可信赖值应使残余误差平方和（或加权残余误差平方和）最小。和（或加权残余误差平方和）最小。二、最小二乘法的基本运算二、最小二乘法的基本运算1、等精度等精度线性函数线性函数运算运算)()(2211121211111mnmnnnnmmxaxaxalvxaxaxalv误差方程：误差方程：m个参数个参数n个方程（个方程（nm）待求解参数待求解参数矩阵形式：矩阵形式：（L、A为测量数据为测量数据）XALV待求解参数待求解参数min)()(minXALXALVV或最小二乘法要求：最小二乘法要求：利用微分求极值：

5、利用微分求极值：n个方程转化成个方程转化成m个新的方程，个新的方程，“正规方程组正规方程组”解出正规方程组，即得符合最小二乘原理的最佳解解出正规方程组，即得符合最小二乘原理的最佳解01212212112xvxvxvxvn先看：先看：021122111112laxaaxaaxaaxvmm将以上各式相加：将以上各式相加：nnnmnmmmnnnnlalalalaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1221111112211111212221121121112121111111高斯符号，对应列相加列号22112222211211221111laxaaxaaxaalaxaaxaaxaalax

6、aaxaaxaammmmmmmmmm得正规方程：得正规方程：对称分布的各系数彼此两两相等如何求解如何求解X？主对角线分布着平方项系数02211mmrrrrxaaxaaxaala对第对第r个方程：个方程：即：即：0)()()()()()(221122112222121221212111112211222222212111121211112211nnrrrmnmnnnnrmmrmmrmnmnrmmrmmrnnrrrnnrrrnnrrrvavavaxaxaxalaxaxaxalaxaxaxalaxaaxaaxaaxaaxaaxaaxaaxaaxaalalala故：正规方程可写成故：正规方程可写成00

7、0221122221121221111nnmmmnnnnvavavavavavavavava0VA矩阵形式：矩阵形式：XALV0VA0)(XALAVALAXAALAAAX1)(）yxmmymmxmmxxxxx(/0000183. 0/)(97.1999/(03654. 0)(97.19993 .340201565017003.1200617060220212121按矩阵形式解算，则有按矩阵形式解算，则有6111ttA0012. 0034. 0034. 013. 11C565017017061621616iiitttnAAC3 .34020103.120061161616161iiiltlllt

8、tLA03654. 097.19991LACX2、不等精度不等精度线性函数线性函数运算运算npppPPVVPV000000minmin212或原理：原理：)1(2iip测量值测量值 li 的方差的方差00022211122222112112212111122112222211211221111nnmnmmnnnnnnmmmmmmmmmmvapvapvapvapvapvapvapvapvaplpaxapaxapaxapalpaxapaxapaxapalpaxapaxapaxapa或0PVA即PLAPAAXXPAAPLAXALPAXALV)(0)(1故：由矩阵解：矩阵解：如果在不等精度误差方程的两

9、端同乘以如果在不等精度误差方程的两端同乘以ip3、（等精度、不等精度）（等精度、不等精度）非线性函数非线性函数运算运算il最终的近似线性方程组：最终的近似线性方程组：再按等精度、不等精度方式处理再按等精度、不等精度方式处理4、最小二乘原理与算数平均值的关系最小二乘原理与算数平均值的关系xlvxlvxlvnn2211正规方程为：正规方程为：nnnnnnnnnppplplplpxlaplaplapxaapaapaaplpaxapa212211122121111112121211111111)()(即三、最小二乘法的精度估计三、最小二乘法的精度估计的精度估计待估计参数的精度估计直接测量量mnxxxl

10、ll,21211、测量数据的精度估计测量数据的精度估计mnv22、最小二乘法估计量的精度最小二乘法估计量的精度nnmmnnmmmmmmladadadladadadladadadladladladx)()()(1212111221221221111111212111112121111nmmnnnmmmmadadadhadadadhadadadh12121111212212211112111212111111nnlhlhlh1212111行的第为矩阵1,111211Cdddm由于：由于：22121221121)(nxhhh)()(12121111nnlhlhlhDxD2212221221211nn

11、hhhmnpv2注：若为非等精度，注：若为非等精度，单位权标准差单位权标准差为：为：（需要对上式进行化简，使结论更明确）（需要对上式进行化简，使结论更明确）001)(001121222121211111211Cddddddddddddmmmmmmm001001)(001)( 1111211CCCCdddCm由于：由于：需要将左边矩阵乘积展开：需要将左边矩阵乘积展开：所以：即为对称矩阵而,212221212111CCaaaaaaaaaaaaaaaaaaCmmmmmm0010010011122111121222111211122111111121121222121211111211mmmmmmmm

12、mmmmmmmmmdaadaadaadaadaadaadaadaadaadddaaaaaaaaaaaaaaaaaadddC22121221121)(nxhhh对于对于将其系数将其系数h展开，并注意到：展开，并注意到：001112211112122211121112211111mmmmmmmmmdaadaadaadaadaadaadaadaadaa适当的合并同类项后得：适当的合并同类项后得：mmxxxdddm221121 结论：结论：)(),(12211的标准差为等精度测量量对角线为lCdddmm（等精度测量等精度测量）对于非等精度测量：对于非等精度测量：mmxxxdddm221121 结论：结

13、论：nnnpppP00000021 通过直接测量待测参数的组合量（一般是等精度），然后对这些测量数据进行处理，从而求得待测参数的估计量及精度估计。四、最小二乘法的组合测量四、最小二乘法的组合测量 以检定三段刻线间距为例，要求检定刻线A、B、C、D间的距离 。321,xxxABCD1x3x2xABCD1l3l2l4l6l5l直接测量各组合量，得mmlmmlmmlmmlmmlmml032. 3981. 1016. 2020. 1985. 0015. 1654321首先列出误差方程)()()(3216632552144333222111xxxlvxxlvxxlvxlvxlvxlv由此可得：11111

14、0011100010001032. 3918. 1016. 2020. 1985. 0015. 1321654321AxxxXllllllL则LAAALACxxxXTTT11321)(式中，21012101241)(11AACT013. 1983. 0028. 1321xxxX 现求上述估计量的精度估计。将最佳估计值代入现求上述估计量的精度估计。将最佳估计值代入误差方程中，误差方程中，008. 0)(015. 0)(005. 0)(007. 0002. 0013. 03216632552144333222111xxxlvxxlvxxlvxlvxlvxlv那么，212000536.0mmvnii

15、测量数据 的标准差为654321,llllllmmmnvnii013. 012已知：已知：5 . 0412, 5 . 0412, 5 . 0412332211ddd则最小二乘估计量 的标准差为321,xxxmmdmmdmmdxxx009. 0009. 0009. 0333222111思考：思考：两个电容器，分别测量其电容（串、并联），两个电容器，分别测量其电容（串、并联），得如下结果得如下结果uFCCCCuFCCuFCuFC1035. 04111. 02056. 02071. 021212121电容最可信赖的值及精度是多少？电容最可信赖的值及精度是多少？例：确定某段导线的电阻与温度之间的关系：

16、温度19.125.030.136.040.046.550.0电阻76.3077.8079.7580.8082.3583.9085.10散点图：20 25 30 35 4045 507678828084从散点图可以看出：从散点图可以看出： 电阻与温度大致成电阻与温度大致成线性关系。线性关系。设测量数据有如下结构形式：设测量数据有如下结构形式：Ntxytt, 2 , 1,0思路思路：要求电阻：要求电阻y与与x的关系，即根据测量数据要求出的关系，即根据测量数据要求出0和和 的估计值。根据测量数据，可以得到的估计值。根据测量数据，可以得到7个测量方程，未知数有两个，而方程个数大个测量方程，未知数有两个，而方程个数大于