第五章线性变换S2线性变换的矩阵

1、1第五章第五章 线性变换线性变换第二节第二节 n维线性空间中线性维线性空间中线性变换的矩阵变换的矩阵只讨论只讨论n维线性空间维线性空间V上的线性变换上的线性变换T. 研究线性变换研究线性变换T和和n阶矩阵之间的关系阶矩阵之间的关系.2已知已知: 在线性空间在线性空间V中取定一个基底之后，中取定一个基底之后，V中任意中任意一个向量一个向量 与它的象与它的象T 都可用它们在该基底下都可用它们在该基底下的的坐标坐标表示出来，而且表示法是表示出来，而且表示法是唯一唯一的的. 又又T是线性变换，（保持线性组合不变）必有是线性变换，（保持线性组合不变）必有12(,)nx xx1122nnxxx 对于对于n

2、维线性空间维线性空间V中的任意向量中的任意向量 ,它在基底它在基底 1, 2, n下的坐标下的坐标唯一唯一. 且且3 这说明当已知这说明当已知 时，每个向量的象时，每个向量的象由由(1)确定，即线性变换被完全确定确定，即线性变换被完全确定.11221122()nnnnTT xxxx Tx Tx T 12,nTTT (1)定理定理1 设设 1, 2, n是线性空间是线性空间V的一个基底，的一个基底，T是是V上的线性变换上的线性变换. 则线性变换则线性变换T被该基底的象被该基底的象T 1, T 2, T n所确定所确定. 注：注： 确定一个线性变换就是确定每个元的象。两个确定一个线性变换就是确定每

3、个元的象。两个线性变换线性变换T1和和T2相等的意义是它们使得每个向相等的意义是它们使得每个向量的量的象象都都相同相同.4向量向量 与象与象T 在基底在基底 1, 2, n下坐标下坐标X=(x1, x2, xn)T与与Y=(y1, y2, yn)T之间的关系之间的关系 设设T j 在在基底基底 1, 2, n下坐标为下坐标为 (a1j, a2j, anj)T写成矩阵形式写成矩阵形式 1212,jjjnnjaaTa (1,2, )jn 1112121222121212,nnnnnnnnaaaaaaTTTaaa 12,nA 把把n个矩阵形式记在一起得个矩阵形式记在一起得(2)5 上面矩阵上面矩阵A

4、=(aij)的第的第 j 列就是列就是 j的象的象T j在基底在基底 1, 2, n下的坐标下的坐标. 矩阵矩阵A称为线性变换称为线性变换T在基底在基底 1, 2, n矩阵矩阵.因此因此A被线性变换被线性变换T唯一确定唯一确定.11221122()nnnnTT xxxx Tx Tx T 写成矩阵形式写成矩阵形式 把前面的把前面的(1)121212,nnnxxTTTTTTTXx 121212,(,),()nnnTTTTXA XAX 12,nTY (3)(2)代入代入(3)得到得到又又，而，而T 在同一基底下的坐在同一基底下的坐标是标是唯一唯一的，的，因此我们有因此我们有 Y=AX.向量向量 与象

5、与象T 在基底在基底 1, 2, , n下坐标下坐标X之间的关系之间的关系 61212,nnTTTT 121212,nnnTTTTA 以后为应用方便，常记以后为应用方便，常记于是前面的于是前面的(2)式可记为式可记为目前已经知道目前已经知道 给定给定n维线性空间维线性空间V中一个线性变换中一个线性变换T及一个基及一个基底底 1, 2, n ，即可唯一确定一个矩阵，即可唯一确定一个矩阵A.在在V中一个固定基底下面，每个中一个固定基底下面，每个n阶矩阵阶矩阵A是是否否都是都是V中一个线性变换的矩阵呢？中一个线性变换的矩阵呢？ ?7分析分析 设设V中给定的基底为中给定的基底为 1, 2, n，A为任

6、意一个为任意一个n阶矩阵阶矩阵. 先看能否找到一个线性变换，使其在该基底下的先看能否找到一个线性变换，使其在该基底下的矩阵恰为矩阵恰为A .12(,) .TnXx xx 12,().nTAX 令令T是是V上的一个变换上的一个变换(不一定是不一定是设设 为为V中任意一个向量，坐标为中任意一个向量，坐标为即即 = 1, 2, nX.线性变换线性变换)，使，使T 的坐标为的坐标为AX, 即即(这样一个变换使得任一向量这样一个变换使得任一向量 的象的象T 坐标为坐标为AX)下面证明下面证明该变换即为所求该变换即为所求. 8ab 12(),( ()nT abA aXbY 12,()naAXbAY 121

7、2,(),()nnaAXbAY aTbTY是是 的坐标列的坐标列的坐标为的坐标为 aX+bY.再由再由T的定义有的定义有故故T为线性变换为线性变换 .设又有设又有 V，且，且 = 1, 2, nY，向量，向量，a, b为任意数，为任意数， 于是于是1先证明先证明T是是线性线性变换变换92再证明线性变换再证明线性变换T在基底在基底 1, 2, n下的矩阵下的矩阵恰为恰为A.120010,jjn(0,0,1,0,0) .Tje 1212,(),.jnjnjTAeA 只需证明只需证明A的第的第 j 列列Aj 就是就是T j在在 1, 2, n下的下的坐标即可坐标即可.由于由于故其坐标恰为故其坐标恰为

8、由由T的定义有的定义有 由定理由定理1知道知道T是唯一的，因此我们找到了所求是唯一的，因此我们找到了所求的线性变换的线性变换T其在基底其在基底 1, 2, n下的矩阵恰为下的矩阵恰为任意的任意的n阶矩阵阶矩阵A.定理定理2 对于每个对于每个n阶矩阵阶矩阵A，在，在n维线性空间维线性空间V中必存中必存在在唯一唯一的线性变换的线性变换T，使得，使得T在在V中给定的基底中给定的基底下的矩阵为下的矩阵为A.10综合定理综合定理1和和2有如下结论有如下结论 在在n维线性空间维线性空间V的一个给定基底下，若的一个给定基底下，若V的每个的每个线性变换线性变换T与它在该基底下的矩阵与它在该基底下的矩阵A对应，

9、则在对应，则在V上的上的全体线性变换所构成的集合全体线性变换所构成的集合L(V)与全体与全体n阶矩阵阶矩阵A构成构成的集合之间构成的集合之间构成11对应对应.性质性质： 1）线性变换的）线性变换的和和对应于矩阵的对应于矩阵的和和； 2）线性变换的）线性变换的乘积乘积对应于矩阵的对应于矩阵的乘积乘积； 3）线性变换的）线性变换的数量乘积数量乘积对应于矩阵的对应于矩阵的数量乘积数量乘积； 4）可逆可逆的线性变换与的线性变换与可逆可逆矩阵对应，且矩阵对应，且逆变换逆变换对对应于应于逆矩阵逆矩阵.11例例1 在在n维线性空间维线性空间V中，令中，令 （其中（其中k是定数，是定数，该变换称为该变换称为位

10、似变换位似变换或或数乘变换数乘变换，显然是线性变，显然是线性变换），求换），求T在在V任意一个基底任意一个基底 1, 2, n下的矩阵下的矩阵A .:Tk解：解：1200,00jjnTkk (1,2, )jn kkAk :T:0T 第第 j 个分量个分量为为零变换零变换，在任意基底下矩，在任意基底下矩阵为阵为零矩阵零矩阵 . .于是于是为为数量矩阵数量矩阵kE .特别的，当特别的，当k1时，时，(单位变换单位变换)，在任意基底，在任意基底下矩阵为下矩阵为单位矩阵单位矩阵.当当k0时，时，为为恒等变换恒等变换12例例2 在在R3中，定义下面的线性变换，对任意的中，定义下面的线性变换，对任意的(x

11、1, x2, x3)T R3,1122331xxxTxxxx 1231000 ,1 ,0001eee 110100 ,11Te 123123110, , 001 .100Te Te Tee e e 110001 .100A 因此因此求求T在基底在基底下的矩阵下的矩阵A.解：由解：由T的定义知的定义知23100 ,100TeTe 故故13 设线性空间设线性空间V中线性变换中线性变换T在两组基底在两组基底 1, 2, n和和 1, 2, n下的矩阵为下的矩阵为A和和B，在一个线性空间中，同一个数乘变换在不同基在一个线性空间中，同一个数乘变换在不同基底下的矩阵是一样的，那么对于一般的线性变底下的矩阵

12、是一样的，那么对于一般的线性变换是否有这样的结论呢？如果没有，同一个线换是否有这样的结论呢？如果没有，同一个线性变换在不同基底下矩阵又有什么关系呢？性变换在不同基底下矩阵又有什么关系呢？?1212,nnTTTA 1212,nnTTTB 1212,nnM 且由基底且由基底 1, 2, n到到 1, 2, n的过渡矩阵为的过渡矩阵为M，即，即1411212,nnM 1212,nnTTTT 12(,)nTM 12(,)nTM 12,nTTTM 112,nMAM 1BMAM 显然显然M可逆，且可逆，且则则 由线性变换在同一基底下矩阵的唯一性可知由线性变换在同一基底下矩阵的唯一性可知这就是线性变换在不同

13、基底下的矩阵之间的关系这就是线性变换在不同基底下的矩阵之间的关系 12,nAM 15 矩阵间矩阵间B=M-1AM这种关系，可以用一个新的概这种关系，可以用一个新的概念来描述念来描述 性质性质(i) 反身性反身性 A A；(ii) 对称性对称性 A B，则，则B A；(iii) 传递性传递性 A B，B C，则，则A C. 定义定义 设设A，B为两个为两个n阶矩阵阶矩阵. 若存在满秩矩阵若存在满秩矩阵M，使，使B=M-1AM成立，则称成立，则称矩阵矩阵A与与B相似相似. 记为记为 AB.定理定理（补）：（补）： 线性变换在不同基底下所对应的矩阵是线性变换在不同基底下所对应的矩阵是相似相似的的.

14、反过来，若两个矩阵相似，则可以看作是反过来，若两个矩阵相似，则可以看作是同一个线性同一个线性变换变换在两组基下的矩阵在两组基下的矩阵.16证明：前半部分易证证明：前半部分易证. 现证明后半部分现证明后半部分.1212,nnM 1.MAMB 若两个若两个n阶矩阵阶矩阵A和和B相似，即相似，即B=M-1AM,由于由于L(V)与与Mnn 11对应对应，V中必有一个线性变换中必有一个线性变换T，它在某组基，它在某组基底底 1, 2, n下的矩阵为下的矩阵为A. 令令则则 1, 2, n也是也是V 的一个基底的一个基底. 且且T在此基底下的在此基底下的矩阵为矩阵为 利用线性变换在不同基底下的矩阵相似关系

15、可以利用线性变换在不同基底下的矩阵相似关系可以简化求线性变换在不同基底下的矩阵简化求线性变换在不同基底下的矩阵. 即利用即利用B=M1AM ，当知道，当知道M，A(或或B)时，可求时，可求B(或或A).17例例1 已知三维线性空间已知三维线性空间V的线性变换的线性变换T在基底在基底 1, 2, 3下的矩阵为下的矩阵为A, 求求T在基底在基底 2, 3, 1下的矩阵下的矩阵B.123456789A 231123001, 100010 001100010M 11001123001564100456100897010789010231BMAM 解：由条件知解：由条件知即由即由 1, 2, 3到到 2

16、, 3, 1 的过渡矩阵为的过渡矩阵为故故T在基底在基底 2, 3, 1下的矩阵下的矩阵18例例2证明矩阵证明矩阵 A 与与 B 相似相似. 其中其中i1, i2, in是是1,2,n的的某个排列某个排列.12,nA 12niiiB 121212,nnnTTT (1,2, )iiiTin 证：设证：设A是线性变换是线性变换T在基底在基底 1, 2, n下的矩阵，则下的矩阵，则即即19(1,2, )jjijn (1,2, )jjjjjiiiijTTjn 121212,niinniTTT 令令则则故故 所以所以A，B是同一线性变换在不同基底下的矩阵，是同一线性变换在不同基底下的矩阵，因而它们相似因

17、而它们相似.20小小 结结 n维线性空间中，在一定前提下，线性变换维线性空间中，在一定前提下，线性变换和和n阶矩阵有一一对应关系，具有一些性质阶矩阵有一一对应关系，具有一些性质. 矩阵相似关系及性质矩阵相似关系及性质(重点重点)21思考题思考题,1111,0201 NM已知已知R2 2的两个线性变换的两个线性变换: 对任意的对任意的X R2 2,T(X)=XN, S(X)=MX, 试求试求T+S在基在基E11, E12, E21, E22下的矩阵下的矩阵.注注: (T+S)( )=T( )+S( ).解：解： 0001020111110001 0212 02010011=2E11+E122E21(T+S)(E11)=T(E11)+S(E11)=E11N+ME1122