概率论第二版第1、2章习题解答

1、第1章 随机事件与概率习 题 1.22一批产品由95件正品和5件次品组成，从中不放回抽取两次，每次取一件 求：（1）第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率；（2）抽得正品和次品各一件的概率 解 设A=第一次抽得正品且第二次抽得次品，B=抽得正品和次品各一件，则，3从0,2,3,4,5,6这六个数中任取三个数，求取得的三个数字能组成三位数且为偶数的概率解 据题意，可分为“个位是0”与“个位不是0”两种情况，即所求事件的概率为4已知某城市中有55%的住户订日报，65%的住户订晚报，且至少订这两种报中一种的住户比同时订两种报的住户多一倍，求同时订两种报的住户占百分之几解 设A=住户订日报，B=住户订晚

2、报，则，且 ，从而有 ，即同时订两种报的住户占百分之四十5从09十个数字中任取三个不同的数字，求：三个数字中不含0或5的概率解 设A=不含数字0，B=不含数字5，则所求概率为610把钥匙中有3把能打开一把锁，现任取两把，求能打开锁的概率解 设A=任取两把钥匙，能打开锁，利用对立事件，有7一盒中有10只蓝色球， 5只红色球，现一个个的全部取出求第一个取出的是蓝色球，最后一个取出的也是蓝色球的概率解 设A=第一个取出的是蓝色球，最后一个取出的也是蓝色球，则8把12枚硬币任意投入三只盒中，求第一只盒子中没有硬币的概率解 设A=第一只盒子中没有硬币，则9把7个编号的同类型的球投进4个编号的盒子中，每个

3、球被投进任何一个盒子中都是等可能的求第一个盒子恰有2个球的概率解 设A=第一个盒子中恰有2个球，则10从5副不同的手套中任意取4只手套，求其中至少有两只手套配成1副的概率解 设A=至少有两只手套配成1副 ，则或 11一副没有王牌的扑克牌共52张，不放回抽样，每次一张，连续抽取4张，计算下列事件的概率：（1）四张牌花色各异；（2）四张牌中只有两种花色；（3）四张牌中有三种花色解 设A=四张牌花色各异，B=四张牌中只有两种花色，C=四张牌中有三种花色，则，12掷三枚均匀的骰子，已知它们出现的点数各不相同，求其中有一枚骰子的点数为4的概率解 设A=其中有一枚骰子的点数为4 ，则13一间宿舍内住有8位

4、同学，求他们之中至少有2个人的生日在同一个月份的概率解 设A=至少有2个人的生日在同一个月份，则14四个人参加聚会，由于下雨他们各带一把雨伞聚会结束时每人各取走一把雨伞，求他们都没拿到自己雨伞的概率 解 设=第i个人拿到自己的雨伞 ，B=四个人都没有拿到自己的雨伞 ，则15有四个人等可能的被分配到六个房间中的任一间中求：（1）四个人都分配到不同房间的概率；（2）有三个人分配到同一房间的概率解 设A=四个人分配到不同房间，B=四个人中有三个人分配到同一房间，则，16一袋中有n个黑球和2个白球，现从袋中随机取球，每次取一球，求第k次和第k+1次都取到到黑球的概率解 设A=第k次和第k+1次都取到到

5、黑球，则17n个人围一圆桌坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率 解 设A=甲、乙两人相邻而坐，则186个人各带一把铁锹参加植树，休息时铁锹放在一起，休息后每人任取一把铁锹继续劳动，求至少一个人拿对自己带来的铁锹的概率解 设=第i个人拿到自己的铁锹 ，B=至少有一人拿对自己带来的铁锹 ，则19两艘轮船都要停靠同一泊位，它们可能在一昼夜的任意时间到达，设两船停靠泊位的时间分别需要1小时与2小时，求一艘轮船停靠泊位时，另一艘轮船需要等待的概率解 设分别为甲，乙两船到达码头的时间，设A=一艘轮船停靠泊位时，另一艘轮船需要等待故样本空间，A发生的等价条件为“”或“”， 令 ， 则样本空间的面积 ，且区域D的面

6、积 ，则 20平面上画有间隔为d 的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为的针，求针与平行线相交的概率解 以表示从针的中点到最近一条平行线的距离，针与其所夹角为，则样本空间，事件A=针与平行线相交发生的等价条件“”，令， 则样本空间为边长分别为及的矩形，面积为 ，且区域D的面积 ，则 习 题 1.31某种动物的寿命在20年以上的概率为0.8，在25年以上的概率为0.4 现有一该种动物的寿命已超过20年，求它能活到25年以上的概率解 设=该种动物能活到25年以上，=该种动物的寿命超过20年，即已知 所求概率为 2 在100件产品中有5件是次品，从中不放回地抽取3次，每次抽1件 求第三次才取得次品的概

7、率解 设=第i次取到合格品，B =第三次才取到次品，由乘法公式有3有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的其中甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，三厂产品中合格品率分别为95%、90%、85%，现从这批产品中随机抽取一件，求该产品为合格品的概率 解 设=甲厂的产品，=乙厂的产品，=丙厂的产品，=取到一件合格品即构成一个完备事件组则 4 一袋中有黄球10个，红球6个 若不放回取球两次，每次取一球 求下列事件的概率：（1）两次都取到黄球；（2）第二次才取到黄球；（3）第二次取到黄球解 设=第一次取到黄球，=第二次取到黄球，则（1）；（2）；（3）5 一城市位于甲、乙两河的交汇处，若

8、有一条河流泛滥，该市就会受灾，已知在某季节内，甲、乙两河泛滥的概率均为0.01，且当甲河泛滥时引起乙河泛滥的概率为0.5求在此季节内该市受灾的概率解 设A=甲河泛滥 ，B =乙河泛滥 ，由题意有，则 在此季节内该市受灾的概率为6 在下列条件下，求：（1）已知； （2）已知，且A，B互不相容解 （1），（2）由于A，B互不相容，故，所以，7 某体育比赛采用五局三胜制，甲方在每一场比赛中胜乙方的概率是0.6（假定没有和局），求甲方最后取胜的概率解 比赛采用五局三胜制，甲最终获胜，至少需要比赛三局，且最后一局必须是甲胜，而前面甲需要胜二局，例如，比赛三局，甲胜：甲甲甲；比赛四局，甲胜：甲乙甲甲，乙甲

9、甲甲，甲甲乙甲；再由独立性，甲最终获胜的概率为P(甲胜)=8 设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装30件，有18件一等品，先从两箱中任挑一箱，再从此箱中前后不放回地任取2个零件，求：（1）取出的零件有一个为一等品的概率；（2）在先取的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的条件概率 解 设=第i箱被挑中，i=1,2，；设=第j次取出的是一等品，j=1,2（1）取出的零件有一个为一等品的概率为， ，所求概率为 （2）在先取的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的条件概率为0.48569 设玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1

10、一顾客选出一箱玻璃杯，随机查看4只，若无残次品，该顾客则购买此箱玻璃杯，否则不买 求：（1）顾客买此箱玻璃杯的概率；（2）若顾客购买了此箱玻璃杯，箱中确实无残次品的概率解 设=箱中有i件 残次品，i=0,1,2；B=顾客买下该箱玻璃杯，则，（1）由全概率公式，有（2）由贝叶斯公式，有 10 某年级三个班报名参加志愿者的人数分别为10人、15人、25人，其中女生的分别为3人、7人、5人 现随机地从一个班报名的学生中先后选出两人，求：（1）先选出的是女生的概率；（2）已知后选出的是男生，而先选出的是女生的概率 解 设=取到第i班报名表，i=1,2,3，；设=第j次选出的报名表是女生，j=1,2（1

11、）由全概率公式，有（2）已知后选出的是男生，先选出的是女生的概率为，而 ， ，从而 11 某产品的合格品率为97%时则达到行业标准商家批量验收时，误拒收“达标的产品”的概率为0.02，误接收“未达标产品”的概率为0.05 求一批产品被接收，此批产品确已达标的概率解 设A=产品合格，=产品不合格，；B=接收产品，=拒收产品，由贝叶斯公式，所求概率为12 一盒中有12个乒乓球，其中9个是新的第一次比赛时从中任取3个来用，比赛后仍放回盒中，第二次比赛时再从盒中任取3个 求：（1）第二次取出的球皆为新球的概率；（2）若第二次取的球皆为新球，求第一次取到的都是新球的概率解 设=第一次取到i个新球，i=0

12、,1,2,3， B=第二次取出的都是新球， （1）由全概率公式，有；（2）由贝叶斯公式，有 13 某人忘记了某电话号码的最后一个数字，但知最后一个数字为奇数，求拨号不超过3次而接通电话的概率解 设=第i次拨号拨通电话，i=1,2,3， B=拨号不超过3次接通电话，则，故 14 某仓库有同样规格的产品12箱，其中甲、乙、丙三个厂生产的产品分别为6箱、4箱、2箱，且三个厂的次品率分别为8%、6%、5% 现从12箱中任取一箱，再从该箱中任取一件产品，求取到一件次品的概率解 设=甲厂的产品，=乙厂的产品，=丙厂的产品，=取到一件次品即构成一个完备事件组则 15 第一箱中有2个白球和6个黑球，第二箱中有

13、4个白球与2个黑球 现从第一个箱中任取出两球放到第二个箱中，然后从第二个箱中任意取出一球，求此球是白球的概率解 设=从第一箱中取出2个白球，=从第一箱中取出1个白球1个黑球，=从第一箱中取出2个黑球，=从第二箱中取出1个白球即构成一个完备事件组，且则 16 设袋中有n个黑球，m个白球，现从袋中依次随机取球，每次取一个球，观察颜色后放回，并加入1个同色球和2个异色球 求第二次取到黑色球且第三次取到白色球的概率解 设=第i次取到白色球，i=1,2,3，则所求概率为 习 题 1.41 已知，且A、B相互独立，试求：解 ，2 甲、乙两人各自向同一目标射击，已知甲命中目标的概率为 0.7，乙命中目标的概

14、率为0.8，求：(1)甲、乙两人同时命中目标的概率；(2)恰有一人命中目标的概率；(3)目标被命中的概率解 设=甲击中目标，B=乙击中目标，则（1）；（2）；（3）3 甲、乙二人约定，将一枚匀称的硬币掷三次，若至少出现两次正面，则甲胜；否则乙胜求甲胜的概率解 至少出现两次正面包含两种情况：恰有两次出现正面、三次都是正面恰有两次出现正面的概率为；三次都是正面的概率为故甲胜的概率为 5 甲、乙二人进行棋类比赛，假设没有和棋，每盘甲胜的概率为p，乙胜的概率为1-p 每盘胜者得1分，输者得0分 比赛独立地进行到有一人首先超过对方2分时结束 求甲首先超过对方2分的概率解 设,每盘比赛若甲胜记为A, 若乙

15、胜记为B,根据题意，比赛共进行偶数盘，若甲首先超过对方2分时，则有共赛两盘: ；共赛四盘: ；共赛六盘: ；共赛八盘: ；即 6 一汽车沿一街道行驶，要经过三个有信号灯的路口，每个信号灯工作都是相互独立，且红、黄、绿信号显示时间的比例为，求此车通过三个路口时遇到一次红灯的概率解 汽车经过三个有信号灯的路口，可以看作是3重伯努利试验此车通过三个路口时遇到一次红灯的概率为7 甲、乙、丙三人同时独立的向一飞机射击，他们击中飞机的概率分别为0.4，0.5，0.7 设若只有一人击中，飞机坠毁的概率为0.2，若恰有两人击中，飞机坠毁的概率为0.5，若三人均击中，飞机坠毁的概率为0.8 求飞机坠毁的概率解

16、设=飞机被i个人击中，i=1,2,3， B=飞机坠毁，由独立性有，故 8 某厂生产的仪器，经检验可直接出厂的占0.7，需调试的占0.3，调试后可出厂的占0.8，调试后仍不能出厂的占0.2 现新生产台仪器（设每台仪器的生产过程相互独立），求：（1）全部能出厂的概率；（2）恰有两台不能出厂的概率；（3）至少两台不能出厂的概率 解 设A=1台仪器可直接出厂， B=1台仪器最终能出厂，则，（1）P仪器全部能出厂；（2）P恰有两台不能出厂；（2）P至少两台不能出厂 9 5个元件工作独立，每个元件正常工作的概率为p，求以下系统正常工作的概率 （1）串联；（2）并联；（3）桥式连接（如图141） 解 设C为

17、系统正常工作，利用独立性有（1） 当元件串联时，需5个元件都正常工作，系统才能正常工作：；（2）当元件并联时，5个元件至少有一个正常工作，系统才能正常工作：；（3）记中间的元件为，左面两个元件分别为，右面两个元件为。当正常工作时，相当于并联，与并联电路再串联而得；当失效时，相当于串联，与串联电路进行并联而得则；故 10 已知一条昆虫生产n个卵的概率为，设一个虫卵孵化为成虫的概率为 若卵的孵化是相互独立的，求此昆虫的下一代有条成虫的概率解 设=昆虫的下一代有k条成虫，=昆虫共生产n个卵，注意到独立性，当时，；当时，第2章 随机变量及其分布习 题2.11 设随机变量的分布列为，求 ；解 ； ；4

18、在10件产品中有3件次品，从中任取2件，用随机变量表示取到的次品数，试写出的分布列及分布函数解 X取值0,1,2，且，的分布列为 分布函数，当时，当时，当时，当时，故分布函数为 6 甲、乙、丙三人参加志愿者服务，每人在周一至周五任选两天，记X为这三人周五参加志愿服务的人数，求X的分布列解 记P一人选中周五参加志愿服务，P一人没有选中周五参加志愿服务，则X为这三人周五参加志愿服务的人数，则X取值为0，1，2，3且，所以X的分布列为7. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，直到有一人投中为止，假定甲、乙二人投篮的命中率分别为0.4和0.5求（1）二人投篮总次数Z的概率分布；（2）甲投篮次数X的概率分布；

19、（3）乙投篮次数Y的概率分布 解 （1）若：表示第次甲命中，前次甲、乙各投篮次均未命中则，若：表示第次乙命中，前次甲投篮k次均未命中乙投篮次均未命中。则即二人投篮总次数Z的概率分布为（2）甲投篮次数X的取值为，且事件包含两种情况：（a）第k次甲命中，前面甲、乙各投篮次均未命中；（b）第k次乙命中，前面甲投篮k次乙投篮次均未命中则 即甲投篮次数X的概率分布为（3）乙投篮次数Y的取值为，且事件包含两种情况：（a）第k次乙命中，前面甲投篮k次乙投篮次均未命中；（b）第次甲命中，前面甲、乙各投篮次均未命中则 即乙投篮次数Y的概率分布为9 设随机变量的密度函数为，求（1）常数a；（2）解 （1）由密度函

20、数的性质，有，所以（2）10 设随机变量X的密度函数为，求常数a的值，如果，求b的值解 由密度函数的性质，有，所以，从而由，即，有，从而11 设随机变量的密度函数为，求(1)常数k；(2)X的分布函数；(3)解 （1）由密度函数的性质，有，所以（2）分布函数，当时，当时，所以分布函数为 （3）12 设随机变量的分布函数为，求（1）常数A；（2）；（3）的密度函数解 （1）由F(x)的连续性，有 ，所以 （2） （3）13 设随机变量X的绝对值不大于1，在事件出现的条件下，X在区间内的任意子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比，求X的分布函数解 （1）由条件，当时，X在区间上取值的概率为，

21、对于，其中，故时，于是，X的分布函数为 习 题 2.24 盒中有5个球，其中有3白2黑，从中随机抽取2个球，求抽得白球数的期望解 X的可能取值为0，1，2，5 射击比赛，每人射4次（每次一发），约定全部不中为0分，只中1弹得15分，中2弹得30分，中3弹得55分，中4弹得100分 甲每次射击命中率为，求他得分的期望解 设X表示甲的得分，则X的可能取值为0，15，30，55，100， ，甲得分的期望为6 某射手每次射击打中目标的概率都是0.8，现连续向同一目标射击，直到第2次击中为止 求射击次数的期望解 设表示第一次击中时的射击次数，表示第一次击中后到第二次击中时的射击次数，则，且，由题意知，和

22、相互独立，从而 7 已知随机变量的分布列为，求，解 ， ，8 设随机变量的密度函数为，求解 （奇函数在对称区间上的积分为0）9 设随机变量的密度函数为求，解 ， ，10 对球的直径作近似测量，设其值在区间 a, b上均匀分布，求球体积的均值解 设表示球的直径，则的密度函数为球的体积 ，11 某水果商店，冬季每周购进一批苹果 已知该店一周苹果销售量X (单位：kg) 服从U1 000,2 000购进的苹果在一周内售出，1kg获纯利1.5元；一周内没售完，1kg需付耗损、储藏等费用0.3元 问一周应购进多少(kg)苹果，商店才能获得最大的平均利润解 设为商店一周获得的利润，为一周苹果的进货量利润函

23、数为 X的密度函数为 ，令 ，解得 即一周应购进1 834(kg)苹果，商店才能获得最大的平均利润12 设商店经销某种商品的每周需求量服从区间 10,30上的均匀分布，而进货量为区间 10,30中的某一个整数，商店每售一单位商品可获利500元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损100元，若供不应求，则从外部调剂供应，此时每售出一单位商品仅获利300元，求此商店经销这种商品每周进货量为多少，可使获利的期望不少于9 280元解 设为商店的周利润，为该商品每周的进货量利润函数为，X的密度函数为，要使得，即，有， 解得 所以该商品每周的最小进货量为21单位13 已知随机变量的概率密度函数为求

24、随机变量的数学期望解 习 题2.31 某流水线上生产产品的不合格率为0.2，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修 设开机后第一次停机检修时已生产的产品个数为X，求X的方差解 设表示停机时已生产的产品数，可能取值为，其分布列为，其中，其中，所以 ，方差 2 已知X的分布列为，求常数a及E(X)解 由分布列的性质，有，即，所以4 设10只同种电器元件中有2只废品，装配仪器时，从这批元件中任取1只，若取到废品，则扔掉重新取1只，求在取到正品之前，已取出的废品数的概率分布、数学期望及方差解 设=第k次取到正品， 而取出的废品数的可能取值为0，1，2，即的分布列为0 1 2 ，5 某

25、设备由三大部件构成，设备运转时，各部件需调整的概率为0.1，0.2，0.3，若各部件的状态相互独立，求同时需调整的部件数的期望与方差解 设=第k部件需要调整由题设，又X的可能取值为0，1，2，3，且相互独立，则，即的分布列为0 1 2 3 0.504 0.398 0.092 0.006 则 ，6 设 求解 被积函数是奇函数，且积分区间关于原点对称，故， 7 已知随机变量，求解 随机变量的密度函数，8 设随机变量服从参数为0.7的0-1分布，求解 由于随机变量服从参数为0.7的0-1分布，故9 设随机变量的密度函数为，求解 由密度函数的性质，有，得出， ，10 设随机变量服从上的均匀分布，求Y的

26、期望与方差解 随机变量服从上的均匀分布，密度函数为，11在n次独立重复试验中, 成功率为0.75, 要使“试验成功的频率在0.740.76之间” 的概率不小于0.90，则至少要进行多少次试验?解 设X为n次独立重复试验中成功的次数，则，且由题设，有，即有解得，所以至少要进行18 750次试验12 设X为非负连续型随机变量, 期望存在，应用切比雪夫不等式证明：对任意正实数a恒有证明 设X的密度函数为，由于X取值非负，故对任意的，有当时，有扩大积分限到，被积函数在上非负，所以上述积分进一步增大，从而习 题2.41 设随机变量，已知，求两个参数n与p的值解 由题设，由以上两式解出2 设X服从泊松分布

27、，已知，求及解 X服从泊松分布，又，即由于参数，所以解得 ，3 在一个繁忙的交通路口，设单独一辆汽车发生意外事故的概率为p0.001 如果某段时间内有1 000辆汽车通过这个路口，问这段时间内，该路口至少发生1起意外事故的概率是多少？解 设出事故的次数为X，则，即有由泊松定理（这里）得4 一本5万字的学生用书，按常规允许出错率为0.000 1，求该书不多于10个错误的概率解 设出错误的次数为X，则，即有由泊松定理（这里），并查泊松分布表，得5 大型设备在任何长为t的时间内，发生故障的次数N(t)服从参数为lt的泊松分布，求（1）相继两次故障之间的时间间隔T的概率分布；（2）在设备已无故障工作8

28、小时的情况下，再无故障工作8小时的概率解 （1）由于T是非负随机变量，当时，当时，由于事件与事件等价，因此 即T服从参数为l的指数分布， （2）由上可知所求无故障工作8小时的概率为6 某车间有同类设备100台，各台设备工作互不影响 如果每台设备发生故障的概率是0.01，且一台设备的故障可由一个人来处理，问至少配备多少维修工人，才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01解 设需配备N名维修工人，记同一时刻发生故障的机器台数为X，则由题设，需确定最小的N，使得，即由泊松定理，这里，有，查泊松分布表可求得满足此式最小的N是4，故需至少配备4名维修工人7 设X表示10次独立重复射击命中目标的

29、次数，每次射击的命中率为0.4，求解 由题设，则，8 已知X服从参数为2的泊松分布，求随机变量 Z=3X-2的期望和方差解 由题设，则，9 某保险公司规定，如果一年内某事件A发生，则公司赔偿客户一笔款a元，公司估算一年内A发生的概率为p，那么为使公司收益的期望值等于a/10，该公司应向客户收取多少保险金？解 设保险公司应向客户收取的保险金额为x，保险公司的收益为Y，则Y的可能取值为随机变量Y的分布列为-a x p 1-p由题设，从而，解得 10 某种商品每件表面上的疵点数X服从泊松分布，平均每件上有0.8个疵点 若规定表面不超过一个疵点的为一等品，价值十元，表面疵点数大于1不多于4的为二等品，

30、价值8元某件表面疵点数是4个以上则为废品，求产品价值的均值和方差解 商品每件表面上的疵点数X服从泊松分布，由题设，即设Y表示每件产品的价值，则Y的可能取值为10，8，0查泊松分布表，有，所以 习 题2.53 设一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立且无故障工作时间均服从参数为的指数分布 当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，求电路正常工作的时间T的概率分布解 设=第i个元件无故障工作的时间，则相互独立同分布，其分布函数为依题意，设其分布函数为 当时，；当时，故T的分布函数 密度函数为 即T服从参数为的指数分布4 设某仪器有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单

31、位：小时）均服从同一指数分布，其参数为1/600，求在仪器使用的最初200小时内，至少有一只电子元件损坏的概率解 设=在仪器使用的最初200小时内电子元件损坏，而X表示电子元件的寿命，则X服从指数分布，其密度函数为设Y表示在200小时内电子元件损坏的只数，记，则而 ，所求概率为 6 设，求，解 ，由题意有，7 设，求，解 ，由题意有，8 某校电器班学生期末考试的数学成绩X近似服从正态分布，求数学成绩在85分以上的学生约占该班学生的百分之几？解 由题意有， ，故数学成绩在85分以上的学生约占该班学生的15.87%9 将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器中，调节器定在，液体的温度X()服从（1）若，求；（2）若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99，问d至少为多少？解 （1）若， ；（2）依题意有，从而，即，由于，所以故，而，则，解得，从而d至少为8210 对某地抽样调查的结果表明，考生的外语成绩（按百分制计