第四章4.2常系数线性微分方程的解法

1、4.2 4.2 常系数线性微分方程的解法常系数线性微分方程的解法一一 复值函数与复值解复值函数与复值解 二二 常系数齐次方程与欧拉方程常系数齐次方程与欧拉方程 三三 非齐线性方程与比较系数法非齐线性方程与比较系数法 四四 质点振动（质点振动（了解了解）一、复值函数与复值解一、复值函数与复值解1、复值函数、复值函数.)()()(,)()(上的复值函数为区间我们称上定义的实函数是区间与如果btatittzbtatt.)(,)()(上连续在则称上连续在区间与若btatzbtatt的导数为且上可微在则称上可微在与若)(,)(,)()(tzbtatzbtatt)()()(tittz复值函数的求导法则与实

2、函数求导法则相同复值函数的求导法则与实函数求导法则相同一、复值函数与复值解一、复值函数与复值解1、复值函数及其性质、复值函数及其性质( )( )( ), ( )( ).z tu tiv tu tv t复值1) : 、为数实函数函3）复值函数的）复值函数的求和、数乘、求导法则与求和、数乘、求导法则与实函数实函数相同相同极限、连续点、2) 复值函数（）、区间的可导: ( )( )( ), ( )( )z tu tiv tu tv t如果 、为实函数，则00000lim ( )lim ( )lim ( )( )( );ttttttz tu tiv tu tiv t极限：0000lim ( )( )(

3、 )( );ttz tz tu tiv t连续：( )( )( ).z tu tiv t导数：2 、复指数函数、复指数函数)sin(cos)()(titeeetzttikt欧拉公式欧拉公式:)(21costitieet)(21sintitieeit性质性质:定义：定义：,) 1 (ktktee,)2(2121)(tktktkkeee,)3(ktktkeedtd,)4(ktnktnnekedtd. ik=其中，3、复值解、复值解) 1 . 4()()()(111tfxtadtxdtadtxdnnnnn1) 定义：定义： ( ),(4.1),atbz t 定义于区间上的实变量复值函数称为方程的复值

4、解 如果)()()()()()(111tftztadttzdtadttzdnnnnnatb 对于恒成立.111( )( )0 (4.2)nnnnnd xdxa ta t xdtdt2) 定理定理8(4.2)( )(1,2, ),( )( )( ),( )( )( )( )( )(4.2).ia t inxz tu tiv tz tu tv tz tz t如果方程的所有系数都是实值函数 而是方程的复值解 则的实部和虑部及的共轭复数也都是方程的解)()()(111tuxtadtxdtadtxdnnnnn和)()()(111tvxtadtxdtadtxdnnnnn的解.3) 定理定理9： 若方程11

5、1 ( )( )( )( )nnnnnd xdxL xa ta t xu tiv tdtdt( )( ),( )(1,2, )( ),( ),( )( )ixtita t inu tv ttt有复值解这里及都是实值函数 则这个解的实部和虚部分别是方程二、常系数齐线性方程和欧拉方程二、常系数齐线性方程和欧拉方程1、常系数齐线性方程的求解方法、常系数齐线性方程的求解方法(Euler待定系数法待定系数法)考虑方程111 0 (4.19)nnnnnd xdxL xaa xdtdt,21为常数其中naaa称(4.19)为n阶常系数齐线性方程. 要求方程的通解，只需求它的基本解组，以下介绍求基本解组的Eu

6、ler待定指数函数法（特征根法）.0 xax有通解;atxce说明： 一阶常系数齐线性方程0 xx有通解.txce受此启发,对(4.19)偿试求指数函数形式的解：, (4.20)txe,其中， 是待定常数 可实也可复.把它代入方程(4.19)得0)(111tnnnnteaaaeL,(4.19):te因此为的解充要条件的是是代数方程)21. 4(, 0)(111nnnnaaaF 的根,方程(4.21)称为方程(4.19)的特征方程,它的根为方程(4.19)的特征根.1) 特征根是单根的情形12,(4.21),(4.19)nnn 设是特征方程的 个彼此不相等的特征根 则相应方程有如下 个解12,

7、(4.22)nttteee易证，解组（4.22）的n个解线性无关。事实上：,21tttneeeWtnntntntntttttnnneeeeeeeee1121121212121下面分开讨论特征根的不同情况：下面分开讨论特征根的不同情况：tne)(211121121111nnnnntne)(21nijji1)(0故解组(4.22)线性无关.(1,2, ),iain( ) 若均为实数tnttnececectx2121)(.,21是任常数其中nccc的通解为从而的基本解组是方程则)19. 4(,)19. 4()22. 4(1,2, ),iin(b) 若中有复数（则因方程的系数是实常数,所以复根将成对共

8、轭出现）12,mmii设是特征根 则也是特征根则相应方程(4.19)有两个复值解：),sin(cos)(titeetti);sin(cos)(titeetti 由定理8知,它的实部和虚部也是方程的解. 因此,对方程的一对共轭复根:,mi 可求得(4.19)的两个实值解为：,cos tet;sin tet例1：280.xxx求方程的通解解： 特征方程为228(4)(2)0特征根为14,22, 基本解组为4,te2,te故原方程的通解为：4212.ttxc ec e例2：0.xx求方程的通解解： 特征方程为310 特征根为11, 2,313,22i基本解组为112233,cos,sin22ttte

9、et et故原方程的通解为：112212333cossin.22tttxc ec etc et2) 特征根是重根的情形特征根是重根的情形则有重根有设特征方程,)21. 4(1k(1)111 ()()()0,kFFF且; 0)(1)(kF1100下面分和两种情形加以讨论:1( )0a设，11 0,nnn kaaa 从而; 0kna故特征方程为：, 011kknnnaa.k即特征方程有因子1( )( )kFg（）( )( )kFg则，111( )0,(4.21)nnnnFaaa从而，对应方程(4.19)变化为：0111kkknnnnndtxdadtxdadtxd211, , kkt tt显然，它有

10、 个解： （线性无关）.21:(4.21)(4.19)1, ,.kkkt tt从而可得 特征方程的 重零根对应着方程的 个线性无关的解:1( )0,b设1(4.19),txye 作变换并把它代入方程经整理得:ttnnnnnteyLeybdtydbdtydyeL111)(1111于是，方程(4.19)化为1111 0, (4.23)nnnnnd ydyL ybb ydtdt,21仍为常数其中nbbb其中，方程(4.23)相应特征方程为)24. 4(, 0)(111nnnnbbbG1111111() nntttnnnd ydyL yebb y eL y edtdt1, 0tyeL y令代入得：11

11、 ( )0ttL yL eGe ,直接计算易得:teF)(11)()(1teLtteeL11,)()(1teG因此,)(1F),(G11,(4.21)(4.24)0,kk 可见的 重根 = 对应着的 重零根 =即就把问题转化为前面讨论过的情形(a).11121:(4.24)(4.23): 1, ,;kkkt tt从前面的讨论得 方程的 重零根对应着方程的 个线性无关的解1(4.19)k因而,对应着方程的 个解1111112,; (4.25)tttktetet ete1txye的相应解为则方程而且依次为的重数的其它根假设方程类似地)19. 4(),(,)21. 4(,2122jinkkkkkji

12、mmm;,2222212tktttetettee;,12tktttmmmmmetettee)26. 4( 下面，我们证明(4.25)和(4.26)构成方程(4.19)的基本解组,为此只须证明这些函数线性无关即可.（见见P140）对特征方程有复根的情况:,ik重复根譬如有,重复根也是则ki如同单根时那样,我们也可以.2,2)19. 4(个实值解换成个复值解的把方程kk;cos,cos,cos1tetttetetktt.sin,sin,sin1tetttetetktt3) 求方程(4.19)通解的步骤：第一步:,)19. 4(21k特征方程的特征根求第二步: 计算方程(4.19)相应的解;,)(t

13、kkea方程有解对每一个实单根;,1)(个解方程有重实根对每一个mmbk;,12tmtttkkkketettee( ),ci对每一个单根的共轭复数方程有两个如下形式的解;sin,costtete ( )1,2dmim对每一个重数是的共轭复根方程有个如下形式的解;sin,sin,sin;cos,cos,cos11tetttetetetttetetmtttmtt第三步:( ),( ),( ),( ),(4.19).abcd根据第二步中的四种情形分别写出方程的对应基本解组及通解例3：.0432233的通解求方程xdtxddtxd解：特征方程为43232)2)(1(, 0有特征根：, 11, 23 ,

14、 212,3,（ 是单根是二重根）基本解组为：,te;,22tttee故通解为：22123( ),tttx tc ec ec te123,c c c这里为任常数.例4：.044的通解求方程 xdtxd解特征方程为014特征根： , 11,3i故方程的通解为：;sincos)(4321tctcecectxtt;,4321为任常数这里cccc, 12;4i方程的基本解组为：,cos ,sin ;tte ett例5：.022244的通解求方程xdtxddtxd解特征方程为122422) 1(, 0特征根：,2, 1i1,2, i 故方程的通解为：;sin)(cos)()(4321ttccttcctx

15、;,4321为任常数这里cccc基本解组：;sin,sin,cos,costttttt作业P164: 2、（1）（3）2、欧拉、欧拉(Euler)方程方程形如)29. 4(, 011111yadxdyxadxydxadxydxnnnnnnnn的方程,称为欧拉方程.,21为常数这里naaa欧拉（Leonhard Euler，1707-1783），瑞士数学家。18世纪 最优秀的数学家数学家，也是历史上最伟大的数学家之一，被称为“分析的化身”。他从19岁到76岁的半个多世纪共写下了856篇论文，专著32部，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学

16、、建筑学等占3%。几乎每个数学领域都可看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等。欧拉的兴趣十分广泛，他研究过天文学、物理学、航海学、建筑学、地质学、化学等等。*欧拉简介：欧拉简介：1) 引进变换：(ln )(0)txetx xdxdydxdtdtdydtdy,dtdytex122dxyddxdydxddxdtdtdxdyd)(dtdyedtdttete2),(22dtdydtyd由归纳法原理可知：kkdxydkte,1111dtd

17、ydtyddtydkkkkk,21都是常数其中k将上述关系式代入(4.19)30. 4(, 0111ybdtydbdtydnnnnn.,21为常数其中nbbb)29. 4(, 011111yadxdyxadxydxadxydxnnnnnnnn)ln(xtext 因而可以用上述方法求出(4.30)的通解,再代回原来的变量就可得到方程(4.29)的通解.得常系数齐线性方程.即2) 从上述推演过程,我们知(4.30),的解有形如ktey ,)29. 4(的解有形如从而kxy 因此可直接求欧拉方程的,的解形如kxy ,)29. 4(的代数方程得到确定代入以kxyk)31. 4()2() 1() 1()

18、 1(1nkkkankkk0na则(4.31)正好是(4.30)的特征方程,重的方程因此m)31. 4(,;ln,ln,ln,120000 xxxxxxxmkkkk个解的对应于方程根mkk)29. 4(,021,kkkkttttmetet ete个实值解的对应于方程重复根的而方程mikm2)29. 4(,)31. 4();lncos(ln,),lncos(ln),lncos(1xxxxxxxxm);lnsin(ln,),lnsin(ln),lnsin(1xxxxxxxxm注： 0,0.txxexx 当则用,所得结果一样. 但为方便起见，认定,而最终结果以t=ln代回例6：. 0222ydxdy

19、xdxydx求解方程解解得特征根为：故方程的通解为:;)ln()(21xxccxy;,21为任常数这里cc,代入方程设kxy 的代数方程得到确定k1) 1(kkk2) 1(k0121 kk例7：. 053222ydxdyxdxydx求解方程解解得方程的特征根为：故方程的通解为:);ln2sin()ln2cos(1)(21xcxcxxy;,21为任常数这里cc,代入方程设kxy 的代数方程得到确定k53) 1(kkk522kk0,212, 1ik三、常系数非齐线性方程的解法三、常系数非齐线性方程的解法(一一) 常规方法常规方法)32. 4()(111tfxadtxdadtxdxLnnnnn1、先

20、求齐次方程的通解；2、常数变易法；3、通解+特解。(二二) 比较系数法比较系数法特解的求法特解的求法1、类型I:(1,2,).ib im其中 和为实常数101( )(), (4.33)kmmtmx ttB tBtBe即方程为,)()(110tmmmebtbtbtf101 ()(4.32)mmtmL xb tbtbe则方程有特解形式：其中:.0:kk对应齐次方程的特征根的重数非特征根01,.mxBB将特解 代入（4.32） 中，比较t的同次幂的系数，求出B例8.133222的通解求方程txdtdxdtxd解（1）齐次方程为：123,1. 解得：所以，齐次方程的通解为：比较系数得33132BAB2

21、30,xxx则特征方程为：2230,312( ).ttx tc ec e（2）求特解 ( )31,f tt 0. 0又非特征根，*xABt故可设特解为：代入原方程得:23331BABtt131AB *1( ),3x tt从而因此原方程的通解为:.31)(231tecectxtt例932323.td xd xdxxedtdtdt求方程(t-5)的通解解（1）齐次方程为：330,xxxx则特征方程为：323231(1)0, 1 (3). 解得：重根所以，齐次方程的通解为：2123( )().tx tcc tc te比较系数得65241AB （2）求特解 ( )(5),tf tet 1 (). 三重

22、根*3()txtAtB e故可设特解为：代入原方程得:(624)(5)ttABt eet56124AB *351( )(),624tx ttte从而因此原方程的通解为:3312351( )()().624ttx tcc tc tette2、类型II: ( ( )cos( )sin)(4.32)tL xA ttB tt e,( ),( ),.A tB tm 其中为常数为实系数多项式 且两者的最高次数为则方程（4.32）有特解形式：( )( ( )cos( )sin),tf tA ttB tt e即方程为( ) ( )cos( )sin, (4.38)ktx ttP ttQ tt e其中:.0:( )( )ikkP t