结构力学——第15章悬索计算

1、第十五章 悬索计算15-1 概述15-2 集中荷载作用下的单根悬索计算15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算15-4 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解15-5 悬索体系的计算15-1 概 述悬索：悬索：悬索结构中的主要承重构件，一般由高强度钢材制成。悬索结构中的主要承重构件，一般由高强度钢材制成。 悬索受力特性：悬索受力特性： 只产生轴向拉力。只产生轴向拉力。悬索的优点：悬索的优点：受力合理，能充分利用高强度钢材的优点；受力合理，能充分利用高强度钢材的优点； 结构自重轻；结构自重轻； 较经济地跨越很大的跨度。较经济地跨越很大的跨度。悬索的特征：悬索的特征：柔性结构，几何形状随所受荷载不同而

2、变化；柔性结构，几何形状随所受荷载不同而变化； 位移与外荷载的关系是非线性的；位移与外荷载的关系是非线性的； 按变形后的几何形状和尺寸建立平衡方程。按变形后的几何形状和尺寸建立平衡方程。悬索悬索AB在竖向集中荷载作用的计算简图如图在竖向集中荷载作用的计算简图如图a所示。所示。15-2 集中荷载作用下的单根悬索计算图图b为相应简支梁。为相应简支梁。 将索端张力沿竖向和将索端张力沿竖向和弦弦AB方向分解可得：方向分解可得： 可求得索端张力的水可求得索端张力的水平与竖向分量为：平与竖向分量为：tantancosH0VVH0VV0RHFFFFFFfMFFBBAACChMFFFFFCBBAA0R0VV0

3、VV(a)15-2 集中荷载作用下的单根悬索计算 即给定了悬索中任一点即给定了悬索中任一点K到弦到弦AB的竖直距离的竖直距离fK，索中张，索中张力的水平分量可由下式确定力的水平分量可由下式确定KKfMF0H(b)0KM为相应简支梁为相应简支梁K界面的弯矩。界面的弯矩。 FH在各索段中为常数，各索段的张力可由各集中力作用在各索段中为常数，各索段的张力可由各集中力作用点的平衡方程求得，并可确定各索段的几何位置。点的平衡方程求得，并可确定各索段的几何位置。例例15-1 求图求图a所示悬索在集中荷载作用下各索端张力及几何位置。所示悬索在集中荷载作用下各索端张力及几何位置。15-2 集中荷载作用下的单根

4、悬索计算解：由图解：由图a可得悬索可得悬索E点到弦点到弦 AB的竖直距离为的竖直距离为m834. 3m4 . 4m4 .10m5 . 1m2 . 3EfmkN38.1530EM作相应简支梁图作相应简支梁图b。计算得计算得由式由式(b)得得kN400HEEfMFkN77.45kN23.440V0VBAFF由式由式(a)得得 15-2 集中荷载作用下的单根悬索计算kN40tankN50tanH0VVH0VVFFFFFFBBAA 由端点（由端点（A或或B）开始，依次考虑各结点处的平衡条件，）开始，依次考虑各结点处的平衡条件，可求出以分量表示的各索段张力及几何位置，如图可求出以分量表示的各索段张力及几

5、何位置，如图c。 15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算1. 平衡微分方程平衡微分方程 悬索在分布荷载作用下的几何形状是曲线，如图悬索在分布荷载作用下的几何形状是曲线，如图a所示。所示。)(xyy 索曲线索曲线 索两端及索中任一点张索两端及索中任一点张力的水平分量力的水平分量FH为常量。为常量。 取任一微段索取任一微段索dx为隔离为隔离体，其受力如图体，其受力如图b。 由由Fy=0可得可得 0)(dd22HxqxyF(c)单根悬索基本平衡微分方程单根悬索基本平衡微分方程 15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算2. 常见分布荷载作用下平衡微分方程的解常见分布荷载作用下平衡微分方程的解 (1) 沿

6、跨度方向均布荷载沿跨度方向均布荷载q作用，如图。作用，如图。由式由式(c)可得可得 H22ddFqxy积分两次并由边界条件可得积分两次并由边界条件可得 给定悬索跨中垂度给定悬索跨中垂度f为控制值为控制值 xlcxlxFqy)(2H(d)令令 fcylx2,2由式由式(d)可得可得 fqlF82H代入式代入式(d)可得可得 2)(4lxlfxxlcy二次抛物线方程二次抛物线方程15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算2)(4lxlfxxlcy弦弦AB的直线方程的直线方程 以弦以弦AB为基线的悬索曲线方程为基线的悬索曲线方程 当当AB为水平线时，为水平线时，c=0，有，有 2)(4lxlfxy当索曲

7、线方程确定后，索中各点的张力为当索曲线方程确定后，索中各点的张力为 2HTdd1xyFF当索较平坦时，如当索较平坦时，如f/l0.1，可近似为，可近似为 HTFF 15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算(2) 沿索长度均布荷载沿索长度均布荷载q作用，如图。作用，如图。 将将q转化为沿跨度方向的转化为沿跨度方向的等效均布荷载等效均布荷载qy，由图得，由图得2dd1ddxyqxsqqy代入式代入式(c)得得 2H22dd1ddxyFqxy积分并根据边界条件可得积分并根据边界条件可得 xlqFy2coshcoshH(e)式中式中sinh)(sinh1lcH2Fql15-3 分布荷载作用下的单根悬索计

8、算当当AB位于水平方向时，位于水平方向时，c=0有有 H2Fql可得可得 xFqqFyHHcoshcosh(f)若给定跨中垂度若给定跨中垂度f，则有，则有 ) 1(coshHqFf可算出可算出FH。 式式(e)与式与式 (f)表示的曲线为表示的曲线为悬链线悬链线。曲线比较平坦时，可以用较简单的抛物线代替悬链线；曲线比较平坦时，可以用较简单的抛物线代替悬链线；把沿索长度的均布荷载折算成沿跨度的均布荷载进行计算。把沿索长度的均布荷载折算成沿跨度的均布荷载进行计算。 15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算3. 任意分布荷载作用下平衡微分方程的解任意分布荷载作用下平衡微分方程的解梁比拟法梁比拟法 悬索

9、微分方程式悬索微分方程式(c) 与梁的平衡微分方程形式完全相同与梁的平衡微分方程形式完全相同 0)(dd22xqxM梁的平衡微分方程梁的平衡微分方程若两者有相同的边界条件，可建立关系式若两者有相同的边界条件，可建立关系式 )()(HxMxyF可得可得 对于两端支座位于同一水平线的悬索，其两端边界条对于两端支座位于同一水平线的悬索，其两端边界条件与相应简支梁弯矩图相同。件与相应简支梁弯矩图相同。 H)()(FxMxy(g)15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算如图如图a、b 悬索悬索ABx=0 时，时，y=0 x=l 时，时，y=0相应简支梁相应简支梁ABx=0 时，时，M=0 x=l 时，时，

10、M=015-3 分布荷载作用下的单根悬索计算 图图a为两端支座高差为为两端支座高差为c的的悬索，在相应简支梁的一端加悬索，在相应简支梁的一端加上集中力偶矩上集中力偶矩FHc，y与与M得到得到相同的边界条件，即相同的边界条件，即 悬索悬索ABx=0 时，时，y=0 x =l 时，时，y=c相应简支梁相应简支梁ABx=0 时，时，M=0 x=l 时，时，M=FHc15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算 任意分布荷载作用下悬索曲线的形状与相应简支梁弯矩任意分布荷载作用下悬索曲线的形状与相应简支梁弯矩图的形状完全相同。图的形状完全相同。两端等高的悬索曲线：由式两端等高的悬索曲线：由式(g)直接计算。直

11、接计算。两端支座高差为两端支座高差为c的悬索曲线：计算式为的悬索曲线：计算式为xlcFxMxyH)()(h) 式式(h)的第二项为悬索支座连线的第二项为悬索支座连线AB的竖标，第一项为以的竖标，第一项为以弦弦AB为基线的悬索曲线竖标为基线的悬索曲线竖标y1(x)，即，即H1)()(FxMxy由式由式(g)、(h)可得可得如果用两支座连线作为悬索线竖向坐标的基线，无论两支座等如果用两支座连线作为悬索线竖向坐标的基线，无论两支座等高与否，悬索曲线的形状与相应简支梁弯矩图的形状相似，任高与否，悬索曲线的形状与相应简支梁弯矩图的形状相似，任意点竖标之比为常数意点竖标之比为常数FH。15-3 分布荷载作

12、用下的单根悬索计算4. 悬索长度的计算悬索长度的计算 如图，由悬索如图，由悬索AB中取中取一微分单元一微分单元ds，有，有 xxyyxsd)dd(1ddd222积分可得悬索积分可得悬索AB的长度为的长度为lBAxxyss02d)dd(1d将将2)dd(1xy按级数展开，取两项时按级数展开，取两项时取三项时取三项时 lxxys02d )dd(211 (i)lxxyxys042d )dd(81)dd(211 (j)15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算例例15-2 试求图式形状为抛物线的悬索长度。试求图式形状为抛物线的悬索长度。解：设抛物线悬索方程为解：设抛物线悬索方程为2)(4lxlfxxlcy

13、xlflfcxy284dd代入式代入式(i)积分得悬索长度为积分得悬索长度为)3821 (2222lflcls代入式代入式(h)积分得悬索长度为积分得悬索长度为)453238821 (42244224422lfclclflclcls当两支座等高时当两支座等高时)381 (22lflslffs316ddslff316垂度变化值大于悬索长度变化值垂度变化值大于悬索长度变化值15-4 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解1. 悬索的变形协调方程悬索的变形协调方程悬索实际问题的一般模式：悬索实际问题的一般模式：已知初始状态：荷载已知初始状态：荷载q0，位置，位置y0，内力，内力FH0；求解最终状态：荷

14、载增量求解最终状态：荷载增量q，悬索位置，悬索位置y，内力，内力FH。悬索的平衡方程中有两个未知量：悬索的平衡方程中有两个未知量：y，FH要补充一个方程：变形协调方程要补充一个方程：变形协调方程内力与位移的关系内力与位移的关系15-4 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解图示悬索的初始位置为图示悬索的初始位置为AB，最终位置为，最终位置为AB。由几何关系得由几何关系得xxyyxsd)dd(1ddd20202015-4 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解xxyxuyuxsd)dd()dd1 (d)d(dd2222略去微小量略去微小量2)dd(xuxxyxusd)dd(dd21d2xxyxxyx

15、ussd)dd(1d)dd(dd21dd2020略去微小量略去微小量202)dd(,)dd(xyxy将上式根号按级数展开取两项可得将上式根号按级数展开取两项可得xxyxyxussd )dd(21)dd(21dddd2020整根悬索总伸长量整根悬索总伸长量lBAxxyxyxusss02020d )dd(21)dd(21dddd15-4 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解lxxyxyuus0202LRd )dd()dd(21uR-右端点支座右端点支座B水平位移水平位移uL-左端点支座左端点支座A水平位移水平位移将将y=y0+v代入上式得代入上式得lxxyxvxyuus020LRd )dd(21d

16、ddd悬索伸长是由悬索内力增量和温度变化引起的，即悬索伸长是由悬索内力增量和温度变化引起的，即lllBAxxytxxyEAFxxstxsEAFstEAFs020020H000H0Tddd1ddd1 dddddd略去微小量略去微小量20)dd(xytllEAFFtllEAFsH0HH15-4 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解整理得整理得tlxxyxyuulEAFFl0202LRH0Hd )dd()dd(21(k)tlxxvxvxyuulEAFFl020LRH0Hd )dd(21dddd21(m)或或变变形形协协调调方方程程2. 单根悬索初态终态问题的求解单根悬索初态终态问题的求解已知悬索初始

17、状态：荷载已知悬索初始状态：荷载q0，曲线形状函数，曲线形状函数y0，初始内力，初始内力FH0 xlcFxMy00H00)(M0(x)q0作用下相应简支梁的弯矩，作用下相应简支梁的弯矩， c0悬索两端支座高差。悬索两端支座高差。15-4 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解悬索最终状态：荷载变为悬索最终状态：荷载变为q0+q，曲线形状函数，曲线形状函数y与悬索内力与悬索内力 FH必须满足变形协调条件和终态的平衡条件必须满足变形协调条件和终态的平衡条件xlcFxMyH)(tlEAluuEAxxyxylEAFFlLR0202H0Hd )dd()dd(2有有M (x)q作用下相应简支梁的弯矩，作用下

18、相应简支梁的弯矩， c 终止状态悬索两端支座高差。终止状态悬索两端支座高差。qqq015-4 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解整理可得整理可得tEAluuEAlccEAFDFDlEAFFLR22022H002HH0H22可解出可解出FH式中式中llxFDxFD02S0002Sdd 如支座位移与待定的索内力有关时，需与支承结构的如支座位移与待定的索内力有关时，需与支承结构的刚度方程联立求解；或用试算法确定支座位移。刚度方程联立求解；或用试算法确定支座位移。FS0-初始状态相应简支梁的剪力初始状态相应简支梁的剪力FS -最终状态相应简支梁的剪力最终状态相应简支梁的剪力15-4 悬索的变形协调方

19、程及初态终态问题求解均布荷载作用下，小垂度抛物线悬索内力的计算均布荷载作用下，小垂度抛物线悬索内力的计算初始状态的长度初始状态的长度)3821 (220220lflcls)3821 (2222lflcls最终状态的长度最终状态的长度长度变化值为长度变化值为2202038lffsss变形协调方程为变形协调方程为2202H0H38lfflEAFF平衡方程为平衡方程为H20H20088FqlfFlqf整理得整理得迭代法计算迭代法计算)(242H0202H220HHFqFqEAlFF(n)15-4 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解例例15-2 现有承受均布荷载抛物线的悬索，已知现有承受均布荷载抛物

20、线的悬索，已知A=67.4mm2, E=166.6GPa，l=8m，q0=0.4kN/m，FH0=20kN，q=1kN/m. 试求悬索最终状态水平张力试求悬索最终状态水平张力FH及跨中垂度增量。及跨中垂度增量。解：将已知数据代入式解：将已知数据代入式(n)整理得整理得0kN67.29946kN02. 832H3HFF写成迭代形式写成迭代形式kN02. 8kN67.29946H3HFF迭代计算得迭代计算得kN97.33HF初始跨中垂度初始跨中垂度m160. 08H0200Flqf最终跨中垂度最终跨中垂度m236. 08H2Fqlf跨中垂度增量跨中垂度增量m076. 00fff15-5 悬索体系的

21、计算悬索体系由多根悬索组成，用位移法计算。悬索体系由多根悬索组成，用位移法计算。基本未知量：悬索结点位移基本未知量：悬索结点位移计算单元：计算单元： 结点间的索段结点间的索段1. 位移法的基本假定位移法的基本假定(1) 悬索的应力与应变保持线性关系悬索的应力与应变保持线性关系(2) 悬索仅承受结点集中荷载作用，悬索仅承受结点集中荷载作用， 相邻结点间的索段均为直线。相邻结点间的索段均为直线。15-5 悬索体系的计算2. 位移法的典型方程位移法的典型方程 图图(a)表示空间悬索体系一表示空间悬索体系一典型结点的初始状态，汇交于典型结点的初始状态，汇交于此结点的悬索根数为此结点的悬索根数为n。(a

22、)(b)设设j为任一索段的远端结点如图为任一索段的远端结点如图(b)，当结点，当结点i发生位移发生位移ui、vi、wi时时结点结点j由初始位置由初始位置 j0(xj , yj , wj)移至位置移至位置 j(xj+uj , yj+vj , zj+wj)。15-5 悬索体系的计算 初始状态结点上无外荷初始状态结点上无外荷载作用，结点载作用，结点i的平衡条件为的平衡条件为jijijijjijijijjijijijzzlFyylFxxlF0)(0)(0)(00T00T00T初始状态索段初始状态索段ij长度为长度为2220)()()(ijijijijzzyyxxl 当结点承受荷载时，结当结点承受荷载时

23、，结点点i的平衡条件为的平衡条件为jziiijjijijjyiiijjijijjxiiijjijijFwzwzlFFvyvylFFuxuxlF0)(0)(0)(TTT最终状态索段最终状态索段ij长度为长度为222)()()(iijjiijjiijjijwzwzvyvyuxuxl15-5 悬索体系的计算整整理理后后可可得得ijijijijijijjijijijijizjijijijziijijijijijijjijijijijiyjijijijyiijijijijijijjijijijijixjijijijxiazzltEAFEAwwltEAFRzzltEAFayyltEAFEAvvltEAFRyyltEAFaxxltEAFEAuultEAFRxxltEAF)()()()()()()()()(00T00T000T00T000T00T0( i=1, 2, 3, , N )典典型型方方程程15-5 悬索体系的计算典型方程写成矩阵形式典型方程写成矩阵形式KRFF结点荷载列阵。温度变化的影响计入这一项；结点荷载列阵。温度变化的影响计入这一项；R未知位移的非线性项，列矩阵；未知位移的非线性项，列矩阵；K体系的线性工作部分的刚度矩阵；体系的线性工作部分的刚度