C08组合变形及连接部分的计算1

1、组合变形及连接部分的计算第 8 章8.1 概述在工程实际中, 构件在荷载作用下往往发生两种或两种以上的基本变形。 若其中有一种变形是主要的, 其余变形所引起的应力(或变形)很小, 则构件可按主要的基本变形进行计算。 若几种变形所对应的应力(或变形)属于同一数量级, 则构件的变形称为组合变形。 Fqgh烟囱除自重引起的轴向压缩外, 还有水平风力引起的弯曲; 机械中的齿轮传动轴在外力作用下, 将同时发生扭转变形及在水平平面和垂直平面内的弯曲变形。 厂房中吊车立柱除受轴向压力F1外, 还受到偏心压力F2的作用, 立柱将同时发生轴向压缩和弯曲变形; 8.1 概述对于组合变形下的构件, 在线弹性范围内、

2、小变形条件下, 可按构件的原始形状和尺寸进行计算。 先将荷载简化为符合基本变形外力作用条件的外力系, 分别计算构件在每一种基本变形下的内力、应力或变形。 然后, 利用叠加原理, 综合考虑各基本变形的组合情况, 以确定构件的危险截面、危险点的位置及危险点的应力状态, 并据此进行强度计算。 若构件的组合变形超出了线弹性范围, 或虽在线弹性范围内但变形较大, 则不能按其初始形状或尺寸进行计算, 必须考虑各基本变形之间的相互影响, 而不能应用叠加原理。 处理组合变形的基本方法一、将组合变形分解为基本变形将外力简化或分解, 使之每个力(或力偶)对应一种基本变形 三、利用叠加原理将基本变形下的应力和变形叠

3、加二、分别计算在每一种基本变形下构件的的应力和变形 8.1 概述=+ + += =+ +8.1 概述在工程实际中, 经常需要将构件相互连接。例如桥梁桁架结点处的铆钉(或高强度螺栓)连接、机械中的轴与齿轮间的键连接, 以及木结构中的榫齿连接等等。铆钉、螺栓、键等起连接作用的部件, 统称为连接件。连接件(或构件连接处)的变形往往是比较复杂的, 而其本身的尺寸都比较小。在工程设计中, 通常按照连接的破坏可能性, 采用既能反映受力的基本特征, 又能简化计算的假设, 计算其名义应力, 然后根据直接试验的结果, 确定其相应的许用应力, 来进行强度计算。这种简化计算的方法, 称为工程实用计算法。8.1 两相

4、互垂直平面内的弯曲对于横截面具有对称轴的梁, 当横向外力或外力偶作用在梁的纵向对称面内时, 梁发生对称弯曲。梁变形后的轴线是一条位于外力所在平面内的平面曲线, 也称为平面弯曲。双对称截面梁在水平纵向对称平面内承受横向外力F1的作用, 梁在(水平纵对称面)Oxz平面内发生对称弯曲。同时在铅直纵向对称平面内承受横向外力F2的作用, 这时梁在铅垂纵对称面(Oxy平面)内也发生对称弯曲。aF1F2yzOxOzymm在梁的任意横截面m-m上, 由F1和F2引起的弯矩值为1yMFxzymmxaF1F2yzxMyMz2()zMF xa横截面m-m上任一点C(y, z)处由弯矩My和Mz引起的正应力分别为yy

5、MzI OzymmzymmxaF1F2yzxMyMzC(y, z)zzMyI 由叠加原理, 在F1和F2同时作用下, 截面m-m上C点处的正应力为yzyzMMzyIIOzymmzymmxaF1F2yzxMyMzC(y, z)具体计算中, 先不考虑弯矩My, Mz和坐标y, z的正负号, 以其绝对值代入, 然后根据梁在F1和F2分别作用下的变形情况, 来判断两项应力的正负号。yzyzMMzyII由于中性轴上各点处的正应力均为零, 令y0, z0代表中性轴上任一点的坐标, 则由上式可得中性轴方程为000yzyzMMzyII中性轴是一条通过横截面形心的直线。j是合成弯矩M与y轴之间的夹角。000yz

6、yzMMzyII00tantanzyyyzzM IIzyM IIj这一条通过横截面形心的直线与y轴的夹角为一般情况下, 由于截面的IyIz, 因而中性轴与合成弯矩M所在的平面并不相互垂直。 因为截面的挠度垂直于中性轴, 所以挠曲线将不在合成弯矩所在的平面内。这种弯曲也称为斜弯曲。 由于一般情况下, 梁各横截面上的合成弯矩M所在平面的方位一般并不相同, 所以, 虽然每一截面的挠度都发生在该截面的合成弯矩所在平面内, 梁的挠曲线一般仍是一条空间曲线。于是, 梁的挠曲线方程仍应分别按两垂直平面内的弯曲来计算, 不能直接用合成弯矩进行计算。 zzMyI对于圆形、正方形等截面, IyIz, 有j, 因而

7、, 正应力也可用合成弯矩M按平面弯曲正应力公式进行计算。 zyO在确定中性轴的位置后, 作平行于中性轴的两直线, 分别与横截面周边相切于D1, D2两点, 该两点即分别为横截面上拉应力和压应力为最大的点。 D2D1中性轴工程中常用的矩形、工字形等截面梁, 其横截面都有两个相互垂直的对称轴, 且截面的周边具有棱角, 故横截面上的最大正应力必发生在截面的棱角处。由于危险点处是单轴应力状态, 可将最大正应力与材料的许用正应力相比较来建立强度条件, 进行强度计算。 yzyzMMzyII对于一般实体截面粱, 横截面上的切应力数值较小, 在强度计算中可不必考虑。 例: 两端铰支矩形截面梁, 其尺寸h80m

8、m , b40mm, 120 MPa, 校核梁的强度。解:(1)确定危险截面:2kN mByM1kN mBzMxABCD30kNz30kN100mm100mm100mmyzyhbMy2 kNmMz1 kNm(2)校核强度:zBzyByWMWMmax6622hbMbhMBzBy3293292 1064080101 10680401093.75 MPa max, 安全。xABCD30kNz30kN100mm100mm100mmyMy2 kNmMz2 kNmh80mm , b40mm, 120 MPa8.3 拉伸(压缩)与弯曲8.3.1 横向力与轴向力共同作用等直杆受横向力和轴向力共同作用时, 杆将

9、发生弯曲与拉伸(压缩)组合变形。Fqgh对于弯曲刚度EI较大的杆, 由轴向力引起的弯矩M(Ft)可以略去不计。ACBl/2l/2FFtFtwCMC(Ft)FtwC8.3 拉伸(压缩)与弯曲ACBl/2l/2FFtFtttFAmaxbzMWbtbtbt8.3 拉伸(压缩)与弯曲设一矩形截面杆, 一端固定, 一端自由, 作用于自由端的集中力位于杆的纵向对称面Oxy内, 并与杆的轴线成一夹角j。将外力F沿轴x和y轴方向分解, 得到两个分力: cossinxyFFFFjj其中, 分力Fx为轴向外力, 在此力的单独作用下, 杆将产生轴向拉伸, 此时, 任一横截面上的轴力FN = Fx。因此, 杆横截面上

10、各点将产生数值相等的拉应力, 其值为 NFA 正应力在横截面上均匀分布, 如图c所示。 分力Fy为垂直于杆轴线的横向外力, 在此力的单独作用下, 杆将在Oxy平面内发生平面弯曲, 任一横截面的弯矩为 ()yMF lx此时在横截面上任一点K的弯曲应力为 zMyI 沿截面高度方向的变化规律, 如图d所示。 这是一个弯曲与拉伸组合变形的杆件。设在外力作用下杆件的变形很小, 这时可应用叠加原理, 将拉伸正应力与弯曲正应力按代数值叠加后, 得到横截面上的总应力为 NzFMyAI设横截面上、下边缘处的最大弯曲应力大于(或小于)拉伸正应力, 则总应力沿截面高度方向的变化规律如图e(或f)所示。 NzFMyA

11、I+=或Nmaxt maxzFMAW+=或由于在固定端处横截面上的弯矩最大, 因此, 该截面为危险截面。从图e可知, 构件的危险点位于危险截面的上边缘或下边缘处。在下边缘处由于和均为拉应力, 故总应力为两者之和, 由此得最大拉应力为 Nmaxc maxzFMAW+=或在上边缘, 由于为拉应力, 而为压应力, 故总应力为两者之差, 由此得最大压应力为 上两式中的Mmax为危险截面处的弯矩; Wz为抗弯截面系数。 Nmaxc maxczFMAW+=或得到了危险点处的总应力后, 即可根据材料的许用应力建立强度条件： Nmaxt maxtzFMAW式中t和c分别为材料拉伸和压缩时的许用应力。 一般情况

12、下, 对于抗拉与抗压能力不相等的材料, 如铸铁和混凝土等, 需用以上两式分别校核构件的强度; 对于抗拉与抗压能力相等的材料, 如低碳钢, 则只需校核构件应力绝对值最大处的强度即可。 按叠加原理计算拉伸(压缩)与弯曲组合变形杆横截面上的正应力时, 略去了轴向拉(压)力由于弯曲挠度而引起的附加弯矩。对于弯曲刚度EI较小的杆件, 在压缩与弯曲组合变形下, 轴向压力引起的附加弯矩较大, 且其转向与横向力引起的弯矩同向, 因此不能按杆的原始形状来计算, 叠加原理也不再适用。例: 悬臂吊车如图所示, 横梁用25a号工字钢制成, 梁长l = 4 m, 斜杆与横梁的夹角a30, 电葫芦重Q14 kN, 起重量

13、Q220 kN, 材料的许用应力100 MPa。试校核横梁的强度。 ABCD2m2maFFABFAyFAxFTFBxFBy解: (1) 外力计算 取横梁AB为研究对象, 其受力图如图所示。梁上载荷为FQ1+ Q224 kN, 右端斜杆的拉力FT可分解为FBx、FBy两个分力。横梁在横向力F和FAy、FBy作用下产生弯曲; 同时在FAx和FBx作用下产生轴向压缩。这是一个弯曲与压缩组合的构件。 ABCD2m2maFFABFAyFAxFTFBxFBy当载荷移动到梁的中点时, 可近似地认为梁处于危险状态。此时 作弯矩图, 在梁中点截面上的弯矩最大, 其值为 FAyFBy12 kNFAxFBx20.8

14、 kN(2) 内力和应力计算 M24 kNmMmax24 kNm从型钢表上查得25a号工字钢的截面面积和抗弯截面系数分别为： 24226348.5cm48.5 10 m402 cm402 10 mZAW所以最大弯曲应力为 6maxmax62400059.7 10 Pa59.7 MPa402 10BZMW其分布如图所示, 梁危险截面的上边缘处受最大压应力、下边缘处受最大拉应力作用。 横梁所受的轴向压力为 FNFAx20.8 kN则危险截面上的压应力为 N6208000.004854.29 10 Pa4.29 MPacFA 均匀分布于横截面上, 如图所示。 故梁中点横截面上、下边缘处的总正应力分别

15、为 Nmaxcmax4.2959.764.0 MPaZFMAW Nmaxtmax4.2959.755.4 MPaZFMAW +=(3) 强度校核 cmax64 MPa +=由于工字钢的抗拉与抗压能力相同, 故只校核正应力绝对值最大处的强度即可, 即 由计算可知, 此悬臂吊车的横梁是安全的 例: 一折杆由两根无缝钢管焊接而成,已知两根钢管的外径都是140mm ,壁厚都是10 mm 。试求折杆危险截面上的最大拉应力和最大压应力。解:(1)首先求支反力由静力平衡方程可求得 FAFA1FBFA10 FAFB5 kN 由于折杆本身和它所受的力都是左右对称的, 故只需分析它的一半即可。(2)用截面法分析内

16、力取AC杆研究由图示尺寸可求得3tan4a将FA沿AC的轴线和垂直AC轴线的方向分解为3 kN,4 kNAxAyFFFAx产生轴向压缩FAy产生弯曲FAFA1FB任 一 横截面x上的内力轴力 FNFAx弯矩 M(x)FAyx剪力 FSFAy (忽略)危险截面为m-m截面, 其内力轴力 FNFAx3 kN弯矩 MFAy28 kNm(3) AC杆危险截面上的最大拉应力和最大压应力g点为最大压应力点, f点为最大拉应力点。t maxNc maxFMAW 222242()(0.140.12 )40.8 10m44ADd444484()(0.140.12 )868 10m6464IDd863868 10

17、124 10m/20.14/2IWDt max46c max663000800040.8 10124 1063.8 1063.8PaMPa65.265.2 10 8.3 拉伸(压缩)与弯曲8.3.2 偏心拉伸(压缩)作用在直杆上的外力, 当其作用线与杆的轴线平行但不重合时, 将引起偏心拉伸或偏心压缩。图示等直杆的横截面具有两个对称轴, 承受偏心距为e的拉力F作用。MFO1zyeezsincosyFFMFeFzMFeFyaa把作用在杆端截面上A点处的拉力F向截面形心O1点简化, 得到轴向拉力F和力偶矩Fe, 矢量与z轴成a角。A(yF, zF)aeaMezMey再将力偶矩Fe分解为Mey和Mez

18、:Fe得到一个包含轴向拉力和两个在纵对称面内的力偶的静力等效力系。轴向拉力使杆发生轴向拉伸, 两个力偶分别使杆在两个纵对称面内发生纯弯曲。当杆的弯曲刚度较大时, 同样可按叠加原理求解。任一横截面n-n上的任一点C(y, z)处, 对应于轴力FNF和两个弯矩MyMeyFzF, MzMezFzy的正应力分别为NFFAA yFyyMzFzzII zFzzMyFyyII 在图示情况下, 这三项应力均为拉应力, 由叠加原理, 即得C点处的正应力为FFyzFzzFyyFAII式中, A为横截面面积；Iy和Iz分别为横截面对y轴和z轴的惯性矩。FFyzFzzFyyFAII惯性矩与惯性半径间的关系为上式可改写

19、为22,yyzzIA iIA i22(1)FFyzzzyyFAii22(1)FFyzzzyyFAii此式是一个平面方程, 这表明正应力在横截面上按线性规律变化, 而应力平面与横截面相交的直线(沿该直线0)就是中性轴。令y0, z0代表中性轴上任一点的坐标, 代入上式, 即得中性轴方程为002210FFyzzyzyii可见, 在偏心拉伸(压缩)情况下, 中性轴是一条不通过截面形心的直线。22,yzyzFFiiaayz 002210FFyzzyzyii设ay和az是该直线在y, z两轴上的截距。令z00, 相应的y0即为ay, 而令y00, 相应的z0则为az。由此求得因为A点在第一象限内, yF

20、, zF都是正值, 由此可见, ay, az均为负值。即中性轴与外力作用点分别处于截面形心的相对两侧。对于周边无棱角的截面, 可作两条与中性轴平行的直线与横截面的周边相切, 两切点D1和D2即为横截面上最大拉应力和最大压应力所在的危险点。将危险点D1和D2的坐标分别代入即可求得最大拉应力和最大压应力的值。22(1)FFyzzzyyFAii对于周边具有棱角的截面, 其危险点必定在截面的棱角处, 并可根据杆件的变形来确定。矩形截面杆受偏心拉力F作用时, 若杆任一横截面上的内力分量为FNF, MyFzF, MzFzy, 则与各内力分量相对应的正应力变化规律分别如图所示。由叠加原理, 即得杆在偏心拉伸

21、时横截面上正应力的变化规律。最大拉应力t max和最大压应力c max分别在截面的棱角D1和D2处。其值为t maxc maxFFyzFzFyFAWW此式对于箱形、工字形等具有棱角的截面都适用。当外力的偏心距较小时, 横截面上就可能不出现压应力, 即中性轴不与横截面相交。由于危险点处仍为单轴应力状态, 在求得最大正应力后, 就可根据材料的许用应力来建立强度条件。例：小型压力机的铸铁框架如图所示。已知材料的许用拉应力 t =30 MPa , 许用压应力 c =160 MPa。试按立柱的强度确定压力机的最大许可压力P。5050150150350PPz5050150150350PPyzz0z1解：(

22、1) 确定形心位置A=1510-3 m2z0 =7.5cmIy = 5310cm4计算截面对中性轴y的惯性矩350PPPnnFNMy(2) 分析立柱横截面上的内力和应力5050150150yzz0z1nn立柱受力为偏心拉伸在 n-n 面上有轴力FN及弯矩My 。FN = PMy = (35+7.5)10-2 P = 42.5 10-2 P kN.mFN产生轴向拉伸。My产生平面弯曲。350PPPnnFNMy5050150150yzz0z1nn由轴力FN产生的拉伸正应力为NMPa15FPA 350PPPnnFNMy5050150150yzz0z1nn350PPPnnFNMy5050150150y

23、zz0z1nn由弯矩My产生的最大弯曲正应力为0t max425 7.5MPa5310yyM zPI拉拉压压1c max425 12.5MPa (-)5310yyM zPI（3）叠加在截面内侧有最大拉应力tmaxtmaxt425 7.5155310PPP 45.1 KN350PPPnnFNMy5050150150yzz0z1nn拉拉压压在截面外侧有最大压应力c maxc maxc425 12.5| | 155310PPP 171.3 KNP 45.1 KN所以取350PPPnnFNMy5050150150yzz0z1nn拉拉压压例: 一带槽钢板受力如图, 已知钢板宽度b8cm, 厚度d 1cm

24、, 边缘上半圆形槽的半径rl cm, 已知拉力P80 kN, 钢板许用应力140 MPa。试对此钢板进行强度校核。 解: 由于钢板在截面1-1处有一半圆槽, 因而外力P对此截面为偏心拉伸, 其偏心距之值为 10.5cm2222bbrre截面1-1处的轴力和弯矩分别为： N80kN80000 NFP80000 0.005400N mMPe轴力FN和弯矩M在半圆槽底部的a点处都引起拉应力, 此处即为危险点。最大拉应力为 max2()()6tPPebrbr计算结果表明, 钢板在截面1-1处的强度不够。 6163.3 10 Pa163.3MPa140 MPa2800006 4000.01 (0.080

25、.01)0.01 (0.080.01)造成钢板强度不够的原因, 是由于偏心拉伸而引起的弯矩Pe, 使截面1-1的应力显著增加。为了保证钢板具有足够的强度, 在允许的条件下, 可在槽的对称位置再开一槽。这样就避免了偏心拉伸, 而使钢板变为轴向拉伸了。此时截面1-1上的应力为 虽然钢板被两个槽所削弱, 使横截面面积减少了, 但由于避免了载荷的偏心, 因而使截面I-I的实际应力比有一个槽时大为降低。但须注意, 开槽时应使截面变化缓和些, 以减小应力集中。 80000133.3MPa140MPa(2 )0.01 (0.082 0.01)Pbr 8.3 拉伸(压缩)与弯曲8.3.3 截面核心当偏心拉力F

26、的偏心距较小时, 杆横截面上就可能不出现压应力。同理, 当偏心压力F的偏心距较小时, 杆的横截面上也可能不出现拉应力。土建工程中常用的混凝土构件和砖、石砌体, 其拉伸强度远低于压缩强度, 在这类构件的设计计算中, 往往认为其拉伸强度为零。这就要求构件在受偏心压力作用时, 其横截面上不出现拉应力。为此, 应使中性轴不与横截面相交。O1zyA(yF, zF)aeaMezMeyFe22,yzyzFFiiaayz 由上式可见, 对于给定的截面, yF, zF值越小, ay, az值就越大, 即外力作用点离形心越近, 中性轴距形心就越远。当外力作用点位于截面形心附近的一个区域内时, 就可以保证中性轴不与

27、横截面相交, 这个区域称为截面核心。22,yzyzFFiiaayz 当外力作用在截面核心的边界上时, 与此相对应的中性轴就正好与截面的周边相切。利用这一关系就可确定截面核心的边界。将与截面周边相切的任一直线看作是中性轴, 其在y, z两个形心主惯性轴上的截距分别为ay1和az1。由截距计算公式确定与该中性轴对应的外力作用点1, 也就是截面核心边界上一个点的坐标(ry1, rz1)：221111,yzyzyziiaarr 同样, 分别将与截面周边相切或外接的直线, , 等看作是中性轴, 并按上述方法求得与其对应的截面核心边界上点2, 3, 等的坐标。连接这些点所得到的一条封闭曲线, 即为所求截面

28、核心的边界, 而该边界曲线所包围的带阴影线的面积, 即为截面核心。221111,yzyzyziiaarr 圆截面对于圆心O是极对称的, 因而, 截面核心的边界对于圆心也应是极对称的, 即为一圆心为O的圆。11,2yzdaa zyd8d8d1A作一条与圆截面周边相切于A点的直线, 将其看作为中性轴, 并取OA为y轴。该中性轴在y, z两个形心主惯性轴上的截距分别为圆截面222/16yziid221111,08yzyzyziidaarr 从而可知, 截面核心边界是一个以O为圆心、以d/8为半径的圆。OzyABCD对于边长为b和h的矩形截面, y, z两对称轴为截面的形心主惯性轴。先将与AB边相切的

29、直线看作是中性轴, 其在两轴上的截距分别为221111,06zyzyzyiihaarr bhh61 111,2yzhaa O矩形截面2222/12,/12yzibih得到与中性轴对应的截面核心边界上点1的坐标为zyABCD2233440,660,0,6yzyzyzbhbrrrrrr 同理, 分别将与BC, CD和DA边相切的直线, , 看作是中性轴, 可求得对应的截面核心边界上点2, 3, 4的坐标依次为bhh6b6b6h61 12 23 34 4O当中性轴绕顶点B从直线旋转到直线时, 将得到一系列通过B点但斜率不同的中性轴, 而B点的坐标yB, zB是这一系列中性轴上所共有的, 将其代入中性

30、轴方程, 经改写后即得2210BBFFyzzyzyiizyABCDbhh6b6b6h61 12 23 34 4O式中的yB, zB为常数, 因此该式就可看作是表示外力作用点坐标yF与zF间关系的直线方程。2210BBFFyzzyzyii即当中性轴绕B点旋转时, 相应的外力作用点移动的轨迹是一条连接点1, 2的直线。将1, 2, 3, 4四点中相邻的两点连以直线, 即得矩形截面的截面核心边界。它是个位于截面中央的菱形, 其对角线长度分别为h/3和b/3。8.4 扭转与弯曲一般的传动轴通常发生扭转与弯曲组合变形。由于传动轴大都是圆截面的, 故以圆截面杆为主, 讨论杆件发生扭转与弯曲组合变形时的强度

31、计算。FMeFaMFlTFR设有一圆杆AB, 一端固定, 一端自由；在自由端B处安装有一圆轮, 并于轮缘处作用一集中力F。将力F向B端面的形心平移, 得到一横向力F和矩为Me = FR的力偶。横向力和力偶分别使圆杆AB发生平面弯曲和扭转。 作出圆杆的扭矩图和弯矩图, 圆杆左端的弯矩最大, 所以此杆的危险截面位于固定端处。 C1C2C3C4危险截面上的最大弯曲正应力发生在铅垂直径的上、下两端点C1和C2处。最大扭转切应力, 发生在截面周边上的各点处。OC1C2C3C4tttt危险截面上的危险点为C1和C2点。MWpTWt围绕C1点分别用横截面、径向纵截面和切向纵截面截取单元体，可得C1点处的应力

32、状态如图所示。C1点处于平面应力状态, 主应力为C1C2C3C4OC1C2C3C4ttttC1tt12231422t20机械中的轴一般都用塑性材料制成, 因此应采用第三或第四强度理论。 C1C2C3C4OC1C2C3C4ttttC1tt22223134rMTWt用第三强度理论：222240.753rMTWt用第四强度理论：以弯矩、扭矩和弯曲截面系数表示的强度条件为 C1C2C3C4OC1C2C3C4ttttC1tt223 rMTW用第三强度理论：2240.75 rMTW用第四强度理论：上式同样适用于空心圆杆，而只需将式中的W改用空心圆截面的弯曲截面系数。公式适用于平面应力状态，而不论正应力是由

33、弯曲或是由其他变形引起的，切应力t是由扭转或是由其他变形引起的，也不论正应力和切应力是正值或是负值。223 rMTW2240.75 rMTW船舶的推进轴将同时发生扭转、弯曲和轴向压缩(或拉伸)，其危险点处的正应力等于弯曲正应力与轴向压缩(或拉伸)正应力之和。对于非圆截面杆，即使在扭、弯组合变形时，由于不存在Wp2W的关系，上式就不再适用。但其分析方法依然相同。例: 一齿轮轴AB如图所示。已知轴的转速n265 r/min, 由电动机输入的功率P10 kW；两齿轮节圆直径为D1396 mm, D2168 mm；齿轮啮合力与齿轮节圆切线的夹角a = 20；轴直径d50 mm, 材料为45钢, 其许用应力50 MPa。试校核轴的强度。 dACDBzy8013080F1F1zF1yF2yF2zF2aax解：解：此轴的受力情况比较复杂, 各啮合力和轴承反力都需要简化到两个互相垂直的平面上来处理。 aaF1F2F1yF1zF2yF2z(1) 计算外力 取一空间坐标系Axyz, 将啮合力F1、F2分解为切向力F1z、F2y和径向力F1y、F2z, 它们分别平行于y轴和z轴。F2yF2zF1zF1yFAyFAzFByFBzTCTDxABCDzy8013080再将两个切向力分别向齿轮中心平移, 亦即将F1z、F2y平行移至轴上, 同时加一附加力偶, 其矩分别为： F2yF2zF1zF1yFAyF