数学4教师版素数、合数与分解素因数

1、素数、合数与分解素因数知识精要1.课前思考：1.四个小朋友的一个比一个大一岁，他们的的乘积是 1680，问这四个小朋友的年龄各是多岁？想，你会怎么解决这个问题？1680 = 5´ 6´ 7´82.引出素数与合数的概念请同学们做一件事：将 1-10，这十个数分解因数。结果：1 的因数只有 1；2 的因数有 1，2；3 的因数有 1,3；4 的因数有 1，2，4；5 的因数有 1，5；6 的因数有 1,2,3,6；发现这些数中有只有一个因数的，如 1；有只有两个因数的如 2,3,5 等等；也有多个因数的，如 4,6 等等。定义：我们把像 2,3,5 这样因数只有 1

2、和他们本身两个因数的数叫素数（也叫质数）；把像 4 和 6 这样除了 1 和他们本身外还有别的因数的数叫合数。根据定义，今后判断一个数是素数还是合数的方法是看他因数的个数。显然 1 既不是素数也不是合数。例 1判断下列各数是素数还是合数：25，1，51，2，31，57解：方法，先分解因数，再根据因数的个数判断：素数：2，31合数：25，51，57例 21、一个自然数，如果不是素数，就一定是合数。（ × ）2、两个素数的和一定是合数。（ × ）3、1 既不是素数，也不是合数。（ ）4、素数一定是奇数，偶数都是合数。（ × ）5、两个素数的积一定是合数。（）.素数的判

3、定：知道了素数的定义，那么如何快速的判断一个数是不是素数呢？有两种方法：.查素数表； .试除法，就是用比他小的素数，按从小到大的顺序去除这个数，如果能被某个数整除，他就是合数如果除得得商比除数小且仍不能整除，就是素数。例 3：判断 667 和 233 是不是素数？解： 667 = 23´ 29 ，所以 667 不是素数。233¸17 =13L12 ，13<17，所以 233 是素数。（3）.素因数和分解分解素因数的概念以及分解素因数的方法其实学习了因数和素数之后不难理解，素因数：一个数的因数是素数就叫他的素因数。任何一个合数都可以写成几个素数相乘的形式，如4 = 2&

4、#180; 2 ；6 = 2´3；12 = 2´ 2´3；等等。其中 2 是 4 的素因数，2 和 3 是 6 的素因数，2 和 3 是 12 的素因数。分解素因数：将一个合数改写成几个素数相乘就叫分解素因数。如将 6 分解为6 = 2? 3 。注意分解素因数一定要分解到所有的因数都是素数为止。那么如何分解素因数呢？初中主要有两种办法：逐步分解法和短除法244 ´逐步分解法：利用树形图逐步把合数分解成素因数62 ´2 ´（从小到大的顺序）相乘的形式。23用逐步分解法一般是可以直接看出是那两个数相乘的数。例： 24 = 4´6

5、 = 2´ 2´ 2´3，树形图如右图。短除法:用一个能整除这个合数的素数（一般从最小的）去除，得出的商如果是合数则在用同样的方法来除，直到得到的商为素数为止，最后写为连乘的形式。2 522 2613例：以分解 52 为例。52= 2´ 2´13例 1：最小的素数:（ 2 ），最小的合数（ 4 ），既不是素数也不是合数的数是（ 1 ）例 2：判断下列分解素因数是否正确，若不正确请说明原因。A30= 2´3´5´1B. 30=5 ´ 6C. 30= 2´3´5D. 2´3

6、80;5 =30例 3：把下列各数分解素因数。50， 91， 132， 299例 4：两个素数之和是 39，求这两个素数的乘积是多少？解：因为和为奇数，所以必然这两个数为一奇一偶，所以其中之一是 2，两一个是 37，乘积为 74，我们要抓住此类题的口。例 5：已知 3 个不同素数的和是最小的合数的完全平方，求这 3 个素数的乘积是多少？解：最小的合数是 4，其平方是 16，我们知道奇数个奇数的和是奇数，所以 3 个素数中必有一个偶数 2，那么其余 2 个的和是 14，只能一个是 3，一个是 11，因此 3 个素数的乘积是66.课堂练习：一、判断题1、一个自然数，如果不是素数，就一定是合数。（

7、× ）2、两个素数的和一定是合数。（ × ）3、大于 2 的素数都是奇数。（ ）4、一个大于 1 的自然数，如果有小于本身的因数，那么这个数一定是合数。（ ）二、解答1、试用短除法把 42 分解素因数。2 42解： 3 21 742=2×3×72、下列各数中，哪些是素数？哪些是合数？并将合数分解素因数。6、13、18、31、51、67、87、120解：素数是 13、31、67，合数是 6、18、51、87、1206=2×3；18=2×3×3；51=3×17；87=3×29；120=2×2

8、5;2×3×53、把 15 写成满足下面条件的两个数相加的形式。（1）二个数都是素数；解：15=2+13（2）二个数都是合数；解：15=6+9（3）一个数是素数，另一个数是合数。解：15=3+12精解名题例 1、用 10 以内的三个不同素数，组成两个同时能被 3 和 5 整除的三位数，求这两个数。解：10 以内的素数有：2、3、5、7若要能同时被 3 和 5 整除，则个位数应为 5，且各位数相加能被 3 整除，由此可得这两个数为 375 或 735例 2、已知两个素数的积是 143，那么这两个素数的和是多少？解：将 143 分解素因数得到：143=11×13两数之

9、和=11+13=26备选例题例 1、用 1、2、3、4、5、6、7、8、9 这九个数字组成若干素数，如果每个数字都要用到，并且只能用一次，这 9 个数字最多能组成几个素数？试一一写出这些素数。解：最多可组成 6 个素数：2、3、5、47、61、89 或者是 2、3、5、41、67、89例 2、研究发现，一个正整数的因数的个数和它的素因数的大小及个数有密切关系。通过填表格，请你寻找这两者之间存在的关系。其中 X 为所给定的正整数，A 代表素因数 2 的个数，B 代表素因数 3 的个数，C 代表素因数 5 的个数，D 代表素因数 7 的个数，Y 代表X 的因数的个数。你有何发现？解：Y=（A+1）

10、（B+1）（C+1）（D+1）巩固练习一、填空题1、48 的素因数有 2、3 。2、分解素因数 30= 2×3×5 ，40= 2×2×2×5 ，则 30 和 40 相同的素因数是 2、5 。3、开学，老师将 259 本新书平均分发给六（2）班全体同学，你认为六（2）班有同学 37位。4、既是奇数又是合数的最小 2 位数是 15。XA+1B+1C+1D+1Y12321222186315、一个合数，至少有 3 个因数。6、写出既是连续奇数，又都是素数的三个整数 3、5、7 。7、小明今年 13 岁，的个位数字恰好是最小的素数和最小的合数的一种组合，

11、的是 42 岁。8、在 m=2×3×5 中，m 的素因数有 3 个，m 的因数有 8 个。9、最小的素数是2；最小的合数是4。二、选择题1、正方形的边长是素数，它的面积一定是(B)A.素数B.合数C. 偶数D. 奇数2、下面说法，正确的是（ C ）A.两个素数的和一定是偶数B.所有的素数都是奇数C.只能被 1 和它本身整除的正整数是素数D. 正整数中的一个数如果不是素数，就一定是合数3、在 28 的所有因数中，不同的素因数共有（ B ）个A.1B.2C.3D. 44、下列分解素因数正确的是（ A ）A.18=2×3×3B.18=1×2×

12、;3×3C.18=2×9D.2×3×3=185、100 以内，同时只含有素因数 2、3、5 的合数一共有（C ）A、一个B、两个C、三个D、四个6、以下说法错误的是（B）A.合数有无限个B.素数有有限个C.28 的因数有有限个D.5 的倍数有无限个三、简答题1、学习了奇数、偶数、正整数、自然数、素数、合数这些概念后，小明发现妈妈的小灵通号码可以通过这些概念描述出来：第一位号码是最小的素数；第二位号码是 10 以内最大的合数；第三位号码是最小的自然数；第四位号码是正整数中最小的奇数；第五位号码是正整数中最小的合数；第六位号码是正整数中最小的偶数和最小的合数

13、之积；第七位号码是正整数中既是 5 的因数，又是 5 的倍数的数；第八位号码是 7 的最小的正整数倍数；请你写出小明妈妈的小灵通号码： 29014857自我检测1、选择题1、下列说法正确的是（C）A.所有的正整数至少有两个因数B.偶数一定不是素数C.奇数也有可能是合数D.一个奇数和一个偶数一定有相同的因数2、几个素数的积一定是(D)A.奇数B.偶数C.素数D.合数3、将 18 分解素因数正确的是（D）A.18 = 2´9C.18 =1´ 2´3´3B.18 = 3´ 6D.18 = 2´3´3二、解答题1、正整数内，有三个素

14、数之和是 80，这三个素数有几种组合？是哪些情况？解：有 7 种组合：（2、5、73）； （2、7、71）； （2、11、67）； （2、17、61）；（2、19、59）； （2、31、47）； （2、37、41）2、你能把 40、44、45、63、65、78、99、105 这八个数平均分成两组，使每组四个数的乘积相等吗？解：先将这 8 个数分解素因数，40=2×2×2×5，44=2×2×11,45=3×3×3×5,63=3×3×7，65=5×13， 78=2×3×13，99=3×3×11，