非线性数值模拟进展评价

1、非线性数值模拟进展评价通过对程林松、姜瑞忠、黄延章、何顺利、姚军等人的相关文章调研发现，目前对于低速非达西模型的描述主要为启动压力梯度和毛管力动态效应两种表述方式。1. 单相启动压力梯度大量的实验表明，关于低渗透性油层中渗流特征和渗流规律的表述可归纳为：具有启动压力梯度的非线性律，如图1所示。其基本渗流特征为：(1) 当压力梯度小于某个值时，流体不流动。这个压力梯度称为最小启动压力梯度(真实启动压力梯度)，以a 表示.(2) 当压力梯度在比较低的范围时，渗流速度的增加呈下凹型曲线。(3) 当压力梯度比较高时，渗流速度呈直线性增加。(4) 该直线段的延伸与压力梯度轴交于某点而不通过坐标原点. 此

2、点称为平均启动压力梯度 (拟启动压力梯度)，以b表示, c为最大启动压力梯度。图1 渗流速度与压力梯度的关系目前常用的单相启动压力梯度描述模型主要分为拟启动压力梯度模型、分段模型和连续模型。1.1 拟启动压力梯度模型一些研究人员基于拟启动压力梯度模型，针对拟启动压力梯度的求解方法进行了实验和理论研究，实验流体从单一流体到多种流体，考虑的影响因素也从单一的渗透率变为渗透率、粘度等多种因素的综合作用。李忠兴，程林松1-3等人（2004）使用抽真空煤油进行室内驱替实验，依据考虑拟启动压力梯度的达西定律：Q=KAPL-对两边取常用对数得到：lgPL-=lgQ-lgKA该式中流量为零时驱替压力梯度即为启

3、动压力梯度，通过回归实验数据，得出幂律关系式：=K-n最后研究人员绘制了确定低渗透油田启动压力梯度的理论图版，如图2所示。该求解方法仅考虑了渗透率和启动压力梯度的关系。郝斐，程林松4等人（2006）使用模拟油、地层水、注入水和蒸馏水进行物理模拟，实验结果表明：双对数坐标中启动压力梯度与渗透率呈线性关系且斜率为-1(图3所示)，这与理论研究相符合：lgG=-lgk+lgb验证了压力梯度与渗透率的幂函数关系，并且研究了不同粘度对启动压力梯度的影响，结果表明粘度越大，启动压力梯度越大。许建红，程林松5-6等人（2007）使用抽真空煤油进行驱替实验，拟合得到驱动压力梯度与渗流速度的关系式：v=ap2+

4、bp+c pG再与考虑拟启动压力梯度的达西定律进行联立求解，可以得到下式：Gi=-aP2+b-KiiP+cKii该求解方法不仅考虑了渗透率与启动压力梯度的关系，还考虑了流体粘度、驱动压力梯度对启动压力梯度的影响。图2 确定低渗透地层启动压力梯度大小理论图版图3 不同流体启动压力梯度与渗透率的关系也有一些研究人员讨论了考虑拟启动压力梯度的数学模型，并进行了数值模拟或者寻找简化方法求得解析解。韩洪宝，程林松1-3,6-9等人（2004）引入了边界层理论5，将油相粘度用表观粘度来代替：B=A1+1-A2同时考虑了拟启动压力梯度（如图4点C），将结果应用到黑油模型中，得到了修正后的三维三相黑油模型：油

5、方程：kKroBoBpo-ogD-Go+qoosc=tSoBo 水方程 ：kKrwBwwpw-wgD+qwwsc=tSwBw 气方程：kKroRsoBoBpo-ogD-Go+kKrwRswBwwpw-wgD+kKrgBggpg-ggD+qggsc=tSoRsoBo+SwRswBw+SgBg图4 典型的非达西渗流关系曲线李莉，董平川等人（2006）基于拟启动压力梯度模型，建立了三维油水两相非达西渗流数学模型，利用差分法得到数值模型，并设计了正方形注采单元进行数值模拟，通过改变注采井距，的饿到了见水时地层压力、压力梯度等参数的空间分布，最后得到了有效驱动注采井距。一些研究人员也以拟启动压力梯度为基

6、础建立了低渗透油藏非达西渗流模型，使用不同的方法探索模型的精确解。郝斐，程林松10-12等人（2006）建立了考虑拟启动压力梯度低渗透油藏不稳定渗流模型，并在内边界条件中考虑了动边界：pr-Gr=Rt=0p=pe rRt利用油藏压力近似表达式：p=a0lnrRt+a1+a2rRt,rwrRt求得近似解和半解析解，分析了启动压力梯度对地层能量传播和流体运移的影响。两种求解结果有较好的一致性，解决了数值解法计算量大的弊端。李松泉，程林松13等人（2008）在前人研究的基础上，建立了考虑拟启动压力梯度和介质变形的稳定、不稳定渗流数学模型，利用近似求解方法，给出了定产、变产和定压条件下的解。同时也低渗

7、透油藏产能递减规律、井距确定和含水率变化进行了分析。含有动边界条件的低渗透油藏非达西不稳定渗流数学模型具有较强的非线性，难以求出精确解析解。刘文超，姚军14-17等人（2013）建立了能反映动边界移动规律的低渗透油藏不稳定非达西渗流数学模型，模型中不含动边界条件，经过无因次化，模型如下：pDtD=1rDvDpDrD-rDvDpDrD2pDrD2pDtD=0=0rDpDrDrD=1=-1+DpDrD=reD=0vDpDrD=0 0-pDrDDpDrD+D -pDrDDvDpDrD=0 0-pDrDD-1 -pDrDD通过采用Douglas-Jones预估校正有限差分法，求得了该模型瞬时压力的精确

8、数值解。计算结果表明井底瞬时压力的双对数曲线存在拐点，拐点前的曲线反映动边界到达定压边界前的状态，拐点后的曲线反映动边界到达定压边界后的状态，如图5所示。图5 瞬时井底压力的双对数曲线上述关于拟启动压力梯度问题的探讨存在一定的局限性：井-网格方程未考虑拟启动压力梯度或因处理太简单而不合理，流体在网格、网格之间的流动与井、网格之间的流动会产生矛盾，前者可使用模型直接离散化实现，后者需要对井附近的流动进行解析研究，建立井-网格方程，从而修正了内边界条件。赵国忠18,19（2006）建立了考虑拟启动压力梯度的三维三相渗流数值模型，通过等效半径（如图6所示）re=xy/12将井与其所在网格关联起来。图

9、6 单位时间步内的井-网格稳定流动示意图王建忠，姚军等人（2013）建立了三维两相数值模型，利用Peaceman等效半径将网格压力和井底压力联系起来：pi,j,k-pwf=Q2KxKy12hlnrorw+ro-rwG进而推导了考虑启动压力梯度影响的定井底压力、定产油量和定产液量条件下的内边界条件。现有的低渗透油藏非线性流动数值模拟，大都采用传统的有限差分法或控制体积有限差分，此类方法基于相邻单元中心点的物理量来构造数值计算个事，求取压力梯度，进而进行求解。而非均质低渗油藏中不同区域甚至不同网格单元的渗流模式不尽相同，必须获取各个网格单元的压力梯度，并选择相应渗流模式，因此传统的数值模拟方法无法

10、满足要求。姚军，黄涛等人（2014）基于拟启动压力梯度模型，结合动态渗透率概念，建立了单相数值模型。在控制体积有限差分法的基础上引入界面中心点压力和速度，提出一种新的数值算法，该算法基于单个网格来构造数值计算格式，课精确获得每个网格的压力梯度，单元间通过流量连续条件联系起来。总结：拟启动压力梯度模型较为成熟，但不能体现出非线性渗流的特点，且当压力梯度小于拟启动压力梯度时油藏流体无法动用，大大缩小了特低渗油藏的流动范围。1.2 分段模型分段模型起步较早，黄延章22（1998）总结出目前主要的三种分段模型为：直线逼近法、幂律函数逼近法和二次函数逼近法，如下式所示。直线逼近法v=0 PLa v=K1

11、PL-a aPLbv=K2PL-c bPL幂律函数逼近法v=0 PLav=a1KPL-Gia2aPLb v=K2PL-c bPL二次函数逼近法v=0 PLav=APL2+BPL+c aPLbv=K2PL-c bPL尹芝灵，孙文静等人（2011）以分段模型为基础，结合了姚军教授提出的动态渗透率概念：K=f1pKe GApmGcf1p=2ap+b2aGc+b建立了涵盖非线性段和拟线性段的油藏数值模拟模型，其运动方程为：v1=0, plGA f1plKmaxKrllpl-GA, GAplGc通过全隐式差分格式建立了数值模型，采用预处理共轭梯度法进行求解。结果表明：启动压力梯度对压力场有显著地影响，且

12、用此非线性渗流模型计算的压力变化比拟线性情况平缓，更符合油藏开发实际（如图7所示）图7 不同渗流模型条件下注采井间的压力分布鉴于现有分段模型的连续性和确定性问题，难以直接应用于建模，刘文超，姚军24等人（2012）从低渗透多孔介质渗透率渐变理论出发，将幂律分段模型进行了公式化，得到了非线性运动方程实数域内的表示：v=0, dPdrCv=-dPdrdPdrkA-BA-CndPdr-Cn,CPPmincpP=rmax3-rmin33 PPmaxrmax3-r33PmaxPPmin杨仁峰，姜瑞忠等人29-32（2011）提出了一个新模型，并建立了相应的数学模型，编制了三维三相非线性渗流数值模拟软件，

13、为非线性渗流模型的工程化应用奠定了基础，该模型如下：Q=KA1-1P-12PP-2P该模型引入的两个新参数具有丰富的内涵，体现了屈服应力和边界层对渗流的影响，较好地体现出低渗透油藏最小启动压力梯度 、压力梯度随驱替压力梯度增加而增加、非线性渗流等渗流特征。作者同时考虑了压敏效应，建立了三维三相数学模型，构造了响应的有限差分离散化格式，确定了考虑非线性渗流的井-网格流动方程。姜瑞忠，李林凯等人33（2012）基于毛细管模型，结合边界层理论，通过引入描述低渗透储层渗流的特征参数c1和c2，建立了新的数学模型，从根本上解释了启动压力梯度和非线性渗流产生的原因，该模型如下：v=K1-c1P-c2P该模

14、型及包含了达西模型，又包含了拟启动压力梯度模型，且反映了最小启动压力梯度的现象。黄延章，杨正明等人34（2013）提出了一个新的非线性渗流模型，该方程各项参数由实验直接得出，且含义明确，是一个通用方程，模型如下：v=KodPdx1-cdPdx+c-a 该模型是一个通用方程，当a=c0时，该方程为宾汉流体的渗流方程；当a=0时，该方程变成无真实启动压力梯度的非线性渗流方程；当a=c=0时，该方程为达西线性渗流方程。 以上模型为近期的连续函数模型，此类模型适用性较强，具有连续性易于离散后建立数值模型，发展前景大；但是模型中的参数均需要实验或者拟合得到，且有些参数具体含义不明确。2. 两相启动压力梯

15、度苏法卿，孙志刚35等人（2004）实验研究了油水两相最小启动压力梯度，实验发现：（1） 最小启动压力梯度与孔隙渗透率呈幂函数关系；（2） 最小启动压力梯度随含水饱和度升高先增大后减小；（3） 两相启动压力梯度比单相的值增大510倍。郝斐，程林松4等人（2006）比较了单相油、水及束缚水、残余油状态下的启动压力梯度。单相渗流时，启动压力梯度较小；两相驱替时，启动压力梯度值较大，即随着含水饱和度增大，两相启动压力梯度逐渐增大，在某一含水饱和度时达到最大值，随着含水饱和度继续增大，启动压力梯度反而减小，如图8所示。分析认为，两相启动压力梯度大很多的原因主要是毛管力影响的结果。图8 典型岩样启动压力

16、梯度与含水饱和度关系邓玉珍，刘慧卿36（2006）通过室内试验测定了油水两相启动压力梯度，提出了适合两相渗流的启动压力梯度模型，认为两相启动压力梯度与流度呈幂指数关系，其中引入了油水两相综合流度的概念，两相流体粘度用油水两相粘度的饱和度加权形式。G=k-n随着流度增加，启动压力梯度逐渐减小，如图9所示。图9 油水两相启动压力梯度与流体流度的关系李松泉，程林松13等人（2008）实验测量了束缚水和残余油饱和度状态下的启动压力梯度值，结果与郝斐（2006）的结果一直，分析原因是贾敏效应使得连续的液流变为分散的液滴，大大增加了水驱油所需的压力，反映在启动压力梯度的增大。同时，作者在油相和水相运动方程

17、中加入拟启动压力梯度，给出了油水两相非活塞驱替的分流量、压力、产量方程。时宇，杨正明27等人（2008）根据岩心实验提出了单相启动压力梯度的两参数模型，并在B-L方程的基础上建立了非线性非混相驱替方程进行了求解，得出的含水率公式如下：fw=krwswwkrwsww+kroswo1+badpdx-1杨仁峰，姜瑞忠等人37（2011）深入分析了相对渗透率引入的基本假设，将建立的单相模型推广到两相体系，得出了多相非线性渗流新模型：Ql=KKrllA1-1lPl-1l2lPlPl-2lPl式中1l、2l应取单相的值。同时，作者分析了现有两相非线性渗流理论研究方面存在的误区，指出现有连续模型中的参数均应

18、取单相渗流时的测量值。总结：现有关于两相启动压力梯度的研究多为实验测量并定性地分析规律，而关于非线性渗流数学模型也仅仅是将单相模型推广到两相模型的油相运动方程中，并没有专门描述两相启动压力梯度的数学模型。3. 毛管力动态效应多数国内学者只研究了油水界面平衡状态下的静态毛细管压力及其对低渗透油藏水驱油效果的影响，认为毛细管压力只是含水饱和度的函数。以Hassanizadeh 38-44为代表的国外学者研究了动态毛细管压力的效应，认为在非稳态运动过程中，毛细管压力不断变化，其不仅是湿相流体饱和度的函数，还受到湿相流体饱和度变化率的影响，即：Pc=Po-Pw=fSw,SwtHassanizadeh4

19、4(2002)提出动态毛管力与含水饱和度变化率有以下关系：Pc,dyn=Po-Pw=Pc,statSw+10-6Swt田树宝，何顺利45等人（2012）首次实验研究了低渗透油藏中毛细管理的动态效应，实验发现岩心渗透率和毛细管动态系数呈反比，如图10所示；同时，作者建立了数值模型，考虑了动态毛细管压力，没有单独引入启动压力梯度，即将Pc,dyn=Po-Pw=Pc,statSw+10-6Swt引入了辅助方程，对模型进行了求解，计算结果与渗流实验规律基本吻合，表明低渗透油藏油水两相动态毛细管压力是导致油水两相产生非达西流动的原因之一。 （a） （b）图10 不同进汞速度条件下测定的低渗透岩心和高渗透

20、岩心毛细管压力曲线对比舒卫兵，许鹤华46等人（2014）建立了二次函数非线性渗流模型，自定义了三种不同变化率的饱和度时变曲线，如图11所示。Sw1=0.1T Sw2=0.4167lnT+1 Sw3=0.01T2图11 数值模拟采用的三种饱和度时变曲线通过有限元数值模拟一维驱油过程，研究了毛管力动态效应。结果表明：三种不同饱和度时变曲线得到的毛细管压力存在明显的差异（图12所示）图12 模拟所得到的毛细管压力曲线同时，计算结果表明动态系数与渗透率呈负相关，与润湿相流体粘滞系数呈正相关。参考文献：1 李忠兴，程林松.特低渗油藏启动压力梯度新的求解方法及应用.2 冯文光，葛家理.单一介质、双重介质中

21、非定常非达西低速渗流问题.3 冯文光.非达西低渗渗流的研究现状与展望.4 郝斐，程林松.特低渗透油藏启动压力梯度研究.5 许建红，程林松.低渗透油藏启动压力梯度新算法及应用.6 韩洪宝，程林松.特低渗透油藏考虑启动压力梯度的物理模拟及数值模拟方法.7 黄延章，严衡文，杨正明.低渗透油层渗流机理.8 邓英尔，闫庆来.界面分子力作用于渗透率的关系及其对渗流的影响.9 黄延章.低渗透油层分线性渗流特征.10 郝斐，程林松等.考虑启动压力梯度的低渗透油藏不稳定渗流模型.11 李凡华，刘慈群.含启动压力梯度的不定常渗流的压力动态分析.12 程时清，徐论勋等.低速非达西渗流试井典型曲线拟合法.13 李松泉

22、，程林松.特地渗透油藏非线性渗流模型.14 刘文超，姚军等.低渗透油藏非达西渗流瞬时压力计算方法.15 程时清，黄延章等.低速非达西渗流流动边界问题的积分解.16 郭永存，曾清红等.动边界低渗透油藏的无网格方法数值模拟.17 Wu J S.Flow and displacement of Bingham non Newtonian fluids in porous media18 赵国忠.变启动压力梯度三维三相渗流数值模拟方法.19 郭永存，曾清红灯.有启动压力梯度渗流的数学模型.20 王建忠，姚军等.考虑井网格影响的油水两相低渗油藏数值模拟.21 姚军，黄涛.非均质低渗透油藏非线性流动数值模

23、拟.22 尹芝灵，孙文静.动态渗透率三维油水两相低渗透油藏数值模拟.23 姚军，刘顺.基于动态渗透率效应的低渗透油藏试井解释模型.24 刘文超，姚军等.基于渗透率连续变化的低渗透多孔介质非线性渗流模型.25 邓英尔，刘慈群.低渗油藏非线性渗流规律数学模型及其应用.26 杨清立，杨正明等.特低渗透油藏渗流理论研究.27 时宇，杨正明.低渗透油藏非线性两相渗流研究.28 时宇，杨正明.低渗透储层非线性渗流模型研究.29 杨仁峰，姜瑞忠等.特地渗透油藏非线性渗流数值模拟.30 杨清立，杨正明等.特地渗透油藏渗流理论研究.31 徐运亭，徐启等.低渗透油藏渗流机理研究及应用.32 杨正明，于荣泽等.特地渗透油藏非线性渗流数值模拟.33 姜瑞忠，李林凯等.低渗透油藏非线性渗流新模型及试井分析.34 黄延章，杨正明等.低渗透多孔介质中的非线性渗流理论.35 苏法卿，孙志刚等.低渗透砂岩油藏油水两相最小启动压力梯度实验研究.36 邓玉珍，刘慧卿.低渗透岩心中油水两相渗流启动压力梯度实验.37 杨仁峰，姜瑞忠等.低渗透油藏单相及两相非线性渗流新模型.38 Mirzaei M, Das D B. Dynamic effects in capillary pressure-saturations relation