相对论性动量和能量1

1、一一 长度的收缩长度的收缩xyozs标尺相对标尺相对 系静止系静止s21111txxv22221txxv212121xxxx12xxl在在S S系中测量系中测量测量为两个事件测量为两个事件),(),(2211txtx要求要求21tt 1 x2 x0l y xv o z s1x2x120lxxl在在 系中测量系中测量s4 4 狭义相对论的时空观狭义相对论的时空观021lll固有固有长度长度 当当 时时 . 10ll 固有固有长度：物体相对静止时所测得的长度长度：物体相对静止时所测得的长度. .（最长最长） 洛伦兹收缩洛伦兹收缩: : 运动运动物体在运动方向上长度物体在运动方向上长度收缩收缩. .

2、212121xxxx120lxxl12xxl 长度收缩是一种长度收缩是一种相对相对效应效应, ,此结果反之亦然此结果反之亦然. .注意注意xyozs1 x2 x0l y xv o z s1x2x 尺缩效应说明在所有测量中，与相对静止的惯性系中测量的长度是最长的，运动物体沿运动方向的长度变短。 杆只沿运动方向收缩，沿y、z方向不收缩。 长度收缩效应是相对的。 在S系中观察相对S系静止的杆长度收缩了，同理在S系中观察相对S系静止的杆的长度也收缩，220cu1ll 12tt在在S S系中系中012lxxSS系系中中lxx12)()(112212t uxt uxxx)(12xxll00ll 设设S S

3、系中固有长度系中固有长度l l0 0, ,在在SS系中仍然有尺缩效应系中仍然有尺缩效应时用洛伦兹变换的逆变换：用洛伦兹变换的逆变换：282220)103(1000120cu1ll （）某飞行器以（）某飞行器以u=1000u=1000m/sm/s的速度匀速飞行，飞行器中的观察者的速度匀速飞行，飞行器中的观察者测得机身长测得机身长20m20m，则地球上的观察者测得的机身长度为：，则地球上的观察者测得的机身长度为：m101 .012010 m49999999999.020 100105 .0ll )m1053.0r:(101 氢原子玻尔半径低速情况下，尺缩效应可以忽略。低速情况下，尺缩效应可以忽略。

4、 （）如果上述飞行器以（）如果上述飞行器以0.5c0.5c的速度匀速飞行，则在飞行器的速度匀速飞行，则在飞行器上的观测者测得地面上相距为上的观测者测得地面上相距为20m20m的两点之间的距离是：的两点之间的距离是：mc)c5 .0(120cu1ll22220 m32.17134.0ll0 高速运动下，尺缩效应不能忽略！高速运动下，尺缩效应不能忽略！m2/2yxllm2/2yyll在在 S 系系 例例2 2 一长为一长为 1 m 的棒静止地放在的棒静止地放在 平面内，平面内，在在 系的观察者测得此棒与系的观察者测得此棒与 轴成轴成 角，试问从角，试问从 S 系的观察者来看，此棒的长度以及棒与系的

5、观察者来看，此棒的长度以及棒与 Ox 轴的夹角是轴的夹角是多少？设想多少？设想 系相对系相对 S 系的运动速度系的运动速度 . 23cv45yxOxOSS23cvvx xy yo o xl yl解：解：在在 系系m1l,45Sm79. 022yxlll43.63arctanxyll4/ 2/122lcllxxv运运 动动 的的 钟钟 走走 得得 慢慢二二 时间的延缓时间的延缓s系系同一同一地点地点 B B 发生两事件发生两事件在在 S S 系中观测两事件系中观测两事件),(),(2211txtx), (2tx), (1tx发射一光信号发射一光信号接受一光信号接受一光信号cdttt212时间间隔

6、时间间隔)(2111cxttv)(2222cxttvxyosd12369123691x2x12369 yx xyvoossdB1236912tttt)(2cxttv0 x21tt固有固有时间时间 ：同一同一地点发生的地点发生的两两事件的时间间隔事件的时间间隔 . .时间延缓时间延缓 ：运动运动的钟走得的钟走得慢慢. .0ttt固有时间固有时间xyosd12369123691x2x12369讨论： 1、事件时间间隔与所在的惯性系有关，即时间是相对的。2、事件时间间隔与所在的惯性系有关，书上称为时间延缓。观察到固有时间最短是因为相同的时钟在高速运动状态时与地面上的时钟相比走的比慢了。不是因为时钟出

7、了毛病，而是当物体高速运动时的一切节奏都变慢了，例如物理、化学、生命节奏与地面情况都变慢了。相应惯性系中的观察者感觉不到任何变化。3、当uc时，2110TT时间是绝对的即经典时空观结果在在 S 系中测得发生在同一地点的两个事件之间系中测得发生在同一地点的两个事件之间的时间间隔的时间间隔 t，在，在 S 系中观测者看来，这两系中观测者看来，这两个事件为异地事件，其之间的时间间隔个事件为异地事件，其之间的时间间隔 t 总是总是比比 t 要大。同样，在要大。同样，在 S系中测得发生在同一系中测得发生在同一地点的两个事件之间的时间间隔地点的两个事件之间的时间间隔 t，在，在 S 系系中观测者看来，这两

8、个事件为异地事件，其之间的中观测者看来，这两个事件为异地事件，其之间的时间间隔时间间隔 t 总是比总是比 t要大。要大。4.这是相对性原理的结果，也是相对性原理的理解！这是相对性原理的结果，也是相对性原理的理解！5 5 、运动时钟变慢效应是时钟本身的客观特征。运动时钟变慢效应是时钟本身的客观特征。6 6、时间延缓效应显著与否决定于时间延缓效应显著与否决定于 因子。因子。三、同时性的相对性三、同时性的相对性在S中事件1：事件2；t1 1x1 1()，t2 2x2 2()在在s中中 这两事件这两事件是否同时发生？是否同时发生？sx1t1x2t2xx2 21 1、处同时发生两事件t1 1t2 2=粉

9、粉笔笔落落地地小小球球落落地地sucut1=2t112cut2=2t212x1x2t2t1=t2t112uc2x1x2()cut1=2t112cut2=2t212x1x2即：在 s 中 这两事件并不同时发生。所以，=12uc2x1x2()= 0t2t1=结论：(1)S系中同时不同地的事件，在S系中不同时。(2)S系中同时同地的事件，在S系中同时。(3)S系中不同时不同地的事件，在S系中一般不同时，但是也可能同时。2 /0tx u c 0t (4)S系中同时不同地的事件，在S系中不同时。(5)S系中同时同地的事件，在S系中同时。(6)S系中不同时不同地的事件，在S系中一般不同时，但是也可能同时。

10、2/0txu c 0t 22/1txu ct “同时”只是对某一惯性系而言的,没有绝对意义，只有相对意义。这是光速不变原理的直接结果，它否定了牛顿力学的绝对时空观。同时说明互相没有因果关系的独立事件前后次序在不同参照系中可能颠倒。例例1、地球上、地球上, 在甲地在甲地x1处处 时刻时刻t1 出生一小孩出生一小孩 小甲小甲 在乙地在乙地x2处处 时刻时刻t2 出生一小孩出生一小孩 小乙小乙 两小孩的出生完全是两独立事件。两小孩的出生完全是两独立事件。甲甲 乙乙 x1 x2S若甲乙两地相距若甲乙两地相距 x2 - x1 = 3000公里公里 t2 - t1 = 0.006秒秒,即甲先乙后即甲先乙后

11、 甲甲-哥哥, 乙乙-弟弟飞船上看飞船上看,若若u = 0.6c, 可得可得t 2 - t 1 =0, 甲乙同时出生甲乙同时出生不分哥弟不分哥弟若若u = 0.8c可得可得t 2 - t 1 子弹v四、时序与因果律四、时序与因果律时序时序: :两个事件发生的时间顺序。两个事件发生的时间顺序。在在s 中：中：cut1=2t112cut2=2t212x1x21t1t2t2t1=t2t12uc2x1x2()()()1v=t1 1t2 2x1 1x2 2()()u=t2t112c2)()1(v0所以由因果率联系的两事件的时序不会颠倒。所以由因果率联系的两事件的时序不会颠倒。中：仍然是开枪在前，鸟死在后

12、。在在s因为t2 2t1 1所以uc2 2v，在狭义相对论中讨论运动学问题的思路如下：在狭义相对论中讨论运动学问题的思路如下：1、确定两个作相对运动的惯性参照系；、确定两个作相对运动的惯性参照系；2、确定所讨论的两个事件；、确定所讨论的两个事件；3、表示两个事件分别在两个参照系中的时空坐标或、表示两个事件分别在两个参照系中的时空坐标或其时空间隔；其时空间隔；4、用洛仑兹变换讨论。、用洛仑兹变换讨论。注意注意1.原时一定是在某坐标系中原时一定是在某坐标系中同一地点同一地点发生的两个事件发生的两个事件的时间间隔的时间间隔（用一只钟测用一只钟测的）；的）；2.原长一定是原长一定是相对其静止的参照系相

13、对其静止的参照系中两点的空间间隔。中两点的空间间隔。3.运动物体的长度（同时测）和空间间隔运动物体的长度（同时测）和空间间隔（不一定同时（不一定同时测）测）的区别。的区别。小结小结孪生子效应孪生子效应(twin effect)设想：设想：一对年华正茂的孪生兄弟一对年华正茂的孪生兄弟,哥哥告别弟弟哥哥告别弟弟, 登上访问牛郎登上访问牛郎织女的旅程。归来织女的旅程。归来 时时, 阿哥仍是风度翩翩一少年阿哥仍是风度翩翩一少年, 而迎接他的胞而迎接他的胞弟却是白发苍苍一老翁了弟却是白发苍苍一老翁了, 真是真是“ 天上方七日天上方七日, 地上已千年地上已千年”。讨论：讨论：1) 这样的现象能够发生这样的

14、现象能够发生 Cs原子钟证明：原子钟证明：1971年美国空军将年美国空军将Cs原子钟放在飞机上原子钟放在飞机上, 沿赤沿赤道向东和向西绕地球一周。回道向东和向西绕地球一周。回 到原处后到原处后, 分别比静止在地面上的分别比静止在地面上的钟慢钟慢59 ns 和和 273 ns (1 ns = 10-9s)。 结论：结论：相对于一惯性系的加速度越大的钟，走得越慢。与上述相对于一惯性系的加速度越大的钟，走得越慢。与上述孪生子问题所预期的效应一致。孪生子问题所预期的效应一致。2) 按照相对的观点按照相对的观点, 会不会弟弟看自己是少年会不会弟弟看自己是少年, 而哥哥是老翁了呢而哥哥是老翁了呢? 孪生子

15、佯谬孪生子佯谬(twin paradox)答案：不会答案：不会原因：原因：实际上实际上,天天(航天器航天器)、地、地(地球地球)两个参考系是不对称的两个参考系是不对称的, 地地-可以是一个惯性系可以是一个惯性系；天天-不是惯性系不是惯性系, 有有加速度加速度, 故能返故能返回回, 否则他将一去不复返否则他将一去不复返, 兄弟永别了。兄弟永别了。 这超出狭义相对论的范围这超出狭义相对论的范围, 需用广义相需用广义相 对论讨论对论讨论(广义相对广义相对论讨论有论讨论有严格的证明严格的证明, 实验证明见上：实验证明见上： Cs原子钟原子钟)。所以：所以：Twin effect 而非而非Twin Pa

16、radox试试看试试看:有加速度的那个人变年轻了。按此道理有加速度的那个人变年轻了。按此道理,若人相对地若人相对地面多作加速运动面多作加速运动, 生命过程将进行得缓慢一些生命过程将进行得缓慢一些, 不易不易 衰老衰老, 对对身体会有好处。身体会有好处。例例2、宇宙射线中有宇宙射线中有子，其速率子，其速率v=0.998c，其固，其固有寿命有寿命=210=210-6-6 s. 求地面上测量求地面上测量,子衰变前走过子衰变前走过的距离。的距离。解：地面上测量的为膨胀时，由已知数据有解：地面上测量的为膨胀时，由已知数据有 =15.82=15.82故行程故行程 l =v t t = 0.998= 0.9

17、98c c = 9500m= 9500m此行程可使此行程可使子穿过大气层到达地球表面，子穿过大气层到达地球表面，实验结果的确如此。实验结果的确如此。即趋于低速时，物理量须趋于经典理论中相应的量即趋于低速时，物理量须趋于经典理论中相应的量物理概念：质量，动量，能量，物理概念：质量，动量，能量，重新审视其定义重新审视其定义(1) 应符合爱因斯坦的狭义相对性原理应符合爱因斯坦的狭义相对性原理(2) 应满足对应原理应满足对应原理即经过洛伦兹变换时保持定律形式不变即经过洛伦兹变换时保持定律形式不变原原则则5 狭义相对论质点动力学简介狭义相对论质点动力学简介一一. .相对论质量、动量相对论质量、动量 质点

18、动力学基本方程质点动力学基本方程1. 质速关系质速关系经典理论：经典理论：恒量0mm与物体运动无关与物体运动无关推导：推导：运动：轴以沿相对系。和静止于的小球，碰撞之前分别设两个静止时质量均为vxSSSSm0SSyyxxOOvuSSyyxxOOvS静止于S静止于2201cvmm在相对论中，动量的定义不变，动量守恒定律仍然成立。但在相对论中，动量的定义不变，动量守恒定律仍然成立。但按洛伦兹变换，物体的质量将和自己的速率有关。按洛伦兹变换，物体的质量将和自己的速率有关。对对 S 系中观察者：系中观察者：本系小球：本系小球：另一小球：另一小球：所以碰撞之前：所以碰撞之前：（完全非弹性）碰撞之后：（完

19、全非弹性）碰撞之后：由动量守恒定律得：由动量守恒定律得：000Pmv，mvPmv，mv总动量umm，0系的共同速度）为总质量相对（总动量Suumm 0 10ummmv对对 系中观察者：系中观察者：本系小球：本系小球：另一小球：另一小球：所以碰撞之前：所以碰撞之前：碰撞之后：碰撞之后：由动量守恒定律得：由动量守恒定律得：000Pmv，mvPmv，mv总动量系的共同速度）为总质量相对（总动量Suumm0 20ummmvS由洛伦兹坐标变换：由洛伦兹坐标变换： 312cuvvuu由（由（1）式和（）式和（2）式得）式得uu代入（代入（3）式得）式得0222cvuvuv解之得解之得2211cvuv由（由

20、（1）式得）式得10mmmuv所以取所以取“+”得得2201cvmm运动时的质量。度为其相对观察者以速为物体的静止质量，vmm00/mmcv/1015 .0. .物体质量与速度有关，物体质量与速度有关，m=m(v)m=m(v), 0v0mm物体静止时质量最小。物体静止时质量最小。. .当当m, cv时时. .经典力学中经典力学中m m不变，由不变，由a aF Fmatvv0只要时间足够长，只要时间足够长， v v 可超过光速。可超过光速。. . vcvc时，时，m m 成为负数，无意义。所以光速是物体运动的极成为负数，无意义。所以光速是物体运动的极限速度。限速度。光子静止质量为光子静止质量为0

21、 0，可达到光速。，可达到光速。. .v vc c，m=mm=m0 0牛顿力学是相对论力学在低速情况下的近似。牛顿力学是相对论力学在低速情况下的近似。相对论中相对论中, m cv 0am m0 0=0=02. 2. 相对论动量相对论动量220/1/cmmpvvv可以证明，该公式保证动量可以证明，该公式保证动量守恒定律在洛伦兹变换下，守恒定律在洛伦兹变换下，对任何惯性系都保持不变性对任何惯性系都保持不变性3. 相对论质点动力学基本方程相对论质点动力学基本方程v0mp 经典力学经典力学amtmtpF00ddddv相对论力学相对论力学低速退化低速退化v201ddddmttpF二二. .能量质能关系能

22、量质能关系 经典力学经典力学220vmEk 相对论力学相对论力学222012vvc/mEk? ?在相对论中，认为动能定理仍适用。若取质点速率为零时动在相对论中，认为动能定理仍适用。若取质点速率为零时动能为零。能为零。则则质点质点动能就是其从静止到以动能就是其从静止到以v 的速率的速率运动的过程运动的过程中中, ,合外力所做的功合外力所做的功mc d2mmLKmcrFE0 d d 2 202cmmcEKvvvd122232220cmcvcvdvmdmvvmvdd22mc201 mm两边微分两边微分相对论的动能表达式相对论的动能表达式(1) 注意相对论动能与经典力学动能的区别和联系注意相对论动能与

23、经典力学动能的区别和联系202cmmcEk2/20vmEkvvvddmmrtprFAddddd v pd讨论讨论当当v c 时，时， 0, 有有02202/1mcmcEkv) 183211 (442220cccmvv220vm牛顿力学中牛顿力学中的动能公式的动能公式cv出现退化出现退化(2) 当当v c，Ek ，意味着将一个静止质量不为零的粒意味着将一个静止质量不为零的粒子，使其速度达到光速，是不可能的。子，使其速度达到光速，是不可能的。(3) 静止能量静止能量 总能量总能量 总总 能能 量：量：200cmE 静止能量：静止能量：2mcE 202cmmcEK任何宏观静止任何宏观静止物体具有能量

24、物体具有能量相对论质量是相对论质量是能量的量度能量的量度202cmmcEk经典力学的能量守恒和质量守恒定律在此成为一个质能守恒定律。经典力学的能量守恒和质量守恒定律在此成为一个质能守恒定律。小结：小结：常量)(2cmEiiii 3）质量和能量相当的关系称为质能关系。）质量和能量相当的关系称为质能关系。(即一定量的质量相即一定量的质量相当于一定量的能量。）当于一定量的能量。）不能认为质量和能量可以相互转变。不能认为质量和能量可以相互转变。1）把）把E0=m0c2称为静质量能或静能，是质点在静止时具有的能称为静质量能或静能，是质点在静止时具有的能量（即量（即u=0、Ek=0时的能量。由于有质量时的

25、能量。由于有质量m0而具有的能量。静而具有的能量。静能不仅限于机械能，还包含了能不仅限于机械能，还包含了 物质静止时的各种能量如电磁能、物质静止时的各种能量如电磁能、化学能、核能等。化学能、核能等。2）把）把mc2称为质点的总能量，是静能与动能的总和。即称为质点的总能量，是静能与动能的总和。即 E=mc2=m0c2+Ek 4）当系统和外界无能量交换时，系统的能量守恒）当系统和外界无能量交换时，系统的能量守恒这时质量也守恒。这时质量也守恒。常量iim四四. .相对论能量和动量的关系相对论能量和动量的关系两边平方两边平方201 mm20221mm42022242cmcmcmv两边乘以两边乘以 c

26、4 20222EcpE取极限情况考虑，如光子取极限情况考虑，如光子00mpcE cEp hE hchp22chcEmkE2mcpc20cm20cm 例例1 1一火箭的固有长度为一火箭的固有长度为L L，相对于地面作匀速，相对于地面作匀速直线运动的速度为直线运动的速度为v v1 1，火箭上有一个人从火箭的后端，火箭上有一个人从火箭的后端向火箭前端上的一个靶子发射一颗相对于火箭的速度向火箭前端上的一个靶子发射一颗相对于火箭的速度为为v v2 2的子弹。在火箭上测得子弹从射出到击中靶的时的子弹。在火箭上测得子弹从射出到击中靶的时间间隔是：间间隔是：21vv),(LA12vv),(LC211/v1v)

27、,(cLD B 2( ),vLB 例2两个惯性系S和S，沿X（X）轴方向作相对运动，相对速度为u。，设在S系中某点先后发生的两个事件，用固定于该系的钟测出两事件的时间间隔为0，而用固定在S系的钟测出这两个事件的时间间隔为。又在S系X轴上放置一固有长度为的细杆l0，从S系测得此杆的长度为l则:0D0ll 0C0ll 0A0ll0B0ll D 例例3 3，关于同时性有人提出以下一此结论，其中，关于同时性有人提出以下一此结论，其中哪个是正确的？哪个是正确的？ （A A）在一惯性系同时发生的两个事件，在另一）在一惯性系同时发生的两个事件，在另一惯性系一定不同时发生。惯性系一定不同时发生。 （B B）在

28、一惯性系不同地点同时发生的两个事件，）在一惯性系不同地点同时发生的两个事件，在另一惯性系一定同时发生。在另一惯性系一定同时发生。 （C C）在一惯性系同一地点同时发生的两个事件，）在一惯性系同一地点同时发生的两个事件，在另一惯性系一定同时发生。在另一惯性系一定同时发生。 （D D）在一惯性系不同地点不同时发生的两个事）在一惯性系不同地点不同时发生的两个事件，在另一惯性系一定不同时发生。件，在另一惯性系一定不同时发生。 C C 例例4 4在某地发生两件事，静止位于该地的甲测在某地发生两件事，静止位于该地的甲测得时间间隔为得时间间隔为4s4s，若相对甲作匀速直线运动的乙测，若相对甲作匀速直线运动的

29、乙测得时间间隔为得时间间隔为5s5s，则乙相对于甲的运动速度是（，则乙相对于甲的运动速度是（c c表表示真空中光速）示真空中光速）（A）（）（4/5）c（B）(3/5)c（C）(1/5)c （D）(2/5)c B 解解: :4545)/(1122cu所以所以: u=3c/5: u=3c/5 例例5 5在狭义相对论中，下列说法中哪些是正确的？在狭义相对论中，下列说法中哪些是正确的？ （1 1）一切运动物体相对于观察者的速度都不能大于真空）一切运动物体相对于观察者的速度都不能大于真空中的光速。中的光速。 （2 2）质量、长度、时间的测量结果都是随物体与观察者）质量、长度、时间的测量结果都是随物体与

30、观察者的相对运动状态而改变的。的相对运动状态而改变的。 （3 3）在一惯性系中发生于同一时刻、不同地点的两个事）在一惯性系中发生于同一时刻、不同地点的两个事件在其他一切惯性系中也是同时发生的。件在其他一切惯性系中也是同时发生的。 （4 4）惯性系中的观察者观察一个与他匀速相对运动的时）惯性系中的观察者观察一个与他匀速相对运动的时钟时，会看到这时钟比与他相对静止的相同的时钟走得慢些。钟时，会看到这时钟比与他相对静止的相同的时钟走得慢些。（A）（）（1），（），（3），（），（4）（B）（）（1），（），（2），（），（4）（C）（）（1），（），（2），（），（3）（D）（）（2），（），（3）

31、，（），（4）上述说法哪些是正确的上述说法哪些是正确的: : B 例例6 6粒子在加速器中被加速，当其质量为静止质量的粒子在加速器中被加速，当其质量为静止质量的3 3倍时，倍时，其动能为静止能量的其动能为静止能量的（A A）2 2倍倍（B B）3 3倍倍（C C）4 4倍倍（D D）5 5倍倍 A A 解：解：20202022) 1(cmcmcmmcEk0mm3 例例8 8当惯性系当惯性系S S和和SS坐标原点坐标原点O O和重合时，有一点光源从和重合时，有一点光源从坐标原点发出一光脉冲，对坐标原点发出一光脉冲，对S S系经过一段时间系经过一段时间t t后（对后（对SS系经系经过时间为过时间为tt），此光脉冲的球面方程（用直角坐标系）分别），此光脉冲的球面方程（用直角坐标系）分别为：为：S S系系 ；SS系系 。 例例9 9静止时边长为静止时边长为50cm50cm的立方体，当它沿着与它的一个棱的立方体，当它沿着与它的一个棱边平行的方向相对于地面以匀速度边平行的方向相对于地面