第十八章相对论习题

1、第十八章第十八章 相相 对对 论论18-1 设 系以速率 相对于沿 轴运动，且在 时， 。（ 1）若有一事件，在 系中发生于 ， 处，该事件在 中发生于何时刻？（2）如有另一事件发生于 系中 处，在 系中测得这两个事件的时间间隔为多少？Scv6 . 0 xx 0 tt0 xxSstt7100 . 2mx50SS,100 . 37stSmx10解解分析分析相对论中一个物理事件可用时空坐标（x、y、z）表示，在一切惯性系中，不同坐标系中的物理事件满足洛伦兹坐标变换。因此，已知一坐标系中的物理事件，可通过坐标变换求出该事件在另一坐标系中的表示。scvxcvtt72212111025. 11（1）由洛

2、伦兹坐标变换可求得 的观察者测得第一事件 发生的时刻为S（2）同理，第二个事件发生的时刻为scvxcvtt7222222105 . 31系中的观察者测得两事件的时间间隔为Ssttt7121025. 2vP此题通过洛伦兹坐标变换也可求出观察者在另一个坐标系中的空间坐标。（同学自己做）此题的知识点是考察对洛伦兹坐标变换的理解。18-2 设有两个参照系 和 ，它们的原点在 和 时重合在一起。有一事件，在 中发生在 处，若 系 相对于 以速率 沿 轴运动，问该事件 在 系中的时空坐标各为多少？SS00ttSmxst60,100 . 8800zySScv6 . 0 xx S解解分析分析此题给出的条件是在

3、运动参照系中的时空坐标，求在静止参照系中的时空坐标，需要通过洛伦兹坐标逆变换求出。由洛伦兹坐标逆变换给出：mcvt vxx9312200zzyyscvxcvtt7222105 . 21此题的知识点同上题。 问题： 一事件在 系中的空间坐标为正时，在 系中一定 为正 的吗？ SS18-3. 一列火车0.30km(火车上观察者测得),以100km.h-1的速度行驶,地面上观察者发现有两个闪电同时击中火车的前后两端.问火车上的观察者测得两闪电击中火车前后两端的时间间隔为多少?解分析选地面为 系,火车为 系,把两闪电击中火SS车前后两端视为两个事件.地面观察者看到两闪电同时击中,则在 这两个事件的时间

4、间隔为 火车的长度指相对火车静止时测得的长度(物体的长度在不指明观察者的情况下均指静止长度).则在 系中的空间间隔 S012tttS30. 012xxxm. 系相对 的速度即为火车的速度.310SS由洛仑兹坐标变换解法1:2212212121)()(cvxxcvttttS可得在 系中的观察者测得两事件的时间间隔为:sxxcvt 9)(请说明负号的意义.解法2:由长度收缩公式,地面上的观察者测得火车的空间长度为:28233221212)103()10100(11030. 01)(cvxxxx再由洛仑兹逆变换2212212121)()()(cvxxcvtttt将 的数值代

5、入可得,)(,012xxxtstt14121026. 9显然,两种解法中前者较为简单.问题:如果一人在火车上从车头跑到车尾,地面观察者测得人的运动距离与地面观察者测得火车的长度相同吗?此题的知识点是考察对静止长度和运动长度以及同时性的相对性的理解, 还考察了对洛伦兹坐标间隔变换的应用能力.18-4 在惯性 系中,某事件发生在 处, S1xs6100 . 2后,另一事件B发生在 处,已知问: (1)能否找到一个相对 系做匀速直线运动参考系 ,在 系中 ,两个事件发生在同一地点? (2)在 系中,上述两个事件的时间间隔为多少?2xSSSS解分析在相对论中,不同惯性系测得两事件的时间间隔和空间间隔一

6、般是不同的,它是与两参照系的相对速度有关.设 系以速度 相对于 系沿 轴正向运动,给出这两个时间的时间和空间间隔变换为:SSvx) 1 (1)()(221221212cvxxcvtttt)2(1)()(22121212cvxxvttxx从式(1)中可以看出,我们可以找到在 系中发生在同一地点的参考系 ,只要在式(1)中使S012xx即可求出 相对于SSv的速度S可以通过时间膨胀公式求得。S。这两个事件在 系的时间间隔是固有时间（原时），（1）由洛仑兹坐标变换221212121)()(cvttvxxtt有：2212121)()(0cvttvxx得csmttxxv50. 0.1050. 18121

7、2（2）由洛仑兹时间间隔变换2212212121)()(cvxxcvtttt代入 得：vscvttcvxxcvtttt622122212212121073. 11)(1)()(此题的知识点主要是考察对洛仑兹坐标变换和原时的理解。问题（1）在一惯性参考系中测得不同时不同地发生的两个因果事件，可否找到一惯性参考系使得该系观察者测得这两个事件发生在同一时刻？（2）若两个事件在一惯性系中测得同时同地发生，那么，在其它惯性系的观察者测得的结果会怎样？18-5 设在正负电子对撞机中，电子和正电子以速度0.90c相向飞行,它们之间的相对速度多少?解分析此问题中有三个参考系,一是电子,二是地球,三是正电子.此

8、题的速度0.9c 是地面上的观察者测得正负电子的运动速度。如果我们选择地球为 系，电子为 系，电子的运动方向为 轴，正电子为研究对象，则 系相对 系的速度为 ，正电子相对于地球的速度为 ，正电子相对于电子的速度正是要求的，可以通过洛仑兹速度逆变换求出。SSSSxcv9 . 0c9 . 0S选择地球为 系，正电子为 系，则 由洛仑兹速度变换得电子相对负电子的速度为：Scvcux9 . 0,9 . 0cucvvuuxxx994. 012负号表示负电子与负电子运动方向相反。再一次看到粒子相对参考系的运动速度不可能大于光速 ，这一点与伽利略速度变换不同。c此题的知识点是考察对洛仑兹速度变换的理解和应用

9、。问题如果在此题中可以选择电子为 系吗？如果这样选择， 系选谁计算最为简单结论相同吗？此问题中有几种选择坐标系方式？SS18-6 设想有一粒子以 的速率相对实验室参考系运动。此粒子衰变时发射一个电子，电子的速率为 ，电子速度的方向与粒子运动方向相同。试求电子相对实验室参考系的速度。c05. 0c80. 0解分析此题中电子的速度是指先归粒子而言的。本题涉及到三个参考系-实验室、粒子、电子，我们选择实验室为 系、粒子为 系、电子为研究对象计算最为简单。由洛仑兹速度变换可求出电子相对于实验室的运动速度。SS如分析中选择参考系， 粒子的运动方向为 轴，则有 ，由洛仑兹速度变换有电子相对于实验室的速度为

10、：cucvx80. 0,05. 0 xcucvvuuxxx817. 01218-7 设在宇航飞船的观察者测得脱离它而去的航天器相对它的速度为 。同时，航天器发射一枚空间火箭，航天器的观察者测得火箭相对它的速度ism18102 . 1本题知识点是考察洛仑兹速度变换的运用。请选择其它方式的参考系计算此题，从中有什么体会。要求解分析为 。问：（1）此火箭相对宇宙飞船的速度为多少？（2）如果以激光光束来代替空间火箭，此激光光束相对于宇宙飞船的速度又为多少？请将上述结果与伽利略速度变换所得结果相比较，并理解光速是运动体的极限速度。ism18100 . 1此题仍是相对论速度变换问题，在（2）问题中，以激光

11、光速来取代航天器，其区别仅在于激光光速相对与航天器的速度是光速，而由洛仑兹速度变换可知，激光光速相对于飞船的 速度还是光速，这正是光速不变原理的意义。同上题类似，选飞船为 系，航天器为 系，在（1）问题中，火箭为研究对象，在（2）问题中，激光光速为研究对象。航天器的飞行方向为的正方向。则 系相对 系的速度为 ，火箭相对 系的速度为 ，激光光速相对 系的速度为 光速 。SSSSsmv8102 . 1Ssmux8100 . 1Sc由洛仑兹速度变换有：（1）火箭相对飞船的速度为smcuvvuuxxx321094. 11（2）激光光速相对飞船的速度为csmcvcvcux82100 . 31此题的知识点

12、是考察对洛仑兹速度变换以及光速不变原理的理解。18-8 以速度 沿 方向运动的粒子，在 方向上发射一光子求地面观察者所测得光子的速度。vxy伽利略速度变换给出激光光速相对于飞船的速度大于光速，这于洛仑兹变换给出的结果不同。选择地面为 系，粒子为 系，光子为研究对象，则 相对 系的速度为 ，光子相对 系的速度为 。则由洛仑兹速度变换得：SSSvS00zyxucuuvcuvvuuxxx2122222111cvccuvcvuuxyzS011222cuvcvuuxzz因此，速度大小为：cuuuuzyx222速度方向为vvcarctguuarctgxy22可见，光子在地面参考系中的速度的大小仍然是光速，

13、但速度的方向已经改变了。问题1、光速方向改变了，这与光速不变原理矛盾吗？2、物理中所有的速度都不能大于光速吗？18-9 设地球上有一观察者测得一宇宙飞船以 的速率向东飞行， 后该飞船将与一个以 的速率向西飞行的彗星相碰撞，试问（1）飞船中的人测得彗星将以多大的速率向它运动？（2）从飞船中的 钟来看，还有多少时间允许它离开航线，以避免与彗星碰撞？c60.0s5c80. 0解分析此题中有三个物体可以作为参考系，即地球、S飞船、彗星。为计算简单，我们选择地球为 系，飞船为 系 ，彗星为研究对象 。选择飞船飞行的方向为 轴的正方向，则由题意知 相对于 系的速度为 SSSSx ，彗星相对 系的速度 ，在

14、问题（1）中通过洛仑次逆变换可求出彗星相对飞船的速度。问题（2）中，设彗星与飞船碰撞前的时空坐标为事件1，碰撞时彗星所在的时空坐标为事件2。设碰前彗星在 和 系的时空坐标分别是 ，碰撞时的时空坐标分别是 ， 则 就是飞船与彗星相碰所需的时间，记为 。cv60. 0Scux80. 0S)0, 0(, )0,0(txtxS),(),5,(txtvtxtt（1）、由洛仑兹速度变换可得彗星相对 系的速度为：Scucvvuuxxx946. 012负号表示彗星运动放方向与飞船的方向相反，即彗星以0.946c的速度向飞船靠近.(2).由洛仑兹坐标变换可得飞船上的观察者 测得飞船与彗 星相碰的时刻为:scvc

15、vxtt0 . 41/222此题也可用时间膨胀公式来做,飞船上的观察者测得彗星碰撞前后的空间坐标是相同的.同上设为 ,这样,飞船的观察者测得两事件是发生在同一地点的先后时间.,即原时,这正式要求的时间.由时间膨胀公式可得结果.0 x有时间膨胀公式有:0 . 5122cvtttscccvttt0 . 4)60. 0(10 . 512222此题的知识点考察洛仑兹坐标变换和速度变换的理解以及时间膨胀公式应用的条件,即对原时概念的理解.问题此题若选择飞船为 系，选哪个物体作为 系计算简单？SS18-10 .在惯性系 中观察到有两个事件发生在同一地点，其时间间隔为 ，从另一惯性系 中观察这两个事件的时间

16、隔为 ，试问从 系测量到这两个事件的空间间隔是多少？设 系以恒定速率相对 系沿 轴运动。Ss0 . 4Ss0 . 6SSS解分析此题是相对论时空转换问题，而此题中没有直接告诉 系相对 系的运动速度，而已知 和 系中的这两个事件的时间间隔和 系的空间间隔，由洛仑兹时间间隔变换可以得 系相对 系的运动速度，再由洛仑兹空间间隔变换求得这两个事件在 系的空间间隔。SSSSSSSSS由题意知：00 . 6,0 . 4xtt由洛仑兹时间间隔变换可得：22222101cvtcvxcvtt2210 . 40 . 6cv得 相对 系的速度为：SScv35由洛仑兹空间间隔变换可得在 系中测得这两个事件的空间间隔为

17、：Smccccvtvxx922221034. 1)35(10 . 43501负后说明在 系中后发生的事件坐标比先发生的事件的坐标小。S此题的知识点是考察对洛仑兹时空间隔变换的应用。注意：在求速度时这两个事件在 系中的时间间隔显然是原时，因为发生在同一地点，所以得到的是时间膨胀公式。S问题如果在此题中的同地发生改为同时不同地发生相应的时间间隔改为空间间隔、空间间隔改为时间间隔，那么该题如何求解？解分析这是同时不同地的两个事件之间的时空转换问题。由于本题为给出 系相对 系的速度，故可由不同参考系中空间间隔变换之间的关系求得 ，再由两个事件的时间间隔变换求出两事件在 系中的时间间隔。SSvS18-1

18、1 .在惯性系 中，有两个事件同时发生在 轴上相距为 的两处，从惯性系 观测到这两个事件相距为 ，试问由 系测得此两事件的时间间隔为多少？SSSxx m3100 . 2m3100 . 1) 1 (1)()(22121212cvttvxxxx)2(1)()(221221212cvxxcvtttt由（1）得到cv23此两事在 系的时空坐标为 和 ，且有 。而在 系中，此两事件时空坐标为 和 ，且 ，根据洛仑兹坐标变换，有SS), 0 , 0(1, 1tx), 0 , 0(2, 2tx), 0 , 0(1, 1tx), 0 , 0(2, 2tx0,100 . 112312ttmxxmxx312100

19、 . 2将 代入（2），可得：vstt6121077.5此题的知识点与上题相同。解分析18-12有一固有长度为 的棒在 系中沿 轴放置，并以速度 沿 轴运动。若有一 系以速率 相对 系沿 轴运动，试问从 系测得此棒的长度为多少？0lSSuxx Sxx Sxv此题中告诉棒的静止长度是相对于这两个参考，为了求出相对 系棒的运动长度，必须要求出棒相对 系的运动速度。SS系以外的参考系而言的，而没有告诉棒相对于 系的运动速度。如果已知棒相对于 系的运动速度，可以由长度收缩公式进行计算。SS221cvvuu由洛仑兹速度变换可求出棒相对 系的运动速度 ：Su设棒相对 系的静止长度为 ，运动长度为 ，则由长

20、度收缩公式有：S0ll2201cull联立上两式得：21222220)(vcucuvcll此题的知识点是考察静止长度和运动长度的区别以及洛仑兹速度变换式的应用。问题如果此题中的棒是沿着 轴成300角放置，其它条件不便，则 系的观察者测得的棒长度是多少？Sx解分析18-13 . 若从一惯性系中测得宇宙飞船的长度为其固有长度的一半,试问宇宙飞船相对此惯性系的速度为多少?(以光速 c 表示) .此题中设宇宙飞船固定在 系中,则可以直接S应用长度收缩公式求出 飞船相对于此惯性系的速度.设惯性系为 系,飞船为 系,由长度收缩公式有:SS220012cvlll解得:cv23此题知识点是考察长度收缩公式 的

21、应用.18-14 . 一固有长度为4.0m的物体,若以速率 沿 轴相对某惯性系运动,试问从该惯性系来测量,此物体的长度为多少?xcv6 . 0解分析此题直接应用长度收缩公式直接求出.选择物体为 系,惯性系为 系,则由长度收缩公式得:SSmcvll2 . 31220此题知识点同上.18-15 .半人马星座 星是离太阳系最近的恒星，它距地球为 ，设有一宇宙飞船自地球往返于半人马星座 星之间。（1）宇宙飞船的速率为 ，按地球上的时钟计算，飞船往返一次需多长时间？（2）如以飞船上的时钟计算，往返一次的时间又是多少？m6103 . 4c999. 0解分析在本题中给出的地球与 的距离和飞船的速度是在地球上

22、测得 的，因此，地球上的观察者测得飞船往返一次的时间可以用路程除以时间来求得。另外，飞船上的观察者测得地球与 星的距离要缩短，在飞船上观测相当于地球与 的距离以飞船的速度在飞船边上滑过，因此，先求出飞船测得的地-星距离后，用路程除以时间可以求得飞船上的时钟测得的时间。（1）在地球上的时钟测得的时间是：asvstT0 . 91087. 2228（2）飞船上的观察者测得的地-星路程是：220122cvlls则飞船上的时钟测得的时间是：ascvvlvstT40. 01028. 11227220实际上，此题中在飞船上的观察者测得飞船接触地球和飞船接触 星这两个事件发生在飞船上的同一地点，因此，在飞船上

23、的时钟测得的时间是固有时间，而地球上的时钟测得的时间是膨胀后的时间，因此，可以用时间膨胀公式计算出固有时间。所以，利用（1）的结论有：221cvtt221cvtt飞船始时钟测得的时间是：tT222221212cvvscvt与上面计算的结果相同。此题的知识点是考察时间膨胀公式和长度收缩公式的应用。问题在用时间膨胀公式计算中为什么考虑到地-星相对飞船的运动？能否认为飞船从地球到 星呢？相对论动力学基础相对论动力学基础18-17 若一电子的总能量为5.0MeV，求该电子的静能、动能、动量和速率。解分析由相对论 静能公式E=m0C2=0.512MeV电子的总能量,说明该电子相对于观察者所在的参考系还具

24、有动能.电子的总能量等于动能与静能之和,所以,由动能定义式可以直接求出电子的动能.又可以由能动关系式和动能的定义式可以分别直接求出电子的动量和速度.设电子的总能量为E，由动能定义式有:488. 40EEEkMeV由能动关系式得电子的动量21212021066. 2)(1EEcpkg.m.s-1又由动能的定义式可得电子的速率为:cEEEcv995. 0)(21220218-18 一被加速器 加速的电子,其能量为 MeV.试91000. 3此题知识点是考察对静止能量、动能、动量概念的理解。问(1)这个电子的质量是其静质量的多少倍?(2)这个电子的速率为多少?解分析由相对论能量和静能公式可以直接求出

25、运动质.量和静止质量之比。由只素关系可以求出相对观察者的运动速度。（1）、由公式E=mC2和E0=m0C2可得电子的运动质量与静止质量之比：320001086. 5cmEEEmm由质速关系式 可得电子的速度为：21220)1(cvmmccmmv985999999. 0)(1 2120可见：给电子加速到这么大能量时，其速度十分接近光速了 。此题知识点是考察对静止质量概念理解和质速关系式的应用。18-19 在电子偶的湮灭过程中，一个电子和一个正电子相碰撞而消失，并产生电磁辐射。假定正负电子在湮灭前均静止，由此估计辐射的总能量E 。解分析以正负电子为系统，电子偶湮灭前后系统的总能量守恒。湮灭前系统总能