第3章随机过程

1、1第第3章章 随机过程随机过程3.0 引言引言3.4 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统3.6 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声3.5 窄带随机过程窄带随机过程3.3 高斯随机过程高斯随机过程3.2 平稳随机过程平稳随机过程3.1 随机过程的基本概念随机过程的基本概念3.7 高斯白噪声和带限白噪声高斯白噪声和带限白噪声要求要求23.0 引言引言1.1.信号的分类信号的分类按信号的性质分为确定信号和随机信号两类。按信号的性质分为确定信号和随机信号两类。确定信号确定信号：是指在相同的实验条件下，能够是指在相同的实验条件下，能够重复实现的信号。又有周期信号和非周期信号重复实现的

2、信号。又有周期信号和非周期信号之分。确定性信号是时间的确定函数。之分。确定性信号是时间的确定函数。随机信号随机信号：是在相同的实验条件下，不能够：是在相同的实验条件下，不能够重复的信号。信号的某个或几个参数不能预知重复的信号。信号的某个或几个参数不能预知或不可能完全预知（具有随机性）。或不可能完全预知（具有随机性）。32. 通信系统中传输的信号、噪声均为随机信号通信系统中传输的信号、噪声均为随机信号. . 随机信号的不可预测性为所携带的信息，它随机信号的不可预测性为所携带的信息，它是有用的，而噪声的不可预测性是对信号的干是有用的，而噪声的不可预测性是对信号的干扰，是有害的。两者都不可预测，但均

3、服从一扰，是有害的。两者都不可预测，但均服从一定统计规律，需用概率论方法进行分析。二者定统计规律，需用概率论方法进行分析。二者统计特性不同，可从噪声中提取信号。统计特性不同，可从噪声中提取信号。3.3.通信系统中的噪声为随机噪声，简称噪声。通信系统中的噪声为随机噪声，简称噪声。 43.13.1随机过程的基本概念随机过程的基本概念 随机变量随机变量(random variable):在数学分析在数学分析中，将每次实验的结果用一个变量来表示，中，将每次实验的结果用一个变量来表示，如果变量的取值是不确定的（以某个概率如果变量的取值是不确定的（以某个概率取某个值），则这种变量称为随机变量。取某个值），

4、则这种变量称为随机变量。 例如在给定的某一瞬间测量接收机输出例如在给定的某一瞬间测量接收机输出端上的噪声，所测得的噪声瞬间值就是一端上的噪声，所测得的噪声瞬间值就是一个随机变量。个随机变量。5随机变量随机变量 的的概率分布函数概率分布函数 是是 的的取值小于或等于取值小于或等于 的概率，即的概率，即X xFXXx xXPxFX在许多问题中，采用在许多问题中，采用概率密度函数概率密度函数 比采用概率分布函数更方便。概率密度函比采用概率分布函数更方便。概率密度函数被定义为概率分布函数的导数。数被定义为概率分布函数的导数。 xPX分布函分布函 数：数：distribution function概率密

5、度函数：概率密度函数： probability density function6概率密度函数和概率分布函数之间的关系可概率密度函数和概率分布函数之间的关系可表述为：表述为： X 位于区间位于区间 内的概率是概率密度内的概率是概率密度函数函数 在该区间上的积分，即在该区间上的积分，即 :21,xx xPX xxPxXxPxxXd2121 xpXx1x2x21xxxP7定义二维随机变量的联合概率密度函数为定义二维随机变量的联合概率密度函数为yxyxFyxPYXYX,2, 假设联合概率分布函数处处连续，且偏导假设联合概率分布函数处处连续，且偏导存在并处处连续。存在并处处连续。若考虑两个随机变量若考

6、虑两个随机变量X 、Y，定义二维随机变，定义二维随机变量量( X,Y )的联合概率分布函数为的联合概率分布函数为 ，即，即X小于或等于小于或等于x 同时同时 Y 小于或等于小于或等于 y 的联合概率。的联合概率。 yxFYX,yYxXPyxFYX;,8随机变量的主要数字特征包括数学期望（均随机变量的主要数字特征包括数学期望（均值）值） 和方差和方差 等。等。 XE)(XDxxpxXEXd)()( xxpaxaXEXDXXXd22 反映了随机变量反映了随机变量 取值的集中位置，有取值的集中位置，有时也用时也用 表示；表示； 表示的表示的 取值相对于均值取值相对于均值的的“离散程度离散程度”，也常

7、常表示为，也常常表示为 。 XEXXa XDX2X9随机过程随机过程 ( (random process) )确定过程确定过程 其变化过程具有确定的形式，或者说具有必其变化过程具有确定的形式，或者说具有必然的变化规律。用数学语言来说，其变化过程然的变化规律。用数学语言来说，其变化过程可以用一个或几个可以用一个或几个时间时间t的确定的确定函数来描述函数来描述。随机过程随机过程 没有确定的变化形式，也就是说，每次对没有确定的变化形式，也就是说，每次对它的测量结果没有一个确定的变化它的测量结果没有一个确定的变化规律。用数规律。用数学语言来说，学语言来说， 这类事物变化的过程不可能用一这类事物变化的过

8、程不可能用一个或几个时间个或几个时间t的确定的确定函数来描述。函数来描述。10什么是随机过程什么是随机过程？ 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，不能随机过程是一类随时间作随机变化的过程，不能用确切的时间函数描述。用确切的时间函数描述。 角度角度1：随机过程可视为无穷多个样本函数的随机过程可视为无穷多个样本函数的集合集合 (assemble) 。l 设设Sk(k=1, 2, )是随机试验。是随机试验。 每一次试验都有每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数或实现一条时间波形（称为样本函数或实现)，记作，记作xi(t)，所有可能出现的结果的总体所有可能出现的结果的总体x1(t), x2(t),

9、 , xn(t) 就构成一随机过程，记作就构成一随机过程，记作(t)。简言。简言之，无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。之，无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。11l设随机试验设随机试验E的可能结果为的可能结果为 (t)，试验的样本，试验的样本空间空间S为；为；x1(t)，x2(t)，xi(t)，i为正为正整数，整数，xi(t)为第为第 i 个样本函数（又称之为实现个样本函数（又称之为实现(realization)）,每次试验之后，每次试验之后， (t)取空间取空间S中中的某一样本函数，于是称此的某一样本函数，于是称此 (t)为随机函数。为随机函数。当当 t 代表时间量时，称此代表时间量时，称

10、此 (t)为随机过程为随机过程 无穷多个样本函数无穷多个样本函数xi(t)的集合称作随机过程的集合称作随机过程。什么是随机过程什么是随机过程？12l在任一给定时刻在任一给定时刻 t1上，每一个样本函数上，每一个样本函数xi (t)都是一个确定的数值都是一个确定的数值xi (t1)，但是每个但是每个xi (t1)都都是不可预知的。是不可预知的。l在一个固定时刻在一个固定时刻t1上，不同样本的取值上，不同样本的取值xi (t1), i = 1, 2, , n是一个随机变量，记为是一个随机变量，记为 (t1).什么是随机过程什么是随机过程？角度角度2： 随机过程可视为无穷多个随机变量随机过程可视为无

11、穷多个随机变量 (ti) 的集合。的集合。 13l换句话说，随机过程在任意时刻的值是一换句话说，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。个随机变量。l因此，我们又可以把随机过程看作是在时因此，我们又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。这间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。描述。什么是随机过程什么是随机过程？14x1(t)x2(t)xn(t)ttt样本空间S1S2Sn(t)tk15随机过程基本特征随机过程基本特征： 随机过程兼有随机变量和和时间函数的特点：随机过程兼有随机变量和和时间

12、函数的特点： 就某一瞬间来看，它是一个随机变量；就它就某一瞬间来看，它是一个随机变量；就它的一个样本来看，则是一个时间函数。随机过的一个样本来看，则是一个时间函数。随机过程的样本空间是一个时间函数集，随机变量的程的样本空间是一个时间函数集，随机变量的样本空间是一个实数集。样本空间是一个实数集。两层含义两层含义：l随机过程随机过程(t)是大量样本函数的集合。是大量样本函数的集合。l随机过程随机过程(t)在任一时刻都是随机变量；在任一时刻都是随机变量；163.1.1 随机过程的分布函数随机过程的分布函数 随机变量随机变量(t1)小于或等于某一数值小于或等于某一数值x1的概率的概率 简记为简记为F1

13、(x1, t1)，即，即 称为随机过程称为随机过程(t)的一维分布函数的一维分布函数11111(,) ( )Fx tPtx11 ( )Ptx 设设(t)表示一个随机过程，在任意给定的时表示一个随机过程，在任意给定的时刻刻t1T， 其取值其取值(t1)是一个一维随机变量。是一个一维随机变量。随机过程的统计特性可以用随机过程的统计特性可以用分布函数分布函数或或概率密概率密度函数度函数来描述来描述。171111111(,)(,)Fxtfxtx如果存在如果存在称称 为随机过程为随机过程 的的一维概率密度函数一维概率密度函数)(111txf，)(t同理，任给同理，任给t1, t2, , tnT, 则则(

14、t)的的n维分布维分布函数被定义为：函数被定义为：1212( ,; , ,)nnnF x xx t ttP1122 ( ), ( ),( )nntxtxtx n维概率密度函数被定义为维概率密度函数被定义为:).,;.,(.).,.;,(2121212, 121nnnnnntttxxxfxxxtttxxF183.1.2 随机过程的数字特征随机过程的数字特征 分布函数或概率密度函数虽然能够较全面分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性地描述随机过程的统计特性, 但在实际工作中，但在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，而用随

15、机过程的数字特征来描述随机过数，而用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。程的统计特性，更简单直观。19设随机过程设随机过程(t)在任意给定时刻在任意给定时刻t1的取值的取值(t1)是是一个随机变量，其概率密度函数为一个随机变量，其概率密度函数为f1(x1, t1)，则，则(t1)的数学期望为的数学期望为11111),()(dxtxfxtE注意，这里注意，这里t1是任取的，所以可以把是任取的，所以可以把t1直接写直接写为为t, x1改为改为x, 这时上式就变为随机过程在任意这时上式就变为随机过程在任意时刻的数学期望，记作时刻的数学期望，记作 ， 于是于是dxtxfxtEta)

16、,()()(1)(t随机过程的随机过程的数学期望数学期望20随机过程的随机过程的数学期望数学期望l反映了随机过程各个时刻的数学期望（均值）反映了随机过程各个时刻的数学期望（均值）随时间的变化情况；随时间的变化情况；l是随机过程所有样本函数的是随机过程所有样本函数的统计平均函数统计平均函数；l它由随机过程的一维概率分布决定；它由随机过程的一维概率分布决定；l表征了随机信号的直流分量；表征了随机信号的直流分量；dxtxfxtEta),()()(1 tXt021随机过程的随机过程的方差方差 (variance)：)(2t记为：记为： 。2)()()(tatEtD)()()()()(2)()()()(

17、2)(222222tatEtatEtatEtattatEl反映随机过程在时刻反映随机过程在时刻 t 相对于均值的偏离程度；相对于均值的偏离程度；l表征了随机信号的交流平均功率。表征了随机信号的交流平均功率。22相关函数相关函数(correlation function)： 描述随机过程在任意两个时刻上获得的随机描述随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量之间的相关程度。变量之间的相关程度。2121212212121),;,()()(),(dxdxttxxfxxttEttR 式中，式中， (t1)和和 (t2)分别是在分别是在t1和和t2时刻观测时刻观测得到的随机变量。可以看出，得到的随机变量。可

18、以看出，R(t1, t2)是两个是两个变量变量t1和和t2的确定函数。的确定函数。23协方差函数协方差函数(covariance function)式中式中: a (t1) a(t2) 在在t1和和t2时刻得到的时刻得到的 (t)的均值的均值 f 2(x1, x2; t1, t2) (t)的二维概率密度函数。的二维概率密度函数。 21212122211221121),;,()()( )()()()(),(dxdxttxxftaxtaxtattatEttB l相关函数和协方差函数之间的关系相关函数和协方差函数之间的关系 若若a(t1) = a(t2)=0，则，则B(t1, t2) = R(t1,

19、 t2)()(),(),(212121tatattRttB24互相关函数互相关函数 式中式中 (t)和和 (t)分别表示两个随机过程。分别表示两个随机过程。因此，因此，R(t1, t2)又称为自相关函数。又称为自相关函数。 )()(),(2121ttEttR251. 和的平均等于平均的和和的平均等于平均的和 E(XY)E(X)E(Y)2. 若若X、Y相互统计独立，则积的平均等于平均相互统计独立，则积的平均等于平均的积的积 E(XY)E(X)E(Y)3. 随机变量随机变量X的函数的函数g(X)的平均的平均式中式中 是随机变量是随机变量X的概率密度函数。的概率密度函数。4. 确知函数可视为常数确知

20、函数可视为常数若若 是确知函数，则是确知函数，则 dxxfXgXgE)()()()(xf)()()()()()(XgEtfXgtfEtftfE)(xf补：进行统计平均运算时常用到的一些公式补：进行统计平均运算时常用到的一些公式263.2平稳随机过程平稳随机过程狭义平稳（或严平稳）随机过程狭义平稳（或严平稳）随机过程 广义平稳（或宽平稳）随机过程广义平稳（或宽平稳）随机过程 平稳随机过程的平稳随机过程的“各态历经性各态历经性” 平稳随机过程的自相关函数平稳随机过程的自相关函数 平稳随机过程的功率谱密度平稳随机过程的功率谱密度 27定义定义：平稳随机过程的统计特性将不随时间：平稳随机过程的统计特性

21、将不随时间的推移而发生变化，即其任何的推移而发生变化，即其任何n维分布函数或维分布函数或概率密度函数概率密度函数与时间起点无关与时间起点无关，亦即对于任意，亦即对于任意的正整数的正整数n和任意的实数和任意的实数 ，平稳，平稳随机过程随机过程 的的n维概率密度函数满足：维概率密度函数满足：称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程,简称简称严平稳随机过程严平稳随机过程（狭义平稳随机过程）。（狭义平稳随机过程）。),(),(21212121nnnnnntttxxxftttxxxf；,21nttt 3.2.1 平稳随机过程的定义平稳随机过程的定义)(t28性质：

22、性质： 该定义表明，平稳随机过程的统计特该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变，即它的一维分布函性不随时间的推移而改变，即它的一维分布函数与时间数与时间t无关：无关： 二维分布函数只与时间间隔二维分布函数只与时间间隔 = t2 t1有关：有关：)(),(),(11111111xftxftxf);,(),;,(),;,(2122121221212xxfttxxfttxxfadxxfxtE1111)()()();,()()(),(21212211121RdxdxxxfxxttEttR 数字特征数字特征：29数字特征：数字特征：（1）其均值与）其均值与t 无关，为常数无关，为常数a

23、； （2）自相关函数只与时间间隔）自相关函数只与时间间隔 有关。有关。 把同时满足把同时满足(1)和和(2)的过程定义为的过程定义为广义平稳随广义平稳随机过程机过程。显然，严平稳随机过程必定是广义平。显然，严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。稳的，反之不一定成立。 在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。除特别声明，课程所可视为平稳的随机过程。除特别声明，课程所讨论的均为广义平稳随机过程。讨论的均为广义平稳随机过程。adxxfxtE1111)()()(),(21RttR30问题的提出问题的提出：随机过程的数字特征是对随：随机

24、过程的数字特征是对随机过程的所有样本函数的统计平均，但在实机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量的样本，能否从一次际中常常很难测得大量的样本，能否从一次试验而得到的一个样本函数试验而得到的一个样本函数x(t)来决定平稳来决定平稳过程的数字特征呢过程的数字特征呢?3.2.2 各态历经性各态历经性31回答是肯定的回答是肯定的。平稳过程在满足一定的条。平稳过程在满足一定的条件下具有一个特性，称为件下具有一个特性，称为“各态历经性各态历经性” (又称又称“遍历性遍历性”)。具有各态历经性的过程，。具有各态历经性的过程，其数字特征（统计平均）可由随机过程中的其数字特征（统计平均）可由

25、随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。任一实现的时间平均值来代替。 32 设：设：x(t)是平稳过程是平稳过程 (t)的任意一次实现的任意一次实现(样本样本)，则其时间均值和时间相关函数分别定义为：则其时间均值和时间相关函数分别定义为： 如果平稳过程使下式成立如果平稳过程使下式成立则称该平稳过程具有各态历经性。则称该平稳过程具有各态历经性。2/2/2/2/)()(1lim)()()()(1lim)(TTTTTTdttxtxTtxtxRdttxTtxa)()(RRaa各态历经性条件各态历经性条件33“各态历经各态历经”的含义的含义：随机过程中的任一次：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所

26、有可能状态。因此，实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，在求解各种统计平均（均值或自相关函数等）在求解各种统计平均（均值或自相关函数等）时，无需作无限多次的考察，只要获得一次考时，无需作无限多次的考察，只要获得一次考察，用一次实现的察，用一次实现的“时间平均时间平均”值代替过程的值代替过程的“统计平均统计平均”值即可，从而使测量和计算的问值即可，从而使测量和计算的问题大为简化。题大为简化。具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的随机反之不一定成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。信号和噪声

27、，一般均能满足各态历经条件。343.2.3 平稳过程的自相关函数平稳过程的自相关函数平稳过程自相关函数的定义：同前平稳过程自相关函数的定义：同前平稳过程自相关函数的性质平稳过程自相关函数的性质l (t)的平均功率的平均功率l 的偶函数的偶函数l R( )的上界的上界,即自相关即自相关函数函数 R( )在在 = 0有最大值。有最大值。l (t)的直流功的直流功l 表示平稳过程表示平稳过程 (t)的交流的交流功率。当均值为功率。当均值为0时，有时，有 R(0) = 2 。 )()0(2tER)()( RR)0()(RR22a)()(tER2)()0( RR353.2.4 平稳过程的功率谱密度平稳过

28、程的功率谱密度定义：对于任意的确定功率信号定义：对于任意的确定功率信号f (t)，它的功，它的功率谱密度定义为率谱密度定义为式中，式中，FT ( f )是是f (t)的截短函数的截短函数fT (t) 所对应的频所对应的频谱函数谱函数TfFmi lfPTTf2)()(36 对于平稳随机过程对于平稳随机过程 (t) ，可以把，可以把f (t)当作是当作是 (t)的一个样本；某一样本的功率谱密度不能作为的一个样本；某一样本的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看作过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看作是对所有样本的功率谱的统计平均，故是对所有样本的功率谱的统计平均，故 (t)的功

29、的功率谱密度可以定义为率谱密度可以定义为TfFEmi lfPEfPTTf2)()()(37功率谱密度的计算功率谱密度的计算l 维纳维纳-辛钦关系辛钦关系 非周期的功率型确知信号的自相关函数与非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对其功率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立，即有平稳随机过程同样成立，即有 简记为简记为 以上关系称为维纳以上关系称为维纳-辛钦关系。它是联系频辛钦关系。它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。域和时域两种分析方法的基本关系式。dePRdeRPjj)(21)()()()()(fPR38l在维纳在维纳-辛钦关系的

30、基础上，可得到结论：辛钦关系的基础上，可得到结论：u对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的平对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的平均功率：均功率：从频域的角度给出了过程平均功率的计算法。从频域的角度给出了过程平均功率的计算法。u各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于随机过程的功率谱密度。也就是说，每一等于随机过程的功率谱密度。也就是说，每一样本函数的谱特性都能很好地表现整个过程的样本函数的谱特性都能很好地表现整个过程的的谱特性。的谱特性。dffPR)()0(39u功率谱密度功率谱密度P ( f )具有非负性和实偶性，具有非负性和实偶性，即有即有和和这与这

31、与R( )的实偶性相对应。的实偶性相对应。 0)(fP)()(fPfP403.3 高斯随机过程（正态随机过程）高斯随机过程（正态随机过程）3.3.1 定义定义 如果随机过程如果随机过程 (t)的任意的任意n维维(n =1,2,.)分布均分布均服从正态分布，则称为正态过程或高斯过程。服从正态分布，则称为正态过程或高斯过程。3.3.2 重要性质重要性质由高斯过程的定义式由高斯过程的定义式(3.3-1)可以看出，高斯可以看出，高斯过程的过程的n维分布只依赖各个随机变量的均值、维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方差。因此，对于高斯过程，方差和归一化协方差。因此，对于高斯过程，只需要研究它的

32、数字特征就可以了。只需要研究它的数字特征就可以了。41广义平稳的高斯过程也是严平稳的广义平稳的高斯过程也是严平稳的。若高。若高斯过程是广义平稳的，即其均值与时间无关，斯过程是广义平稳的，即其均值与时间无关，自相关函数只与时间间隔有关，与时间起点自相关函数只与时间间隔有关，与时间起点无关，则它的无关，则它的n维分布也与时间起点无关，维分布也与时间起点无关，故它也是严平稳的。所以，高斯过程若是广故它也是严平稳的。所以，高斯过程若是广义平稳的，则也严平稳。义平稳的，则也严平稳。高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程高斯过程。也可以说，若线性系统的输入为。也可

33、以说，若线性系统的输入为高斯过程，则系统输出也是高斯过程。高斯过程，则系统输出也是高斯过程。42如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对所有即对所有j k，有，有bjk =0，则其概率密度可以，则其概率密度可以简化为简化为 这表明，这表明，如果高斯过程在不同时刻的取值是如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的不相关的，那么它们也是统计独立的。),.,;,.,(2121nnntttxxxfnax1k2k2kkk2)(exp21),(),(),(2211nntxftxftxf43定义：高斯过程在任一时刻上的取值是一定义：高斯过程在任

34、一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，也称高斯随机变量，个正态分布的随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数为其一维概率密度函数为式中式中 a 均值均值 2 方差方差 曲线如右图：曲线如右图：221()( )exp22xaf x3.3.3 高斯随机变量高斯随机变量44性质性质lf (x)对称于直线对称于直线 x = a，即即l la表示分布中心，表示分布中心， 称为标准偏差，表示集中称为标准偏差，表示集中程度，图形将随着程度，图形将随着 的减小而变高和变窄。当的减小而变高和变窄。当a = 0和和 = 1时，称为标准化的正态分布：时，称为标准化的正态分布：xafxaf1)(dxxfaad

35、xxfdxxf21)()(21( )exp22xf x45正态分布函数正态分布函数 该积分的值无法用闭合形式计算，通常利用其该积分的值无法用闭合形式计算，通常利用其它特殊函数，用查表的方法求出：它特殊函数，用查表的方法求出：l用误差函数表示：令用误差函数表示：令则则 式中式中 误差函数。误差函数。221()( )()exp22xzaF xPxdz2/ )(aztdtdz2202( )xterf xedt)2(2121221)(2/ )(2axerfdtexFaxt46l用互补误差函数用互补误差函数erfc(x)表示正态分布函数：表示正态分布函数：式中式中 当当x 2时，时，2211)(axer

36、fcxF22( )1( )txerfc xerf xedt 21( )xerfc xex47l用用Q函数表示正态分布函数：函数表示正态分布函数：lQ函数定义：函数定义：lQ函数和函数和erfc函数的关系：函数的关系：lQ函数和分布函数函数和分布函数F(x)的关系：的关系：lQ函数值也可以从查表得到。函数值也可以从查表得到。2/21( )2txQ xedt221)(xerfcxQ)2(2)(xQxerfcaxQaxerfcxF12211)(483.4 平稳随机过程平稳随机过程通过线性系统通过线性系统 实际上讨论随机信号经线性系统传输比讨实际上讨论随机信号经线性系统传输比讨论确定信号经线性系统传输

37、更具有实际意义。论确定信号经线性系统传输更具有实际意义。我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。随机信号通过线性系统的分析，完全是情况。随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线性系统的分析原理的基建立在确知信号通过线性系统的分析原理的基础之上的。础之上的。 49我们知道，线性系统的响应我们知道，线性系统的响应v0(t)等于输入信号等于输入信号vi(t)与系统的单位冲激响应与系统的单位冲激响应h(t)的卷积，即的卷积，即0( )( ) ()iv tvh tddtvhtvi)()()(0或或（3.4-1）（3.4-2）50 若把若把vi(t)

38、、vo(t)看作是输入、输出随机过程的看作是输入、输出随机过程的一个样本，输入过程一个样本，输入过程i(t)的每个样本与输出过程的每个样本与输出过程o(t)的相应样本之间都满足上式的关系。这样，的相应样本之间都满足上式的关系。这样，就整个过程而言，便有就整个过程而言，便有 假定输入假定输入i(t)是平稳随机过程，现在来分析系是平稳随机过程，现在来分析系统的输出过程统的输出过程o(t)的统计特性。的统计特性。 先确定输出过程的数学期望、自相关函数及功先确定输出过程的数学期望、自相关函数及功率谱密度，然后讨论输出过程的概率分布问题。率谱密度，然后讨论输出过程的概率分布问题。dtvhtvi)()()

39、(0dthti)()()(051dthti)()()(0dtEhdthEtEii)()()()()(0atEtEii)()()0()()(0HadhatEdhH)()0(输出过程输出过程 o(t)的均值的均值 (数学期望数学期望E 0(t)设输入过程是平稳的设输入过程是平稳的 ，则有，则有 H(0)是系统在是系统在 f = 0处的频率响应处的频率响应(直流增益直流增益)。说明：输出过程的数学期望等于输入过程的数说明：输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与学期望与H(0)相乘，并且相乘，并且E 0(t)与与t无关。无关。52)()(),(1010110ttEttR)()()()(),(011

40、0RddRhhttRi 输出过程输出过程 o(t)的自相关函数的自相关函数R0(t1, t1+ )根据自相关函数的定义根据自相关函数的定义 由以上输出过程的数学期望和自相关函数证明，由以上输出过程的数学期望和自相关函数证明，若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的。程也是平稳的。可得出：可得出：结论结论：自相关函数只依赖时间间隔：自相关函数只依赖时间间隔 ，而与时间起，而与时间起点点t1无关。故输出过程也是宽平稳的随机过程。无关。故输出过程也是宽平稳的随机过程。53)()()()()()(20fPfHfPfHfHfPii输出过程输出过程 o(

41、t)的功率谱密度的功率谱密度经过推导可得经过推导可得结论：输出过程的功率谱密度是输入过程的结论：输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘以系统频率响应模值的平方。功率谱密度乘以系统频率响应模值的平方。 这是十分有用的一个重要公式。这是十分有用的一个重要公式。 当我们想得当我们想得到输出过程的自相关函数到输出过程的自相关函数Ro()时，比较简单的时，比较简单的方法是先计算出功率谱密度方法是先计算出功率谱密度Po()，然后求其，然后求其反变换，这比直接计算反变换，这比直接计算R0()要简便得多。要简便得多。54输出过程输出过程 o o( (t t) )的概率分布的概率分布l如果线性系统的输入过

42、程是高斯型的，则系如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。统的输出过程也是高斯型的。 与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变了。改变了。l高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯过程高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯过程553.5 窄带随机过程窄带随机过程窄带信号窄带信号：是指频谱只限于以是指频谱只限于以 fC为中心频为中心频率而带宽为率而带宽为 f， f fC的信号，更确切地的信号，更确切地应该称之为高频窄带信号。应该称之为高频窄带信号。56窄带随机过程窄带随机过程： 如果信号或噪声满足窄带条件，且是一个如果信号或噪声满足窄

43、带条件，且是一个随机过程，则称它们为窄带随机过程。随机过程，则称它们为窄带随机过程。 如果噪声的瞬时取值服从高斯分布，则称如果噪声的瞬时取值服从高斯分布，则称它为窄带高斯噪声。在不特别声明情况下，它为窄带高斯噪声。在不特别声明情况下，我们仅仅讨论我们仅仅讨论零均值平稳高斯窄带过程零均值平稳高斯窄带过程。57窄带随机过程的表示式窄带随机过程的表示式式中，式中，a (t) 随机包络，随机包络， (t) 随机相位随机相位 c 中心角频率中心角频率显然，显然， a (t)和和 (t)的变化相对于载波的变化相对于载波cos ct的变化要缓慢得多。的变化要缓慢得多。0)(,)(cos)()(tatttat

44、c58窄带随机过程表示式展开窄带随机过程表示式展开 式中式中 (t)的的 同相分量同相分量 (t)的的 正交分量正交分量0)(,)(cos)()(tatttatctttttcsccsin)(cos)()()(cos)()(ttatc)(sin)()(ttats 可以看出：可以看出： (t)的统计特性由的统计特性由a (t)和和 (t)或或 c(t)和和 s(t)的统计特性确定。反之，若的统计特性确定。反之，若 (t)的统的统计特性已知，则计特性已知，则a (t)和和 (t)或或 c(t)和和 s(t)的统计的统计特性也随之确定。特性也随之确定。 59关于窄带随机过程有两个重要结论关于窄带随机过

45、程有两个重要结论结论之一结论之一：一个均值为零的窄带平稳高斯随：一个均值为零的窄带平稳高斯随机过程，它的同相分量机过程，它的同相分量 C(t)和正交分量和正交分量 S(t)同同样是平稳高斯随机过程，而且均值都为零，方样是平稳高斯随机过程，而且均值都为零，方差也相同，且等于差也相同，且等于 (t)的方差。另外，在同一时的方差。另外，在同一时刻上得到的刻上得到的 C、 S是不相关的或统计独立的。是不相关的或统计独立的。0)()()(tEtEtEsc222sc0)0()0(scscRR60结论之二结论之二： 一个均值为零的平稳高斯窄带一个均值为零的平稳高斯窄带过程，其包络过程，其包络 的一维分布是瑞

46、利分布，的一维分布是瑞利分布，相位相位 的一维分布是均匀分布，并且就一的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，包络与相位是统计独立的。维分布而言，包络与相位是统计独立的。1()022f222(,)exp22aaf a222()exp,02aaf aa)(t)(t613.6 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声 为了减少噪声的影响，通常在接收机前端为了减少噪声的影响，通常在接收机前端设置一个带通滤波器，以滤除信号频带以外设置一个带通滤波器，以滤除信号频带以外的噪声。带通滤波器的输出是信号与窄带噪的噪声。带通滤波器的输出是信号与窄带噪声的混合波形。声的混合波形。 最常见的是正弦波加窄带高斯噪

47、声的合成最常见的是正弦波加窄带高斯噪声的合成波，这是通信系统中常会遇到的一种情况，波，这是通信系统中常会遇到的一种情况，所以有必要了解合成信号的包络和相位的统所以有必要了解合成信号的包络和相位的统计特性。计特性。 62式中式中为窄带高斯过程，其均值为零。为窄带高斯过程，其均值为零。ttnttntncsccsin)(cos)()()()cos()(tntAtrcttnttntAcscccsin)(cos)()cos(设合成信号为设合成信号为() c o s ( ) () c o s ( )()c o s ( ) ()s in ( ) ccccrt A tnt A txtt ytt ttnAttn

48、Acsccsin)(sincos)(cos(3.6 - 1)(tzc)(tzs63arctan02sczz相位随机变量为相位随机变量为信号信号r(t)的包络为的包络为推导可得包络概率密度函数为推导可得包络概率密度函数为称为称为广义瑞利分布广义瑞利分布也称莱斯也称莱斯(Rice)密度函数。密度函数。2202221( )exp()()02zAzf zzAIz（3.6-8）)()()(22tztztzsc64 （1） 当信号很小，当信号很小，A0，即信号功率与噪，即信号功率与噪声功率之比声功率之比 =r0时，这时合成波时，这时合成波r(t)中只中只存在窄带高斯噪声，式（存在窄带高斯噪声，式（3.6-

49、8）近似为式）近似为式（3.5-20），即由莱斯分布退化为瑞利分布。），即由莱斯分布退化为瑞利分布。222nA2202221( )exp()()02zAzf zzAIz（3.6-8）() c o s ( ) () c o s ( )()c o s ( ) ()s in ( ) ccccrt A t n t A txtt ytt 65（2）当信噪比）当信噪比r很大时，有很大时，有I0(x) ，这时在，这时在zA附近，附近， f(z)近似于高斯分布，即近似于高斯分布，即 即：信号加噪声的合成波包络分布与信噪比有即：信号加噪声的合成波包络分布与信噪比有关。小信噪比时，它接近于瑞利分布；大信噪关。小信噪比时，它接近于瑞利分布；大信噪比时，它接近于高斯分布；在一般情况下它是比时，它接近于高斯分布；在一般情况下它是莱斯分布。图莱斯分布。图 3-5(a)给出了不同的给出了不同的r值时值时f(z)的的曲线。曲线。xex2222)(exp(21)(nAzxzf2202221( )exp()()02zAzf zzAIz（3.6-8）66图图 3-5 正弦波加窄带高斯过程的包络与相位分布正弦波加窄带高斯过程的包络与相位分布n f (z)0.50.40.30.20.1r 0nAz(a) 0r 0f ( )(b)0r 1r 1673.7 高斯