自动控制原理第二章控制系统的数学模型

1、 第二章第二章 线性系统的数学模型线性系统的数学模型 2-1 微分方程 2-2 传递函数 2-3 动态结构图 2-4 动态结构图的等效变换 2-5 信号流图与梅逊公式 2-6 典型传递函数与典型环节的传递函数 2-1 系统的微分方程 在实际应用中，绝大多数控制系统在一定的限制条件下，都可以用线性微分方程来描述。用解析法列写系统微分方程的一般步骤为： 1、根据实际工作情况，确定系数和各元件的输入、输出变量。 2、从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理化学定理，列写出动态方程。一般为微分方程。 3、消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程。 4、标准化。 例例2-12-1 设一

2、弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力F(t)与质量块的位移y(t)之间的微分方程。 kF(t)mfy(t)一、系统微分方程的建立2221)()()()(dttydmtFtFtFdttdyftF)()(1解：解：在外力作用下，如果弹簧恢复力和阻尼器阻力与F(t)不能平衡，则质量块将产生加速运动，其速度和位移发生变化。根据牛顿定理有:式中，F1(t)为阻尼器的阻力，F2(t)为弹簧恢复力，它们的方向均与位移的方向相反。由弹簧、阻尼器的特性可得： F2(t)=ky(t) 式中 f 阻尼系数, k 弹性系数 由以上所列方程中消去中间变量得：)(

3、1)()()(22tFktydttdykfdttydkm则有令kKmkfkmT1,2,)()()(2)(222tKFtydttdyTdttydT 式中，T为时间常数，为阻尼比，K为比例系数。例例2-22-2 设RC电路如图所示，若以电压ur为输入，电压uc为输出，试写出该电路的微分方程。urR1R2ucC2i1i2C1 解：设回路电流i1、i2如图中所示，从输入端开始，按信号传递顺序写出各变量间的微分方程式如下：2222121111111)(1iCdtduuiRuiiCdtduuiRucccccrrcccuudtduCRCRCRdtudCRCR)(212211222211urR1R2ucC2i

4、1i2C1由所得方程组消去中间变量得：rcccuudtduCRCRCRdtudCRCR)(212211222211rcccuudtduTTTdtudTT)(3212221令 T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2则有： 注意：整个电路虽然是由两个RC电路所组成，但不能把它看作是两个独立的RC电路的连接。因为第二级电路的i2要影响第一级电路的uc1，列写方程式应考虑这个影响。这种后一级对前一级的影响叫做负载效应。存在负载效应时，必须把全部元件作为整体来加以考虑。本例若不考虑负载效应时，有： 1221111cccrccuudtduCRuudtduCR第二级第一级rcccuudtduCRCR

5、dtudCRCR)(2211222211rcccuudtduTTdtudTT)(212221或显然，与前面得到的结果不同。消去中间变量得：例例2-3 2-3 设在下图所示R-L-C电路中，R、L、C均为常值，ur(t)为输入电压，uc(t)为输出电压，输出端开路(或负载阻抗很大，可以忽略)。要求列出uc(t)与ur(t)的关系方程式。解：（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式：)(1tuidtCRidtdiLridtCtuc1)(（2）式中i 是中间变量，它与输出uc(t)有如下关系： （3）消去中间变量i后，便得输入输出微分方程式 式中T1=L/R，T2=RC为该电路的两个时间常数。当t的单

6、位为秒时，它们的单位也为秒。 或分析： 一、以上元件或系统的运动方程式都属于线性微分一、以上元件或系统的运动方程式都属于线性微分方程式；方程式； 二、满足叠加原理；二、满足叠加原理； 三、可应用线性理论进行分析和设计；三、可应用线性理论进行分析和设计； 四、实际情况中，系统中的元件都具有一定的非线四、实际情况中，系统中的元件都具有一定的非线性；性； 五、对于非线性因素较弱的系统，一般将非线性元五、对于非线性因素较弱的系统，一般将非线性元件在合理的条件下简化为线性元件；件在合理的条件下简化为线性元件；二、非线性数学模型的线性化小偏差法，是常用的线性化方法之一。小偏差法，是常用的线性化方法之一。概

7、念：只假定控制系统有一个额定工作状态及与其概念：只假定控制系统有一个额定工作状态及与其相应的平衡工作点，在控制系统的整个调节过程相应的平衡工作点，在控制系统的整个调节过程中，所有变量离平衡工作点的偏差量都很小。中，所有变量离平衡工作点的偏差量都很小。数学方法：将非线性函数数学方法：将非线性函数y=f(x)在其工作点在其工作点（x0,y0)展开成泰勒级数，然后忽略二次以上的展开成泰勒级数，然后忽略二次以上的高阶项，可得到用来代替原来非线性函数的线高阶项，可得到用来代替原来非线性函数的线性化增量方程。性化增量方程。y= x例例2-4 （流体过程（流体过程 ） 下图中流入流量为q1，流出流量q2，它

8、们受相应的阀门控制。设该系统的输入量为q1，输出量为液面高度h，写出它们之间的微分方程式： 解：（1）设流体是不可压缩的，根据物质守恒定律，可得： Cqqdttdh21)(（2）求出中间变量q2与其它变量的关系。由于通过节流阀的流体是紊流，按流量公式可得 式中： C 液罐截面积(米2)； h 液面高度(米)； q1、q2 流入、流出流量(米3 /秒)。dtqqtCdh)()(21)()(2thatq式中a为节流阀的流量系数(2.5米/秒)，当液体变化不大时，可近似认为只与节流阀的开度有关，现在设节流阀开度保持一定，则a为常数。（3）消去中间变量q2 ，就得输入输出关系式它是一阶非线性微分方程式

9、。 )(1)()(1tqCthCadttdh)()(2thatqCqqdttdh21)(假设在正常生产过程中，水位能够经常保持在h0（对应的流出量为q20）附近并在较小范围内变化，则可以利用小偏差线性化方法写出此过程的增量方程式q2(t)= （1/R）h(t)式中R为出水管路的阻力系数，可认为是在a点处斜率的倒数。021hhdhdqR根据公式求出a点处的斜率0200020222100hqhhqdhhaddhtdqhhhh）（）（)()(21tqtqdttdhC）（线性微分方程可写成增量的形式)()(2thatq)()(21tqtqdttdhC）（q2(t)= （1/R）h(t)消除中间变量，省

10、略增量符号，得到)()(1tRqthdttdhRC）（这就是线性化的微分方程式。例例2-5 （热力系统（热力系统 ） 下图表示一个热水供应系统，为了保证一定的热水温度0 ，由电热器提供热流量i(瓦特)。在本系统中，输入量为 i ，输出量为0 。假定环境温度为i ，进水温度也是i ，并且水箱中各处温度相同(即用集中参数代替分布参数)， 写出系统微分方程和表示系统热水温升的微分方程式。解：设C 水箱中水的热容量(焦耳/）； 0 水箱中水的温度()。 Q 出水流量(千克/秒)； Cp 水的比热(焦耳/千克)。 R 由水箱内壁通过热绝缘扩散到周围环境的等效热值(/瓦特)。 t 供给水箱中水的热流量(瓦

11、特)； 0 出水带走的热流量(瓦特)； c 进水带入的热流量(瓦特)； s 通过热绝缘耗散的热流量(瓦特)。（1）按能量守恒定律可写出热流量平衡方程 （2）找出中间变量与其它因素关系 （3）将以上各式代入热平衡方程，便得系统的微分方程式 或：式中T=RC为热时间常数(秒)。 上式是一个一阶非线性微分方程式。影响热水温度0的扰动有出水流量Q和进水温度i。当出水流量Q一定，环境温度和进水温度i也为常值时，可令 上式为一阶线性定常微分方程式。 为温升，系统输出为温升时的微分方程式为列写微分方程要注意：)()()()()()()()(0111101111trbdttdrbdttrdbdttrdbtca

12、dttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn返回确切反映系统的动态性能，忽略次要因素，简化分析计算。 在一般情况下，描述线性定常系统的微分方程为C(t)为输出量，r(t)为输入量，所有系数为实常数。对实际系统有nm。2-2 线性系统的传递函数 控制系统的微分方程，是时域中描述系统动态性能的数学模型，求解微分方程可以得到在给定外界作用及初始条件下系统的输出响应，并可通过响应曲线直观地反映出系统的动态过程。但系统的参数或结构形式有变化，微分方程及其解都会同时变化，不便于对系统进行分析与研究。 以RC电路为例，引入传递函数的定义根据求解微分方程的拉氏变换法，可以得到系统的另一种数学模

13、型传递函数。它不仅可以表征系统的动态特性，而且可以方便地研究系统的参数或结构的变化对系统性能所产生的影响。在经典控制理论中广泛应用的根轨迹法和频率法，就是在传递函数基础上建立起来的。 一、传递函数的定义 )492()()()()()()()()(0111101111trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn若线性定常系统的微分方程为在初始条件为零时，对（2-49）进行拉氏变换，得线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的变换与输入量的拉氏变换之比，称为

14、该系统的传递函数。传递函数。 根据传递函数的定义，描述该线性定常系统的传递函数为)502()()()(01110111asasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm 可见，传递函数是由系统微分方程经拉氏变换而引出的。)()(01110111sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn 系统输入、输出及传递函数之间的相互关系可用下图表示，输出是由输入经过G(s)的传递而得到的，因此称G(s)为传递函数。因为传递函数是在零初始条件下定义的，故在初始条件为零时，它才能完全表征系统的动态性能。二、传递函数的性质 从线性定常系统传递函数的定义可知，传递函数具有以下性质： 1.1.传递函

15、数表示系统传递输入信号的能力，反映系统本身的动态特性，它只与系统的结构和参数有关，与输入信号和初始条件无关。 2.2.传递函数是复变量s的有理分式函数，其分子多项式的次数m低于或等于分母多项式的次数n，即mn。且系数均为实数。3.3.在同一系统中，当选取不同的物理量作为输入、输出时，其传递函数一般也不相同。传递函数不反映系统的物理结构，物理性质不同的系统，可以具有相同的传递函数。 4.4.传递函数的定义只适用于线性定常系统。5.5.为了方便，常把传递函数分解为一次因式的乘积， 式（2-51）中的K常称为传递函数的增益或传递系数（放大系数）。式（2-52）中zj(j=1.2.m)为分子多项式的根

16、，称为传递函数的零点。Pi(1.2.n)为分母多项式的根，称为传递函数的极点。)522()()()()()()()()512() 1() 1() 1() 1)(1() 1() 1)(1()(112121112121niimjjrnmrniimjjnmpszsKpspspszszszsKsGsTsKsTsTsTsssKsG或传递函数的零、极点可以是实数或零，也可以是复数，由于传递函数分子、分母多项式的系数都是实数，故若有复数零极点时，它们必是成对共轭的。 传递函数的分母多项式就是相应微分方程式（2-49）的特征多项式，令该分母多项式等于零，就可得到相应微分方程的特征方程。在特征方程中，s的最高阶

17、次等于输出量最高阶导数的阶次，如果s的最高阶次等于n，这种系统就称为n阶系统。三、典型环节的传递函数 一个物理系统是由许多元件组合而成的，虽然元件的结构和作用原理多种多样，但若考察其数学模型，却可以划分成为数不多的几种基本类型，称之为典型环节。这些环节是比例环节、惯性环节、积分环节、振荡环节、微分环节和滞后环节。1.比例环节 比例环节又称放大环节。其数学方程为)532()()(tKrtc)542()()()(KsRsCsG式中c(t)为输出量，r(t)为输入量，K为放大系数（或增益）。比例环节的传递函数为 比例环节的输出量能够既不失真又不延迟地反映输入量的变化，下图给出比例环节的实例。-+Ai

18、0R0R1i1uruc 在上图中，运算放大器具有很大的开环放大系数，且其输入电流很小，可以忽略，因此A点对地电位近似为零，于是有i0=i1=ur/R0，而电压uc又近似等于R1两端电压，故有式中uc为输出电压，ur为输入电压，K=R1/R0为比例系数。 rrccrKuuRRuRuRu0110或u 下图为一测速发电机，在不计所接负载的影响时，其输出端电压u与输入转速n的关系为 u=Kn式中K为测速发电机的比例系数 2.惯性环节 惯性环节又称非周期环节，其输入、输出间的微分方程为)562(1)()()()552()()()(TsKsRsCsGtKrtcdttdcT传递函数为式中T为时间常数，K为比

19、例系数 惯性环节的输出量不能立即跟随输入量的变化，存在时间上延迟，时间常数愈大惯性愈大，延迟时间也愈长，时间常数T表征了该环节的惯性。 若在零初始条件下对惯性环节输入单位阶跃信号，则有)111(11)()()(TssKsTsKsRsGsC)1()(TteKtC由拉氏变换得 可见，在单位阶跃输入时惯性环节的输出量是按指数函数变化的。当t=3T4T时，输出才能接近其稳态值。如下图所示惯性环节的实例如下图所示。rccuudtduTRCur(a)uc 在图(a)所示的电路中，输出电压uc与输入电压ur间的微分方程为式中T=RC，为电路的时间常数。 3.积分环节)582()(1)()()572()()(

20、dttrTdttrtctKrdttdc或)592(1)()()(TssKsRsCsG传递函数为 式中K=1/T，称为积分环节的放大系数，而T称为积分时间常数。 积分环节的微分方程是积分环节的输出量是与其输入量的积分成比例的。由式（2-58）求得积分环节的单位阶跃响应为 c(t)=Kt单位阶跃响应的斜率为 K，如下图所示。 下图给出了积分环节的实例。 在图(a)中，因为 而输出电压uc近似等于电容两端电压，所以有 RuiircdtuRCdticurcc11dttnTt)(1)(-+Ruruc(a)iicC(b)nur 在图(b)中，以电动机的转速n(转/分)为输入量，以减速齿轮带动负载运动的轴的

21、角位移为输出量，可得微分方程式中T为计及转速、转角单位关系的常数。4.振荡环节)()()()()(6022222tKrtcdttdcTdttcdT)()()()(6121222TssTKsRsCsG传递函数为式中T为时间常数，为阻尼比，对振荡环节有 0 1振荡环节的微分方程是当输入为单位阶跃函数时，可用拉氏变换求得环节的输出响应，如下图所示 下面给出了振荡环节的实例。图(a)中，输出电压uc和输入电压ur之间的微分方程为rcccuudtduRCdtudLC22RLCuruc(a)图(b)中，输出位移y(t)与输入作用力F(t)之间的微分方程为)(1)()()(22tFktydttdykfdtt

22、ydkmF(t)Kmfy(t)(b)可见它们都是典型的振荡环节。5.微分环节)622()()(dttdrtc)632()()()(ssRsCsG传递函数为式中为微分时间常数。 理想微分环节在瞬态过程中其输出量是输入量的微商，该环节的数学运算是微分运算。 理想微分环节的微分方程为理想微分环节的单位阶跃响应为)()()(tdttdrtc这是一个强度为的理想脉冲。 在实际物理系统中得不到这种理想微分环节。 下图给出了微分环节的实例。dttduRCtudttduRCrcc)()()(。式中传递函数为RCsssssususGrc111)()()(RCur(a)uci 在图(a)的电路中，输出电压uc与输

23、入电压ur间的微分方程为 在图(b)中，输出电流i(t)与输入电压ur(t)间的微分方程为 CRi1i2uri(b)tudttduRtirr)()(1)(RsRsRsUsIsG1) 1(1)()()(其传递函数为RC。式中6.纯滞后环节式中为纯滞后时间。 当输入作用到环节以后，其输出量要等待一段时间后，才能复现输入信号，在时间0到的时间内，输出量为零，这种具有延时效应的环节称为纯滞后环节。纯滞后环节的数学表达式为)642()()(trtc)652()()()( sesRsCsG传递函数为式中为纯滞后时间。当输入信号为下图(a)所示的单位阶跃函数时，其响应曲线如下图(b)所示。(a)(b) 上述

24、各典型环节，是从数学模型的角度来划分的。它们是系统传递函数的最基本的构成因子。在和实际元件相联系时，应注意以下几点： 系统的典型环节是按数学模型的共性来划分的，他与系统中使用的元件并非都是一一对应的，一个元件的数学模型可能是若干个典型环节的数学模型的组合。而若干个元件的数学模型的组合也可能就是一个典型的数学模型。 在分析和设计系统时，将被控对象（或系统）的数学模型进行分解，就可以了解它是由哪些典型环节所组成的。因而，掌握典型环节的动态特性将有助于对系统动态特性的分析研究。 典型环节的概念只适用于能够用线性定常数学模型描述的系统。 同一装置（元件），如果选取的输入、输出量不同，它可以成为不同的典

25、型环节。如直流电动机以电枢电压为输入、转速为输出时，它是一个二阶振荡环节。但若以电枢电流为输入、转速为输出时，它却是一个积分环节。式中 都是微分环节和比例环节的组合，称为一阶微分环 节和二阶微分环节。由于它们在控制系统中较常用，所以也可以把他们当作典型环节对待。) 12() 1(2,222sssnvrKmqbibibiai和 既然可以把组成控制系统的元件划分为若干典型环节，那么控制系统的传递函数也可以写成如下一般形式)662() 12() 1() 12() 1()(111221221 viKiridididiciiibibibiqiaisTsTsTssssKsG四、控制系统的传递函数 对于简单

26、的控制系统，在求取它的传递函数时，可以采用直接计算法。即先列写系统的微分方程，再经过拉氏变换来求出系统的传递函数。 例例2-9 设下图所示电路中，输入电压为u0，试写出其传递函数。uru0C1i2R1i1iR2C2解：根据电路的基本定理可以得到如下的关系式)682()(02dtuudCir)672()(1011uuRir消去中间变量，得到输入、输出的微分方程式rrrudtduCRCRdtudCRCRudtduCRCRCRdtudCRCR)()(22112222110021221120222111)702(220idtCiRu)692(21iii)(02dtuudCir)(1011uuRir由此

27、得出该电路的传递函数为rrrudtduCRCRdtudCRCRudtduCRCRCRdtudCRCR)()(2211222211002122112022211)( 1)()( 1)(221122211021221122211sUsCRCRsCRCRsUsCRCRCRsCRCRr1)(1)()(21221122211221122211sCRCRCRsCRCRsCRCRsCRCRsG在零初始条件下，对上式进行拉氏变换，得 在上述计算过程中，如果先对所列写的微分方程组作拉氏变换，再消去中间变量，可简化计算。)702(1)692(22021idtCiRuiii)(1)()()()()()()()()(

28、)(1)(22021012011sIscsIRsUsIsIsIsUsUscsIsUsURsIrr 在零初始条件下，对方程组取拉氏变换，得到)682()()672()(102011dtuudCiuuRirr)(1)()()()()()()()()()(1)(22021012011sIscsIRsUsIsIsIsUsUscsIsUsURsIrr)( 1)()( 1)(221122211021221122211sUsCRCRsCRCRsUsCRCRCRsCRCRr1)(1)()(21221122211221122211sCRCRCRsCRCRsCRCRsCRCRsG传递函数为消去中间变量可得 由以上

29、计算可看出，系统越复杂方程越多，消去中间变量的过程也就越复杂。因此，复杂的控制系统传递函数的求取主要采用图解法，即首先画出系统的动态结构图，然后利用图形简化规则或直接应用计算公式就可以求得系统的传递函数。第三节 控制系统的结构图 控制系统的结构图是描述系统各组成元部件之间信号传递关系的数学图形，它表示系统中各变量所进行的数学运算和输入、输出之间的因果关系。采用结构图，不仅能方便地求取复杂系统的传递函数，而且能形象直观地表明信号在系统或元件中的传递过程。一、结构图的组成 把各环节或元件的传递函数填在系统原理方块图的方块中，并把相应的输入、输出信号分别以拉氏变换来表示，就可以得到传递函数方块图，这

30、种图形既说明了信号之间的数学物理关系，又描述了系统的动态结构，因此称之为系统的动态结构图简称为结构图。举例：以RC网络说明结构图的概念 系统结构图的基本组成应注意：只有具有相同因次或量纲的量才能进行加减运算。 nkrkcsXsX1)()(“+”可省略不写。信号比较点的运算关系为二、结构图的画法 绘制系统结构图的步骤如下：1.列写出系统各元件的微分方程。在建立方程时应分清各元件的输入量、输出量，同时应考虑相邻元部件之间是否有负载效应。2.在零初始条件下，对各微分方程进行拉氏变换，并将变换式写成标准形式。3.由标准变换式利用结构图的四个基本单元，分别画出各元部件的结构图。4.按照系统中信号的传递顺

31、序，依次将各元部件的结构图连接起来，便可得到系统的结构图。 例例2-112-11 在图2-28的滤波电路中，输入电压为ur，输出电压为uc，试画出其结构图。 221icdtduc221uiRucc2111)(1iicdtduc111uiRucr.1 列写各元件的微分方程解 2.对上述方程进行拉氏变换，并整理成标准式。)(1)()()(1)()()(1)()()(1)(221222111111sIsCsUsUsURsIsIsIsCsUsUsURsIcccccr得)(1)()()()()()(1)()()()(222212111111sICssUsUsIRsUsIsICssUsUsIRsUcccc

32、cr由3.按标准变换式画出各元件的结构图，如图2-29所示。 例2-12 在图2-31所示电路中，输入电压为ur，输出电压为uc，试画出系统的结构图。 第四节 结构图的等效变换 结构图变换应按等效原理进行，所谓等效，就是对结构图的任一部分进行变换时，变换前、后其输入、输出总的数学关系应保持不变。1.串联连接方式的等效变换前一环节的输出量是后一环节的输入量的连接称为环节的串联。如下图所示，各环节的传递关系为 这表明环节的串联可以用一个等效环节去取代，如下图所示，等效环节的传递函数为串联各环节传递函数的乘积。写成一般形式为)()()()()()(32114sGsGsGsRsRsG串联后总的传递函数

33、为)()()()()()()()()()()()()(1123334223112sRsGsGsGsRsGsRsRsGsRsRsGsR 这表明环节的串联可以用一个等效环节去取代，如下图所示，等效环节的传递函数为串联各环节传递函数的乘积。写成一般形式为)712()()(1niisGsG 在考虑两环节是否为串联时要注意以下两点： 环节之间应无负载效应。否则要考虑将它们作为一个整体，而不能分为两个独立的部分。 串联连接的环节之间应无分支点和综合点，否则它们就不是串联。2.并联连接方式的等效变换 输入量相同，输出量相加或相减的连接称为并联。如下图所示，三个环节的输入部分都为r(t)，而输出分别为)()(

34、)()()()()()()()()()()()()()()(321321332211sRsGsGsGsCsCsCsCsRsGsCsRsGsCsRsGsC 故并联后总的传递函数为niisGsG1)()( 这表明几个环节并联时，可以用一个等效环节去取代，如下图所示。等效环节的传递函数为各环节传递函数的代数和。写成一般形式为3.反馈连接方式的等效变换 如果将系统或环节的输出反馈到输入端与输入信号进行比较，就构成了反馈连接，如下图所示。其中G1(s)和G2(s)可以是等效方块图，即它们可以是由若干元件方块串、并联组成。按图中的传递关系有按图中的传递关系有)()()()()()()()()()()()(

35、)()()()()()(2112112sCsGsGsRsGsCsGsRsGsEsGsCsBsRsEsCsGsB 可见，反馈连接可以等效为一个环节，如下图所示。等效环节的传递函数如上式所示。)()(1)()(211sGsGsGsG由此得)()()()(1)(121sRsGsGsGsC所以4.分支点的移动规则 将分支点跨越元件方块图移动时，必须遵循移动前后所得的分支信号保持不变的等效原则。如下图所示，分支点在元件方块图的输入端A 处时，两个分支端的输出分别为)()(2sRsC)()()(1sRsGsC将分支点越过元件方块图移动到B点，此时第一个支路的信号保持不变，而第二条分支信号将为C1(s)，比

36、变换前增大了G(s)倍，为此，可在移动后的分支中串入一个元件方块图，其传递函数为1/G(s)，如下图所示，于是，移动后的两个分支的输出分别为 显然移动前后的分支输出信号不变，达到了等效变换的目的。1)()()()(12sRsCsGsC)()()(1sRsGsC 类似的，如下图所示，分支点在输出端B处，两个输出分别为)()()()()()(21sRsGsCsRsGsC 将分支点越过元件方块图移到A点，则第一条分支的信号不变，而第二条支路的信号为R(s)，比原分支信号缩小G(s)倍。 因此，若在该分支中串入一个元件方块图，其传递函数为G(s)，如下图所示，则移动后两分支的输出分别为)()()()(

37、)()(21sRsGsCsRsGsC显然，移动前后的分支信号保持不变，达到等效变换的目的。 分支点移动的规则为：若分支点从一个方块图的输入端移到其输出端时，应在移动后的分支中串入一个方块图，它的传递函数等于所跨越的方块图的传递函数的倒数。若分支点从一方块图的输出端移到其输入端时，应在移动后的分支中串入一个方块图，它的传递函数等于所跨越的方块图的传递函数。5.综合点（比较点）的移动规则 将综合点跨越元件方块图移动时，应遵循移动前后总输出量保持不变的等效原则。如下图(a)所示，当综合点在A处时，总输出量为 C(s)=G(s)R1(s)-R2(s) 当综合点移到B处时，必须使两个输入都经过元件方块图

38、后再相加，如下图(b)所示，此时 C(s)=G(s)R1(s)-G(s)R2(s) 它和移动前是相等的，因而两图是等效的。 类似地，如下图(a)所示，综合点在A 处时，总输出为 当综合点移到B点，从总输出量看，这相当于使R2(s)增大了G(s)倍，因此，必须在移动后的R2(s)支路中串入一个方块图，其传递函数为1/G(s)，如下图(b)所示。 C(s)=G(s)R1(s)-R2(s)()()()()(1)()()(2121sRsRsGsRsGsRsGsC它和移动前是等效的，故两图也是等效的。这样，移动后的总输出为综合点（比较点）移动的规则为： 若综合点从一个方块图的输入端移到其输出端时，应在移

39、动后的分支中串入一个方块图，它的传递函数等于所跨越方块图的传递函数。若综合点从一个方块图输出端移到其输入端时，应在移动后的分支中串入一个方块图，它的传递函数等于所跨越的方块图的传递函数的倒数。 当综合点之间相互移动时，如下图所示，因为三者输出都为 C(s)=R1(s)-R2(s)-R3(s) 故它们都是等效的。可见，互换综合点的位置，不会影响总的输入输出关系。四、系统结构图的简化 利用结构图的变换规则简化系统的结构图时，可根据具体情况采取不同的简化方法。如果结构图只有简单的串、并联和反馈连接时，可先计算简单的串、并联和反馈连接部分，然后再逐步简化整个结构图。如果结构图中存在交叉连接或交叉反馈时

40、，则先应作分支点或综合点的移动，消去交叉现象后，再按简单连接方式逐步简化。 例2-14 简化下图所示多回路系统，并求出系统的传递函数C(s)/R(s)。解：这是一个没有交叉现象的多环系统，里面的回路称为局部反馈回路，外面的回路称为主反馈回路。简化时不需要将分支点和综合点作前后移动。可按简单串、并联和反馈连接的简化规则，从内部开始，由内向外逐步简化。 首先将局部反馈回路的前向通路按串联规则简化，反馈通路按并联规则简化，如下图(a)所示。 然后按反馈连接规则简化局部反馈回路，并进一步将主反馈回路化为最基本的反馈形式，如下图(b)(c)所示。最后求得系统的传递函数。)()()()(1)()(5432

41、32sGsGsGsGsGsG)()()()(1)()(543232sGsGsGsGsGsG)()()()(1)()()(5432321sGsGsGsGsGsGsG)()()()()()()()(1)()()()()(63215432321sGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsRsC)()()()(1)()()(5432321sGsGsGsGsGsGsG 例2-15 简化下图所示结构图，并求系统的传递函数U Uc c(s)/U(s)/Ur r(s)(s)。1/R11/C1S1/R21/C2SUr(s)-B-AUc(s) 解：该结构图存在交叉反馈，因此应先作分支点、综合点的移动，将结构图简

42、化为简单的串、并联和反馈连接形式，再作进一步的简化。 首先将分支点A和综合点B作移动，如下图(a)所示。根据移动规则，分支点移动时应在分支线上串入一个方块图，它的传递函数等于所越过的方块图的传递函数的倒数。综合点B移动时，应在被移动的分支中串入一个方块图，它的传递函数等于所越过的方块图的传递函数的倒数，然后交换综合点。1/R11/C1s1/R21/C2sR1C2sUr(s)Uc(s)-(a)1/R11/C1S1/R21/C2SUr(s)-B-AUc(s)按串联连接和反馈连接的规则将图(a)化为图(b)，1/R11/C1s1/R21/C2sR1C2sUr(s)Uc(s)-(a)(b)1111sC

43、R1122sCRR1C2sUr(s)Uc(s)1)(121221122211sCRCRCRsCRCRUr(s)Uc(s)(c)(b)1111sCR1122sCRR1C2sUr(s)Uc(s)1)(121221122211sCRCRCRsCRCRUr(s)Uc(s)(c)1)(1)()()(21221122211sCRCRCRsCRCRsRsCsG 由此可见，当系统结构图中出现交叉连接和交叉反馈时，简化过程中就需要移动分支点或综合点。至于在简化时是前移还是后移，移分支点还是综合点，有时都是可行的，但繁简程度却不相同。因此必须注意选择适当的移动方法。 应该注意的是，对于有多个输入的系统，不能笼统地

44、应用上面的规则去简化结构图。这是因为传递函数是定义为某个输入和其相应的输出在零初始条件下拉氏变换之比。对多个输入就有多个相应的传递函数，故简化时必须分别对每个输入逐个进行结构图变换，以求得各自的传递函数。同样，对于有多个输出的情况也应分别变换。方块图是一种很有用的图示法。对于复杂的控制系统，方块图的简化过程仍较复杂，且易出错。Mason提出的信号流图，既能表示系统的特点，而且还能直接应用梅逊公式方便的写出系统的传递函数。因此，信号流图在控制工程中也被广泛地应用。因果增益节点 输出方向2x1x1122xax 12a1.信号流图中的术语第五节 信号流图与梅逊公式一、信号流图1Mixed nodei

45、nput node(source)1x2x3x4x5x6x23a32a34a45a25a44a24a12a43a1235453a1x5x432,xxx输入节点：具有输出支路的节点。图中的输出节点（阱，坑）：仅有输入支路的节点。有时信号流图中没有一个节点是仅具有输入支路的。我们只要定义信号流图中任一变量为输出变量，然后从该节点变量引出一条增益为1的支路，即可形成一输出节点，如图中的混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。图中的前向通路：开始于输入节点，沿支路箭头方向，每个节点只经过一次，最终到达输出节点的通路称之前向通路。54321xxxxx145342312paaaa5421xxxx2452

46、412paaa521xxx32512paa前向通路上各支路增益之乘积，称为前向通路总增益 用 表示。 kp回路（闭通路）:起点和终点在同一节点，并 与其它节点相遇仅一次的通路。232xxx2342xxxx343xxx32231aaL 3243242aaaL 43343aaL 2352xxxx23542xxxxx3543xxxx44xx 54321xxxxx145342312paaaa5421xxxx2452412paaa521xxx32512paa前向通路上各支路增益之乘积，为前向通路总增益 用 表示。 kp1Mixed nodeinput node(source)1x2x3x4x5x6x23

47、a32a34a45a25a44a24a12a43a1235453a回路（闭通路）回路（闭通路）: :起点和终点在同一节点，并起点和终点在同一节点，并 与其它节点相遇仅一次的通路。与其它节点相遇仅一次的通路。232xxx2342xxxx343xxx32231aaL 3243242aaaL43343aaL2352xxxx23542xxxxx3543xxxx44xx 1Mixed nodeinput node(source)1x2x3x4x5x6x23a32a34a45a25a44a24a12a43a1235453a回路中所有支路的乘积称为回路增益，用 表示 。aL不接触回路：回路之间没有公共节点时

48、，这种回路叫做不接触回路。在信号流图中，可以有两个或两个以上不接触回路。232xxx和44xx2352xxxx和44xx 例如： 信号流图的性质信号流图适用于线性系统；支路表示一个信号对另一个信号的函数关系，信号只能沿支路上的箭头指向传递；在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把相加后的信号送到所有的输出支路；具有输入和输出节点的混合节点，通过增加一个具有单位增益的支路把它作为输出节点来处理；对于一个给定的系统，信号流图不是唯一的，由于描述同一个系统的方程可以表示为不同的形式。二、二、 信号流图的绘制信号流图的绘制 由微分方程绘制 方程，这与画方块图差不多。由系统方块图绘制。 s画出图2-3

49、1所示系统方块图的信号流图。HRBC1G2G3G4G1A2A图2-31系统方块图 解：用小圆圈表示各变量对应的节点21,AA只需在比较点后设置一个节点一个节点便可。也即可以与它前面的比较点共用一个节点。 例2-12在比较点之后的引出点在比较点之后的引出点 HRBC1G2G3G4G1A2A图2-31系统方块图 解：用小圆圈表示各变量对应的节点在比较点之后的引出点在比较点之后的引出点 21,AA只需在比较点后设置一个节一个节点点便可。也即可以与它前面的比较点共用一个节点。 在比较点之前的引出点在比较点之前的引出点B，需设置两个节点两个节点，分别表示引出点和比较点，注意图中的 1e2eR1e1-H2

50、G1G3G4G1e2e前向通路及前向通路传递函数：信号从输入端开始，沿着箭头方向传递到输出端时，每个方块和综合点只经过一次的通路，称为前向通路。前向通路上所有传递函数的乘积，称为前向通路传递函数。1/R11/C1s1/R21/C2sR1C2sUr(s)Uc(s)-二、用梅逊(S.J.Mason)公式求传递函数回路及回路传递函数：信号传递的起点就是其终点，而且每个方块和综合点只通过一次的闭合通路，称为回路。回路中所有传递函数的乘积（包括代表回路反馈极性的正、负号），称为回路传递函数。1/R11/C1s1/R21/C2sR1C2sUr(s)Uc(s)-梅逊公式一般形式为KjijiiLLLLLLs1

51、)(称为特征式，且为待求的总传递函数。式中nKKKPs1)(式。条前向通路的特征余子下的部分，称为第所在项除去后所余条前向通路接触的回路中，将与第在条前向通路传递函数。第KKKPKK之和。路的回路传递函数乘积所有三个互不接触回之和。路的回路传递函数乘积所有两两互不接触回数之和。所有不同回路传递函其中KjijiiKjijiiLLLLLLLLLLLL1的求法。，下面以实例说明KKP 例2-16 用梅逊公式求下图所示系统的传递函数。G1G2G4G3G5G6H4H2H3H1RC-44343543232216543211HGGLHGGLHGGLHGGGGGGL解 图2-48中共有四个不同回路，其回路传递

52、函数分别为故 Li=L1+L2+L3+L4 由于L1、L2、L4均为负反馈回路，故它们的回路传递函数前面置以负号。 在上述四个回路中，只有L2、L3为互不接触回路，它们之间没有重合的部分，因此有 图中没有三个互不接触回路，故 LiLjLK=0 LiLj= L2L3=(-G2G3H2)(G4G5H3)=G2G3G4G5H2H332543244335423216543213243211)(11HHGGGGHGGHGGHGGHGGGGGGLLLLLLLLLjii于是可得特征式图中只有一条前向通路，且该前向通路与四个回路均接触，所以116543211GGGGGGP注意 ：应用梅逊公式可以方便地求出系统

53、的传递函数，而不必进行结构图变换。但当结构图较复杂时，容易遗漏前向通路、回路或互不接触回路。因此在使用时应特别注意。3254324433542321654321654321111)(HHGGGGHGGHGGHGGHGGGGGGGGGGGGPs传递函数为由梅逊公式求得系统的 例2-17 用梅逊公式求如图所示系统的传递函数。G1G2Rx1-x2x3x4Cx6x5+253422151642531214165342121316531221642111xxxxxGGLxxxxxxxGGLxxxxxxxGGLxxxxxGLxxxxxGL00KjijiLLLLL触，故上述五个回路均互相接的路线分别为其回路传

54、递函数和经过路图中共有五个不同的回解,212121215432131)3(1)(11GGGGGGGGLLLLLLi求得特征式为CxxxxxxRGGPCxxxxxxRGGPCxxxxRGPCxxxxRGP642531214653421213653122642111经过的线路分别为其前向通路传递函数和图中有四条前向通路，2121212121212121214131231)(GGGGGGGGGGGGGGGGGGPsKKK传递函数为由梅逊公式求得系统的14321五个回路相接触，所以上述四条前向通路均与 例2-18 用梅逊公式求如图所示系统的传递函数。1/R1/Cs1/R1/Cs1/R1/CsUrUc-

55、。，回路，它们是出六组两两互不接触的这五个回路中，可以找故，即其回路传递函数均相同图中有五个不同回路，解RCsLRCsLLLLLi515432116511,11651112223331113331333222333RCssCRsCRPUUsCRPsCRsCRRCsLLLLsCRLLLrcKjiiKji传递函数为由梅逊公式求得系统的路均接触，故，该前向通路与所有回图中只有一条前向通路，故个互不接触的回路，即五个回路中，有一组三22222254433251312161sCRLLsCRLLLLLLLLLLLLji故同，即回路传递函数乘积均相各两两互不接触回路的 由上述例题可见，用梅逊公式直接求出系统

56、的传递函数比用结构图简化的方法要方便得多。特别是对复杂的多环系统更显出其优越性。不过，初学者往往在计算，Pk和k时容易少算回路或算错互不接触回路，对，Pk和k的含义也容易混淆。因此，初学者应反复实践，并可用结构图简化的方法来验算计算的结果。2.6 控制系统的传递函数 反馈控制系统在工作过程中通常会受到给定输入和扰动输入的作用，系统的输出响应是由这两类输入共同作用的结果。由传递函数的定义可知，我们得不出一个既考虑给定输入又考虑干扰输入的传递函数，但是，对于线性定常系统，却可以通过给定输入与其相应输出间的传递函数和扰动输入与其相应输出间的传递函数来分别计算它们单独作用时的输出，然后利用叠加原理，就

57、可以得到既考虑给定输入又考虑扰动输入的输出响应。下面我们根据控制系统的典型结构图来讨论系统的几种传递函数的概念。前向通道：前向通道：R(s)到C(s)的信号传递通路反馈通道：反馈通道：C C(s)到B(s)的信号传递通路系统闭环传递函数系统闭环传递函数：反馈回路接通后， 输出量与输 入量的比值。单独处理线性叠加系统对控制量控制量R(s)R(s)的闭环传递函数系统对扰动量动量N(s)N(s)的闭环传递函数一、系统的传递函数一、系统的传递函数1.系统的开环传递函数 在下图所示的反馈控制系统中，偏差信号为 e(t)=r(t)-b(t)或 E(s)=R(s)-B(s) G(s)H(s)R(s)C(s)E(s)B(s)-A 说明：开环传递函数并不是开环系统的传递函数，而是指闭环系统的开环传递函数。这相当于反馈回路的A点，求反馈信号与输入信号的传递函数。 开环传递函数等于前向通路传递函数与反馈通路传递函数的乘积。对于单位反馈系统，H(s)=1，此时，系统的开环传递函数等于前向通路传递函数。系统闭环传递函数系统闭环传递函数：反馈回路接通后，